Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.


Конспект урока.
Тема: Расстояние от точки до плоскости. Теорема о трех перпендикулярах.Учебник. Геометрия. 10-11 классы. Л. С. Атанасян и др.
Тип урока. Изучение нового материала.
Форма работы: фронтальная, групповая, индивидуальная.
Средства:
Цель урока: рассмотреть теорему о трех перпендикулярах
Задачи.
Обучающие:
повторить определение прямой, перпендикулярной к плоскости;повторить признак перпендикулярности прямой и плоскости;
доказать теорему о трех перпендикулярах.
Развивающие:
развивать пространственное мышление;
развивать умение работать в группе.
Воспитательные:
воспитание коммуникативных навыков;
воспитание уважения друг к другу.
Планируемые результаты.
Предметные.
Знать:
определение прямой, перпендикулярной к плоскости;признак перпендикулярности прямой и плоскости;
теорему о трех перпендикулярах.
Уметь:
применять признак, перпендикулярности прямой и плоскости при решении и доказательстве задач;
доказывать теорему о трех перпендикулярах.
Метапредметные:
развитие навыков самоконтроля – регулятивные умение анализировать – познавательные.
развитие устной и письменной речи, построение логических цепочек при доказательстве – коммуникативные.Личностные:
формирование сосредоточенности и внимания;
формирование точности и ясности изложение мысли.
Примерный план урока.
№ п/п Этап Время Метод Формы организации учебной деятельности
1. Организационный момент 2 мин 2. Актуализация знаний 10 мин Репродуктивный Фронтальная
3. Объяснение нового материала 20 мин Проблемный Групповая
4. Первичное закрепление 3 мин Репродуктивный Фронтальная
5. Подведение итогов урока 4 мин Фронтальная, индивидуальная
6. Домашнее задание 1 мин Ход урока.
2. Актуализация знаний
Формирование УУД: Познавательные, коммуникативные (развитие устной речи).Деятельность учителя. Сегодня на уроке мы познакомимся с новой темой: «Теорема о трех перпендикулярах». Но прежде чем переходить к рассмотрению теоремы, вспомним некоторые сведения прошлого урока. За каждый правильный ответ вы будете получать жетоны, которые понадобятся вам в дальнейшем, поэтому постарайтесь все быть активными.
Итак, сформулируйте определение прямой, перпендикулярной к плоскости.Назовите признак перпендикулярности прямой и плоскости.
А теперь выполним небольшой тест (см. приложение 5).
2. Объяснение нового материала
Формирование УУД: познавательные, коммуникативные (формулировка своих мыслей, построение логических цепочек).
Деятельность учителя. (пока ученики выполняли тесты учитель на парты каждому ученику раздает листочек с номером 1,2 или 3).
Итак, рассмотрим на слайде два случая: в планиметрии и стереометрии. Мы видим, что отрезок АН – перпендикуляр, точка Н – основание перпендикуляра, отрезок АМ – наклонная, точка М – основание наклонной. Но в планиметрии отрезок МН – проекция наклонной на прямую а, а в стереометрии отрезок МН – проекция наклонной на плоскость ∝. Теперь рассмотрим расстояние от точки до прямой и плоскости. Как и в планиметрии, наименьшим расстоянием от точки до плоскости является длина перпендикуляра. Например, рассмотрим практическую ситуацию. Расстояние от лампочки до земли измеряется по перпендикуляру, проведенному от лампочки к плоскости земли. Также в этой теме у нас появляется такое понятие как расстоянием между параллельными плоскостями. Если две плоскости параллельны, то все точки одной плоскости равноудалены от другой плоскости. Также, если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости. Расстояние от произвольной точки прямой до плоскости называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью. И 3 замечание о расстояние между скрещивающимися прямыми. Если две прямые скрещиваются, то через каждую из них проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна. Расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой, называется расстоянием между скрещивающимися прямыми.
Как вы заметили, на партах у вас появились листочки с номерами. Распределитесь, пожалуйста, на группы в соответствии с номерами. Итак, а теперь в группах решаем задачи. Условия указаны на слайде.
(разбираем первые 2 задачи, в третьей задаче возникает проблема).
Какое предположение мы можем сделать, чтобы решить задачу?
Деятельность ученика. Прямая DO перпендикулярна ВС.
Деятельность учителя. Да, тогда задача решится и будет получен ответ. Давайте тогда попробуем сформулировать нашу гипотезу. Итак, укажите перпендикуляр, основание перпендикуляра, наклонную, ее проекцию и основание наклонной.
Деятельность ученика. AD – перпендикуляр, A – основание перпендикуляра, DO –наклонная, AO – ее проекция.
Деятельность учителя. Как мы сможем сформулировать гипотезу?
Деятельность ученика. Если прямая проведена в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Деятельность учителя. И действительно, наша гипотеза – это теорема о трех перпендикулярах и звучит она так: Прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ее проекции на эту плоскость, перпендикулярна и к самой наклонной. А теперь попробуем доказать эту теорему в ваших группах. При доказательстве вы можете пользоваться моими подсказками за ваши жетоны. 1 подсказка = 1 жетон.
(рассматриваем все три доказательства и записываем формулировку теоремы доказательство в тетради).
4. Первичное закрепление
Формирование УУД: регулятивные.
Деятельность учителя. И теперь, когда мы знаем теорему о трех перпендикулярах, запишем решение нашей задачи уже с помощью теоремы.
5. Подведение итогов урока
Формирование УУД: коммуникативные, регулятивные
Деятельность учителя. Давайте вспомним все, что мы делали сегодня на уроке.
Деятельность ученика. Вспомнили определение прямой, прямой и плоскости, перпендикулярной к плоскости; признак перпендикулярности; решали тест; познакомились с теоремой о трех перпендикулярах; доказали теорему о трех перпендикулярах.
6. Домашнее задание
Деятельность учителя. Очень хорошо! Ребята, все сегодня очень хорошо работали»! запишите в дневники домашнее задание: №150, 156.

Приложенные файлы