МЕХАНИКА ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА С ВАРИАНТАМИ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Депобразования и молодежи Югры
бюджетное учреждение профессионального образования
Ханты-Мансийского автономного округа – Югры
«Мегионский политехнический колледж»
(БУ «Мегионский политехнический колледж»)




МЕХАНИКА
ТЕХНИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

С ВАРИАНТАМИ ЗАДАНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Учебное пособие для самостоятельного выполнения расчетно-графических работ с
методическими указаниями для изучения теоретического курса, подготовки к практическим занятиям для студентов очной и заочной форм обучения.
Направления 15.02.07 Автоматизация технологических процессов и производств
Дисциплина - «Техническая механика»
(Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту третьего поколения)




Мегион,2016
ПРЕДИСЛОВИЕ

В соответствии с ФГОС СПО (третьего поколения) специалист направления 15.02.07 "Автоматизация технологических процессов и производств" должен знать основные подходы к формализации и моделированию движения и равновесия материальных тел. Кроме того, он должен знать методы решения задач о движении и равновесии механических систем. И, наконец, специалист должен уметь применять знания, полученные по теоретической механике при изучении таких дисциплин как техническая механика, сопротивление материалов и др., владеть современными основными методами постановки, исследования и решения задач механики. Учебники, учебные пособия, сборники задач, методические разработки помогают обучающимся в приобретении знаний, умений и опыта решения задач.
Содержание данного учебного пособия соответствует дисциплине «Механика (Техническая механика)» базовой части учебного цикла общеобразовательной программы.
Задания для самостоятельного решения взяты из практических занятий по курсам «Теоретическая механика» и «Сопротивление материалов», преподаваемым автором в течение многих лет.

РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

1.1. Предмет механики

Механика – это наука, изучающая основные законы механического движения, т.е. законы изменения взаимного расположения материальных тел или частиц в сплошной среде с течением времени. Содержанием курса теоретической механики в техническом вузе является изучение равновесия и движения абсолютно твердых тел, материальных точек и их систем. Теоретическая механика является базой для многих общепрофессиональных дисциплин (сопротивление материалов, детали машин, теория машин и механизмов и др.), а также имеет самостоятельное мировоззренческое и методологическое значение. Иллюстрирует научный метод познания закономерностей окружающего нас мира – от наблюдения к математической модели, ее анализ, получение решений и их применение в практической деятельности.
Курс теоретической механики традиционно делится на три части:
Статика – изучает правила эквивалентного преобразования и условия равновесия систем сил.
Кинематика – рассматривает движение тел с геометрической стороны, без учета сил, вызывающих это движение.
Динамика – изучает движение тел в связи с действующими на них силами.
Основные задачи статики:
1. Изучение методов преобразования одних систем сил в другие, эквивалентные данным.
2. Установление условий равновесия систем сил.

1.2. Основные понятия и аксиомы статики

Сила – мера и результат механического воздействия одного тела на другое. Физическая природа сил в механике не рассматривается.

Сила задается модулем, направлением и точкой приложения (рис.1.1). Обозначается большими буквами латинского алфавита: 13 EMBED Equation.3 1415– модуль силы.
Рис. 1.1

Аналитически силу можно задать ее проекциями на оси координат: 13 EMBED Equation.3 1415а направление в пространстве – направляющими косинусами: 13 EMBED Equation.3 1415
Совокупность нескольких сил, действующих на твердое тело, называется системой сил. Две системы сил эквивалентны (
·) между собой, если, не нарушая состояния тела, одну систему сил можно заменить другой. Сила, эквивалентная данной системе сил, называется равнодействующей:
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
Систему сил, приложенную к свободному твердому телу, находящемуся в равновесии, и не выводящую его из этого состояния, называют уравновешенной системой сил 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415. Абсолютно твердое тело – тело, у которого расстояние между любыми двумя точками остается неизменным.
Материальная точка – тело, размерами которого можно пренебречь по отношению к другим телам.

Аксиомы статики

1. Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны (рис.1.2).
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415.


Рис. 1.2
2. Не нарушая состояния абсолютно твердого тела, к нему можно прикладывать или отбрасывать уравновешенную систему сил.
Следствие: Точку приложения силы можно переносить вдоль линии действия силы.
Доказательство:
К телу в точке А приложена сила 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.1.3).
Добавим в точке В систему сил 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415:
Рис. 1.3
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415, но 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415,
следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 Следствие доказано.
3. Две силы, приложенные к телу в одной точке, имеют равнодействующую, проходящую через эту точку и равную их геометрической сумме (1.4):
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 1.4
Из этой аксиомы следует, что силу можно разложить на любое количество составляющих сил по заранее выбранным направлениям.
4. Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны.
5. Равновесие деформируемого тела не нарушится, если это тело отвердеет. Иными словами, необходимые условия равновесия деформируемых и абсолютно твердых тел совпадают, что позволяет применять получаемые результаты для реальных тел и конструкций, не являющихся абсолютно твердыми.

1.3. Связи и реакции связей. Принцип освобождаемости от связей.

Тело называется свободным, если его перемещение в пространстве ничем не ограничено. В противном случае тело называется несвободным. А тела, ограничивающие перемещения данного тела, – связями. Силы, с которыми связи действуют на данное тело, называются реакциями связей.
Основные виды связей и их реакции:
1. Гладкая опорная поверхность (без трения)
Реакция гладкой поверхности направлена по нормали к этой поверхности (перпендикулярна общей касательной) (рис.1.5а).
а)

2. Опорная точка (ребро)
Реакция перпендикулярна опирающейся поверхности (рис.1.5б).
б)



Рис. 1.5
3. Гибкая связь, нить (невесомая, нерастяжимая):

Примеры: моделирует трос, канат, цепь, ремень,
Реакция идеальной нити направлена по нити к точке подвеса (рис.1.6).


Рис. 1.6








Рис. 1.7
4. Идеальный стержень (жесткий, невесомый стержень, на концах которого шарниры). Реакция связи направлена по стержню. В отличие от нити стержень может работать и на сжатие (рис.1.7).
5. Гладкий цилиндрический шарнир
Такая связь позволяет телу перемещаться вдоль оси, поворачиваться вокруг оси шарнира (рис.1.8а), но не позволяет точке закрепления перемещаться в плоскости, перпендикулярной оси шарнира. Реакция лежит в плоскости, перпендикулярной оси шарнира, и проходит через нее. Положение этой реакции не определено, но она может быть представлена двумя взаимно перпендикулярными составляющими (рис.1.8б).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б)
Рис. 1.8.

6. Сферический шарнир (рис.1.9)
Такая связь не дает точке закрепления тела перемещаться ни в одном из направлений (рис.1.9.а). Положение реакции не определено, но она может быть представлена тремя взаимно перпендикулярными составляющими (рис.1.9б).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б)
Рис. 1.9
7. Подпятник (рис.1.10)
Реакция данной связи задается
аналогично предыдущему случаю.


Рис. 1.10
8. Жесткая заделка (рис.1.11а)
Такая связь препятствует перемещению и повороту вокруг точки закрепления. Контакт тела со связью осуществляется по поверхности. Имеем распределенную систему сил реакции (рис.1.11б), которая, как будет показано, может быть заменена одной силой и парой сил (рис.1.11в).

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б) в)
Рис. 1.11

Принцип освобождаемости от связей:
Всякое несвободное тело можно считать свободным, если мысленно освободиться от связей, а их действие заменить соответствующими реакциями.






1.4. Система сходящихся сил. Равнодействующая. Условия равновесия сходящихся сил


Силы называются сходящимися, если
линии их действия пересекаются в одной
точке.
Теорема
Система сходящихся сил имеет равнодействующую, которая равна геометрической сумме этих сил и проходит через точку пересечения их линий действия. Рис. 1.12
Доказательство:
а)
Перенесем все силы по линии действия в точку пересечения (рис.1.13а). Последовательно складывая по аксиоме 3:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д., находим: 13 EMBED Equation.3 1415 Теорема доказана.
Геометрически равнодействующая может быть найдена как замыкающая сторона силового многоугольника (рис.1.13б). Аналитически по проекциям на оси координат:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

б)
Рис. 1.13

Модуль и направление равнодействующей определяются формулами:

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415



Теорема о трех силах

Если твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил, лежащих в одной плоскости, то линии действия этих сил пересекаются в одной точке.
Доказательство:
Т.к. силы непараллельные, то 13 EMBED Equation.3 1415 (рис.1.14)
По условию 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
· 0 и сила 13 EMBED Equation.3 1415 проходит через точку С.
Теорема доказана. Рис. 1.14
Пример: Твердое тело находится в равновесии под действием трех непараллельных сил (рис.1.15а). Дано: Р, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 Найти: 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б)
Рис. 1.15

По теореме о трех силах линии действия сил пересекаются в одной точке – точке С. Из силового треугольника (рис.1.15б): 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 следовательно: 13 EMBED Equation.3 1415.

Условия равновесия системы сходящихся сил

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный на этих силах, был замкнут (условие равновесия в геометрической форме).
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно равенство нулю алгебраических сумм проекций всех сил данной системы на каждую из координатных осей (условие равновесия в аналитической форме).
Доказательство:
Из теоремы о существовании равнодействующей условие равновесия эквивалентно равенству 13 EMBED Equation.3 1415, т.е.: Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0 или
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Условие доказано.
Эти условия позволяют определять неизвестные величины, в частности, реакции связей. Число неизвестных для произвольно расположенной в пространстве системы сходящихся сил не должно превышать трех.
Для плоской системы сходящихся сил количество независимых условий (или уравнений) равновесия равно двум:





Задача статики о равновесии называется статистически определимой, если количество неизвестных не превышает количества уравнений. Иначе задача статистически неопределима и методами статики не решается.

1.5. Момент силы относительно центра (точки)
Действие силы на твердое тело, закрепленное в одной точке, заключается в стремлении повернуть его вокруг точки закрепления. Для характеристики вращательного действия силы вводится понятие момента силы относительно центра (или точки).
Моментом силы относительно центра называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы (рис.1.16а).
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
а) б)
Рис.1.16
Вектор момента направлен перпендикулярно плоскости, в которой лежат сила и точка, и направлен в ту сторону, откуда поворот от действия силы виден происходящим против хода часовой стрелки (рис. 1.16б).
Вектор момента характеризует положение плоскости и направление вращательного действия силы, а также дает меру этого действия:
13 EMBED Equation.3 1415, где
h – плечо силы (кратчайшее расстояние от центра до линии действия силы). Если сила проходит через точку, то ее момент относительно этой точки равен нулю.
Теорема Вариньона
Если система сил имеет равнодействующую, то ее момент относительно любого центра (или оси) равен сумме моментов всех сил системы относительно того же центра (или оси).
Доказательство:
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415 где
О1 – точка на линии действия равнодействующей (рис. 1.17). Как было доказано:
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415,
Рис. 1.17 но 13 EMBED Equation.3 1415 следовательно,





В проекции на ось, проходящую через центр О,
Теорема доказана.






Лемма Пуансо


Не изменяя действия силы на твердое тело, ее можно переносить параллельно самой себе в любую точку тела, добавляя при этом пару, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения.
Доказательство:
К телу в точке А приложена сила 13 EMBED Equation.3 1415 Добавим в точке В уравновешенную систему сил (рис. 1.18):
Рис. 1.18 13 EMBED Equation.3 1415
· 0, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
· 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 – пара сил с моментом
13 EMBED Equation.3 1415 Лемма доказана.

1.6. Алгебраический момент силы относительно точки
Если силы расположены в одной плоскости, то используется понятие алгебраического момента силы. Алгебраическим моментом силы относительно центра называется взятое со знаком плюс или минус произведение модуля силы на плечо. Знак плюс выбирается в том случае, если сила стремится поворачивать плоскость относительно центра против хода часовой стрелки (рис.1.19):
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

Рис. 1.19
Для характеристики вращательного действия силы на тело, закрепленное на оси, служит момент силы относительно оси – алгебраическая величина, равная проекции вектора момента силы относительно произвольной точки оси на эту ось (рис. 1.20):




Рис. 1.20

1.7. Главный вектор и главный момент системы сил

Главным вектором 13 EMBED Equation.3 1415 системы сил называется геометрическая сумма всех сил системы: 13 EMBED Equation.3 1415, или в проекциях
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.13 EMBED Equation.3 1415
Главным моментом 13 EMBED Equation.3 1415 системы сил относительно данного центра называется сумма моментов всех сил системы относительно этого центра:
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.

Главный момент определяется своими проекциями на оси координат:
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
или с учетом определения момента силы относительно оси:

13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415


1.8. Приведение произвольной плоской системы сил к центру.

Плоская система сил – это такая система, все силы которой лежат в одной плоскости.
В этом случае в результате приведения получаем силу и пару, лежащие в одной плоскости. Главный вектор плоской системы сил определяется его проекциями на две координатные оси, а главный момент является скаляром и находится как алгебраическая сумма моментов всех сил системы относительно выбранного центра приведения.
Теорема
Произвольную систему сил, действующую на твердое тело, можно заменить эквивалентной системой, состоящей из силы и пары сил. Сила равна главному вектору системы сил и приложена в произвольно выбранной точке (центре приведения), момент пары равен главному моменту системы сил относительно этой точки.
Доказательство:
Точка О – центр приведения (рис. 1.21а).
По лемме Пуансо перенесем силу 13 EMBED Equation.3 1415 в точку О (рис.1.21а): 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично перенесем все остальные силы (рис. 1.21б) : В результате получим систему
сходящихся сил и систему пар сил. По теореме
о существовании равнодействующей системы
а) сходящихся сил их можно заменить одной
силой 13 EMBED Equation.3 1415, равной главному

вектору. Систему пар можно заменить одной
парой, момент которой равен главному
моменту

13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
б)
Рис.1.21



Условия равновесия произвольной плоской системы сил
Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент системы равнялись нулю:





Условия равновесия плоской системы сил могут быть записаны в следующих эквивалентных формах:






(отрезок АВ не перпендикулярен оси Ох);



(точки А, В, С не лежат на одной прямой).
Задача. Дано: схемы закрепления бруса (рис.1.22, а, б, в); Р = 5 кН; М = 8 кН·м; q = 1,2 кН/м.
Определить реакции опор для того способа закрепления при котором момент МА в заделке имеет наименьшее числовое значение.
Решение.
Рассмотрим систему сил приложенных к конструкции. Действие связей на конструкцию заменяем их реакциями (рис. 1.23): в схеме а – ХА , YА , МА, в схеме б – Y'A , M'A и RB , в схеме в - М''А , ХВ и YВ, равномерно распределенную нагрузку интенсивностью q заменяем равнодействующей
Q = q · 2 = 2.4 кН.
Чтобы выяснить, в каком случае момент в заделке является наименьшим, найдем его для всех трех схем, не определяя пока остальных реакций (рис. 1.23).
Для схемы а
13 EMBED Equation.3 1415
Вычисления дают
МА = 11,07 кН·м
Для схемы б
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Для схемы в
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415

























Рис. 1.22 Рис. 1.23

Здесь
BD = BE + ED = 13 EMBED Equation.3 1415 м
Таким образом, наименьший момент в заделке получается при закреплении бруса по схеме б. Определим остальные опорные реакции для этой схемы:
13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 откуда 13 EMBED Equation.3 1415




РАЗДЕЛ 2. СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

2.1. Основные понятия и задачи курса сопротивления материалов

Способность тел менять свою форму и размеры под действием внешних сил называется деформацией. Если после удаления внешних сил форма и размеры тела восстанавливаются, то деформацию называют упругой, в противном случае – остаточной (пластичной). В дальнейшем будем изучать только упругие деформации тел.
Тело, двумя размерами которого можно пренебречь по отношению к третьему, называют брусом (рис. 2.1). Ось бруса - геометрическое место точек, являющихся центром тяжести поперечных сечений. Брусья, имеющие поперечные сечения одинаковой формы и размера, называют стержнями.
Оболочка - это тело, одним размером которого можно пренебречь по сравнению с двумя другими (рис. 2.2). Другими словами, это тело, ограниченное двумя одинаковыми поверхностями, расположенными близко друг к другу. Оболочка, образованная двумя плоскостями, называется пластиной. Расстояние между плоскостями называют толщиной пластины.
Тело, для которого все три размера соизмеримы, называют массивом.
В курсах сопротивления материалов изучают три основные задачи.
1. Задача прочности: изложение методов расчета элементов конструкций и деталей машин на прочность.
Прочность - способность материалов сопротивляться разрушению под действием внешних сил (нагрузок).
2. Задача жесткости: изложение методов расчета элементов конструкций и деталей машин на жесткость.
Жесткость - способность материалов сопротивляться деформации под действием внешних сил.
3. Задача устойчивости: изложение методов расчета элементов конструкций и деталей машин на устойчивость.
Устойчивость - способность материалов сохранять первоначальную форму равновесия под действием внешних сил (рис. 2.3).
Кроме того, изготовление и эксплуатация конструкций и деталей должны быть экономически выгодными и экологичными.

2.2. Основные допущения в курсе сопротивления материалов

Гипотеза сплошности. Материал, из которого состоит тело, сплошь заполняет его физический объём.
Гипотеза однородности. Свойства материалов во всех точках тела одинаковы.
3 Гипотеза изотропности. Свойства материалов в любом направлении одинаковы.
4. Гипотеза о малости деформации. Величина деформации упругого тела много меньше его размеров.
5. Гипотеза упругости. Материалы подчиняются закону Гука.
6. Гипотеза независимости действия сил. Результат действия внешних сил на упругое тело не зависит от порядка приложения этих сил.
7. Гипотеза Сен-Венана. В точках, достаточно удаленных от места контакта упругих тел, характеристики деформации упругого тела не зависят от способа взаимодействия.
8. Гипотеза Бернулли. Плоские и нормальные сечения в результате деформации тела остаются плоскими и нормальными сечениями.

2.3. Основные понятия

Силы могут быть объёмными и поверхностными, сосредоточенными и распределенными, статическими и динамическими.
В свою очередь, динамические силы можно делить на ударные (за бесконечно малые промежутки времени вызывают изменение скорости на конечную величину) и переменные.
Изменение линейных размеров под действием внешних сил называется линейной деформацией, а изменение угловых размеров под действием внешних сил называется угловой деформацией. Будем обозначать:
(S ((b) - абсолютную линейную деформацию (рис. 2.4),
13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415) - относительную линейную деформацию, ( - угол сдвига.
Под перемещением точки упругого тела в результате деформации понимается её перемещение по отношению к неподвижному пространству.



2.4. Метод сечений для определения внутренних сил
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Для определения внутренних сил (усилий) при нагружении бруса внешними силами (нагрузкой) используют метод сечений. Для этого проводят плоскость, нормальную к оси бруса поперечного сечения, в котором желают определить внутренние силы (рис. 2.5). Затем отбрасывают одну из частей, например правую (рис. 2.6), и действие отброшенной части заменяют силами. Поскольку эти силы распределены по всему сечению, то их приводят к центру тяжести сечения. При этом главный вектор и главный момент внутренних сил удобно разложить по координатным осям Oхуz, как показано на рис. 2.6.
Внутренние силовые факторы и виды деформации Таблица 1
N
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Mz
Вид деформации

(0
0
0
0
0
(0
0
0
0
0
(0
0
0
0
0
(0
Растяжение (сжатие)
Сдвиг
Изгиб
Кручение

По величине и направлению этих векторов можно судить о деформации бруса. В табл. 1 рассмотрены частные случаи приведения внутренних сил к простейшему виду.
Остальные случаи приведения относят к сложным видам сопротивления.

2.5. Напряженное состояние в точке

Рассмотрим некоторое сечение бруса (рис.2.7). Выделим элементарную площадку вокруг точки А сечения площадью (F. Обозначим равнодействующую внутренних сил, действующих на эту площадку, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда вектор:
13 EMBED Equation.3 1415 (1.1)
будем называть полным напряжением в точке А.
Составляющая полного напряжения, перпендикулярная сечению 13 EMBED Equation.3 1415, называется нормальным напряжением в точке А, а составляющая 13 EMBED Equation.3 1415, расположенная в сечении, - касательным напряжением в точке А.
Если известны все напряжения на трёх любых взаимно перпендикулярных площадках в точке, то говорят, что задано напряженное состояние в точке (рис. 2.8).
Если на площадке действуют только нормальные напряжения, то их называют главными напряжениями. Принято обозначать главные напряжения индексами 1, 2, 3 в порядке их убывания в алгебраическом смысле. Например, пусть главные напряжения равны 10 МПа, 12 МПа и -50 МПа, тогда (1 = 12 МПа, (2 = 10 МПа и (3 = -50 МПа.
Площадки, на которые действуют главные напряжения, называют главными.
Если на одну из площадок действует нормальное напряжение, а на двух других напряжение равно нулю, то напряженное состояние называют линейным или одноосным.
Если только на одной из трёх главных площадок напряжение равно нулю, то напряженное состояние называют плоским или двухосным.
Если же на всех трёх главных площадках напряжение не равно нулю, напряженное состояние называется объемным или трёхосным.
Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали или элемента конструкции по известному напряженному состоянию, т.е. по известным главным напряжениям в точках тела. При простых видах деформации, особенно одноосных, эта задача решается следующим образом.
Все величины, заключенные в квадратные скобки ([а]), будем называть допускаемыми величинами а. Ограничения на величину напряжения определяют условия прочности.
Так, например, условия прочности по нормальным и касательным напряжениям формулируются следующим образом:
(max ( [(], (1.2)
т.е. для обеспечения прочности материалы детали при одноосном напряженном состоянии необходимо, чтобы наибольшее нормальное напряжение не превосходило допускаемого нормального напряжении для данного материала.
(max ( [(], (1.3)
т.е. для обеспечения прочности материала детали необходимо, чтобы наибольшее касательное напряжение не превышало допускаемое касательное напряжение.
2.6. Растяжение-сжатие прямолинейного бруса

Пусть ступенчатый стержень поперечного сечения А1 = А и А2 = 2А загружен силами Р1 = 2Р, Р2 = ЗР, Р3 = 5Р, Р4 = 2Р; L1 = L2 = L, L3 = 2L и L4 = 3L (рис. 2.9).
Для определения усилий применим метод сечений. Проведем последовательно сечения 1-1, 2-2, 3-3 и 4-4, отбрасывая каждый раз верхнюю часть стержня, считая что в рассматриваемом сечении стержень растянут, т.е. продольные силы направлены вверх. Составим уравнения проекций сил на ось z. Получим (рис. 2.10):
( Pz ( P4 – N1 = 0, (2.1)
( Pz ( P4 – P3 – N2 = 0, (2.2)
( Pz ( P4 – P3 + P2 – N3 = 0, (2.3)
( Pz ( P4 – P3 + P2 + P1 – N4 = 0. (2.4)
(2.1) ( N1 = P4 = 2P,
(2.2) ( N2 = P4 – P3 = -3P,
(2.3) ( N3 = P4 – P3 + P2 = 0,
(2.4) ( N4 = P4 – P3 + P2 + P1 = 2P.
Таким образом, сечения приложения внешних сил делят стержень на участки, внутренние силы на которых постоянны.
Определим напряжение в сечениях стержня. Если растянуть образец упругого стержня, на поверхности которого нанесена сетка, то можно отметить следующее (рис. 2.11):
1. Горизонтальные линии остаются горизонтальными.
2. Вертикальные линии остаются вертикальные, за исключением небольших окрестностей, в которых закреплен стержень и приложена растягивающая сила.
3. Ячейки сетки увеличиваются в вертикальном направлении и сужаются в горизонтальном.
Это позволяет утверждать, что выполняется гипотеза Бернулли и напряжения могут быть только нормальными и постоянными. Усилие и напряжение связаны формулой 13 EMBED Equation.3 1415, и, следовательно:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.5)
Нормальное напряжение при растяжении (сжатии) равно отношению продольной силы к площади поперечного сечения.
Определим нормальные напряжения для рис. 2.10, используя (2.5):
13 EMBED Equation.3 1415 4L ( z ( 7L, (2.6)
13 EMBED Equation.3 1415 2L ( z ( 4L, (2.7)
13 EMBED Equation.3 1415 L ( z ( 2L, (2.8)
13 EMBED Equation.3 1415 0 ( z ( L. (2.9)
Определим деформацию стержня и перемещения его сечений. Для этого воспользуемся законом Гука:
( = Е(, (2.10)
13 EMBED Equation.3 1415 (2.11)
Здесь Е - коэффициент пропорциональности, модуль упругости первого рода (модуль Юнга);
( - относительная деформация;
(L - абсолютная деформация участка стержня длиной L.
Учитывая формулы (2.10) и (2.11), получаем величину абсолютной деформации стержня постоянного сечения А, длины L под действием силы 13 EMBED Equation.3 1415:

13 EMBED Equation.3 1415.
(2.12)

Если стержень имеет несколько участков нагружения, то его полная деформация определяется формулой:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.13)
т.е. в пределах одного и того же участка все физические величины должны быть постоянными. Для нашего примера (L = (L1 + (L2 + (L3 + (L4,

где 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом, 13 EMBED Equation.3 1415
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Для наглядности обычно строят эпюры искомых физических величин. Эпюра – это график, демонстрирующий изменение какой-либо физической величины вдоль какого-нибудь направления. Эпюры N – продольных сил, ( – нормальных напряжений и ( – перемещений для нашего примера показаны на рис. 2.12. При непрерывном изменении физических величин обычно переходят к интегралам:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.14)
Если стержень имеет постоянное поперечное сечение и состоит из одного материала, то формулу (2.14) можно записать так:
13 EMBED Equation.3 1415 (2.15)
где произведение EА называют жесткостью бруса при растяжении - сжатии.
Наблюдения показывают, что при растяжении стержней их поперечные сечения уменьшаются, т.е. они «сужаются», и, наоборот, при сжатии «расширяются». Обозначим через (( относительную поперечную деформацию. Тогда между продольной и поперечной деформацией существует линейная зависимость:
(( = -((. (2.16)
Здесь ( – коэффициент Пуассона (поперечной деформации), характеризующий способность материала деформироваться в поперечном направлении. Как видно из формулы (2.16), коэффициент Пуассона безразмерный и может принимать значения в диапазоне:
0 ( ( ( 0,5.
Деформации, соответствующие растяжению, принято считать положительными, а сжатию – отрицательными.
Кроме модуля упругости первого рода E и коэффициента Пуассона ( механические свойства материала при деформации сдвига характеризуются модулем упругости второго рода (модулем сдвига) G.
Опытное изучение свойств материалов рекомендуется изучить по учебнику, где рассматривается вопрос о выборе допускаемых напряжений и коэффициенте запаса прочности.
При решении задач обычно механические характеристики материалов задаются. Если марка материала известна, то механические характеристики можно найти в справочниках. Для некоторых материалов можно воспользоваться табл. 2.
Таблица 2
Материал
E
МПа
G
МПа
(


Сталь
Чугун
Медь
Алюминий
2 ( 105
1,2 ( 105
1 ( 105
0,7 ( 105
0,8 ( 105
0,5 ( 105
0,35 ( 105
0,3 ( 105
0,3
0,25
0,33
0,34



2.7. Три задачи на растяжение (сжатие) стержней

Из условия прочности на растяжение (сжатие)
13 EMBED Equation.3 1415
можно решить три основных задачи, если искомые величины выражаются через один параметр.
1. Проверка прочности. Заданы внешние силы, размеры поперечных сечений, материал. Расчетные напряжения не могут отклоняться от допускаемых больше чем на (5%.
2. Подбор поперечных сечений. Заданы нагрузка, допускаемые напряжения, требуется подобрать размеры, обеспечивающие прочность стержня.
13 EMBED Equation.3 1415
Подбор нагрузки. Nmax = А[(], т.е. известны поперечные размеры и допускаемое напряжение, требуется подобрать нагрузку.

2.8. Сдвиг

Сдвигом называют деформацию, представляющую собой искажение первоначального прямого угла малого элемента бруса (рис.2.13) под действием касательных напряжений 13 EMBED Equation.3 1415. Развитие этой деформации приводит к разрушению, называемому срезом или, применительно к древесине, скалыванием.
Деформация сдвига оценивается взаимным смещением 13 EMBED Equation.3 1415(рис. 2.14) граней 1 – 1 и 2 – 2 малого элемента (рис.3.2), называемым абсолютным сдвигом и более полно – относительным сдвигом 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, (3.1)
являющимся безразмерной величиной.
В предположении равномерного распределения касательных напряжений по сечению площадью А, они определяются по формуле
13 EMBED Equation.3 1415, (3.2)
где 13 EMBED Equation.3 1415 - поперечная сила в данном сечении.
В пределах упругости касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу
13 EMBED Equation.3 1415 (3.3)13 EMBED Equation.3 1415
- это закон Гука при сдвиге; 13 EMBED Equation.3 1415- модуль сдвига, Н/м2, характеризует жесткость материала при сдвиге.
Модуль сдвига 13 EMBED Equation.3 1415, модуль упругости Е и коэффициент Пуассона 13 EMBED Equation.3 1415 материала связаны зависимостью
13 EMBED Equation.3 1415.
Удельная потенциальная энергия деформации сдвига равна
13 EMBED Equation.3 1415 .
На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений.
Значения G, МПа, для некоторых материалов:
Чугун ...................................................... 4,5 104
Сталь ...................................................... 8,1 104
Медь.......................................................(4,0...4,9)-104
Латунь .................................................... (3,5...3,7)-104
Алюминий ............................................ (2,6...2,7)-104
Дерево .................................................... 0,055 104

Исследование деформации чистого сдвига имеет важное значение для теоретических построений, связанных с рассмотрением кручения, изгиба и других более сложных случаев деформации стержней. Практические же применения теории чистого сдвига связаны с рядом условностей, так как в элементах конструкций мы не имеем этой деформации в чистом виде. Как один из примеров такого применения названной теории, приведем расчет заклепочных и болтовых соединений.
Для обеспечения прочности деталей, подвергающихся деформации сдвига, необходимо, чтобы возникающие в них рабочие напряжения не превышали допустимых значений. Расчетное уравнение на прочность имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Данное условие позволяет выполнять все виды расчетов проектный, проверочный и определение допускаемых нагрузок. При этих расчетах допускаемые напряжения для пластических материалов принимают в зависимости от предела текучести
[
·] = (0,25 ... 0,35)
·т.
В том случае, когда сдвигу одновременно подвергается несколько одинаковых деталей (например, заклепки или болты), то используется предположение, согласно которому считается, что все эти детали нагружены равномерно и действующая нагрузка на каждую деталь определяется отношением общей нагрузки к числу деталей.
Срезом называется деформация сдвига, доведенная до разрушения материала.
При расчетах, связанных с определением сил для выполнения технологической операции среза при обработке материала, учитывают фактическую площадь и напряжение, при котором происходит срез. Расчетное уравнение среза имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415
Пример 1. Дисковая муфта (рис. 2.15), соединяющая валы двигателя и рабочей машины передает вращающий момент М = 800 Н·м, распределяя усилия на шесть пальцев каждый диаметром d = 12 мм. Окружность, проходящая через центры пальцев, имеет диаметр D=180 мм. Определить касательное напряжение, возникающее при этом в материале муфты и наибольший момент, при котором произойдет срез пальцев, если напряжение среза
·ср = 200 Н/мм2.
Решение. Площадь поперечного сечения всех пальцев
Аср = 13 EMBED Equation.3 1415= 678,24 мм2.
Усилие, передающееся на все пальцы,
Р =13 EMBED Equation.3 1415= 8888 Н.
Напряжение в материале пальцев

· =13 EMBED Equation.3 1415= 13 Н/мм2.
Срезающее усилие
Рп =
·ср Аср = 200·678,24 = 135648 Н.
Момент, вызывающий срез пальцев,
Мср = РпR = 135648·0,09 = 12208 Н·м
· 12,2 кН·м.
Пример 2. Призматическая шпонка (рис. 2.16) соединяет вал со шкивом, передающим крутящий момент М = 1,3 кН·м. Диаметр вала d = 60 мм. Определить минимальную ширину шпонки, если допускаемое напряжение среза [
·] = 55 Н/мм2, если длина шпонки l = 65 мм.
Решение.Окружное усилие на поверхности вала
Р = 13 EMBED Equation.3 1415= 43332 Н.
При передаче крутящего момента возникает опасность среза шпонки по площади продольного сечения, определяемого размерами b и l. Условие прочности на срез

·=13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда необходимая ширина шпонки
b =13 EMBED Equation.3 1415мм.

Пример 3. Шатун механизма поршневого компрессора (рис.2.17) создает максимальную силу давления на ползун Р = 30 кН. Считая допускаемое напряжение среза [
·] = 60 Н/мм2, определить диаметр пальца d, который обеспечивает шарнирное соединение ползуна с шатуном.
Решение.Площадь среза, в которой действует усилие:
А = 13 EMBED Equation.3 1415 мм2
Так как усилие среза передается на две плоскости, то площадь поперечного сечения пальца
А1 = 13 EMBED Equation.3 1415250 мм2
Диаметр пальца
d =13 EMBED Equation.3 1415
· 18 мм.
Пример 4. В стальном листе толщиной
· = 6 мм (рис. 2.18) требует пробить отверстие диаметром d = 12 мм. Напряжение среза
·ср = 190 Н/мм2. Определить усилие, необходимое для выполнения этой работы.
Решение. Для пробивания указанного отверстия необходимо произвести срез материала на площади
Аср =
· d
· = 3,14 ·12·6 = 226 мм2.
Сила, необходимая для выполнения среза:
Рп =
·ср Аср = 190·226 = 42960 Н
· 43 кН.

Расчет заклепочного соединения.


На рис. 2.19 показано соединение двух листов заклепками (соединение внахлест), которое разрушается в результате перерезывания заклепок по линии
соприкосновения листов. Если разрушение каждой заклепки происходит по одной плоскости среза, то заклепочное соединение называется односрезным, если по
двум плоскостям, то соединение называется двухсрезным и т.д.
Для упрощения задачи принимаем, что по плоскостям среза действуют только касательные напряжения, которые распределяются по поверхности среза равномерно, а также что при действии статической нагрузки можно принять поперечную силу в каждой заклепке равной
13 EMBED Equation.3 1415
где Р сила, действующая на соединение; п число заклепок. Условие прочности заклепок на срез:
13 EMBED Equation.3 1415,
где А = nd2/4 - площадь поперечного сечения заклепки диаметром d, 13 EMBED Equation.3 1415 допускаемое касательное напряжение.
При двухсрезном или многосрезном заклепочном соединении вместо п в формулу следует подставлять общее число срезов заклепок, расположенных по одну сторону стыка.
Заклепочные соединения рассчитывают также на смятие. Проверяют напряжения смятия по площади соприкосновения соединяемых листов и заклепок. Для приближенного расчета истинная эпюра распределения сжимающих напряжений смятия заменяется приближенной равномерной эпюрой. (рис. 3.8). Площадь смятия одной заклепки принимают равной АCM = dt, где t толщина соединяемых листов. Условие прочности на смятие имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 допускаемое напряжение на смятие. В случае склепывания внахлест двух листов различной толщины принимают t = tmin.
Условие прочности листа на разрыв: 13 EMBED Equation.3 1415,
где A1 площадь сечения листа по ряду заклепок в направлении, перпендикулярном линии действия силы Р; п1 число заклепок в этом сечении; b ширина листа (см. рис. 2.19).

Пример 5. Обосновать соотношение между диаметром d и высотой головки h болта (рис. 2.20), если 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. Срез головки болта происходит по цилиндрической поверхности 13 EMBED Equation.3 1415. Условие прочности на срез имеет вид:
13 EMBED Equation.3 1415.


Условие прочности на растяжение стержня:
13 EMBED Equation.3 1415.
Предельное отношение касательных и нормальных напряжений определяет искомое соотношение между высотой головки болта и его диаметром:
13 EMBED Equation.3 1415

На практике чаще всего теория сдвига применяется к расчету болтов, заклепок, шпонок, сварных швов и других элементов соединений.

2.9. Кручение валов круглого сечения

Кручение – вид деформации бруса, при которой в плоскостях поперечных сечений возникают пары сил. Брус, вращающийся вокруг своей оси и передающий крутящие моменты, называют валом.
Для изображения вала, загруженного вращающими моментами, используют различные графические приёмы. Пример бруса, испытывающего деформацию кручения, приведен на рис. 2.21. В дальнейшем будем использовать схему на рис. 2.21.
Для определения внутренних сил (усилий) вдоль оси вала надо провести поперечные сечения на всех участках с постоянной внешней нагрузкой, отбросить часть балки справа и составить уравнение равновесия оставшейся части, предполагая, что в рассматриваемом сечении крутящий момент Мк положительный (будем считать крутящий момент положительным, если результирующий момент внешних сил, расположенных слева, - отрицательный, т.е. результирующая пара стремится повернуть вал по ходу вращения часовой стрелки):
I-I на участке 0 ( z < L, (Mz = 0, Мк(1) = 0;
II-II на участке L ( z < 3L, (Mz = 0, 3М + + Мк(2) = 0 ( Мк(2) = -3М;
III-III на участке 3L ( z < 6L, (Mz = 0, 3М – – 5М + Мк(3) = 0 ( Мк(3) = 2М;
IV-IV на участке 6L ( z < 7L, (Mz = 0,
3М – 5М + 2М + Мк(4) = 0 ( Мк(4) = 0.
Строим эпюру крутящих моментов (Мк, рис. 2.22)

Эксперимент с эластичным стержнем круглого сечения и прямоугольной сеткой на поверхности (рис. 2.23) показывает, что поперечные линии остаются прямыми и поперечными, а продольные поворачиваются на один и тот же угол (рис. 2.24). Расстояния между поперечными линиями не изменяются.
Из эксперимента видно, что в поперечных сечениях возникают касательные напряжения, а нормальные напряжения отсутствуют. Таким образом, крутящий момент можно представить как сумму моментов внутренних сил, действующих на элементарные площадки поперечного сечения относительно оси вращения:
13 EMBED Equation.3 1415, (5.1)
где r – расстояние от элементарной площадки до оси вращения вала (рис. 2.25).
Рассмотрим деформацию кручения фрагмента стержня длиной dz (рис. 2.26). Волокно АВ расположено на поверхности вала, т.е. на расстоянии R от оси вала. Волокно ab – внутри вала на расстоянии r от его оси.
Длина дуги ВВ( определяется углом взаимного закручивания крайних сечений фрагмента d( и радиусом вала R. Угол поворота волокон ( (угол сдвига) определяется формулой:
13 EMBED Equation.3 1415 (5.2)
для любого волокна, а для волокна на поверхности:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.3)

Воспользуемся законом Гука при кручении:
( = G(, (5.4)
где G – модуль упругости второго рода. Подставим в (5.1) формулы (5.4) и (5.2):

13 EMBED Equation.3 1415,
таким образом,
13 EMBED Equation.3 1415. (5.5)
Произведение модуля упругости второго рода на полярный момент называется жесткостью при кручении. Подставим в (5.4) (5.2) с учетом (5.5):
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415, (5.6)
таким образом, касательное напряжение пропорционально крутящему моменту и расстоянию до оси вращения и обратно пропорционально полярному моменту инерции сечения. Максимальные касательные напряжения

достигаются на поверхности валов и равны (рис. 2.27):
13 EMBED Equation.3 1415. (5.7)
Построим эпюру наибольших касательных напряжений для рис. 2.22: момент сопротивления сечения равен 13 EMBED Equation.3 1415, обозначим 13 EMBED Equation.3 1415; тогда на участке I-I (max = 0, на участке II-II (max = -3(, на участке III-III (max = 2(, на участке IV-IV (max = 0.
Напряженное состояние при кручении неоднородное. В трубчатых тонкостенных валах можно наблюдать почти однородное напряженное состояние.
Когда крутящий момент создается силами, приложенными не к оси вала, но в поперечном сечении, надо предварительно вычислить вращающий момент.

2.10. Условия прочности по касательным напряжениям

13 EMBED Equation.3 1415. (5.8)
Условия прочности (5.8) позволяет решить следующие задачи:
1. Проверка прочности.
2. Подбор поперечных размеров: для круглого сечения 13 EMBED Equation.3 1415, используя (5.8), получаем формулу для вычисления диаметра вала на условия прочности:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.9)
3. Подбор внешней нагрузки.

2.11. Деформации и перемещения при кручении валов

Используем формулу (5.5) 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415. Окончательно получаем
13 EMBED Equation.3 1415. (5.10)
Если подынтегральное выражение постоянное, z – z0 = L, а ((z0) = 0, то (5.10) можно переписать в виде:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.11)
Таким образом, угол закручивания участка вала длиной L и жесткости GIO под действием постоянного крутящего момента пропорционален этому моменту и длине участка и обратно пропорционален жесткости вала.
Для вала с кусочно-постоянными жесткостью и крутящим моментом используется формула:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.12)
Построим эпюру углов взаимного закручивания для примера на рис. 2.22, используя последовательно формулу (5.11): момент инерции сечения 13 EMBED Equation.3 1415, введем обозначение 13 EMBED Equation.3 1415; тогда в конце участка I-I ((L) = 0, в конце участка II-II ((3L) = -6(, в конце участка III-III ((6L) = 0, в конце участка IV-IV ((7L) = 0.
Эпюры углов взаимного закручивания ( можно построить с точностью до неподвижного сечения, полагая неподвижным любое сечение вращающегося вала.

Угол относительного закручивания участка вала длины L 13 EMBED Equation.3 1415 . Для вала постоянной жесткости, но с кусочно-постоянным крутящим моментом максимальный угол относительного закручивания равен:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.13)
Условие жесткости при кручении принимает вид:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.14)
Формула (5.14) позволяет решать три задачи:
1. Проверку жесткости вала.
2. Подбор поперечных размеров: [(] = 0,5 град/м (0,00873 рад/м). Учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, получим формулу для вычисления диаметра вала:
13 EMBED Equation.3 1415. (5.15)
3. Подбор внешней нагрузки.
Если размеры вала следует выбрать одновременно из условий прочности и жесткости, то поступают следующим образом: по формулам (5.9) и (5.15) подбирают нужные диаметры, а из двух возможных оставляют тот, который удовлетворяет обоим условиям, т.е. больший.

2.12. Плоский поперечный изгиб

Изгиб - деформация бруса, при которой изменяется первоначальная форма его оси. Изгиб может быть пространственным и плоским. Если силы расположены в плоскостях, перпендикулярных оси бруса, но не в одной плоскости, то изгиб называют пространственным. Если все силы расположены в одной плоскости, перпендикулярной оси, проходящей через одну из главных осей поперечного сечения, то изгиб называют поперечным плоским. Если плоскость, в которой расположены силы, не проходит ни через одну из осей поперечного сечения, то изгиб называют косым. Если во всех поперечных сечениях внутренние силы приводятся только к изгибающему моменту, то изгиб называют чистым. Брус, испытывающий деформацию изгиба, называется балкой.
План решения задач расчёта на прочность по нормальным напряжениям:
Изображается схема балки со всеми действующими силами.
Определяются реакции опор балки.
Строится эпюра поперечных сил.
Строится эпюра изгибающих моментов.
По эпюре изгибающего момента определяется опасное сечение (сечение с наибольшим изгибающим моментом).
В опасном сечении определяется опасная точка (точка с нормальным наибольшим напряжением).
7. Используя условие прочности при изгибе, решают задачу прочности.
2.13. Определение поперечных сил и изгибающих моментов в сечении балки

Рассмотрим балку на двух опорах, загруженную силами (рис. 2.28). Как мы увидим в дальнейшем, для построения эпюр достаточно определить реакцию на одной из опор.
Обозначим координатную ось, параллельную оси балки, буквой z, начало её выберем на левом конце балки.
Координаты сечений, в которых приложены внешние пары сил, обозначим буквами а, сечений приложения сосредоточенных - b, а сечений сил, в которых изменяется распределенная нагрузка, - с. Определим величину и знаки поперечной силы и изгибающего момента в сечении z (рис. 2.29):
1. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (6.1)
2. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,

13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415 (6.2)
Следовательно, 1) поперечная сила Q в любом поперечном сечении балки равна алгебраической сумме проекций внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения;
2) изгибающий момент Мх в поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, расположенных по одну сторону сечения, относительно центра тяжести С рассматриваемого сечения.
Будем считать поперечную силу положительной, если результирующая сил, расположенных слева от сечения, направлена вверх. Изгибающий момент будем считать положительным, если результирующий момент внешних сил, расположенных слева от сечения, стремится повернуть отсеченную часть балки по ходу часовой стрелки. При определении знаков по внешним силам, расположенным справа от сечения, правило знаков прямо противоположное.
Иными словами, изгибающий момент следует считать положительным, если выпуклость изогнутой оси в сечении направлена вниз (рис. 2.30).

2.14. Дифференциальная зависимость между интенсивностью распределенной нагрузки, изгибающим моментом и поперечной силой

Рассмотрим два бесконечно близких сечения z и z + dz (рис. 2.31).
Q(z) = A – qz, Q(z + dz) = A + q(z + dz).
Вычтем почленно из второго равенства первое и, учитывая, что Q(z + dz) – Q(z) = dQ, получим dQ = qdz, или
13 EMBED Equation.3 1415. (6.3)
Соответственно
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычитая почленно из второго равенства первое, пренебрегая бесконечно малыми величинами второго порядка малости, получим dM = Adz – qzdz, или
13 EMBED Equation.3 1415. (6.4)
Итак,
производная поперечной силы по координате сечения равна интенсивности распределенной нагрузки в данном сечении;
производная изгибающего момента по координате сечения равна поперечной силе в данном сечении;
вторая производная изгибающего момента по координате сечения равна интенсивности распределенной нагрузки в данном сечении.
Эти зависимости будем в дальнейшем использовать для построения эпюр Q (поперечных сил) и М (изгибающих моментов).

2.15. Построение эпюр для балок, загруженных стандартной нагрузкой

Рассмотрим балку на двух опорах, загруженную парой сил с моментом М в сечении z = a (рис. 2.32). Определим реакцию левой опоры:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
В любом сечении между опорами слева действует только сила 13 EMBED Equation.3 1415. Отсюда
13 EMBED Equation.3 1415. (6.5)
Следовательно, реакция опоры B равна 13 EMBED Equation.3 1415. Для построения эпюры М составим уравнение моментов для сечений слева и справа от z = a:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (6.6)
Очевидно, что формулы (6.5) и (6.6) можно получить геометрическим способом, используя формулы (6.3) и (6.4):
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415.
Геометрический смысл интегралов – площадь соответствующих эпюр, а значения функций Q(z) и M(z) в начале координат соответственно равны 13 EMBED Equation.3 1415 и 0.

Следующие два примера балок, загруженных сосредоточенной силой 13 EMBED Equation.3 1415 и равномерно распределенной нагрузкой постоянной интенсивности q (рис. 2.33 и 2.34).
Для построения эпюр для балок прежде всего составляем уравнение моментов: 13 EMBED Equation.3 1415 и определяем реакции левых опор: 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 2.33), 13 EMBED Equation.3 1415 (см. рис. 2.34).
В первом случае 13 EMBED Equation.3 1415, во втором 13 EMBED Equation.3 1415. Поперечные силы равны
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. (6.7)

Изгибающие моменты равны
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. (6.8)

Эпюры, соответствующие зависимостям (6.7) и (6.8), приведены на рис. 2.33 и 2.34.
Следует отметить, что величину и направление реакции в точке B можно определить построив эпюру Q. На рис. 2.33 и 2.34 реакции в точке B направлены вверх и равны 13 EMBED Equation.3 1415 в первом случае, 13 EMBED Equation.3 1415 – во втором.


Рассмотрим еще три примера стандартной нагрузки на консольные балки (рис. 2.35-2.37). В этих примерах эпюры можно строить, не определяя реакций.
Анализируя характер построенных эпюр, можно сделать следующие выводы:
1. На эпюрах поперечных сил в сечениях, в которых приложены поперечные силы, наблюдаются разрывы первого рода («скачки» по направлению действия сил на величину этих сил).
На эпюрах изгибающих моментов в сечениях, в которых действуют пары сил, наблюдаются «скачки» вверх, если момент пары сил отрицательный, вниз - если положительный (на величину моментов пар).
Поперечные силы на участках, в которых отсутствует поперечная нагрузка, являются постоянной величиной.
На эпюрах изгибающих моментов выпуклость направлена навстречу распределенной нагрузке, а углы направлены навстречу действующей сосредоточенной силе.
Максимум (минимум) изгибающего момента достигается в точках, где эпюра поперечных сил пересекает ось.

2.16. Нормальные напряжения при плоском изгибе

Пусть балка испытывает чистый изгиб (рис. 2.38). Если на поверхность бруска нанести сетку из прямоугольных линий и деформировать балку двумя парами сил, как показано на рисунке, то но экспериментальным данным вертикальные отрезки останутся прямолинейными, но повернутся на некоторый угол (рис. 2.39).
Определим закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении балки.
Все горизонтальные линии изогнутся, при этом в верхней части длина отрезков уменьшится, а в нижней - увеличится. Тогда, очевидно, существует горизонтальный отрезок, длина которого не изменится при искривлении. Слой балки, волокна которого при изгибе не меняют своей длины, называют нейтральным слоем. Пусть для определенности это будет отрезок аb. Обозначим длину этого отрезка через L, расстояние между слоями - у, ( – радиус кривизны нейтрального слоя, О – центр кривизны дуги ab. Вычислим относительную деформацию слоя ef:
13 EMBED Equation.3 1415.
Длина отрезка ef = ab = L = (d(, а величина его абсолютной деформации (L = yd(, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415, (6.9)
т.е. относительная деформация продольных волокон балки пропорциональна их расстоянию от нейтрального слоя и обратно пропорциональна радиусу кривизны нейтрального слоя.
В соответствии с законом Гука нормальное напряжение равно
13 EMBED Equation.3 1415. (6.10)
Для определения кривизны нейтрального слоя 13 EMBED Equation.3 1415 воспользуемся условием равновесия части балки (рис. 2.40):
(1) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
(2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415,
(3) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
Остальные уравнения обращаются в тождества.
(1) ( ось х является центральной, так как Е ( 0 ( ( (, но тогда Sx = 0.
(3) ( оси х и у являются главными, так как Ixy = 0, силовая плоскость, в которой находится пара внешних сил, перпендикулярна нейтральному слою.
И, наконец, из (2) получим значение кривизны нейтрального слоя:
13 EMBED Equation.3 1415, (6.11)
где Mx = - M – изгибающий момент в рассматриваемом сечении; EIx - жесткость балки при изгибе. Подставим в (6.10) (6.11):
13 EMBED Equation.3 1415, (6.12)
т.е. нормальное напряжение при чистом изгибе изменяется по линейному закону: прямо пропорционально изгибающему моменту и расстоянию до нейтрального слоя и обратно пропорционально моменту инерции сечения.
Максимальные напряжения достигаются в удаленных точках сечения, т.е.
13 EMBED Equation.3 1415. (6.13)
На рис. 2.41 демонстрируется характер распределения нормальных напряжений вдоль поперечного сечения.
Формулы (6.12) и (6.13) получены для чистого изгиба, но для любого плоского поперечного изгиба они остаются справедливыми. Условие прочности по нормальным напряжениям при изгибе для пластичных материалов имеет следующий вид:
13 EMBED Equation.3 1415. (6.14)
Условия прочности для хрупких материалов следует проверять как для растягивающих напряжений, так и для сжимающих.
При изгибе обычно решаются три основных задачи:
Проверка прочности.
Подбор поперечных размеров.
Подбор внешней нагрузки.

2.17. Устойчивость сжатых стержней

Под действием некоторой продольной силы на стержни достаточно большой длины можно наблюдать изменение прямолинейной формы равновесия стержня на криволинейную форму (рис. 2.42). Как было отмечено ранее, внезапное
· изменение первоначальной формы равновесия упругого стержня.
Наименьшая по величине сжимающая сила, вызывающая изменение формы равновесия стержня, называется критической силой. Будем в дальнейшем обозначать эту силу Ркр.
Запишем приближенное дифференциальное уравнение изогнутой оси прямолинейного стержня
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
Здесь EImin – жесткость стержня при изгибе, где Imin = min(Ix, Iy).
Вводя обозначение 13 EMBED Equation.3 1415, получим дифференциальное уравнение изогнутой оси
у(( + k2y = 0. (12.1)
Поскольку корни характеристического уравнения чисто мнимые, то решение уравнения (12.1) имеет вид
y = C1coskz + C2sinkz.
Граничные условия по рис. 2.42 равны
y(0) = 0, y(L) = 0.
Но тогда из первого условия получаем С1 = 0, и, следовательно, ось стержня имеет форму синусоиды
y = C2sinkz.
Второе граничное условие дает
C2sinkL = 0.
Оно выполняется в двух случаях:
1. С2 = 0, но тогда прямолинейность формы оси не нарушается, а это противоречит предположению.
2. sinkL = 0 ( kL = 0, (, 2(, ( kL = (n (n = 0, 1, 2, ).
Отсюда величина критической силы равна
13 EMBED Equation.3 1415. (12.2)
Из формула 12.2 следует, что существует бесчисленное множество значений критических сил, соответствующих различным формам искривления оси стержня.
При n = 1 получаем наименьшее значение критической силы (формула Эйлера)
13 EMBED Equation.3 1415. (12.3)
Этой критической силе соответствует изгиб стержня по синусоиде с одной полуволной (см. рис. 2.42):
13 EMBED Equation.3 1415.
Следует отметить, что коэффициент С2 и, следовательно, форма синусоиды остались неопределенными. При использовании точного дифференциального уравнения изогнутой оси (12.1) можно определить и форму оси, и зависимость между сжимающей силой и прогибом стержня.

2.18. Влияние закрепления стержня на величину критической силы

На рис. 2.43 изображены наиболее часто встречающиеся случаи закрепления стержня. Случай с шарнирно опертыми концами нами уже рассмотрен (рис. 2.43 б). Рассмотрим остальные.
Случай на рис. 2.43 а: опора – неподвижная заделка. Нетрудно заметить, что изогнутая ось представляет собой половину полуволны синусоиды, т.е. эквивалентна шарнирно опертой балке длиной Lпр = L. Тогда критическая сила
13 EMBED Equation.3 1415. (12.4)
Два последних случая относятся к статически неопределимым задачам, на рис. 2.43 г – даже дважды статически неопределимая. Их решение возможно только с учетом условий деформации.
Для доказательства соотношения (12.4) составим дифференциальное уравнение (рис. 2.43, а):
13 EMBED Equation.3 1415,
введем обозначение 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда уравнение принимает вид
13 EMBED Equation.3 1415, (12.5)
где y(L) – прогиб свободного конца балки.
Уравнение (12.5) – дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. Его решение
13 EMBED Equation.3 1415.
Граничные условия у(0) = 0, у((0) = 0 позволяют определить С1, С2:
С1 + y(L) = 0, C2 = 0. Таким образом, уравнение оси имеет вид
y = y(L)(1 – coskz) .
Используя условие прогиба, т.е. z = L y = y(L), получаем coskL = 1 или 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда при n = 0
13 EMBED Equation.3 1415,
что соответствует результату (12.4), полученному из общих соображений.
Анализ влияния способов закрепления концов стержня (рис. 2.43, в, г) позволяет сделать вывод, что формулу Эйлера можно записать в виде
13 EMBED Equation.3 1415 (12.6)
для стержней, имеющих приведенные длины Lпр = (L. Для рис. 10.2, в ( = 0,7, а для рис. 10.2, г ( = 0,5. Способ закрепления стержня влияет на величину критической силы.
Для определения диапазона применимости формулы Эйлера вычислим критическое напряжение
13 EMBED Equation.3 1415, (12.7)
где F – номинальная площадь сечения; 13 EMBED Equation.3 1415 - гибкость стержня при продольном сжатии, характеризующая влияние размеров стержня и способов закрепления его концов: 13 EMBED Equation.3 1415 - минимальный радиус инерции сечения стержня.
Формула Эйлера применима при условии
13 EMBED Equation.3 1415. (12.8)
Здесь (пц - предел пропорциональности материала стержня.
Учитывая (12.7) и (12.8), получаем условие применимости формулы Эйлера через гибкость стержня
13 EMBED Equation.3 1415. (12.9)
Например, для стали Ст3 Е = 2,1 (105 МПа, (пц = 200 МПа и, следовательно, по формуле (12.9) гибкость стержня должна быть больше 100.
Для стержней, гибкость которых меньше 100, предложены эмпирические формулы. На рис. 2.44 для Ст3 непрерывной линией показана зависимость критических напряжений от гибкости стержня. Коэффициенты для линейного участка равна а = 310 МПа, в = 1,14 МПа.
13 EMBED Equation.3 1415

2.19. Коэффициент понижения допускаемого напряжения

На практике применяется упрощенная формула определения критической нагрузки
13 EMBED Equation.3 1415, (12.10)
где [(с] - допускаемое напряжение на сжатие; ( - коэффициент уменьшения допускаемого напряжения (коэффициент продольного изгиба). Величина ( зависит от материала и гибкости стержня и задается в справочниках и учебниках. Произведение коэффициента продольного изгиба на допускаемое напряжение можно трактовать как допускаемое напряжение на устойчивость, т.е.
[(y] = ([(c].
Порядок решения задач на проверку устойчивости в области пластичной деформации.
1. Задают площадь сечения при выбранной форме сечения.
2. Находят минимальный радиус инерции.
3. Определяют гибкость.
4. По таблице коэффициента понижения допускаемого напряжения определяют (.
5. Применяют формулу (кр = ((пр ((пр = (т для пластичных материалов, (пр = (в для хрупких материалов).
6.Проверяют условие прочности 13 EMBED Equation.3 1415. (12.11)
Условие (12.11) можно использовать для подбора критической силы и сечения стержня.

2.20. Осевые моменты инерции. Радиус инерции.

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Оz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси:
13 EMBED Equation.3 1415. (1)
Из определения следует, что момент инерции тела (или системы) относительно любой оси является величиной положительной и не равной нулю.
В дальнейшем будет показано, что осевой момент инерции играет при вращательном движении тела такую же роль, какую масса при поступательном, т.е. что осевой момент инерции является мерой инертности тела при вращательном движении.
Согласно формуле (1) момент инерции тела равен сумме моментов инерции всех его частей относительно той же оси. Для одной материальной точки, находящейся на расстоянии h от оси, 13 EMBED Equation.3 1415 Единицей измерения момента инерции в СИ 1кг (м2 .
Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты 13 EMBED Equation.3 1415 этих точек (например, квадрат расстояния от оси Ох будет 13 EMBED Equation.3 1415 и т.д.). Тогда моменты инерции относительно осей 13 EMBED Equation.3 1415 будут определяться формулами:
13 EMBED Equation.3 1415 (2)
Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции.
Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина 13 EMBED Equation.3 1415, определяемая равенством
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (3)
где М – масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.
Зная радиус инерции, можно по формуле (3) найти момент инерции тела и наоборот.

2.21. Моменты инерции относительно параллельных осей

Моменты инерции данного тела относительно разных осей будут, вообще говоря, разными. Покажем, как, зная момент инерции относительно какой-нибудь одной оси, проведенной в теле, найти момент инерции относительно любой другой оси, ей параллельной.

Проведем через центр масс С тела произвольные оси 13 EMBED Equation.3 1415, а через любую точку 0 на оси
13 EMBED Equation.3 1415- оси 13 EMBED Equation.3 1415, такие, что 13 EMBED Equation.3 1415 (см.
рис.). Расстояние между осями 13 EMBED Equation.3 1415и Оz обозначим через d. Тогда по формулам (2) будет:
13 EMBED Equation.3 1415
Но, как видно из рисунка 2.45, для любой точки тела 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415а 13 EMBED Equation.3 1415.

Рис. 2.45
Подставляя эти значения 13 EMBED Equation.3 1415 в выражение для 13 EMBED Equation.3 1415 и вынося общие множители d2 и 2d за скобки, получим 13 EMBED Equation.3 1415.
В правой части равенства первая сумма равна 13 EMBED Equation.3 1415, а вторая – масса тела М. Найдем значение третьей суммы. На основании формул 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 для координат центра масс 13 EMBED Equation.3 1415 Так как в нашем случае точка С является началом координат, то 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 Окончательно получаем
13 EMBED Equation.3 1415 (4)
Формула (4) выражает следующую теорему Штейнера- Гюйгенса*: момент инерции тела относительно данной оси равен моменту инерции относительно оси, ей параллельной, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы всего тела на квадрат расстояния между осями.
Из формулы (4) видно, что 13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, из всех осей данного направления наименьший момент инерции будет относительно той оси, которая проходит через центр масс.

2.22. Вычисление моментов инерции простейших тел

1. Тонкий однородный стержень длины и массы М.
Вычислим момент инерции относительно оси АУ (рис.2.46) для элементарного отрезка dx величина h = x, а масса dm = pdx, где 13 EMBED Equation.3 1415 - масса единицы длины. Тогда по формуле можно написать :
13 EMBED Equation.3 1415
С учетом значения p окончательно получим
13 EMBED Equation.3 1415

2. Сплошная прямоугольная пластина массы М и сторонами а и в.
Вычислим момент инерции относительно оси ОУ (рис.2.47), для чего разобьем пластину на бесконечно узкие полоски вдоль Х. По формуле момент инерции каждой полоски будет : 13 EMBED Equation.3 1415,
где М – масса полоски. Момент инерции всей пластины будет:
13 EMBED Equation.3 1415

Аналогично получим : 13 EMBED Equation.3 1415


3. Тонкое круглое однородное кольцо или тонкая цилиндрическая
оболочка радиуса R массы М.

Вычислим момент инерции относительно оси CZ, перпендикулярной относительно плоскости кольца (рис.2.48) все точки кольца находятся на расстоянии h = R . Тогда по формуле имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
Такой же результат получиться для момента инерции тонкой цилиндрической оболочки радиуса R и массы М.

4. Круглая однородная пластина или цилиндр радиуса R и массы М.
Вычислим момент инерции относительно оси CZ, перпендикулярной плоскости пластины (рис.2.49). Выделим элементарное кольцо радиуса r и ширины dr . Площадь кольца будет: S = 2
·rdr, а масса dm = p2
·rdr, где 13 EMBED Equation.3 1415 - масса единицы площади пластины. Согласно формуле для выделенного кольца будем иметь:
Для всей пластины получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Заменим p его значением. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Такая же формула получиться для момента инерции Jc однородного цилиндра радиуса R и массы М относительно центральной продольной оси цилиндра.

5. Прямой сплошной конус массы М, высоты Н, радиусом основания R.
Вычислим момент инерции относительно продольной оси ОZ конуса (рис.2.50) разобьем конус на множество элементарных пластинок толщиной
·zi, параллельно основанию.
Масса пластинки радиуса zi будет :
mi = pdVri = p
·ri2
·ri.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415.
Момент инерции элементарной пластины относительно оси ОZ определится по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415.
Суммируя моменты инерции элементарных пластинок, и переходя к пределу суммы, получим момент инерции конуса:
13 EMBED Equation.3 1415
Учитывая, что масса конуса 13 EMBED Equation.3 1415, окончательно получим:
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 1. Как изменится момент инерции системы «стержень - шарики», если расстояние между шариками уменьшится в два раза. М – масса шарика, а Мст - масса стержня, r – радиус шарика, l – длина стержня (рис. 2.51).
13 EMBED Equation.3 1415 - момент инерции шарика относительно оси z.
13 EMBED Equation.3 1415 - момент инерции стержня относительно оси z.
Теорема Штейнера-Гюйгенса
13 EMBED Equation.3 1415
Осевой момент инерции системы
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Рис. 2.51
Задача 2.
К валу приложена пара сил с моментом Мвр (рис.2.52), на валу заклинено тормозное колесо диаметром – d. Определить коэффициент трения покоя между колесом и колодками, если они прижимаются силами Q.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Рис.2.52
К тормозному колесу приложена произвольная плоская система сил. Условия равновесия такой системы сил

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


РАЗДЕЛ 3. ТЕОРИЯ МЕХАНИЗМОВ И МАШИН (взято у Дмитриевой)

3.1. Структурный анализ механизмов
Механизмом называется искусственно созданная система тел, преобразующая движения одного или нескольких тел в требуемые движения других тел.
Машиной называется искусственно созданная система тел, предназначенных для выполнения полезной работы или преобразования одного вида энергии в другой, если один из этих видов энергии является механической работой.
Если технологический процесс и связанные с ним транспортные операции совершаются без участия человека, то такие машины называются машинами-автоматами.
Теория механизмов и машин – наука, изучающая строение, кинематику и динамику механизмов и машин.
Кинематика изучает методы определения скоростей, ускорений точек звеньев механизма, а также кинематическое проектирование механизмов по заданным условиям.
Динамика изучает методы определения сил, действующих на элементы механизма и машин в процессе их движения, а также устанавливает взаимосвязь между движением элементов и силами, действующими на них.
Деталью называется элементарная часть механизма и машин, изготовленная без применения сборочных операций.
Звеном называется одно или несколько жестко соединенных твердых тел, входящих в состав механизма.
Звено механизма, совершающее движение, для выполнения которого предназначен механизм, называется ведомым.
Звено, которому сообщается движение, преобразуемое механизмом в требуемые движения ведомых звеньев, называется ведущим.
Кинематической парой называется соединение двух соприкасающихся звеньев, допускающее их относительное движение (рис. 3.1а, б, в)


Рис. 3.1

Элементом звена называются поверхности, линии, точки, по которым оно может соприкасаться с другим звеном, образуя кинематическую пару.
Низшей парой называется такая, которая может быть выполнена соприкосновением ее звеньев по поверхности (рис. 3.2 а, б).
Высшей парой называется такая, которая может быть выполнена соприкосновением ее звеньев только по линиям или в точках (рис. 3.2в, г).


Рис. 3.2

Кинематической цепью называется совокупность звеньев механизма, соединенных кинематическими парами.
Открытой называется кинематическая цепь, звенья которой входят только в одну кинематическую пару.
Замкнутой называется кинематическая цепь, каждое звено которой входит не менее чем в две кинематические пары.
Простой называется кинематическая цепь, в которой все звенья входят не более чем в две кинематические пары.
Сложной называется кинематическая цепь, звенья которой входят в три и более кинематические пары.
Определенной называется кинематическая цепь, в которой закон движения ведомых звеньев можно определить по закону движения ведущих.
Неопределенной называется кинематическая цепь, в которой закон движения ведомых звеньев нельзя определить по закону движения ведущих.
Плоской называется кинематическая цепь, в которой точки звеньев описывают траектории, лежащие в параллельных плоскостях.
Пространственной называется кинематическая цепь, в которой точки звеньев описывают неплоские траектории, или траектории лежащие в пересекающихся плоскостях.
Кинематической схемой механизма называется графическое изображение механизма с применением условных обозначений звеньев и кинематических пар и с указанием размеров, необходимых для кинематического анализа.
Динамической схемой механизма называется графическое изображение механизма с применением условных обозначений звеньев и кинематических пар и с указанием размеров и других характеристик звеньев, необходимых для динамического анализа.
Рычажным механизмом называется механизм, звенья которого образуют только вращательные и поступательные пары (рис. 3.3а).
Рычажный механизм, звенья которого образуют только вращательные пары, называется шарнирным механизмом (рис. 3.3б).

Рис. 3.3

Звено рычажного механизма, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси, называется кривошипом (звено 1 на рис. 3.3а, б).
Звено рычажного механизма, которое может совершать неполный оборот вокруг неподвижной оси, называется коромыслом (звенья 4 и 5 на рис. 3.3б).
Звено рычажного механизма, не образующее кинематических пар с неподвижным звеном, называется шатуном (звено 4 на рис. 3.3а; звено 3 на рис. 3.3б).
Звено рычажного механизма, образующее поступательную пару с неподвижным звеном, называется ползуном (звено 5 на рис. 3.3а).
Звено рычажного механизма, вращающееся вокруг неподвижной оси и образующее с другим подвижным звеном поступательную пару, называется кулисой (звено 3 на рис. 3.3а).
Рычажный механизм, в состав которого входит кулиса, называется кулисным механизмом (рис. 3.3а).

Звено 1, образующее с кулачком 2 кинематическую пару, называется толкателем (рис. 3.2в).
Зубчатым механизмом называется механизм, в состав которого входят зубчатые колеса.
Числом степеней свободы материальной точки или тела (звена) называется число независимых координат (перемещений), которым обладает материальная точка или тело (звено).

3.2. Классификация плоских механизмов

Простой механизм, состоящий из одного подвижного звена, образующего с неподвижным звеном низшую кинематическую пару, называется механизмом I класса (рис. 3.4).

Рис. 3.4

Группой Ассура называется плоская кинематическая цепь, присоединение которой к другой кинематической цепи не изменяет числа степеней свободы последней, т. е. группа Ассура имеет нулевую степень свободы.
Степень подвижности W плоских механизмов определяется по формуле Чебышева W = 3n – 2P5 – P4,
где n – число подвижных звеньев;
Р5, Р4 – число кинематических пар 4, 5 классов;
1, 2, 3 – число исключаемых степеней свободы.
Класс группы Ассура определяется числом внутренних кинематических пар, образующих наиболее сложный замкнутый профиль.
Порядок группы Ассура определяется числом внешних кинематических пар, которыми она может быть присоединена к другой кинематической цепи.
Классификация механизмов по группам Ассура возможна, если выполняются следующие три требования:
– число ведущих звеньев равняется числу степеней свободы механизма;
– ведущее звено образует кинематическую пару с неподвижным звеном;
– все кинематические пары относятся к пятому классу.
Класс механизма определяется по группе Ассура, имеющей наивысший класс.
Порядок механизма определяется по группе Ассура наивысшего класса, имеющей наивысший порядок.

3.3. Кинематическое исследование плоских механизмов

Кривая, по которой перемещается точка звена во время работы механизма, называется траекторией этой точки.
Масштабным коэффициентом называется отношение численного значения физической величины к длине отрезка, изображающего эту величину.
Кинематической диаграммой называется кривая в прямоугольной системе координат, представляющая зависимость какого-либо параметра движения звена от времени или угла поворота ведущего звена.
Планом скоростей звена называется графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные скорости точек звена плоского механизма, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные скорости соответствующих точек при данном положении звена.
Планом скоростей механизма называется совокупность планов скоростей звеньев механизма с одним общим полюсом.
Относительная скорость между двумя точками, лежащими на одном звене, всегда перпендикулярна к прямой, соединяющей эти точки.
Свойства плана скоростей:
– фигура на плане скоростей, образованная векторами относительных скоростей, подобна фигуре на звене, образованной отрезками, соединяющими соответствующие точки;
– план скоростей дает возможность находить угловую скорость звена. Для этого нужно относительную скорость между любыми двумя точками, лежащими на одном звене, разделить на расстояние между этими точками:
13 EMBED Equation.3 1415;
– по плану скоростей можно найти положение мгновенного центра скоростей звена, т. е. точки на звене, скорость которой в данный момент равна нулю;
– на плане скоростей можно найти направления касательных и нормалей к траекториям точек без построения самих траекторий.
Планом ускорений звена называется графическое построение, представляющее собой плоский пучок, лучи которого изображают абсолютные ускорения точек звена плоского механизма, а отрезки, соединяющие концы лучей, – относительные ускорения соответствующих точек при данном положении звена.
Планом ускорения механизма называется совокупность планов ускорений звеньев механизма с одним общим полюсом.
Свойства плана ускорений:
– фигура на плане ускорений, образованная векторами относительных ускорений, подобна фигуре на звене, образованной отрезками, соединяющими соответствующие точки;
– план ускорений позволяет определять угловые ускорения звеньев. Для этого необходимо относительное касательное ускорение между любыми двумя точками звена разделить на расстояние между этими точками:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415;
– по плану ускорений можно найти положение мгновенного центра ускорений звена, т. е. точку на звене, ускорение которой в данный момент равно нулю;
– план ускорений дает возможность находить радиусы кривизны траекторий без их построения.

3.4. Кулачковые механизмы
Кулачковым механизмом называется механизм, в состав которго входит кулачок (звено, рабочая поверхность которого имеет переменную кривизну) (рис. 3.5).

Рис. 3.5

Классификация кулачковых механизмов
1. В зависимости от вида относительного движения звеньев:
а) плоские (кулачок и толкатель перемещаются в параллельных плоскостях) (рис. 3.5а);
б) пространственные (кулачок и толкатель перемещаются в непараллельных плоскостях) (рис. 3.5б).
2. По видам движения кулачка:
а) с поступательно движущимися кулачками (рис. 3.6а);
б) с вращающимися кулачками (рис. 3.5а);
в) с качающимися кулачками (рис. 3.6 б).


Рис. 3.6
3. В зависимости от характера движения толкателя:
а) возвратно-поступательные;
б) колебательные;
в) сложные.
4. По профилю рабочей поверхности толкателя:
а) остроконечный (рис. 3.7а);
б) роликовый (рис. 3.7б);
в) плоский (рис. 3.7в);
г) сферический (рис. 3.7г).

Рис. 3.7


5. В зависимости от типа кулачка:
а) дисковые (рис. 3.5а);
б) пазовые (рис. 3.5б).
6. В зависимости от расположения оси толкателя и центра вращения кулачка:
а) центральные (рис. 3.5а);
б) дезаксиальные (рис. 3.6б).
Углом давления
· (рис. 3.5а) называется угол между направлением силы и направлением перемещения, вызванного этой силой. Составляющая сила Ру является движущей силой для толкателя и определяется по формуле Ру = Рncos
·. Составляющая сила Рх прижимает толкатель к направляющей и определяется по формуле Рх = Рnsin
·.

3.5. Зубчатые механизмы

Зубчатая передача представляет собой передаточный механизм, звеньями которого являются зубчатые колеса, служащие для передачи движения и сил путем непосредственного зацепления.
Зубчатой передачей называется трехзвенный механизм, имеющий две низшие и одну высшую кинематические пары.
Зубчатым колесом называется звено с замкнутой системой зубьев, обеспечивающее за свой полный оборот непрерывность движения парного звена в одном направлении.
Зубчатые механизмы, в составе которых имеются подвижные оси зубчатых колес, называются эпициклическими.
Зубчатое колесо z2 (рис. 3.8), ось которого перемещается в пространстве, называется сателлитом.
Зубчатое колесо z1 (рис. 3.8), вокруг оси которого вращается сателлит, называется солнечным или центральным.
Звено Н (рис. 3.4), которое несет на себе ось сателлита, называется водилом.

Рис. 3.8

Планетарным называется эпициклический механизм, имеющий степень подвижности, равную единице.
Дифференциальным называется эпициклический механизм, имеющий степень подвижности больше единицы.
Цилиндрические зубчатые передачи – это передачи с параллельными осями колес (рис. 3.9а).
Конические зубчатые передачи – это передачи с пересекающимися осями колес (рис. 3.9б).
Гиперболоидные зубчатые передачи – это передачи с перекрещивающимися осями колес (рис. 3.9в).

Рис. 3.9

Прямозубыми называются колеса, у которых направление каждого зуба совпадает с образующей начальной поверхности (рис. 3.10а).
Косозубыми называются колеса, у которых направление каждого зуба составляет постоянный угол с образующей начальной поверхности (рис. 3.10б).
Шевронными называются колеса, у которых зубчатый венец образуется из двух рядов косых зубьев противоположного направления (рис. 3.10в).

Рис. 3.10




Рис. 3.11

Шагом зацепления называется расстояние t (рис. 3.11 между одинаково расположенными точками двух соседних зубьев, измеренное по делительной окружности.
Линия пересечения боковой поверхности зуба с плоскостью, перпендикулярной к оси вращения колеса, называется профилем зуба.
Окружность наибольшего диаметра (проходящая через вершины зубьев) называется окружностью вершин (Dе).
Окружность, ограничивающая тело зубчатого колеса от стороны его зубьев, называется окружностью впадин (Di).
Делительной окружностью называется окружность, которая делит зуб на две части (Dд).
Часть зуба, заключенная между делительной окружностью и окружностью впадин, называется ножкой зуба (hII).
Часть зуба, заключенная между делительной окружностью и окружностью выступов, называется головкой зуба (hI).
Расстояние h между окружностью вершин и окружностью впадин называется высотой зуба.
Модулем зубчатого зацепления называется часть диаметра делительной окружности, приходящаяся на один зуб (m).
Размеры зубчатого колеса, выраженные через модуль
1. Высота головки зуба hI = m
2. Высота ножки зуба hII =1,25m
3. Высота зуба h = 2,25m
4. Шаг зацепления t =
·m
5. Диаметр делительной окружности Dд = mz
6. Диаметр окружности вершин зубьев Dе = m(z + 2)
7. Диаметр окружности впадин Di = m(z – 2,5)
Передаточным отношением называется отношение угловой скорости ведущего звена к угловой скорости ведомого звена (i).
i13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

3.6. Сложение вращений твердого тела вокруг параллельных осей

При решении задач на сложение вращений вокруг параллельных осей часто оперируют не с модулями угловых скоростей, а с их алгебраическими величинами, которые представляют собой проекции угловых скоростей на ось, параллельную осям рассматриваемых вращений. Выбор положительного направления указанной оси произволен. В этом случае угловые скорости одного направления являются положительными, а противоположного направления – отрицательными величинами и абсолютная угловая скорость выражается в виде алгебраической суммы составляющих угловых скоростей.








Рис. 3.12 В дифференциальном механизме ведущими звеньями являются колесо 1 и водило H, несущее ось двойного сателлита 2-21. Зная угловые скорости
·1 и
·Н , а также числа зубьев (радиусов) всех колес, найти угловую скорость
·3 колеса 3.
1-й способ (метод Виллиса). Сущность метода заключается в сведении задачи анализа планетарных и дифференциальных механизмов к анализу обыкновенных зубчатых механизмов путем перехода от абсолютного движения звеньев рассматриваемого планетарного механизма к их относительному движению по отношению к водилу.
Пусть имеем планетарный механизм, оси колес которого параллельны. Обозначим через
·x,
·y и
·Н алгебраические значения угловых скоростей соответственно х , у и водила Н. Для перехода к движению относительно водила сообщим мысленно всей системе вращение вокруг оси водила с угловой скоростью -
·Н (т.е. равной угловой скорости водила, но направленной в прямо противоположную сторону).Тогда водило остановится, и звенья х и у, на основании теоремы сложения вращений , получат угловые скорости
·x –
·Н и
·y –
·Н. Так как при неподвижном водиле получаем обыкновенный зубчатый механизм, звенья которого вращаются вокруг неподвижных осей, то к этому механизму можно применить формулу для передаточных отношений, что приводит нас к так называемой формуле Виллиса:
·x –
·Н /
·y –
·Н = ixy(H) ,
где ixy(H) -передаточное отношение между звеньями х и у в их движении относительно водила Н (о чем говорит верхний индекс). Это передаточное отношение можно выразить через конструктивные и геометрические параметры механизма (числа зубьев или радиусы начальных окружностей, находящихся в зацеплении колес).
В нашей задаче применим формулу Виллиса к звеньям 1 и 3:

·3 –
·Н /
·1 -
·Н = i31(H) = i32(H) i21(H) , но i32'(H) = z2' / z3 - (передаточное отношение между колесами 3 и 21 положительно, так как колеса имеют внутреннее зацепление); i21(H) = – z1 / z2 (здесь передаточное отношение отрицательно, так как колеса 2 и 1 имеют внешнее зацепление).
Таким образом, (
·3 –
·Н )/ (
·1 –
·Н ) = – (z2' z1 / z3 z2 ), откуда

·3=
·Н – (z2' z1 / z3 z2 )(
·1 –
·Н ) .
Если закрепим колесо 1 , то получим простой планетарный механизм. Формула Виллиса в этом случае остается в силе, надо только в этой формуле

·1 = 0, что дает:
·3 =
·Н (1 + z2' z1 / z3 z2 ).
2-й способ (метод мгновенных центров скоростей). Так как звенья планетарного или дифференциального механизма с параллельными осями совершают плоскопараллельное движение, то при анализе такого механизма можно применить теорию плоскопараллельного движения и, в частности, воспользоваться методом мгновенных центров скоростей. Решение задачи полезно сопровождать построением треугольников скоростей, которые обычно выносят за пределы механизма (см. рис.). Радиусы колес рассматриваемого механизма обозначим через R1 , R2 , R2' , R3. Тогда имеем:
VA =
·1 R1 и VB =
·Н (R1 + R2 ).
На рисунке скорость точки А касания колес 1 и 2 изображена в виде вектора Аа, а скорость точки В – в виде вектора Bb. Зная скорости точек А и В, через концы а и b этих скоростей проводим прямую и в пересечении этой прямой с продолжением прямой АВ в точке Р получаем мгновенный центр скоростей сдвоенного колеса 2 – 21. Скорость точки С касания колес 21 – 3 изобразится на рисунке вектором Сс. Зная скорость точки С колеса 3, находим угловую скорость этого колеса:
·3 = VC / R3.
Построение треугольников скоростей и является геометрическим решением данной задачи. Для получения аналитического выражения для
·3 воспользуемся следующими уравнениями, вытекающими из наших построений:
VA =
·1 R1 =
·2 (РС + R2' + R2 ), (а)
VB =
·Н (R1 + R2 ) =
·2 (РС + R2'), (б)
VС =
·2 РС, (в)
где
·2 – угловая скорость колеса 2 – 21 вокруг мгновенного центра скоростей Р. Вычитая из равенства (а) равенство (б), получим:

·1 R1 -
·Н (R1 + R2 ) =
·2 R2 ,
откуда

·2 =13 QUOTE 1415[(
·1 R1 –
·Н (R1 + R2 )]/R2. (г)
Поделив равенства (a) и (б) друг на друга, находим:


·1R1/
·Н(R1 + R2 )=(РС + R2' + R2 )/(РС + R2') . Откуда получаем 13 QUOTE 1415 13 QUOTE 1415
РС =
·Н (R1 + R2 ) R2/ (
·1 R1 -
·Н (R1 + R2 )) 13 QUOTE 1415– R2' (д)
Используя равенства (в), (г) и (д) , имеем:

VС =
·2 РС =
·Н (R1 + R2 ) – (R2'/R2 ) 13 QUOTE 1415[
·1 R1 –
·Н (R1 + R2) ] =
=
·Н R3 –(R1 R2'/R2 )13 QUOTE 1415 (
·1 –
·Н) . Откуда следует

·3 = VС / R3 =
·Н – (R1 R2'/R2R3 )13 QUOTE 1415 (
·1 –
·Н) .
Заменив отношения радиусов отношениями чисел зубьев, получим ранее найденный ответ.

3.7. Понятие о структурном синтезе и анализе

Cтруктура любой технической системы определяется функционально связанной совокупностью элементов и отношений между ними. При этом для механизмов под элементами понимаются звенья, группы звеньев или типовые механизмы, а под отношениями подвижные (КП) или неподвижные соединения. Поэтому под структурой механизма понимается совокупность его элементов и отношений между ними, т.е. совокупность звеньев, групп или типовых механизмов и подвижных или неподвижных соединений. Геометрическая структура механизма полностью описывается заданием геометрической формы его элементов, их расположения, указания вида связей между ними. Структура механизма может быть на разных стадиях проектирования описываться различными средствами, с разным уровнем абстрагирования: на функциональном уровне - функциональная схема, на уровне звеньев и структурных групп - структурная схема и т.п. Структурная схема - графическое изображение механизма, выполненное с использованием условных обозначений рекомендованных ГОСТ (см. например ГОСТ 2.703-68) или принятых в специальной литературе, содержащее информацию о числе и расположении элементов (звеньев, групп), а также о виде и классе кинематических пар, соединяющих эти элементы. В отличие от кинематической схемы механизма, структурная схема не содержит информации о размерах звеньев и вычерчивается без соблюдения масштабов. (Примечание: кинематическая схема - графическая модель механизма, предназначенная для исследования его кинематики.)
Как на любом этапе проектирования при структурном синтезе различают задачи синтеза и задачи анализа.
Задачей структурного анализа является задача определения параметров структуры заданного механизма - числа звеньев и структурных групп, числа и вида КП, числа подвижностей (основных и местных), числа контуров и числа избыточных связей.
Задачей структурного синтеза является задача синтеза структуры нового механизма, обладающего заданными свойствами: числом подвижностей, отсутствием местных подвижностей и избыточных связей, минимумом числа звеньев, с парами определенного вида (например, только вращательными, как наиболее технологичными) и т.п.

3.8. Основные понятия структурного синтеза и анализа
Подвижность механизма - число независимых обобщенных координат однозначно определяющее положение звеньев механизма на плоскости или в пространстве.
Связь - ограничение, наложенное на перемещение тела по данной координате.
Избыточные (пассивные) - такие связи в механизме, которые повторяют или дублируют связи, уже имеющиеся по данной координате, и поэтому не изменяющие реальной подвижности механизма. При этом расчетная подвижность механизма уменьшается, а степень его статической неопределимости увеличивается. Иногда используется иное определение: Избыточные связи - это связи число которых в механизме определяется разностью между суммарным числом связей, наложенных кинематическими парами, и суммой степеней подвижности всех звеньев, местных подвижностей и заданной (требуемой) подвижностью механизма в целом.
Местные подвижности - подвижности механизма, которые не оказывают влияния на его функцию положения (и передаточные функции), а введены в механизм с другими целями (например, подвижность ролика в кулачковом механизме обеспечивает замену в высшей паре трения скольжения трением качения).
3.9. Структура механизмов
Среди всего многообразия конструкций механизмов различают: стержневые (рычажные), кулачковые, фрикционные, зубчатые механизмы, механизмы с гибкими звеньями (например, ременные передачи) и др. виды.
Менее распространенные классификации подразумевают наличие механизмов с низшими или высшими парами в плоском или пространственном исполнении и т.д.
Виды звеньев
стойка – звено, принимаемое за неподвижное; такое звено в механизме может быть только одно;
кривошип – вращающееся звено рычажного механизма, которое может совершать полный оборот вокруг неподвижной оси;
коромысло – вращающееся звено рычажного механизма, которое может совершать только неполный оборот вокруг неподвижной оси;
шатун – звено рычажного механизма, образующее кинематические пары только с подвижными звеньями;
кулиса – звено рычажного механизма, вращающееся вокруг неподвижной оси и образующее с другим подвижным звеном поступательную пару; в зависимости от степени протяженности элемента поступательной пары различают «камень» (звено меньшей протяженности) и «направляющую»;
ползун – звено рычажного механизма, образующее поступательную пару со стойкой;
кулачок – звено, имеющее элемент высшей пары, выполненный в виде поверхности переменной кривизны;
камень – звено, совершающее поступательное движение относительно подвижной направляющей, называемой кулисой;
зубчатое колесо – звено с замкнутой системой зубьев, обеспечивающее непрерывное движение другого зубчатого колеса или рейки.
Количество типов и видов механизмов исчисляется тысячами, поэтому классификация их необходима для выбора того или иного механизма из большого ряда существующих, а также для проведения синтеза механизма.
Универсальной классификации нет, но наиболее распространены 3 вида классификации:
Функциональная. По принципу выполнения технологического процесса механизмы делятся на механизмы: приведения в движение режущего инструмента; питания, загрузки, съёма детали; транспортирования и т.д.;
Структурно-конструктивная. Предусматривает разделение механизмов как по конструктивным особенностям, так и по структурным принципам. К этому виду относят механизмы: кривошипно-ползунный; кулисный; рычажно-зубчатый; кулачково-рычажный и т.д.;
Структурная. Проста, рациональна, тесно связана с образованием механизма, его строением, методами кинематического и силового анализа, была предложена Л.В. Ассуром в 1916 году и основана на принципе построения механизма путем наслоения (присоединения) кинематических цепей (в виде структурных групп) к начальному механизму. Согласно этой классификации, любой механизм можно получить из более простого присоединением к последнему кинематических цепей с числом степеней свободы W = 0, получивших название структурных групп, или групп Ассура. Недостаток классификации – неудобство для выбора механизма с требуемыми свойствами.

3.10. Динамика механизмов и машин
Движущие силы – это силы, приложенные к ведущему звену механизма и совершающие механическую работу.
Силы полезного сопротивления Q – это силы сопротивления, совершающие работу, требуемую от механизма.
Силы вредного сопротивления F – это силы, приложенные к звеньям механизма и совершающие отрицательную работу (не являющуюся работой полезных сопротивлений, которая также отрицательна). Силы вредных сопротивлений делятся на силы трения и силы сопротивления среды.
Силы тяжести С – вес самой машины и вес ее звеньев.
Силы инерции Ри – силы обратного воздействия ускоряемого тела на тела, вызывающие его ускорение Ри = –mа,
где m – масса тела;
а – ускорение центра тяжести.
Реактивные силы R (или просто реакции) – силы, возникающие в кинематических парах и представляющие собой давление звеньев друг на друга.
3.11. Силовой анализ
Определение реактивных и движущих сил носит название силового анализа механизма.
Приведенной силой Рпр называется сила, условно приложенная к одной из точек механизма, работа которой на ее элементарном перемещении равна сумме работ всех реальных сил на их элементарных перемещениях.
Уравновешивающей силой Рур называется сила, равная приведенной, но противоположно направленная.
Кинетической энергией механизма называется сумма кинетических энергий его звеньев. У звена, совершающего поступательное движение, кинетическая энергия 13 EMBED Equation.3 1415.
Звено, совершающее вращательное движение, имеет кинетическую энергию 13 EMBED Equation.3 1415, где
J – момент инерции звена относительно оси вращения;
m – масса звена; v – скорость звена; 13 EMBED Equation.3 1415 – угловая скорость звена.Приведенной массой mпр называется масса, сосредоточенная в одной точке (называемой точкой приведения), кинетическая энергия которой равна кинетической энергии механизма:
13 EMBED Equation.3 1415 , откуда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, где v – скорость точки приведения.
Приведенным моментом инерции называется такой момент инерции, кинетическая энергия которого равна кинетической энергии механизма.
13 EMBED Equation.3 1415, где13 EMBED Equation.3 1415 – угловая скорость вала приведения.
3.12. Регулирование хода машины
Периодические колебания возникают в механизмах и машинах, в которых силы, действующие на звенья, изменяются в определенной зависимости от угла поворота ведущего звена. К таким машинам относятся двигатели внутреннего сгорания, паровые машины, поршневые насосы и др. Периодические колебания регулируются при помощи маховика.
Непериодические колебания возникают в результате случайного изменения сил полезных сопротивлений. Такие колебания регулируются центробежными регуляторами.
3.13. Уравновешивание сил инерции
Неуравновешенность центробежных сил инерции, возникающая оттого, что центр тяжести вращающихся масс не лежит на оси вращения, называется статической.
Неуравновешенность центробежных сил инерции, возникающая оттого, что вращающиеся массы распределены неравномерно вдоль оси вращения (хотя центр тяжести всех масс может и лежать на оси), называется динамической.
Ротором называется тело, вращающееся вокруг неподвижной оси и опирающееся на две неподвижные опоры.
Полное уравновешивание плоского механизма производится с помощью противовесов, подобранных и установленных так, чтобы сумма сил инерции всех звеньев (включая и силы инерции противовесов) и сумма моментов этих сил относительно любой точки равнялись бы нулю.
Частичное уравновешивание, при котором сумма всех сил инерции равна нулю, а сумма моментов сил инерции не равна нулю. Такое частичное уравновешивание называется статическим.
Если привести силы инерции всех звеньев к центру тяжести механизма, то приведенная сила инерции 13 EMBED Equation.3 1415, где
m – масса всех подвижных звеньев;
13 EMBED Equation.3 1415 – ускорение центра тяжести механизма. Центром тяжести механизма называется общий центр тяжести всех его подвижных звеньев без стойки.
Раздел 4. Задания для самостоятельной работы

Номер варианта выдается преподавателем в виде двух чисел: первое число соответствует номеру исходных данных, приведенной в задании; второе номеру схемы из соответствующей заданию таблицы.
Задание 1
Для заданной однопролетной статически определимой балки найти опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов. Исходные данные приведены в табл. 8. (Схемы вариантов 16, 1122 и 2530 заимствованы из [1])

Исходные данные к заданиям 1 и 2
Таблица 8
Номер варианта
a, м
F, кН
q, кН/м
M, кНм

1
0,5
5
2
16

2
1,0
8
4
17

3
1,5
10
5
18

4
2,0
8
10
10

5
2,5
15
12
12

6
1,2
25
5
13

7
1,4
20
6
16

8
1,6
30
16
21

9
1.5
18
8
22

10
2,2
16
20
24

11
2,4
26
22
28

12
1,8
28
10
23

13
1,5
35
5
25

14
1,0
34
6
26

15
1,6
32
7
11

16
1,8
25
12
15

17
2,6
18
14
12

18
2,4
40
16
13

19
2,1
38
10
14

20
2,0
30
11
16

21
2,5
20
12
17

22
1,8
45
3
26

23
1,6
32
5
30

24
1,5
36
6
32

25
1.4
21
8
34

26
1.7
24
10
22

27
1.9
26
7
31

28
1.5
28
8
32

29
2.5
22
11
33

30
2,2
15
12
34



Таблица 9. Схемы к заданию 1

1


2


3

4


5


6


7


8


9

10


11

12


13

14


15

16


17

18


19

20


21

22


23
24


25

26


27

28

29
30






Пример выполнения задания 1.
Определить опорные реакции и построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для статически определимой балки (рис. 4.1). Исходные данные: F = 60 кН, q = 20 кН/м, М1 = 50 кН
·м. Размеры балки показаны на рисунке.


Рис. 4.1. Расчетная схема и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для статически определимой однопролетной балки с двухсторонними консолями (пример 1)
1. Определение опорных реакций
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
· 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
·
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
· 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
· ZA = 0;
Проверка
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
·
·13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
·13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
·
Окончательно имеем
YA = 38 кН; ZA = 0; RB = 82 кН.
2. Расчет поперечных сил и изгибающих моментов. Построение эпюр
На участках I, II, III отбрасываем правую часть балки и рассматриваем равновесия левой части. На участках IV, V отбрасываем левую часть балки и рассматриваем равновесие правой части.
Участок I: 0
· Z1
· 1.
QZ1 = 0; MZ1 =
·M1 =
·30 кН
·м.
На участке поперечная сила равна нулю. Изгибающий момент постоянен.
Участок II: 1
· Z2
· 3.
QZ2 = YA = 38 кН; MZ2 =
·М1 + YA(Z2
· 1) =
·30 + 38(Z2
· 1).
На участке поперечная сила постоянна. Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Он может быть построен по двум точкам:
Z2 = 1; MZ2 =
·30 + 38(1
· 1) = 30 кН
·м;
Z2 = 3; MZ2 =
·30 + 38(3
· 1) = 46 кН
·м.
Участок III: 3
· Z3
· 4.
QZ3 = YA
· F = 38
· 60 =
·22 кН;
MZ3 =
·M1 + YA(Z3
· 1)
· F(Z3
· 3) =
·30 + 38(Z3
· 1)
· 60(Z3
· 3).
На участке поперечная сила постоянна. Изгибающий момент изменяется по линейному закону. Он может быть построен по двум точкам:
Z3 = 3; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
Z3 = 4; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Участок IV: 4
· Z4
· 6.
QZ4 =
·RВ + q(7
· Z4) =
·82 + 20(7
· Z4);
МZ4 = RВ (6
· Z4)
· 0,5q(7
· Z4)2 = 82(6
· Z4)
· 10(7
· Z4)2.
Поперечная сила на участке изменяется по линейному закону и может быть построена по двум точкам:
Z4 = 4; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
Z4 = 6; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Изгибающий момент изменяется по закону квадратичной параболы и может быть построен по трем точкам, две из которых:
Z4 = 4; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Z4 = 6; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Третья точка среднее значение 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 для четвертого пролета 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415. Для этого значения Z подсчитывают два значения изгибающего момента при фактическом и линейном изменении его по длине участка
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Участок V: 6
· Z5
· 7.
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
Поперечная сила на участке изменяется по линейному закону и может быть построена по двум точкам:
Z5 = 6; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Z5 = 7; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Изгибающий момент изменяется по закону квадратичной параболы и может быть построен по трем точкам, две из которых
Z5 = 6; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Z5 = 7; 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415
Третья точка среднее значение Z для пролета 13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415 Для этого значения Z подсчитывают два значения изгибающего момента при фактическом и линейном изменении его по длине участка:
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415;
13 EMBED Microsoft Equation 3.0 1415.
По найденным значениям поперечной силы и изгибающего момента строят эпюры (рис. 4.1).





Литература
Основная.
1. Федосьев, В.И. Сопротивление материалов [Текст]: учебник для втузов/ В.И. Федосьев.- М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012.- 592 с.
2. Аркуша, А.И. Руководство к решению задач по теоретической механике [Текст]: учеб. пособие для средних спец. учебных заведении/ А.И. Аркуша. 6-е изд. – М.: Высш. шк., 2013. – 336 с.
3. Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики [Текст]: учебник для втузов/ С.М. Тарг. 2-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 2015. – 416 с.
4. Дарков, А.В. Сопротивление материалов [Текст]: учебник для техн. вузов/А.В. Дарков, Г.С. Шпиро. 5-е изд., перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2014. – 624 с.

1. Артоболевский И. И. Сборник задач по теории механизмов и машин / И. И. Артоболевский, В. В. Эдельштейн. – М. : Наука, 2013 и все последующие издания.
2. Будник Ф. Г. Сборник задач по теоретической механике : учеб. пособие для студентов втузов / Ф. Г. Будник, Ю. М. Зингерман, Е. И. Селенский ; под ред. А. С. Кельзона. – М. : Высш. шк., 2014. – 176 с.
Дополнительная
17. Абрамов Б. М. Типовые задачи по теории механизмов и машин / Б. М. Абрамов. – Харьков : Выща шк., 2016. – 208 с.
18. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин / И. И. Артоболевский. – М. : Наука, 1975 и все последующие издания.
19. Аркуша А. И. Руководство к решению задач по теоретической механике / А. И. Аркуша. – М. : Высш. шк.,2014. – 296 с.














Приложение 1
Момент силы относительно оси

Для определения момента силы F относительно оси Z – МZ (F) поступают следующим образом. Через точку К приложения силы F проводят плоскость S, перпендикулярную оси Z, и находят точку О пересечения оси Z с плоскостью S (рис. П1).
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.12 1415Силу F раскладывают по правилу параллелограмма на две составляющие, одна из которых FZ параллельна оси Z, а другая FS лежит в плоскости
S (F = FZ + FS). Из точки О на линию действия силы FS (л.д.с. FS) опускают перпендикуляр ОN, длина которого h и будет являться плечом силы FS относительно оси Z. Тогда получаем для момента Mz(F)= +- FS h.



Приложение 2
Модули упругости материалов [5]

Материал
Модуль упругости, МПа
Е

Углеродистые стали
(2,02,1) ( 105

Легированные стали
(2,12,2) ( 105

Медь (прокат)
1,1 ( 105

Холоднотянутая медь
1,3 ( 105

Фосфористая бронза (прокат)
1,15 ( 105

Холоднотянутая латунь
(0,910,99) ( 105

Марганцовистая бронза (прокат)
1,1 ( 105

Материал
Модуль упругости, МПа
Е

Алюминий (прокат)
0,69 ( 105

Дюралюминий (прокат)
0,71 ( 105

Дерево (сосна, ель)


вдоль волокон
(0,10,12) ( 105

поперек волокон
(0,0050,01) ( 105


Приложение 3
Коэффициенты линейного расширения
· [5]*
Материал

·, 1/°С

Алюминий
255 ( 10-7

Магний
255 ( 10-7

Медь
167 ( 10-7

Бронза и латунь
(170220) ( 10-7

Сталь
(100130) ( 10-7

Дерево
(2050) ( 10-7



Приложение 4
Ориентировочные значения основных допускаемых напряжений [5,11]
Материал


Допускаемое напряжение, МПа


на растяжение
2
на сжатие
3

Чугун серый
2880
120150

Сталь Ст0 и Ст2
140


Сталь Ст3
160


Сталь Ст3 (в мостах)
140


Железо
1
160
2

3


Углеродистая конструкционная сталь
(в машиностроении)

60250

60250

Легированная конструкционная сталь
(в машиностроении)
140400
140400 и выше

Медь твердотянутая
30130


Латунь твердотянутая
70140


Бронза твердотянутая
60120


Бронза литая
80120


Алюминий твердотянутый
30100


Алюминиевая бронза
80120


Дюралюминий
80150


Сосна: вдоль волокон
поперек волокон
710
-
1012
1,52

Дуб: вдоль волокон
поперек волокон
913
-
1315
23,5

Молибден
180


Никель
170


Серебро твердотянутое
90


Допускаемые напряжения при сжатии пластических материалов (в таблице не указаны) могут быть приняты равными допускаемым напряжениям при растяжении [1].
Приложение 5
Нормальные линейные размеры (диаметры) ряда Ra40 по ГОСТ 6636-69
Ряд Rа40,мм
1,0
1,05
1,1
1,15
10
10,5
11
11,5
100
105
110
120

1,2
1,3
1,4
1,5
12
13
14
15
125
130
140
150

1,6
1,7
1,8
1,9
16
17
18
19
160
170
180
190

2,0
2,1
2,2
2,4
20
21
22
24
200
210
220
240

2,5
2,6
2,8
3,0
25
26
28
30
250
260
280
300

3,2
3,4
3,6
3,8
32
34
36
38
320
340
360
380

4,0
4,2
4,5
4,8
40
42
45
48
400
420
450
460

5,0
5,3
5,6
6,0
50
53
56
60
500
530
560
600

6,3
6,7
7,1
7,5
63
67
71
75

8,0
8,5
9,0
9,5
80
85
90
95

В ГОСТ6636-69 приведены также нормальные линейные размеры для рядов Rа5, Rа10, Rа20 и дополнительные размеры.











z

13 EMBED Equation.3 1415

А

13 EMBED Equation.3 1415

0

x

y


·


·

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

у

х

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

у

х

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А

z

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

МА

С

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

С

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

С

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

а

13 EMBED Equation.3 1415

с

13 EMBED Equation.3 1415

а

В

А


·

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

h

13 EMBED Equation.3 1415

О1

О

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415.


13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415

А

В

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

-

0

h

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

+

13 EMBED Equation.3 1415

0

h

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

z

у

х

0

13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

0




13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415=0.



13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415=0 , 13 EMBED Equation.3 1415=0


13 EMBED Equation.3 1415=0 , 13 EMBED Equation.3 1415=0, 13 EMBED Equation.3 1415=0.


Рис.2.1

Рис.2.2

Рис.2.3

13 EMBED Equation.3 1415

Рис.2.4

b

S

(b

(S

(

Рис.2.5

Рис.2.6

у

х

z

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис.2.7

х

у

z

(F

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис.2.8

z

у

х

(z

(zх

(zу





(уz

(ху

(хz

(ух

Рис.2.9

L1

L2

L3

L4

1

1

2

2

3

3

4

4

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

А1

А2

z

z

O

Рис.2.10

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис.2.11

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Рис.2.124













2(

2(

(

2L

3L

L

L



2(

1,5(

(

-

-

“N”
(ед.силы)

“(”
(ед.напряжения)

“(”
(ед.длины)

Рис.2.13

(

(

F

(

(

(

(

(

(

а

(

1

1

2

2

Рис.2.142

Рис.2.153

Рис.2.163.4

(

Рис.2.173.5

Рис.2.18



Рис.2.19



Рис.2.20

Рис.2.21

Рис.2.22

Рис.2.23

Рис.2.24

Рис.2.25

x

z

y

O

r

(

dF



Рис.2.26

x

у

О

(max

(max

Рис.2.27

Рис.2.28

Рис. 2.29

Рис. 2.30

Рис. 2.31

Рис. 2.32

Рис. 2.33

Рис. 2.34

Рис. 2.35

Рис. 2.36

Рис. 2.37

Рис. 2.38

Рис. 2.39

Рис. 2.40

Рис. 2. 41

Рис. 2.42

Рис. 2.43

Рис. 2.44

z(

z

y(

x(

x

y

0

C

d

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

d

Мвр

х

у

х



D

B

рис.2.46

х

у

а

в

0

рис. 2.47

рис. 2.48

х

R

C

рис. 2.49

R

C

r

dr

рис. 2.50

C

R

O

ri

H

x

zi


·zi

z

z





/2

/2

z

II

I

стержень

с

шарик

а)

а)

YA

XA

MA

1

1

45°

2

2

A

M

P

Q

2

45°

2

2

2

2

A

M

P

q

A

B

б)

C

Y'A

M'A

45°

M

P

Q

RB

б)

YB

90°

B

D

Е

х

y

M''A

45°

M

P

Q

XB

в)

в)

B

A











Эмблема колледжа новая 2014Рисунок 1Эмблема колледжа новая 2014Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native!Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native,Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы