Исследовательская работа Число е


ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ РАБОТА
Число е
Подготовила: Смирнова Кристина, учащаяся 11 класса МБОУ «Первомайская СОШ им. В.Митты»
Научный руководитель:
Киргизова Алина Геннадьевна,
учитель математики МБОУ «Первомайская СОШ им. В.Митты»
2016 г.

ВВЕДЕНИЕ
«Бессмысленное число «е» вновь предстает перед нами, начертанное на этот раз на паутине... Усеянные крохотными капельками, ее липкие нити провисают под тяжестью груза, образуя цепные линии...»
Жан Анри Фабр, книга «Жизнь паука».
Из курса математики мы знаем, числа делятся на натуральные, целые, рациональные, действительные, комплексные. Множество действительных чисел включает множество рациональных и иррациональных чисел. Иррациональные числа невозможно представить в виде обыкновенной дроби, они представляются бесконечными и непериодическими десятичными дробями. Они обозначаются особыми знаками (радикалами - √) или буквами (е, π). С иррациональным числом π мы встречались в 6 классе при изучении темы «Длина окружности и площадь круга». Истинное значение π ближе к 3,14159265358979323846, но и эта длинная десятичная дробь — не более чем приближение к истинному значению числа π. В действительности же, число π невозможно точно представить в виде десятичной дроби, так как десятичная дробь получается бесконечной.
С понятием числа е мы впервые встретились при изучении темы «Понятие предела последовательности» в 10 классе. Число е не так часто встречается в курсе математики и не столь знаменито, как число π, поэтому мы решили подробно изучить это число. Этой теме мы хотим посвятить исследовательскую работу, подробно изучить и обобщить материал о числе е.
Цель работы - исследовать историю числа е и расширить знания об иррациональном числе е.
Задачи:
- изучить литературу с целью получения информации об истории числа е;
- выяснить его приближенное значение;
- рассмотреть различные способы определения числа е;
- рассмотреть решение задачи практического содержания проявления числа е в реальной жизни.
Объект исследования: число е.
Предмет исследования: способы определения числа е, практическое применение числа е.
Гипотеза: При подробном изучении числа е возможно рассмотрение интересных фактов, связанных с этим числом.
Методы исследования: Изучение литературы, метод анализа, метод систематизации, опроса и обобщения.
Основная часть
история числа е
Число е иногда называют неперовым в честь шотландского учёного Непера, автора работы «Описание удивительной таблицы логарифмов» (1614 год). Однако это название не совсем корректно, так как у него логарифм числа x был равен .
Впервые константа негласно присутствует в приложении к переводу на английский язык вышеупомянутой работы Непера, опубликованному в 1618 году. Негласно, потому что там содержится только таблица натуральных логарифмов, определённых из кинематических соображений, сама же константа не присутствует.
Предполагается, что автором таблицы был английский математик  HYPERLINK "http://ru.science.wikia.com/wiki/%D0%9E%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B4,_%D0%A3%D0%B8%D0%BB%D1%8C%D1%8F%D0%BC?action=edit&redlink=1" \o "Отред, Уильям (страница не существует)" Отред.
Саму же константу впервые вычислил швейцарский математик Бернулли при анализе следующего предела:
Первое известное использование этой константы, где она обозначалась буквой b, встречается в письмах Лейбница Гюйгенсу, 1690—1691 годы.
Букву e начал использовать Эйлер в 1727 году, а первой публикацией с этой буквой была его работа «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически» 1736 год. Соответственно, e обычно называют числом Эйлера. Хотя впоследствии некоторые учёные использовали букву c, буква e применялась чаще и в наши дни является стандартным обозначением.
Почему была выбрана именно буква e, точно неизвестно. Возможно, это связано с тем, что с неё начинается слово exponential («показательный», «экспоненциальный»). Другое предположение заключается в том, что буквы a, b, c и d уже довольно широко использовались в иных целях, и e была первой «свободной» буквой. Неправдоподобно предположение, что Эйлер выбрал e как первую букву в своей фамилии.
СПОСОБЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЧИСЛА е
Число е можно определить несколькими способами.
Рассмотрим числовую последовательность с общим членом
, где n=1, 2, 3, …
При n=1, u1=2;
При n=2, u2=
При n=3, u3=
При n=4, u4=
При n=5, u5= и т. д.

При ,
Можно сказать, что последовательность сходится, то есть существует предел. Предел этой последовательности обозначают латинской буквой е.

Этот предел называется вторым замечательным пределом.
Число е приблизительно равно 2,718281828459045…(приложение 1)
Эйлеру принадлежит много открытий, связанных с числом е, поэтому число е в конце концов стали называть «числом Эйлера». Число е является трансцендентным, т.е. оно не является корнем никакого алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.
Л. Эйлер открыл бесконечную цепную дробь для представления числа е:
e = 2 + 1
1 + 1
2 + 2
3 + 3
4 + …
Для быстрого вычисления большого числа знаков удобнее использовать другое разложение:

Число е можно записать в виде суммы ряда

Логарифмы с основанием е называются натуральными и обозначаются

Функцию ех называют экспонентой или экспоненциальной функцией, производная которой равна самой функции.
Таким образом, рассмотрев способы определения числа е, можно дать краткое определение этого числа. Число е - математическая константа, основание натурального логарифма, трансцендентное число. 
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ЧИСЛА е
Число e играет огромную роль в математике, физике, астрономии и других науках. Вот некоторые вопросы, при математическом рассмотрении которых приходится пользоваться этим числом (список можно было бы увеличивать неограниченно):
Барометрическая формула (уменьшение давления с высотой)
Формула Эйлера

Закон охлаждения тел
Колебания маятника в воздухе

Формула Циолковского для скорости ракеты
Рост клеток Число Эйлера действительно имеет огромное значение как в математике, так и в жизни. Рассмотрим пример.
Задача о росте вклада. Предположим, что кто-то положил один рубль в банк, выплачивающий 4% годовых. Если проценты простые, то каждый год сумма вклада возрастает на 4% от первоначального капитала. Каждый рубль через двадцать пять лет «вырастет» и превратится в два рубля. Если же банк выплачивает сложный процент, то рубль будет расти быстрее, потому что после каждого начисления процентов капитал немного увеличивается и в следующий раз процент начисляется от большей суммы. Чем чаще производят перерасчет и прибавление прибыли к основному капиталу, тем быстрее растет вклад. При ежегодном начислении сложных процентов рубль за 25 лет превратится в , то есть в 2,66 рубля. При начислении сложных процентов каждые полгода (если банк выплачивает 4 (сложных) процента годовых, то прирост вклада за каждые шесть месяцев составляет 2 процента) рубль за 25 лет превратится в , или 2,69 рубля.
В рекламных проспектах банков их составители особо подчеркивают, сколько раз в год производится начисление прибыли. Непосвященному может показаться, что при достаточно частом начислении процентов (например, если производить пересчет миллион раз в год) за 25 лет рубль превратится в весьма ощутимую сумму. В действительности ничего подобного не произойдет. Через 25 лет один рубль вырос бы до величины , где п — число начислений прибыли. При п, стремящемся к бесконечности, это выражение стремится к пределу, равному 2,718 (e), что всего на 3 цента больше той суммы, которая получилась бы, если бы прибыль начислялась лишь раз в полгода. Этот предел и является числом е.
Однако не все величины возрастают так, как растет капитал в рассмотренных выше примерах. Тип роста, о котором шла речь, обладает одной весьма важной особенностью: в каждый момент времени скорость роста пропорциональна величине того, что возрастает.
Иначе, говоря, отношение приращения изменяющейся величины к ее текущему значению всегда одно и то же. Величины такого типа изменяются подобно снежному кому, несущемуся с вершины горы: чем больше становится ком, тем быстрее налипает на него снег. Этот тип роста свойствен многим процессам в живой и неживой природе. Все они описываются формулами, в которые входит экспоненциальная функция.
Заключение
В данной работе мы познакомились с числом е. Узнали, что число e — основание натурального логарифма, математическая константа, иррациональное и трансцендентное число. Приблизительно равно 2,71828. Иногда число e называют числом Эйлера или числом Непера. Узнали историю этого числа, рассмотрели способы его определения. Также узнали, что число e играет огромнейшую роль, как в математике, так и в других науках, и в жизни. На примере рассмотрели практическое применение числа е в жизни. И думаем, что достигли поставленной цели. Рассмотрев пример решения задачи о росте вклада, мы приходим к выводу, что число е является базовым соотношением роста для всех непрерывно растущих процессов. 
Библиографический список
Кузьмин Е., Ширшов А. О числе е. // Квант, 1979 №8.
Болтянский В. Экспонента. // Квант, 1984 №3.
Никольский С.М. Алгебра и начала математического анализа. 10 класс, 2014г.
wikipedia.org

Приложение 1. Приближенное значение числа е
е = 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 7683964243 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 9570350354

Приложенные файлы

  • docx chisloe.doc
    Размер файла: 195 kB Загрузок: 0