Кружок «Математика для всех». Сборник заданий

Занятие 1. Решаем, обсуждаем, выбираем
Часть А
Задание 1
На полке в один ряд стоят книги. Энциклопедия стоит пятой слева и семнадцатой справа. Сколько книг на полке?
Задание 2
Двое поделили между собой 7 рублей, причем один из них получил на 3 рубля больше другого. Сколько кому досталось?
Задание 3
Число 2002 "симметричное", т.е. читается одинаково слева-направо и справа-налево. Напишите следующее за ним симметричное число.
Задание 4
Торговец купил корову за 7 долларов, продал ее за 8, потом вновь купил ту же корову за 9 долларов и опять продал за 10. Какую прибыль он получил?
Задание 5
Напишите наименьшее 10-значное число, все цифры которого различны.
Задание 6
В коробке 14 белых и 14 чёрных шариков. Какое минимальное количество шариков нужно достать из коробки, чтобы среди них наверняка оказалось 2 черных шарика?
Задание 7
Ученики одного класса съели 95 конфет, причем каждый мальчик съел 3 конфеты, а каждая девочка 5 конфет. Сколько в классе мальчиков и сколько девочек, если всего в классе 25 человек?
Задание 8
После битвы со Змеем Горынычем три богатыря заявили: Добрыня Никитич: "Змея убил Алеша Попович." Илья Муромец: "Змея убил Добрыня Никитич." Алеша Попович: "Змея убил я." Кто убил змея, если только один из богатырей сказал правду?
Задание 9
Два поезда, оба длиной 50 м, движутся навстречу друг другу со скоростью 45 км/ч. Сколько времени пройдёт от момента, когда встретятся машинисты, до момента, когда встретятся проводники последних вагонов?
Задание 10
Чему равна сумма 123456789 + 234567891 + 345678912 + + 912345678?
Часть Б
Задание 11
Произведение двух чисел умножили на их разность. Могло ли получиться 30?
Задание 12
Ваня, задумав некоторое число, умножил его на 2, затем к результату прибавил 3, после чего получившееся число разделил на 7, а потом, уменьшив частное на 1, сказал, что у него получилось число 2. Определите, какое число задумал Ваня.
Задание 13
Расставьте в квадрате 4Ч4 одного короля, одного слона и двух ладей так, чтобы они не били друг друга.
Задание 14
Есть 100 комнат и 100 мальчиков, каждый из которых находится в одной из комнат. На двери каждой комнаты написано: "Тут ровно один мальчик". Известно, что среди этих надписей есть ровно три неверные. Докажите, что в одной из комнат находятся три мальчика.
Задание15
Можно ли расположить по кругу числа 1, 2, ..., 8 так, чтобы сумма любых трёх рядом стоящих чисел была больше 13?


Занятия 2, 3
Игра со спичками (Спички – детям не игрушка, а разминка для ума)
Задание 1
Из спичек сложили шесть неверных равенств:

Переложите в каждом равенстве по одной спичке так, чтобы равенства стали верными.

Задание 2
На столе лежат девять спичек

Расположите их так, чтобы в каждом горизонтальном ряду было:
а) по 4; б) по 6.

Задание 3
На рисунке показаны три спички. Как удалить среднюю спичку из середины, не трогая ее?


Задание 4
Спичечный рак ползет вверх. Переложите три спички, чтобы он пополз вниз.



Задание 5
Из спичек построен дом. Переложите две спички так, чтобы дом повернулся другой стороной.


Задание 6
Этот греческий храм построен из 11 спичек. Требуется переложить: а)4 спички так, чтобы получилось 15 квадратов; б) переложить 2 спички так, чтобы получилось 11 квадратов.


Задание 7
Спички расположены как полказано на рисунке. Переложите пять спичек так, чтобы получилось три квадрата.

Задание 8
Построена фигура, показанная на рисунке. Переложите две спички так, чтобы получить пять равных квадратов.


Задание 10
Весы составлены из 9 спичек и не находятся в равновесии. требуется переложить 5 спичек так, чтобы весы уравновесились.


Задание 11
На рисунке топор, составленный из 9 спичек. Переложите 4 спички и получите три равных треугольника.


Задание 12
Два бокала составлены из 10 спичек. Переложите 6 спичек так, чтобы получился дом.


Задание 13
В лампе, составленной из 12 спичек, переложите 3 спички так, чтобы получилось 5 равных треугольников.

Дополнительные задания
(решаем логически или с помощью уравнений):
Задание 14
В коробке лежали спички. Их количество удвоили, а затем убрали 8 спичек. Остаток спичек снова удвоили, а затем снова отняли 8 спичек. Когда эту операцию проделали в третий раз, в коробке не осталось ни одной спички. Сколько их было сначала?
Задание 15
Спички лежат в двух кучках. Если из первой кучки переложить 2 спички во вторую, то во второй спичек будет в 5 раз больше, чем в первой. Если же из второй кучки переложить в первую 5 спичек, то в первой будет в 3 раза больше, чем во второй. Сколько спичек в каждой кучке?
Задание 16
Из 6 спичек сложены сначала прямоугольник, а затем -равносторонний треугольник. Периметры этих фигур равны, а у какой больше площадь?





Задание 17
С помощью 4 спичек можно сложить квадрат площадью 1 квадратная единица.
Надо сложить из 12 спичек фигуру площадью 4 квадратных единицы.


Задание 18
Правильную трапецию из 10 спичек разделить на 4 одинаковые части с помощью 5 спичек.




Занятие 4. Плюс-минус один

Задание 1
Зайцы нашли в лесу бревно длиной 6 м. Чтобы отнести домой, они распилили его на части длиной по 1 метру. Сколько они сделали распилов?
Задание 2
Из книги выпал кусок, у первой страницы которого номер 35, а у последней 74. Сколько страниц выпало?
Задание 3
Теперь у зайцев уже несколько бревен. Они распили все бревна, сделав 20 распилов, и получили 27 чурбачков. Сколько бревен было у зайцев?

Задание 4
Сколько всего существует двузначных чисел? А трёхзначных?
Задание 5
Улитке надо подняться на столб высотой 10 м. Каждый день она поднимается на 4 м, а каждую ночь сползает на 3 м. Когда улитка доползёт до цели, если она стартовала в понедельник утром?
Задание 6
Главное здание МГУ состоит из нескольких секторов. Этажи в разных секторах отличаются по высоте. Из-за этого, например, получается, что переходы с 13 этажа сектора А ведут на 19 этаж секторов Б и В. Как соотносятся по высоте этажи в этих секторах?
Задание 7
Сколько раз за сутки на часах минутная стрелка обгонит часовую?
Дополнительные задачи
Задание 8
Для нумерации страниц в книге потребовалось 2322 цифры. Сколько страниц в этой книге?
Задание 9
В ряд выписаны все натуральные числа: 1234567891011121314151617181920... Какая цифра стоит на 2010 месте?
Задание 10
Серёжа купил тетрадь объемом 96 листов и пронумеровал все её страницы по порядку числами от 1 до 192. Данил вырвал из этой тетради какие-то 50 страниц и сложил все 50 чисел, которые на них написаны. Докажите, что у него не могла получиться сумма 2010.

Занятие 5. Логические задачи

Задание 1
В три банки с надписями "малиновое", "клубничное" и "малиновое или клубничное" налили смородиновое, малиновое и клубничное варенье. Все надписи оказались неправильными. Какое варенье налили в банку "клубничное"?

Задание 2
Когда учительница ругала Дениса за плохой почерк, он сказал: "У всех великих людей был плохой почерк, значит, я великий человек". Прав ли он?

Задание 3
У императора украли перец. Как известно, те, кто крадут перец, всегда лгут. Пресс-секретарь заявил, что знает, кто украл перец. Виновен ли он?
Задание 4
Среди четырёх людей нет трёх с одинаковым именем, или с одинаковым отчеством, или с одинаковой фамилией, но у каждых двух совпадает или имя, или фамилия, или отчество. Может ли такое быть?
Задание 5
Ковбой Джо приобрел в салуне несколько бутылок Кока-Колы по 40 центов за штуку, несколько сэндвичей по 24 цента и 2 бифштекса. Бармен сказал, что с него 20 долларов 5 центов. Ковбой Джо высказал бармену всё, что он думает о его умении считать. Действительно ли бармен ошибся?
Задание 6
Кто-то подарил Златовласке подарок, положив его на крыльцо её дома. Златовласка подозревает, что это был один из её друзей: Стрекоза, Огонёк или Ушастик. Но как это узнать? Каждый из них указывает на одного из двух других. Правду сказала только Стрекоза. Если бы каждый указывал не на того, на кого указывает, а на второго, то Ушастик был бы единственным, кто сказал правду. Кто же подарил подарок?
Задание 7
Кто-то из трёх друзей таким же образом подарил подарок Синеглазке. На вопросы Синеглазки Огонёк отвечал, что это Ушастик, а что сказали Ушастик и Стрекоза, Синеглазка забыла. Златовласка взяла дело в свои руки и выяснила, что только один из троих сказал правду, и именно он и сделал подарок. Кто подарил подарок?
Задание 8
Клоуны Бам, Бим и Бом вышли на арену в красной, синей и зелёной рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. Туфли и рубашка Бима были одного цвета. На Боме не было ничего красного. Туфли Бама были зелёные, а рубашка нет. Каких цветов били туфли и рубашка у Бома и Бима?
Дополнительные задачи
Задание 9
Богини Гера, Афина и Афродита пришли к юному Парису, чтобы тот решил, кто из них прекраснее. Представ перед Парисом, богини высказали следующие утверждения: Афродита: "Я самая прекрасная". Афина: "Афродита не самая прекрасная". Гера: "Я самая прекрасная". Афродита: "Гера не самая прекрасная". Афина: "Я самая прекрасная". Парис предположил, что все утверждения прекраснейшей из богинь истинны, а все утверждения двух других богинь ложны. Мог ли Парис вынести решение, кто прекраснее из богинь?

Задание 10
Каждый житель острова Сонный просыпается всегда одним и тем же способом. Способов всего три: (А) открыть одновременно оба глаза и бежать на зарядку; (Б) открыть сначала левый глаз, а через 16 минут правый, и бежать на завтрак; (В) открыть сначала правый глаз, а через 27 минут левый. В социологическом опросе службы "Доброе утро" приняли участие жители городов Кривдина и Правдина, всего 1024 островитянина. Каждому было задано по 3 вопроса: (1) "Просыпаетесь ли Вы способом А?", (2) "Просыпаетесь ли Вы способом Б?", (3) "Просыпаетесь ли Вы способом В?" Ответов "Да" на первый вопрос было 289, на второй вопрос 361, на третий вопрос 441. Сколько жителей каждого из городов приняло участие в опросе?
Занятие 6. Затруднительные ситуации
Задание 1
В двух кошельках всего лежит два рубля. При этом в одном кошельке денег в два раза больше, чем в другом. Как такое может быть?
Задание 2
Замок окружён рвом, имеющим форму прямоугольной рамки. Ширина рва всюду одинакова. Есть две доски, длины которых равны ширине рва. Можно ли переправиться через ров?
Задание 3
Можно ли погрузить на три грузовика семь бочек с квасом, семь пустых бочек и семь бочек, заполненных наполовину, чтобы на каждом грузовике было по семь бочек и поровну кваса?
Задание 4
Два поезда движутся навстречу друг другу по одной железнодорожной ветке. От неё отходит тупик, длина которого меньше длины поезда, но больше длины одного вагона. Как поездам разминуться?
Задание 5
Три котёнка и три щенка съели двадцать сосисок. Рыжий котёнок съел больше всех, а серый не меньше всех. Может ли так быть, что щенки съели не меньше сосисок, чем котята?
Задание 6
Можно ли пять бумажных колец склеить так, чтобы при разрезании только одного звена получалось пять отдельных звеньев?
Задание 7
В баке не менее десяти литров воды. Можно ли набрать шесть литров с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?
Задание 8
Крестьянину нужно переправить через реку волка, козу и капусту. Но лодка такова, что в ней может поместиться только крестьянин, а с ним или только волк, или только коза, или только капуста. Но если оставить волка с козой без крестьянина, то волк съест козу, если оставить козу с капустой, то коза съест капусту. Как быть?
Дополнительные задачи
Задание 9
На этот раз в лодке три места, поэтому можно с собой брать не более двух животных или одно животное и капусту. Как перевезти в лодке с одного берега на другой двух волков, козу, капусту и собаку, если известно, что волка нельзя оставлять без присмотра ни с козой, ни с собакой, собака "в ссоре" с козой, а коза "неравнодушна" к капусте?

Задание 10
Летят вороны, видят дубы. Стали рассаживаться. Попробовали по одной на дуб четырем воронам не хватило места. Стали садиться по две на дуб три дуба остались свободными. Сколько было ворон и сколько дубов?


ЗАНЯТИЕ № 7. ЛИЧНАЯ ОЛИМПИАДА

Задание1.
Витя сложил из карточек пример на сложение, а затем поменял местами две карточки. Какие карточки он переставил?
З 1 4 1 5 9 + 2 9 1 8 2 8 = 5 8 5 7 8 7

Задание 2.
У овец и кур вместе 36 голов и 100 ног. Сколько овец?

Задание 3.
Хозяин обещал работнику за 30 дней 9 рублей и кафтан. Через три дня работник уволился и получил кафтан. Сколько стоит кафтан?

Задание 4.
На какое наибольшее число частей можно разделить тремя разрезами: а) блин; б) булку?

Задание 5.
В бутылке, стакане, кувшине и банке налиты молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко находятся не в бутылке, в банке – не лимонад и не вода, а сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. Определите, где какая жидкость.

Задание 6.
Три подруги были в белом, красном и голубом платьях. Их туфли были тех же трех цветов. Только у Тани цвета платья и туфель совпадают. Валя была в белых туфлях. Ни платье, ни туфли Лиды не были красными. Определите цвет платья и туфель каждой из подруг.



Задание 7.
Три товарища – Владимир, Игорь и Сергей – окончили один и тот же педагогический институт и преподают математику, физику и литературу в школах Тулы, Рязани и Ярославля. Владимир работает не в Рязани, Игорь – не в Туле. Рязанец преподает не физику, Игорь - не математику, туляк преподает литературу. Какой предмет и в каком городе преподает каждый из друзей?

Задание 8.
Как из бочки с квасом налить ровно 3 л кваса, пользуясь пустыми девятилитровым ведром и пятилитровым бидоном?
Занятие 8. Обратный ход
Задание 1.
а) Ваня задумал число, умножил его на 2, прибавил 3 и получил 17. Какое число задумал Ваня?
б) На этот раз Гоша задумал число. Потом прибавил к нему 5, разделил на 3, умножил на 4, отнял 6, разделил на 7 и получил 2. Какое число задумано?
Задание 2
Женщина собрала в саду яблоки. Чтобы выйти из сада, ей пришлось пройти через четыре двери, каждую из которых охранял свирепый стражник, отбиравший половину яблок. Домой она принесла 10 яблок. Сколько яблок досталось стражникам?
Задание 3
В парке посадили в ряд аллею деревьев. Через год между любыми двумя соседними деревьями посадили ещё по одному. Ещё через год проделали то же самое. Стало 1197 деревьев. Сколько их было изначально?
Задание 4
Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал их второму, потом второй проиграл первому половину своих монет, затем опять первый проиграл половину монет. В результате у первого оказалось 15 монет, а у второго 33. Сколько монет было у каждого из пиратов перед началом игры?
Задание 5
На озере расцвела одна лилия. Каждый день количество цветов на озере удваивалось, и на 20-й день все озеро покрылось цветами. На какой день озеро покрылось цветами наполовину?
Задание 6
С числами можно выполнять следующие операции: умножать на два или произвольным образом переставлять цифры (нельзя только ставить нуль на первое место). Можно ли с помощью таких операций из 1 получить 74?
Задание 7
Все натуральные числа от 1 до 1000 записали в следующем порядке: сначала были выписаны в порядке возрастания числа, сумма цифр которых равна 1, затем, также в порядке возрастания, числа с суммой цифр 2, потом числа, сумма цифр которых равна 3 и т.д. На каком месте оказалось число 996?
Задание 8
На Малом Мехмате в к. 12-04 всем заходившим туда детям давали шоколадки. Первому зашедшему дали одну шоколадку и десятую часть всех оставшихся, второму зашедшему дали две шоколадки и десятую часть оставшихся, , девятому зашедшему дали девять шоколадок и десятую часть оставшихся. После этого прибежал Гоша, но, к сожалению, шоколадки уже закончились. Сколько шоколадок получили дети?
Дополнительные задачи
Задание 9
Сеня задумал натуральное число, умножил его на 13, зачеркнул последнюю цифру результата, полученное число умножил на 7, зачеркнул последнюю цифру результата и получил 21. Какое число задумал Сеня?
Задание 10
По кругу расставлены 9 нулей и единиц, причём не все расставленные числа равны. За один ход между каждыми двумя соседними числами записывается 0, если эти числа равны, и 1, если они не равны. После этого старые числа стираются. Могут ли через некоторое время все числа стать равными?

Занятие 9. Про деньги

Задание 1
В копилке лежит 20 рублёвых монет и 20 двухрублёвых монет. Какое наименьшее число монет нужно выковырять из копилки, чтобы среди них наверняка оказались а) две одинаковые монеты; б) две двухрублёвые монеты; в) две разные монеты?
Задание 2
Две хозяйки покупали молоко каждый день в течение месяца. Цена на молоко ежедневно менялась. Средняя цена молока за месяц оказалась равной 20 рублям. Ежедневно первая хозяйка покупала по одному литру, а вторая на 20 рублей. Кто из них потратил за этот месяц больше денег и кто купил больше молока?
Задание 3
Есть девять монет, среди них одна фальшивая. Все настоящие монеты весят одинаково, а фальшивая весит немного меньше. Как с помощью чашечных весов без стрелок и гирь за два взвешивания гарантированно определить фальшивую монету?
Задание 4
Пиноккио посадил денежное дерево, и вместо листьев на нём появлялись каждый день золотые монеты. В первый день на дереве появилась одна монета, во второй день две, в третий день три, и так каждый день на нём вырастало монет на одну больше, чем в предыдущий. В ночь с 29-го на 30-й день пришли лиса Алиса и кот Базилио и оборвали все золотые монеты.
Задание 5
Молодой человек согласился работать с условием, что в конце года он получит автомобиль «Запорожец» и 2600$. Но по истечении 8 месяцев уволился и при расчёте получил «Запорожец» и 1000$. Сколько стоил «Запорожец»?
Задание 6
Двое играют в такую игру. Они по очереди выкладывают на круглый стол одинаковые монеты. Класть монеты друг на друга нельзя. Проигрывает тот, кому некуда положить очередную монету. Кто из игроков может гарантированно обеспечить себе победу начинающий или его соперник? Как он должен играть?
Задание 7
На столе лежат монеты. 15 из них орлом вверх, остальные орлом вниз. Требуется с завязанными глазами разложить эти монеты на две кучи так, чтобы в этих кучах число монет, лежащих орлом вверх, было одинаково. Количество монет в кучах может быть разным (куча может состоять из любого количества монет, в том числе из одной или еще меньше), монеты можно переворачивать, но определить наощупь, как лежит монета, невозможно.
Дополнительные задачи
Задание 8
Пятак обкатывают вокруг неподвижного пятака. Сколько оборотов он сделает к моменту возвращения в исходную точку?
Задание 9
Есть 101 монета, среди них одна фальшивая, отличающаяся по весу от настоящих. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирек определить, легче или тяжелее фальшивая монета?

Занятие 10. Разрезания

Задание 1
Разрежьте квадрат на а) 4; б) 9; в) 17 квадратов.


Задание 2
Четыре гнома получили от дяди в наследство сад, обнесенный 16 спичками, в котором растут 12 плодовых деревьев. Расположение деревьев указано на рисунке. Разделите сад с помощью 12 спичек на четыре равные части, содержащие по равному числу деревьев, при этом деревья не должны касаться ограды. (Равные части должны иметь одинаковую форму и размер.)


Задание 3
Арбуз разрезали на 4 части и съели. Получилось пять корок. Как такое могло быть?

Задание 4
Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на четыре равные части.



Задание 5
Квадратную салфетку сложили пополам, полученный прямоугольник сложили пополам ещё раз. Получившийся квадратик разрезали ножницами по прямой. Могла ли салфетка распасться а) на 2 части; б) на 3 части; в) на 4 части; г) на 5 частей?





Задание 6
Разрежьте изображенную на рисунке фигуру на четыре одинаковые части так, чтобы из них можно было сложить квадрат размером 6Ч6 с шахматной раскраской.

Задание 7
а)Разрежьте прямоугольник 4Ч9 на две части, из которых можно сложить квадрат 6Ч6.
б)Разрежьте прямоугольник 9Ч16 на две части, из которых можно сложить квадрат.

Задание 8
Разрежьте каждую из следующих фигур на две одинаковые части.

Дополнительные задачи
Задание 9
Разрежьте каждую из следующих фигур на четыре одинаковые части.

Задание 10
Незнайка разрезал фигуру на трёхклеточные и четырёхклеточные уголки, нарисованные справа от неё. Сколько трёхклеточных уголков могло получиться? (Привести нужно все возможные значения.)


Занятие11. Математическая регата
1 тур (10 минут)
Задание 1
У скольких трёхзначных чисел средней цифрой является 0?

Задание 2
Разрежьте прямоугольник 3Ч9 на восемь квадратов.

Задание 3
У 28 человек класса на собрание пришли папы и мамы. Мам было 24, пап 18. У скольких учеников на собрание пришли одновременно и папа, и мама?
2 тур (15 минут)
Задание 1
Восемь кустов малины растут в ряд, причём количество ягод на любых двух соседних кустах отличается на 1. Может ли всего быть 2011 ягод?
Задание 2
Нарисуйте восемь точек и соедините их отрезками так, чтобы отрезки не пересекались и каждая точка была бы вершиной ровно четырёх отрезков.
Задание 3
У директора Малого мехмата спросили: „Сколько команд будет участвовать в математической регате?”. Он сказал: „Меньше тридцати двух”. Потом подумал и сказал: „Нет, меньше тридцати одной”, а, подумав ещё минуту, добавил: „Наверное, всё-таки меньше тридцати трёх”. Сколько команд участвовало в регате, если верными оказались ровно два из этих утверждений?
3 тур (15 минут)
Задание 1
Вычислите сумму 11 + 12 + + 70.
Задание 2
Разрежьте прямоугольник прямолинейным разрезом на две части, из которых можно сложить треугольник.
Задание 3
В городе Глупове каждый житель полицейский, вор или обыватель. Полицейские всегда врут обывателям, воры полицейским, обыватели ворам, а во всех остальных случаях жители Глупова говорят правду. Однажды, когда несколько глуповцев водили хоровод, каждый сказал своему правому соседу: „Я полицейский”. Сколько в этом хороводе было обывателей?
4 тур (20 минут)
Задание 1
В примере на сложение цифры заменили звёздочками. Получилось ** + *** = ****. Известно, что каждое из слагаемых и сумма не изменятся, если прочитать их справа налево. Восстановите исходный пример.

Задание 2
Как поставить на стол 8 одинаковых кубиков так, чтобы со всех сторон полностью были видны ровно 23 грани кубиков, а остальные грани видны не были?

Задание 3
Семья ночью подошла к мосту. Папа может перейти его за 1 минуту, мама за 2, малыш за 5, а бабушка за 10 минут. У них есть один фонарик. Мост выдерживает только двоих. Как им перейти мост за 17 минут? (Если переходят двое, то они идут с меньшей скоростью. Двигаться по мосту без фонарика нельзя. Светить издали нельзя. Носить друг друга на руках нельзя. Кидаться фонариком тоже нельзя.)

Занятия 12, 13, 14, 15. Решаем проектные задачи (4 часа) (приложение 2)
Проектные задачи основаны на сказках:
РУССКАЯ СКАЗКА «ВОЛШЕБНАЯ ВОДИЦА»;
АРМЯНСКАЯ СКАЗКА «ДЕШЁВЫЙ ВЕРБЛЮД»;
АРМЯНСКАЯ СКАЗКА «ЖАЛОБА ТРЁХ БРАТЬЕВ»;
АРАБСКАЯ СКАЗКА «НИЩИЙ И СЧАСТЬЕ»;
ГРУЗИНСКАЯ СКАЗКА «СОЛНЦЕ И ДОЖДЬ»;
АРАБСКАЯ СКАЗКА «СКАЗКА ОБ УМНОМ ВРАЧЕ»

Занятие 16. Чётность
Задание 0
Что такое чётные и что такое нечётные числа? Каким является число 0: чётным или нечётным?
Задание 1
Можно ли разменять 25 лир десятью монетами в 1, 3 и 5 лир?
Задание 2
Существуют ли два натуральных числа, сумма и произведение которых нечётны?
Задание 3
Хулиган Гоша порвал школьную стенгазету на 3 части. После этого он взял один из кусков и тоже порвал на 3 части. Потом опять один из кусков порвал
Задание 4
Обозначим буквой Ч чётные числа, а буквой Н нечётные. Заполните пропуски так, чтобы получились верные соотношения:
Ч + Ч =
·
Ч · Ч =
·

Ч + Н =
·
Ч · Н =
·

Н + Ч =
·
Н · Ч =
·

Н + Н =
·
Н · Н =
·

Задание 5
На шахматной доске на одной из клеток стоял конь. Он сделал несколько ходов и вернулся в ту же клетку. Четное или нечетное число ходов он сделал?
Задание 6
В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли между ними расставить знаки "+" и "
·" так, чтобы получился 0?
Задание 7
Парламент состоит из двух равных по численности палат. На совместном заседании, связанном с принятием важного решения, присутствовали все представители обеих палат. Из-за важности вопроса при голосовании никто не воздержался. После подведения итогов было объявлено, что решение принято большинством в 25 голосов. Оппозиция закричала: "Это обман!" Как это удалось определить?
Задание 8
На этот раз хулиган Гоша исправил две цифры в примере на умножение. Получилось 4·5·4·5·4=2247. Помогите учительнице Марье Петровне восстановить исходный пример. (Определите, какие цифры на что были исправлены, и объясните, почему по-другому это сделать было нельзя.)

Дополнительные задачи
Задание 9
На чудо-дереве росли 30 апельсинов и 25 бананов. Каждый день садовник снимал ровно два фрукта. Причем, если он снимал одинаковые фрукты, то на дереве появлялся новый банан, а если разные новый апельсин. В конце концов, на дереве остался один фрукт. Какой: банан или апельсин?
Задание 10
Квадрат размером 6Ч6 покрыт без наложений костями домино размером 1Ч2. Докажите, что можно разрезать квадрат, не повредив ни одной доминошки.

Занятие 17. Принцип Дирихле

Задание 1
Восемь кроликов посадили в семь клеток. Докажите, что есть клетка, в которой оказалось по крайней мере два кролика.
Задание 2
За победу в математической регате команда из 4 человек получила 10 конфет. Дети поделили конфеты между собой, не разламывая их. Определите, верны ли следующие утверждения:
а) "кому-то досталось по крайней мере 2 конфеты";
б) "кому-то досталось по крайней мере 3 конфеты";
в) "двум людям досталось по крайней мере две конфеты";
г) "каждому досталась хотя бы одна конфета".

Задание 3
а) В темной комнате стоит шкаф, в котором лежат 24 чёрных и 24 синих носка. Какое минимальное количество носков нужно взять из шкафа, чтобы из них заведомо можно было составить по крайней мере одну пару носков одного цвета?
б) Какое минимальное количество носков нужно взять, чтобы заведомо можно было составить хотя бы одну пару носков черного цвета?
в) Как изменится решение задачи, если в ящике лежат 12 пар чёрных и 12 пар синих ботинок и требуется составить пару одного цвета (как в пункте а) и пару черного цвета (как в пункте б)? Ботинки, в отличие от носков, бывают левыми и правыми.

Задание 4
В лесу растут миллион ёлок. Известно, что на каждой из них не более 600000 иголок. Докажите, что есть две ёлки с одинаковым количеством иголок.

Задание 5
В школе 30 классов и 1000 учащихся. Докажите, что есть класс, в котором не менее 34 учеников.

Задание 6
В квадратном ковре со стороной 4 метра моль проела 15 дырок. Докажите, что из этого ковра можно вырезать коврик со стороной 1 метр, в котором дырок не будет.


Задание 7
В финальном матче школьного чемпионата по баскетболу команда 5А забила 9 мячей. Докажите, что найдутся два игрока этой команды, забившие поровну мячей. (В команде по баскетболу 5 игроков.)
Задание 8
Верно ли, что в вашей аудитории есть по крайне мере два человека, имеющие одинаковое число друзей в этой аудитории? Верно ли это для любой аудитории Малого мехмата?
Дополнительные задачи
Задание 9
Каждая клетка таблицы 2011Ч2011 покрашена в один из 2010 цветов. За ход можно взять строку или столбец и, если там есть две клетки одного цвета, перекрасить эту строку или столбец в этот цвет. Всегда ли можно за несколько ходов покрасить всю таблицу в один цвет?
Задание 10
Можно ли клетки доски 5Ч5 покрасить в четыре цвета так, чтобы клетки, стоящие на пересечении любых двух строк и любых двух столбцов, были покрашены не менее, чем в три цвета?

Занятие 18. Переливания
Задание 0
Есть два ведра: одно ёмкостью 4 л, другое 9 л. Можно ли только с их помощью набрать из реки ровно 6 л воды?
Задание 1
а) Можно ли, имея две банки ёмкостью 3 л и 5 л, набрать из водопроводного крана 4 л воды?
б) Тот же вопрос, если есть только банки ёмкостью 6 л и 9 л?
Решение
Задание 2
Отлейте из цистерны 13 л воды, пользуясь бидонами в 5 л и 17 л.
Задание 3
Можно ли набрать из реки 8 л воды с помощью двух ведёр, вместимостью 15 л и 16 л?
Задание 4
Есть три кастрюли: 8 л с компотом, 3 л и 5 л пустые. Как разделить компот пополам? (Компот, в отличие от воды, выливать нельзя.)
Задание 5
Можно ли разлить 50 л бензина по трём бакам так, чтобы в первом баке было на 10 литров больше, чем во втором, а во втором на 21 литр больше, чем в третьем?

Задание 6
(Пересыпания.) Есть двое песочных часов: на 7 мин и на 11 мин. Каша варится 15 мин. Как с помощью этих часов отмерить нужное время?
Задание 7
Есть две одинаковые чашки: одна с кофе, другая с молоком. Из первой чашки во вторую перелили ложку кофе. Затем ложку получившейся смеси перелили обратно из второй чашки в первую. Чего больше: молока в кофе или кофе в молоке?
Задание 8
Есть три сосуда 3 л, 4 л и 5 л, кран с водой и 3 л сиропа в самом маленьком сосуде. Можно ли с помощью переливаний получить 6 л смеси воды с сиропом так, чтобы в каждом сосуде воды и сиропа было поровну?
Дополнительные задачи
Задание 9
Бассейн наполняется водой с помощью двух труб. Первая труба наполняет бассейн за 10 часов, а вторая за 15. За сколько наполнится бассейн, если включить обе трубы?
Задание 10
В бочке не менее 13 вёдер бензина. Можно ли отлить 8 вёдер с помощью 9-ведёрной и 5-ведёрной бочек?

Занятие 19. Удивительный остров
Действие почти во всех задачах происходит на некотором острове, жителями которого являются рыцари и лжецы. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда неправду.
Задание 1
Человек говорит: "Я лжец". Может ли он быть жителем острова рыцарей и лжецов?
Задание 2
Каждый из собравшихся на площади жителей острова заявил остальным: "Вы все лжецы". Сколько рыцарей среди них?
Задание 3
На улице встретились два жителя острова. Один из них сказал: "По крайней мере, один из нас рыцарь". Второй ему ответил: "Ты лжец". Кто из них кто?
Задание 4
Каждый из а) 7; б) 9 сидящих за круглым столом жителей острова сказал: "Мои соседи лжец и рыцарь". Сколько рыцарей и сколько лжецов сидит за столом?
Задание 5
Какой вопрос нужно задать жителю острова, чтобы узнать, живёт ли у него дома ручной крокодил?


Задание 6
Племя людоедов поймало Робинзона Крузо. Вождь сказал: "Мы бы рады тебя отпустить, но по нашему закону ты должен произнести какое-нибудь утверждение. Если оно окажется истинным, мы тебя съедим. Если оно окажется ложным, тебя съест наш лев". Что нужно сказать Робинзону, чтобы не быть съеденным?
Задание 7
Некоторые жители острова заявили, что на острове чётное число рыцарей, а остальные заявили, что на острове нечётное число лжецов. Может ли число жителей острова быть нечётным?
Задание 8
Знайка задумал несколько целых чисел и сообщил их Незнайке. В интервью газете "Жёлтый листок" Незнайка сказал: "Знайка дал мне три числа. Их сумма равна 201, а произведение равно 30030". Докажите, что Незнайка соврал.
Дополнительная задача
Задание 9
Однажды 12 островитян, собравшиеся в компанию, сделали такие заявления. Двое сказали: "Ровно двое из здесь присутствующих лжецы", ещё четверо сказали: "Ровно четверо среди здесь присутствующих лжецы, последние шестеро сказали: "Ровно шестеро из здесь присутствующих лжецы". Сколько лжецов могло быть в этой компании?

Занятие 20. Арифметика и весы
Задание 1
Три носорога весят столько же, сколько четыре бегемота и один крокодил. Кто тяжелее: носорог или бегемот?
Задание 2
3 карася тяжелее 4 окуней. Что тяжелее: 4 карася или 5 окуней?
Задание 3
Груша и слива весят столько, сколько 2 яблока; 4 груши весят столько, сколько 5 яблок и 2 сливы. Что тяжелее: 7 яблок или 5 груш?
Задание 4
Маленькому Гоше подарили весы, и он начал взвешивать игрушки. Машину уравновесили мяч и 2 кубика, а машину с кубиком уравновесили 2 мяча. Сколько кубиков уравновесят машину?
Задание 5
Мосметрострой нанял двух кротов рыть туннель. Первый крот работает быстрее второго, но платят обоим одинаково, учитывая только время. Что выгоднее: чтобы первую половину тоннеля выкопал один крот, а вторую другой; или, чтобы они начали копать с двух сторон одновременно и копали бы до встречи?
Задание 6
9 одинаковых конфет стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же конфет 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна конфета?
Задание 7
В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?
Задание 8
Малышу и Карлсону дали по одинаковому пирогу. Карлсон начал есть свой пирог на минуту позже Малыша, а через две минуты после этого оказалось, что Карлсон уже съел столько, сколько еще осталось съесть Малышу. Докажите, что если бы Малыш и Карлсон ели один пирог вдвоем, то они управились бы с ним меньше, чем за три минуты.
Дополнительные задачи
Задание 9
Футбольные матчи Зубило-Дробило, Дробило-Крокодило и Крокодило-Зубило оказались очень результативными. Зубило в сумме забило 60 голов, Дробило пропустило 80, а Крокодило забило столько же, сколько и пропустило. Докажите, что в матче Дробило-Крокодило было забито не менее 40 голов.
Задание 10
Четыре чёрненьких чумазеньких чертёнка чертили чёрными чернилами чертёж четыре часа. Если бы первый чертёнок чертил вдвое быстрее, а второй вдвое медленнее, то им потребовалось бы столько же времени; если бы, наоборот, первый чертил вдвое медленнее, а второй вдвое быстрее, то они управились бы за два часа сорок минут. За какое время начертили бы чертёж первые три чертёнка без помощи четвёртого?

Занятие 21. Комбинаторика
Задание1.
Из деревни Филимоново в деревню Ксенофонтово ведут три дороги, а из деревни Ксенофонтово в деревню Оладушкино четыре дороги. Сколько существует путей из деревни Филимоново в деревню Оладушкино?



Задание 2
От дачного поселка проложили две дороги до деревни Филимоново и одну дорогу до Оладушкино. Сколько теперь существует путей от Филимоново до Оладушкино?

Задание 3
В киоске продаются открытки, на каждой из которых изображены цветы: либо розы, либо гвоздики, либо тюльпаны. Кроме того, на каждой открытке есть поздравительная надпись: либо «С Днём рождения!», либо «С Новым годом!», либо «С 8 Марта!». Какое наибольшее число различных открыток может продаваться в этом киоске?
Задание 4
В магазине «Всё для чая» есть 5 видов чашек, 4 вида блюдец и 2 вида ложек. Сколькими способами в этом магазине можно купить:
а) набор из чашки, блюдца и ложки;
б набор, состоящий из двух разных предметов?
Задание 5
Назовем натуральное число симпатичным, если в его записи встречаются только четные цифры. Сколько существует симпатичных четырехзначных чисел?
Задание 6
В футбольной команде нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать? (В футбольной команде 11 игроков.)
Задание 7
В классе учатся 25 человек. Сколькими способами можно выбрать двух дежурных?
Задание 8
Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв: А, Б и В. Словом называется любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
Задание 9
Меню школьной столовой не меняется и состоит из 10 блюд. Для разнообразия Витя хочет каждый день заказывать такой набор блюд, который он еще ни разу не заказывал (при этом число блюд не важно он может заказать все 10 блюд, а может заказать только одно или вовсе ни одного). Сколько дней он сможет так питаться?
Дополнительные задачи
Задание 10
Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для пересылки можно использовать трёх курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?


Занятие 22. Про время

Задание 1
В 4 часа дня с первого до последнего удара часов прошло 6 секунд. Сколько времени пройдет с первого до последнего удара в полдень?
Задание 2
На часах, которые ходят точно, оторвались все цифры. Остались только деления без подписей. Как узнать, куда нужно вернуть каждую цифру? (Других часов у вас нет.)
Задание 3
Катя на выполнение домашнего задания тратит на 10% больше времени, чем Лена. А Маша тратит на 10% меньше времени, чем Катя. Кто из девочек быстрее всего делает домашнее задание?
Задание 4
Водитель дальнобойного грузовика взглянул на приборы своей машины и увидел, что спидометр показывает 25952. «Какое красивое число я проехал. Наверное, не скоро выпадет следующее красивое число», подумал он. Однако через час двадцать минут на спидометре высветилось следующее красивое число. С какой скоростью ехал грузовик?
Задание 5
Есть двое песочных часов: на 5 минут и на 8 минут. Как можно с них помощью засечь 7 минут?
Задание 6
Разрежьте (если это возможно) циферблат на две части так, чтобы
а) сумма чисел в каждой части была одинаковой;
б) сумма цифр в каждой части была одинаковой.

Задание 7
Сколько раз в сутки стрелки часов образуют прямой угол?

Задание 8
Петин будильник испорчен: он спешит на 4 минуты в час. В 7 часов вечера Петя установил на нем точное время и поставил звонок на 7 часов утра. Во сколько Петя проснется?
Занятие 23. Можно или нельзя
Задание 1
Ваня говорит: „Позавчера мне было ещё только 10 лет, а в следующем году исполнится уже 13”. Может ли такое быть?
Задание 2
Можно ли на шахматной доске расставить 9 ладей так, чтобы они не били друг друга?
Задание 3
а) Существуют ли такие два последовательных натуральных числа, что сумма цифр каждого из них делится на 4?
б)А два последовательных числа с равной суммой цифр?
Задание 4
Может ли в месяце быть:
а) 3 воскресенья;
б) 4 воскресенья;
в) 5 воскресений;
г) 6 воскресений?

Задание 5
Можно ли разрезать квадрат на квадратики двух размеров так, чтобы маленьких было столько же, сколько и больших?
Задание 6
Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?
Задание 7
Лиса и два медвежонка делят 100 конфет. Лиса раскладывает конфеты на три кучки; кому какая достанется определяет жребий. Лиса знает, что если медвежатам достанется разное количество конфет, то они попросят её уравнять их кучки, и тогда она заберёт излишек себе. После этого все едят доставшиеся им конфеты.
а) Придумайте, как Лисе разложить конфеты по кучкам так, чтобы съесть ровно 80 конфет (ни больше, ни меньше).
б) Может ли Лиса сделать так, чтобы в итоге съесть ровно 65 конфет?

Задание 8
На территории страны, имеющей форму квадрата со стороной 1000 км, находится 51 город. Страна располагает средствами для прокладки 11000 км. Сможет ли правительство страны соединить сетью дорог все свои города?


Занятие 24. Разные задачи
Задание 1
У Кости есть 10 палочек длиной 50 см. Он хочет распилить их так, чтобы получилось 50 палочек длиной 10 см. Сколько распилов ему придется сделать?
Задание 2
Денежной единицей Украины является гривна. Можно ли с помощью десяти купюр номиналом в 1 и 5 гривен отсчитать сумму в 31 гривну?
Задание 3
В квадрате 7Ч7 закрасьте несколько клеток так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце было ровно три закрашенные клетки.
Задание 4
У скольких трехзначных чисел средней цифрой является 0?
Задание 5
На острове рыцарей и лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут) в некоторой компании каждый заявил остальным: «Среди вас два рыцаря». Сколько рыцарей могло быть в этой компании?
Задание 6
В магазине продается шоколад в виде букв английского алфавита. Одинаковые буквы имеют одинаковую цену, а разные разную. Известно, что слово ONE стоит $6, слово TWO стоит $9, а слово ELEVEN стоит $16. Сколько стоит слово TWELVE?
Задание 7
Сеня взял в долг у Гоши 19 рублей, обязуясь вернуть их в течение 4 месяцев. Причем каждый месяц сумма выплаты должна расти, составлять целое число рублей и нацело делиться на сумму выплаты в предыдущем месяце. Какую сумму выплатит Сеня в последний месяц?
Задание 8
Найдите наибольшее натуральное число, любые две последовательные цифры которого образуют точный квадрат.
Занятия 25, 26. международный конкурс «КЕНГУРУ – 2014»

Занятие 27. Разрезания – 2

Задание 1
Разрежьте нарисованную фигуру на две одинаковые (совпадающие при наложении) части.



Задание 2
На глобусе проведены 17 параллелей и 24 меридиана. На сколько частей разделена поверхность глобуса? Меридиан это дуга, соединяющая Северный полюс с Южным. Параллель окружность, параллельная экватору (экватор тоже является параллелью).
Задание 3
Разрежьте изображенную на рисунке доску на 4 одинаковые части так, чтобы каждая из них содержала ровно 3 закрашенные клетки.


Задание 4
Разрежьте фигуру, изображенную на рисунке, на две части, из которых можно сложить треугольник.



Задание 5
Пару доминошек 1Ч2 назовем гармоничной, если они образуют квадрат 2Ч2. Существует ли разбиение доски 8Ч8 на доминошки, в котором ровно одна гармоничная пара?



Задание 6
Четырехугольник с длинами сторон 1, 1, 1 и 2, две из которых параллельны, разбит на четыре одинаковые фигуры. В результате верхняя сторона разделилась на четыре отрезка. Найти отношение длины большего отрезка к меньшему.



Задание 7
Разрежьте по клеточкам на 4 части фигуру, изображенную на рисунке, и сложите из них из них квадрат.


Задание 8
а) Можно ли шахматную доску разрезать на доминошки 1Ч2?
б) А если из шахматной доски вырезали одну угловую клетку, то получится разрезать?
в) А если вырезали две клетки: левую нижнюю и левую верхнюю?
г) А если левую нижнюю и правую верхнюю?
Дополнительные задачи
Задание 9
Можно ли из квадрата 7Ч7 вырезать по линиям сетки 8 пятиклеточных букв «Т»? (Буквы «Т» можно поворачивать.)

Задание 10
Из квадрата 5Ч5 вырезали центральную клетку. Разрежьте получившуюся фигуру на две части, в которые можно завернуть куб 2Ч2Ч2.
Занятие 28. Взвешивания

Задание 1
Есть три монеты. Среди них одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. Как с помощью одного взвешивания определить фальшивую монету?
Задание 2
Есть девять монет. Среди них одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. Как с помощью двух взвешиваний определить фальшивую монету?
Задание 3
Среди 101 монеты есть одна фальшивая, которая по весу отличается от настоящей. Но на этот раз неизвестно, в какую сторону. За два взвешивания определите, легче или тяжелее настоящей фальшивая монета. (Саму монету определять не нужно.)
Задание 4
Имеются четыре гири. Одна из них большая и тяжелая, вторая поменьше и полегче, третья еще меньше и еще легче, а четвертая самая маленькая и самая легкая. Гири по очереди ставятся на чашки весов (каждый раз берется любая из гирь и ставится на любую чашку весов). Можно ли, не зная точного веса гирь, положить по одной их все на весы в таком порядке, чтобы сначала три раза перевешивала левая чашка, а последний раз правая?
Задание 5
Есть 5 монет. Из них три настоящие, одна фальшивая, которая весит больше настоящей, и одна фальшивая, которая весит меньше настоящей. За три взвешивания определите обе фальшивые монеты.
Задание 6
В 9 мешках лежат настоящие монеты (по 10 г), а в одном фальшивые (11 г). Одним взвешиванием на двухчашечных весах со стрелкой определите, в каком мешке фальшивые монеты. (Стрелка показывает, на сколько масса монет на «тяжёлой» чашке больше, чем на «легкой».)
Задание 7
Имеются 64 монеты, все разные по весу. За не более, чем 94 взвешивания, определите самую легкую и самую тяжелую монеты.
Занятие 29. Идущие порознь
Задание 1
Винни-Пух и Пятачок вышли из своих домиков навстречу друг другу и встретились через 2 минуты. Через какое время Пятачок придет к дому Пуха, если скорость Винни-Пуха в два раза больше скорости Пятачка?
Задание 2
Винни-Пух вышел из гостей от Кристофера Робина на 1 минуту позже Пятачка. Через какое время он догонит Пятачка, если его скорость в два раза больше скорости Пятачка?
Задание 3
Тигра и Винни-Пух пошли в гости к Кристоферу Робину. Сначала Тигра побежал в два раза быстрее Винни-Пуха, но, пробежав половину дороги, неожиданно утомился и оставшийся путь прополз со скоростью в два раза меньшей скорости Винни-Пуха. Кто раньше встретился с Кристофером Робином Тигра или Винни-Пух?
Задание 4
Тигра умеет бегать со скоростью 30 километров в час и очень хочет научиться тратить на каждый километр на одну минуту меньше. С какой скоростью нужно научиться бегать Тигре?
Задание 5
Упрямый Винни-Пух решил дойти пешком до Северного полюса. В 12 часов его нагнал Кристофер Робин на велосипеде и подвёз до того места, откуда до Северного полюса оставалось столько же, сколько Винни уже прошёл пешком. На Северном полюсе Винни-Пух был в 14 часов. Сколько времени потребуется Винни-Пуху на обратный путь пешком, если известно, что на велосипеде его везли со скоростью вдвое большей, чем он ходит пешком?
Задание 6
Юля и Таня делали уроки. Каждая из них начала с математики, затем выучила стихотворение, следом прочитала текст на английском языке и, наконец, выполнила упражнение по русскому языку. На каждый предмет у Юли уходило в два раза меньше времени, чем на предыдущий, а у Тани в 4 раза меньше времени, чем на предыдущий. Начали и закончили они одновременно. Что делала Таня, когда Юля взялась за русский язык?
Задание 7
Двое бегут с разной скоростью вниз по эскалатору метро. Кто из них насчитает больше ступенек тот кто бежит быстрее, или тот кто бежит медленнее?
Задание 8
Однажды улитка заползла на вершину бамбука, который растет так, что каждая его точка поднимается вверх с одной и той же скоростью. Путь вверх занял у улитки 7 часов. Отдохнув на вершине бамбука ровно час, она спустилась на землю за 8 часов. Во сколько раз скорость улитки больше скорости роста бамбука (обе скорости постоянны)?

Занятие 30. Геометрические конструкции

Задание 1
У двух человек было два квадратных торта. Каждый сделал на своём торте по два прямолинейных разреза от края до края. При этом у одного получилось три куска, а у другого  четыре. Могло ли такое быть?

Задание 2
На рисунке изображена развертка кубика. На ней проставлены только числа: 1 и 2. Расставьте остальные числа: 3, 4, 5, 6 так, чтобы сумма чисел на любых двух противоположных гранях была равна 7.


Задание 3
Можно ли на плоскости отметить 6 точек и соединить их отрезками так, чтобы каждая была соединена ровно с четырьмя другими?

Задание 4
Верно ли, что среди любых пяти отрезков найдутся три, из которых можно составить треугольник?

Задание 5
Кролик, готовясь к приходу гостей, повесил в трёх углах своей многоугольной норы по лампочке. Пришедшие к нему Винни-Пух и Пятачок увидели, что не все горшочки с мёдом освещены. Когда они полезли за мёдом, две лампочки разбились. Кролик перевесил оставшуюся лампочку в некоторый угол так, что вся нора оказалась освещена. Могло ли такое быть?


Задание 6
Поставьте на плоскости 9 точек так, чтобы никакие 4 не лежали на одной прямой, но из любых шести нашлись 3, лежащие на одной прямой. (На рисунке проведите все прямые, на которых лежат по три отмеченные точки.)


Задание 7
Каждую грань куба разбили на четыре одинаковых квадрата. Можно ли каждый из получившихся квадратов покрасить в один из трёх цветов так, чтобы любые два квадрата, имеющие общую сторону, были покрашены в разные цвета?


Задание 8
На клетчатой бумаге отмечен прямоугольник размером 2Ч6. Можно ли раскрасить узлы клеток, лежащие на границе и внутри этого прямоугольника (всего их 21), в два цвета так, чтобы никакие четыре одноцветных узла не оказались в вершинах прямоугольника со сторонами, идущими вдоль линий сетки?
Занятие 31. Разные задачи 2
Задание 1.
Что больше: 2009/2010 или 2010/2011?
Ответ. 2010/2011 больше.
Задание 2
Напишите, используя каждую из цифр 1, 2, 3, 4 ровно два раза, восьмизначное число, у которого между единицами стоит ровно 1 цифра, между двойками ровно 2 цифры, между тройками ровно 3 и между четверками ровно 4 цифры.
Задание 3
Миша, Антон и Степан решали задачки. Миша сказал: «Я решил больше всех задач». Антон усомнился: «Либо ты решил не больше всех, либо Степан меньше всех». Степан сказал: «Я решил больше задач, чем Антон». Кто решил больше всех задач, если прав только один из мальчиков? Ответ объясните.
Задание 4
Денежной единицей Украины является гривна. В данный момент 1 гривна стоит 3 руб. 55 коп. Сколько гривен стоит 1 рубль? (Гривна, как и рубль, разменивается на 100 копеек, при нецелом числе копеек округление происходит в большую сторону.)

Задание 5
Решите ребус: ТИК+ТАК=АКТ. Буквами зашифрованы цифры. Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы разные цифры.
Задание 6
Пятеро по очереди ели торт. Первый съел пятую его часть, второй четверть остатка, третий треть нового остатка, четвертый половину того, что осталось после третьего, а пятый доел торт до конца. Кто из них съел больше всех?

Задание 7
В Циссильвании 1000 жителей. Трое из них вампиры, но мало кому известно, кто именно. Заезжий писатель м-р Стокер попросил каждого жителя назвать двух человек, которые, по его мнению, являются вампирами. Каждый вампир назвал двух других вампиров, а остальные могли назвать кого угодно. Докажите, что, пользуясь данными опроса (и зная, что вампиров в Циссильвании ровно трое), м-р Стокер может выбрать себе проводника, не являющегося вампиром.
Задание 8
В однокруговом футбольном турнире (каждая команда с каждой сыграла ровно по одному матчу) участвовало 7 команд. По итогам турнира оказалось, что команды, занявшие призовые места, набрали ровно половину всех очков. Могло ли по итогам турнира оказаться ровно 6 ничьих? (за победу даётся 3 очка, за ничью 1, за поражение 0)

Занятие 32. Составление уравнений
Задание 1
Решите уравнение (x:2
· 3):2
· 1 = 3.
Задание 2
Деду 56 лет, внуку 14. Через сколько лет дедушка будет вдвое старше внука?
Задание 3
Упаковка чая на 50 копеек дороже пакета кофе. Вася купил 7 упаковок чая и
Задание 4
9 одинаковых тетрадок стоят 11 рублей с копейками, а 13 таких же тетрадок 15 рублей с копейками. Сколько стоит одна тетрадка?
Задание 5
Представьте число 45 в виде суммы четырёх чисел так, что после прибавления 2 к первому числу, вычитания 2 из второго, умножения на 2 третьего и деления на 2 четвёртого эти числа станут равными.
Задание 6
В трёх ящиках лежат орехи. В первом на 6 орехов меньше, чем в двух других вместе, а во втором на 10 орехов меньше, чем в первом и третьем. Сколько орехов в третьем ящике?
Задание 7
Вифсла, Тофсла и Хемуль играли в снежки. Первый снежок бросил Тофсла. Затем в ответ на каждый попавший в него снежок Вифсла бросал 6 снежков, Хемуль 5, а Тофсла 4. Через некоторое время игра закончилась. Найдите, в кого сколько снежков попало, если мимо цели пролетели 13 снежков. (В себя самого снежками не кидаются.)
Задание 8
Ваня 28 ноября сказал: «Сегодня разность между числом прожитых мною полных месяцев и числом полных лет впервые стала равна 144». Когда у Вани День рождения?






Занятие 33. Задачи на «рассуждения»
Задачи на «рассуждения» очень часто включаются в задания математических олимпиад разного уровня. Цель данного занятия разобрать основные типы задач, решаемые при помощи рассуждений с минимальным привлечением вычислений.
Задача 1
Десяти собакам и кошкам скормили 56 котлет. Каждой собаке досталось 6 котлет, а каждой кошке 5 котлет. Сколько было собак, а сколько кошек?
Задача 2
В зоомагазине продают голубей и синиц. Голубь стоит в два раза дороже синицы. Школьники, зашедшие в магазин, купили для живого уголка 5 голубей и 3 синицы. Если бы они купили 3 голубя и 2 синицы, то потратили бы на 200 рублей меньше. Сколько стоит каждая птица?
Задача 3
Масса 10 ящиков болтов и 7 ящиков гвоздей – 366 кг, а 5 ящиков шурупов и 3 ящика навесов – 262 кг. Определите массу одного ящика гвоздей, шурупов, болтов и навесов, если известно, что ящик с гвоздями в три раза легче ящика с навесами, а с болтами – на 4 кг тяжелее, чем с шурупами.
Задача 4
Английский и немецкий языки изучают 116 школьников, немецкий и испанский языки учат 46 школьников, а английский и испанский языки изучают 90 школьников. Сколько школьников изучают английский, немецкий и испанский языки отдельно, если известно, что каждый школьник изучает только один язык.
Задача 5
В математической олимпиаде участвовали 100 школьников. Было предложено четыре задачи. Первую задачу решили 90 человек, вторую – 80, третью – 70 и четвертую –60. При этом никто не решил все задачи. Награду получили школьники, решившие и третью, и четвертую задачи. Сколько школьников было награждено?
Задача 6
Два пирата играли на золотые монеты. Сначала первый проиграл половину своих монет и отдал второму, потом второй проиграл половину всех своих монет, потом снова первый проиграл половину своих. В результате у первого оказалось15 монет, а у второго – 33. Сколько монет было у первого пирата до игры?
Занятия 34, 35. Итоговое занятие (урок – игра)
сп 1Рисунок 1C:\Users\User\Desktop\сп 1.tifсп 1Рисунок 3C:\Users\User\Desktop\сп 1.tifсп 1Рисунок 4C:\Users\User\Desktop\сп 1.tifсп 1Рисунок 2C:\Users\User\Desktop\сп 1.tifсп 1Рисунок 5C:\Users\User\Desktop\сп 1.tifРисунок 7Рисунок 23сп 4Рисунок 14C:\Users\User\Desktop\сп 4.tifсп 4Рисунок 16C:\Users\User\Desktop\сп 4.tifРисунок 18Рисунок 11Рисунок 8Рисунок 915

Приложенные файлы

  • doc file16
    shilnikovanf
    Размер файла: 3 MB Загрузок: 13