Цепная линия


Введение
В качестве темы курсовой работы мной была выбрана следующая: «Цепная линия». Кривая цепная линия очень интересна для изучения, однако не так уж просто найти литературу посвященную ей.
Исследованием этой линии занимались ученые очень давно. Однако даже в наше время она используется при решении ряда задач не только в математике, но и физике, архитектуре и многих других дисциплин. По моему мнения, данная тема является интересной и актуальной.
Изучением цепной линии занимались такие ученые, как Галилео Галилей, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Иоганн Бернули и др.
Целью данной курсовой работы является описание основных свойств цепной линии.
Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи:
1. проанализировать научную и учебную литературу по теме исследования с целью выделения основных понятий и утверждений;
2. систематизировать и обобщить материал по теме исследования с целью выделения групп свойств цепной линии;
3. доказать необходимые утверждения в теме исследования;
4. установить связь темы исследования и курса дифференциальной геометрии;
5. разработать компьютерную презентацию на тему: «Цепная линия».
Основным методом исследования стал теоретический анализ
литературы в рамках исследования;
Практическая значимость определяется возможностью использования результатов данного исследования в учебном процессе в рамках дисциплин «Геометрия» и «Дифференциальная геометрия».
1. Исторические сведение
В книге Галилея “Беседы и математические доказательства…”, напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: “Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы 3067050306514500(рис. 1), так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя”.[2]
Рис.1 Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры. Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли - Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба - Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа - производной и интегралом. Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией. Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга - то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.
2. Понятие цепной линии и её уравнение
Определение 1. Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести.  Цепная линия по форме напоминает параболу.
Так считалось долгое время. В начале 17 века Галилео Галилей высказал сомнение, что висящая цепь в действительности является параболой. Однако строгое доказательство и точный вывод были получены лишь полвека спустя − после того, как Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали основы математического анализа. 
Решение задачи о цепной линии было опубликовано в 1691 году Христианам Гюйгенсом, Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Иоганном Бернулли. 
Ниже мы рассмотрим вывод уравнения цепной линии и некоторые его вариации. 
Пусть тяжелая однородная нить подвешена в точках А, В, которые могут находиться на разной высоте (рис. 1.2).
-12890556311800Рассмотрим равновесие произвольного малого элемента нити длиной Δs.
На этот элемент действуют распределенная сила тяжести ∆P=ρg∆s, где ρ − объемная плотность материала нити, g − ускорение свободного падения, A − площадь поперечного сечения нити, и силы натяжения T(x) и T(x+Δx), соответственно, в точках x и (x+Δx). 
Условия равновесия выделенного элемента длиной Δs в проекциях на оси Ox и Oy записываются в виде:
-Tcosαx+Tx+∆xcosαx+∆x=0-Tsinαx+T(x+∆x)sinαx+∆x-∆P=0 Из первого уравнения видно, что горизонтальная компонента силы натяжения T(x) всегда постоянна:
Tcosαx=T0=const Переходя во втором уравнении к дифференциалам, можно записать его в виде:
d(T(x)cosα(x))=dP(x) Поскольку Tx=T0cosα(x) , то получаем
d(T0tanα(x))=dP(x) или T0d(tanα(x))=dP(x) Учтем, что tanαx=dydx=y', так что уравнение равновесия записывается в дифференциальном виде как
T0dy'=dPx или T0dy'=ρgAds Элемент длины Δs можно выразить по формуле
ds=1+(y')2dx В результате получаем дифференциальное уравнение цепной линии:
T0dy'dx=ρgA1+(y')2 или T0y''=ρgA1+(y')2 Это уравнение допускает понижение порядка. Обозначив y' = z, представим его в виде уравнения первого порядка:
T0z'=ρgA1+z2 Последнее уравнение решается методом разделения переменных.
T0dz=ρgA1+z2dxdz1+z2=ρgAT0dxdz1+z2=ρgAT0dxln(z+1+z2)=xa+C1 Здесь мы обозначили  ρgAT0  через 1/a.  Касательная к цепной линии в нижней точке параллельна оси Ox. Следовательно,
zx=0=y'x=0=0Отсюда определим константу C1:
ln1=0+C1C1=0Итак, мы имеем следующее уравнение:
z+1+z2=exp⁡(⁡xa)Умножим обе части данного уравнения на сопряженное выражение  z-1+z2. Получаем:
z+1+z2 z-1+z2=z-1+z2exp(xa) z-1+z2= z-1+z2exp(xa-1=z-1+z2exp(xa) z-1+z2=-exp⁡(⁡xa) Складывая с предыдущим уравнением, находим выражение для z = y' :z+1+z2+z-1+z2=exp(xa)-exp⁡(⁡-xa)z=exp(xa)-exp⁡(⁡-xa)2=sinhxay'=sinhxa Интегрируем еще раз и получаем окончательное красивое выражение для формы цепной линии:
y=acoshxa2913380122301000 Итак, цепная линия описывается гиперболическим косинусом. Ее форма однозначно определяется параметром a=ρgAT0, зависимость от которого показана на рис.1.3.
Рис.1.3
3. Свойства цепной линии
26193751461135001. Длина дуги (приложение 1) цепной линии от ее вершины до некоторой точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке.
Доказательство:
1.Длина s дуги AM цепной линии, отсчитываемой от вершины А, равна проекции ММ′ ординаты РМ на касательную МТ. (рис.3)
2. S=AM=MM′=a2(exa -e-xa) (1) или s = a sinhxa .
3. С ординатой РМ=у дуга связана соотношение s2+a2=y2. 4. Последнее вытекает из уравнения цепной линии и (1) и
легко прочитывается из треугольника РМ′М, где РМ = у, ММ′ = s и РМ′ = a (по основному свойству трактрисы).∎
2. Радиус кривизны (приложение 1) в произвольной точке цепной линии равен длине нормали в этой точке.
Доказательство:
1. Радиус кривизны МК = R цепной линии равен отрезку MD нормали от точки М до директрисы Х′Х и выражается формулой
R = MD = a4(exa+e-xa)2
или R = a cosh2xa .∎
3. Если цепная линия катится по прямой, то центр кривизны, соответствующий точке касания, перемещается по параболе.
Доказательство:
1. Определяя площадь, ограниченную цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс, будем иметь:
U=ax2x1coshxadx=a2sinhxax2x1=a2sinhx2a-a2sinhx1a==ay22-a2-y12-a2 .∎
4. Площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.
Доказательство:
1. Площадь S «криволинейной трапеции» OAMP (OA = a - ордината вершины, РМ - ордината конца М дуги s = AM) равна площади прямоугольника со сторонами a, s так что
S = as = a2 sinh2xa .∎5. Сумма кривизн цепной линии в точках, касательные в которых взаимно перпендикулярны, является для каждой цепной линии величиной постоянной.
Доказательство:
1. Пусть M1x1, y1 и M2(x2, y2) - точки цепной линии, касательные в которых взаимно перпендикулярны. Определяя их угловые коэффициенты, имеем y1'=sinhx1a и y2'=sinhx2a . 2.В силу перпендикулярности касательных y1'y2'+1=0, или sinhx1asinhx2a+1=0; (2),
но согласно S=AM=MM′=a2(exa -e-xa) = a sinhxa = y2-a2 ,
sinhx1a=S1a и sinhx2a= S2a , где S1 и S2 - длины дуг, отсчитываемые от вершины цепной линии до точек M1 и M2. Подставляя эти выражения в равенство (2) получаем, S1S2=-a2.
3. Далее, если равенство (2) привести к виду
1cosh2x1a+1cosh2x2a=1 или a2y12+a2y22=1,
то на основании R = a cosh2xa будем иметь 1R1+1R2=1a . ∎
6. Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида  - поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
4. Исследование цепной линии, заданной параметрически, методом дифференциальной геометрии
Любая линия в дифференциальной геометрии рассматривается в пространстве может быть задана векторным уравнение от одного скалярного аргумента, неявного уравнения вида F(x,y)=0, пересечением двух поверхностей, Fx,y,z=0F1x,y,z=0, полярным уравнением.
Метод дифференциальной геометрии позволяет исследовать линию на предмет:
определение элементов сопровождающих линии трехгранника;
определение кривизны и кручения;
написание натурального уравнения линии;
вычисление длины дуги линии;
Удобнее метод дифференциальной геометрии применять к параметрическим уравнениям, линии которых непосредственно следует из векторного уравнения от одного скалярного аргумента.
Исследуем цепную линию методом дифференциальной геометрии.
Для этого:
от неявного уравнения перейдем к параметрическим;
определим параметризацию;
3) найдем базисные векторы, сопровождающего трехгранника кривой;
4) напишем уравнение элементов сопровождающего трехгранника кривой:
уравнение касательной;
уравнение нормали;
уравнение бинормали;
уравнение соприкасающейся плоскости;
уравнение нормальной плоскости;
уравнение спрямляющейся плоскости;
5) найдем кривизну и кручение цепной линии в произвольной точке;
6) напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации.
Итак, уравнение цепной линии имеет вид
x= ty = a coshtaz=0 - параметрическое уравнение цепной линии.
Линия лежит в плоскости XOY, z=0.
1. Определим, какая параметризация: естественная или произвольная.
Найдем производные по t:
x'=1y'=sinhtadrdt=12+sinh2ta = cosh2ta=coshta≠1параметризация произвольная.
2. Найдем векторы первой, второй и третьей производной.
r'=1,sinhta,0r''=0,1acoshta,0r'''=0,1a2sinhta,03.Найдем базисные векторы сопровождающего трехгранника:
τ'1,sinhta,0τ1coshta,sinhtacoshta,0τ1coshta,tanhxy,0-единичный вектор касательной.
B=r'×r''B1=sinhta01acoshta0=sinhta∙0-0∙1acoshta=0
B2=0100=0B3=1sinhta01acoshta=1acoshta∙1-sinhta∙0=1acoshtaB0,0,1acoshta B=1a2cosh2tab0,0,acoshta- единичный вектор бинормали.
N=B×τ'N(N1,N2,N3)N1=01acoshtasinhta0=12asinh2taN2=1acoshta001=1acoshtaN3=0N12asinh2ta,1acoshta,0N=14a2sinh22ta+1a2coshta=1asinh22ta4+cosh2ta=12asinh22ta+4cosh2tansinh2tasinh22ta+4cosh2ta,coshtasinh22ta+4cosh2ta,0-единичный вектор главной нормали.
4.Напишем уравнения элементов сопровождающего трехгранника:
a) Уравнение касательной (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:
M0x0,y0,z0M0t,a coshta,0coshta(x-t)1=y-a coshtatanhtaz=0b) Уравнение главной нормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:
2(x-t)sinh2ta=y-a coshtacoshtaz=0c) Уравнение бинормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:
x-t=0y-a coshtaz=α, α-параметрe) Уравнение соприкасающейся плоскости (приложение 1) M,τ',n:
x-t1sinh2tasinh22ta+4cosh2tay-a coshtasinhtacoshtasinh22ta+4cosh2taz-000=0(x-t)∙sinhta∙0+(y-a coshta)∙0∙sinh2tasinh22ta+4cosh2ta+(z-0)∙coshtasinh22ta+4cosh2ta-(y-a coshta)∙0-(x-t)∙ coshtasinh22ta+4cosh2ta∙0-(z-0)∙∙sinhta∙sinh2tasinh22ta+4cosh2ta=0z∙coshtasinh22ta+4cosh2ta-z∙sinh2tasinh22ta+4cosh2ta∙sinhta=0z∙coshta-z∙sinh2ta∙sinhta=0z(coshta-sinh2ta∙sinhta)=0z∙sinh2ta=0z=0.Так как z=0, плоскость OXY- соприкасающаяся плоскость.
f) Уравнение нормальной плоскости (приложение 1) M,N,Bx-t12asinh2ta0y-a coshta1acoshta0z-001acoshta=01a2cosh2tax-t-12a2sinh2tacoshtay-a coshta=0g) Уравнение спрямляющей плоскости(приложение 1) M,τ',B:
x-t10y-a coshtasinhta0z-001acoshta=012asinh2tax-t-12asinh2tay-a coshta=05.Найдем кривизну k (приложение 1) и кручение H(приложение 1):
k=r'×r''r'3r'×r''=1a2cosh2tar'=12+sinh2ta = cosh2ta=coshtak=1a2cosh2tacosh3ta=1a2coshtaH=r',r'',r'''|r'×r'' |2r',r'',r'''=1sinhta001acoshta001a2sinhta0=0H=06.Напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации:
S=drdtdt=coshtadt=acoshta+Ct=Sacoshtax=Sacoshtay=acoshSa2coshtaТаким образом, результаты исследования свойств цепной линии методами дифференциальной геометрии позволили доказать следующие свойства цепной линии как плоской линии:
Теорема 1. Соприкасающаяся плоскость плоской линии совпадает с плоскостью линии.(см. уравнение соприкасающейся плоскости цепной линии п.4(e)).
Теорема 2. Главная нормаль плоской линии лежит в плоскости линии.(см. уравнение главной нормали цепной линии п.4(b)).
Теорема 3. Кручение плоской линии во всех точках равна нулю.(см. кручение H цепной линии п.5)
Докажем теорему, обратную теореме 3.
Теорема 4. Если во всех точках гладкой линии кручение равно нулю, то линия плоская.
Доказательство:
1. Пусть в каждой точке линии γ, заданной уравнениями x= ty = a coshtaz=0, ее кручение H равно нулю.
2. Из последней формулы Френе следует, что β=b, где b не зависит от переменной s. Тогда из тождества b∙τ=0d(b∙r)ds, отсюда b∙r=c=const или в координатах: xsb1+ysb2+zsb3=c, где b1,b2,b3 – координаты b.
3. Таким образом, все точки γ лежат в плоскости, заданной уравнением xb1+yb2+zb3-c=0. Это означает, что γ – плоская линия. ∎Замечание. Для плоской линии имеем х = 0, поэтому формулы Френе принимают вид:
bτds=kv,bvds=-kτ.Результаты исследования свойств цепной линии можно отобразить в чертеже.

Oxy ≡λ- соприкасающаяся плоскость
β- нормальная плоскость
γ- спрямляющая плоскость
5. Применение
Ворота на Запад
Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипи в городе Сент-Луисе стоит импозантная арка ( HYPERLINK "http://www.gatewayarch.com/" Gateway Arch) высотой в 630 футов, что соответствует 192 м, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии. Сент-Луис в свое время соединил относительно обжитые земли к востоку от Миссисипи с дикими бескрайними пространствами Запада.rightcenter
Эта арка была спроектирована одним из самых известных архитекторов США  HYPERLINK "http://archi.ru/foreign/guide/architect_present.html?aid=44&fl=2&sl=1" Эро Саариненом (Eero Saarinen, 1910–1961) в сотрудничестве с математиком и инженером Ганнскарлом Банделем ( HYPERLINK "http://en.structurae.de/persons/data/index.cfm?id=d005393" Hannskarl Bandel, 1925–1993). В каком-то смысле их судьбы схожи: и Сааринен, и Бандель родились за пределами Америки - первый вФинляндии, второй - в Германии. Потом оба пересекли океан: первый - отправляясь в 1934 году учиться, а второй - уже после войны, в поисках работы. Тут каждый из них нашел свою удачу, а оба они - друг друга.
По подсказке Банделя Сааринен выбрал для своей арки форму цепной линии, высота которой равнялась ширине у основания. Получилось красиво, хотя конструкция до какой-то степени противоречила интуиции. Ведь цепочка, будучи предоставленной сама себе, стремится занять такое положение в пространстве, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной, то есть центр тяжести располагался предельно низко. При переворачивании низкий центр тяжести окажется высоким, а минимум энергии обернется максимумом.
Противоречие тут кажущееся. В задачу архитектора вовсе не входит достижение энергетического минимума конструкции - нужно, чтобы она была устойчивой. И хотя, безусловно, минимуму потенциальной энергии соответствует положение устойчивого равновесия, это положение не единственное. Еще одно положение равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии, что мы и наблюдаем при перевороте цепной линии, а также при обобщении метода, использованного Гауди.
Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил. Как известно, если удается получить информацию о силах, то картинка всегда оказывается более подробной и ясной, чем та, которую можно получить, занимаясь только энергиями. У подвешенной цепочки на каждое отдельное звено действуют три силы: сила тяжести и сила упругих деформаций со стороны двух ближайших соседей. Равновесие достигается в том случае, когда сумма всех трех сил равна нулю.
Подвижность цепочки гарантирует, что упругие силы на концах каждого звена лишь растягивают его, то есть всегда направлены по касательной к линии.
Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной.
Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.
lefttopНа каждое звено цепи действует по три силы: натяжение со стороны соседей и сила тяжести. При уменьшении размеров звена,
сила тяжести стремится к нулю, а силы натяжения к нулю не стремтся, они просто становятся параллельными друг другу. 
2713990282892500Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи. [4]
Заключение
Список использованной литературы
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математики. §517. М.:АСТ: Астель, 2006.
Галилей Галилео. Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению синьора Г.Галилея Линчео, философа и первого математика светлейшего великого Герцога Тосканского. С приложением о центрах тяжести различных тел. – Л.:Гостехизд., 1934. с. 273-274
Маркушевич А.И. «Замечательные кривые». М.: Наука, 1978.с.91
Люстерник П.А. Кратчайшие линии. Вариационные задачи. Серия «популярные лекции по математике», выпуск 19, §19. М.-Л.: Гостехизд. 1955.
Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука. 1980. с. 135.
Савёлов А.А. Плоские кривые. М.:Госизд физ-мат литературы. 1960. с. 213-216.
Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2004.
Приложение 1
Определение 1. Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести. 
Определение 2. Касательной называется прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка.
Определение 3. Радиусом кривизны называется величина, обратная кривизне. Радиус кривизны характеризует величину соответствия кривой от прямой. Чем больше радиус кривизны, тем больше кривая похожа на прямую. Радиус кривизны обозначается R.
Определение 4.Нормалью называется прямая, ортогональная (перпендикулярная) касательному пространству (касательной прямой к кривой, касательной плоскости к поверхности и т. д.).
Определение 5. Директрисой называется прямая, лежащая в плоскости конического сечения (эллипса, гиперболы или параболы) и обладающая тем свойством, что отношение расстояния от любой точки кривой до фокуса кривой к расстоянию от той же точки до этой прямой есть величина постоянная, равная эксцентриситету.
Определение 6. Длина дуги в метрическом пространстве - числовая характеристика протяжённости этой кривой. Исторически вычисление длины кривой называлось спрямлением кривой. Если длина кривой существует и конечна, то говорят, что кривая спрямляемая, в противном случае - неспрямляемая. Длина дуги обозначается S.
Определение 7. Кривизна - величина, характеризующая отклонение кривой (поверхности) в окрестности данной ее точки от касательной прямой (касательной плоскости). понятие кривизны обращается на объекты более общей природы. Кривизна обозначается k.
Определение 8. Кручение, вторая кривизна, мера отклонения пространственной кривой от соприкасающейся плоскости. Кручение обозначается H.Определение 9. Бинормалью называется нормаль кривой в пространстве, перпендикулярная касательной к главной нормали.
Определение 10. Плоскость, проходящая через касательную и главную нормаль в данной точке кривой, называется соприкасающейся плоскостью в этой точке.
 Определение 11. Нормальная плоскость к кривой линии в данной ее точке - плоскость, перпендикулярная к касательной прямой, проведенной через ту же точку.
Определение 12. Спрямляющая плоскость, плоскость проходящая через касательную и бинормаль в данной точке М пространственной кривой.

Приложенные файлы

  • docx file3.doc
    Размер файла: 342 kB Загрузок: 5