методическое пособие по математике «Производная функции»


Министерство образования и науки Пермского края
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Чусовской индустриальный техникум»
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО МАТЕМАТИКЕДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ I КУРСА ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Чусовой, 2015 год
Организация-разработчик: ГБПОУ «Чусовской индустриальный техникум»
Разработчики:
Гуляева Ольга Александровна, преподаватель высшей квалификационной категории
Матвеева Марина Валерьевна, преподаватель I квалификационной категории
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения занятий и для самостоятельной работы обучающихся I курса на базе основного общего образования технического профиля.
Содержит теоретические сведения по изучаемым разделам «Производная функции», примеры решения задач по каждому разделу, задания для практических и контрольных работ, вопросы для самопроверки.
Одобрено на заседании предметно – цикловой комиссии преподавателей естественно - научного цикла.
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………........................................4
ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ……………………………………………..5
2.1. Определение производной
2.2. Правила дифференцирования
2.3. Формулы производных простых функций
2.4. Производная сложной функции
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ……………….…….10
3.1. Тангенс угла наклона касательной к графику функции
3.2. Угловой коэффициент касательной к графику функции
3.3. Уравнение касательной
ФИЗИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ……………….……………14
ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ
К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИИ…………………………….…….......15
5.1. Монотонность функции (промежутки возрастания и убывания функции)
5.2. Исследование функции на экстремум с помощью производной
5.3. Построение графика функции
5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ……………………………………21
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ…………………………………….……..21
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ………………………………………….…...27
ЛИТЕРАТУРА………………………………………………….…………32
Введение
Человек в повседневной деятельности постоянно сталкивается с решением задач, которые могут быть полностью описаны математическим языком с помощью функции. Для исследования и построения графиков функций используют производную, входящую в один из основных разделов начал математического анализа.
Данное учебно-методическое пособие разработано по теме «Производная функции». Пособие представляет собой совокупность теоретических основ и практических заданий, которые призваны помочь обучающимся пополнить и углубить свои знания в области математического анализа.
После изучения темы «Производная функции», обучающиеся должны научиться находить производные функций, решать задачи прикладного характера.
Большое количество задач по всем разделам темы позволяет выработать у обучающихся необходимые практические навыки. Поэтому в данном пособии разработана система упражнений для наиболее полного усвоения учебного материала.
Данное пособие содержит задания, которые обучающиеся могут использовать при подготовке к ЕГЭ.
Для того, чтобы обучающимся было удобнее работать с математическим текстом, в учебно-методическом пособии введены условные обозначения:
- запомнить - пример
- решить самостоятельно - ответить на вопросы
- задания из ЕГЭ
Производная функции
2.1. Определение производной
Одним из основных понятий математического анализа является понятие о производной.
Определение
Производной функции y=fx в точке x0 называется число, к которому стремится отношение приращения функции к приращению аргумента, при стремлении последнего к нулю.
f/x=lim∆x→0∆y∆x=lim∆x→0fx+∆x-f(x)∆xПроцесс нахождения производной называется дифференцированием.
Продифференцировать данную функцию – значит найти её производную.
2.2. Правила дифференцирования
Пусть функции ux и vx- дифференцируемые функции.
Правило 1. Если функции ux и vx-имеют производную в точке х, то и их сумма (разность) имеет производную в точке х, причем производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных:
ux+v(x)/=u/x+v/(x) ux-v(x)/=u/x-v/(x)Правило 2. Постоянный множитель можно вынести за знак производной:
(Cux)/=C∙u/(x)Правило 3. Если функции ux и vx-имеют производную в точке х, то и их произведение имеет производную в точке х, причем:
ux∙v(x)/=u/x∙vx+ux∙v/(x)Правило 4. Если функции ux и vx-имеют производную в точке х, причем v(x)≠0,то и частное uxv(x) имеет производную в точке х, причем:
u(x)v(x)/=u/x∙vx-ux∙v/(x)v2(x)2.3. Формулы дифференцирования
Таблица 2 – Производные простейших функций
Функция
f(x)Производная
f/(x)Функция
f(x)Производная
f/(x)Постоянная величина
C 0 Логарифмическая функция logax1xlnaСтепенная функция xnnxn-1lnx1xCxnCnxn-1Тригонометрические функции
sinxcosxx 1 cosx-sinxCxC tgx1cos2xx12xctgx-1sin2xnxmmnnxm-nОбратные тригонометрические функции arcsinx11-x2Обратная функция 1x-1x2arccosx-11-x21xn-nxn+1arctgx11+x2Показательная функция axaxlnaarctgx-11+x2exexПримеры
1). 5х3/=5х3/=15x22). х2+1х-4/=x2/+1х/-4=2х-1x2-0=2х-1x23). х∙sinx/=x/∙sinx+x∙sinx/=sinx+xcosx4). x+2x2-1/=x+2/∙x2-1-(x+2)∙x2-1/x2-12=x2-1-(x+2)∙2xx2-12=-x2-4x-1x2-125). x-4x/=1-4∙12x=1-2x Производная сложной функции
Сложная функция (сл.)
Главная (внешняя) Подчиненная (внутренняя)

Гл. Подч.
Пусть uvx- сложная функция, где
u-главная внешняя функция
v -подчиненная внутренняя функция
Тогда производную сложной функции можно представить в следующем виде:
(Сл.)/=(Гл.)/ ∙ (Подч.)/
или вычислить по формуле:
(uv(x))/=u/v(x)∙v/xПримеры на нахождение производной сложной функции встречаются очень часто. Выражение  u(v(x)) – означает, что существует какая-то функция vx и, наряду с ней, существует другая функция u, зависящая от v(x), т.е. u(vx).
Проще говоря, сложная функция – это функция, зависящая от другой функции.
Пример 6 Найти производную функции y=e-x2
Решение:
Производная (ex) – это табличная производная и она равна (ex).
Но у нас (e-x2), т.е. под табличную эта функция уже не подходит, поэтому y=e-x2- это сложная функция, попробуем разобраться, где здесь подчиненная (внутренняя) и главная (внешняя) функции.
Чтобы понять, какая функция является внутренней, нужно представить, что нам известен  x, например, x=1. В первую очередь вы будете возводить 1 во вторую степень, поэтому (-x2) – это внутренняя функция. А уже затем вы будете возводить e в получившуюся степень, поэтому (e-x2) — внешняя функция. Теперь, когда стало ясно, что у нас что, можно применять формулу дифференцирования сложной функции:
u/v(x)=e-x2, v/=-2x, y/=-2xe-x2
Ответ: у =-2xe-x2Подсказка: Чтобы найти производную сложной функции нужно, для начала определить, какая функция является главной (внешней), а какая – подчиненной (внутренней). Для этого, нужно определить, какое действие выполняется первым, а какое последним. Сделать это проще всего, подставив в функцию конкретное значение x.
То действие, которое выполняется первым – подчиненная (внутренняя) функция, последним – главная (внешняя). Пример 7 Найти производную функции zx=2x3-42Решение: zx=2x3-42- сложная функция, zx=gfx, где y=fx=2x3-4; gy=y2. g/(y)=2y, f/x=6x2, значит
z/x=g/y∙f/x=2y∙6x2=22x3-4∙6x2=24x5-48x2z/x=24x5-48x2=24x2x3-2Ответ: 24x2x3-2Пример 8 Найти производную функции y=sin3xРешение: Это тоже сложная функция, так как посчитать просто производную от синуса по таблице не достаточно, у нас еще 3-ка перед x. Внутренней функцией здесь является 3x, внешней:  sin3x. Применяем все ту же формулу:
u/v=cos3x, v/=3Ответ: y/=3cos3xПример 9 Найти производную функции y=x∙1+x2 Решение:Для начала распишем производную произведения:
y/=x1+x2/=x/1+x2+x1+x2/Во втором слагаемом у нас появилась производная сложной функции, где
(1+x2) – внутренняя функция  v(x), а корень – внешняя  u(v(x)).
Применяем формулу:
(uvx)/=12∙11+x2, v/x=2x.В результате получаем: y/=1+x2+2x2121+x2=1+2x21+x2.Ответ: y/= 1+2x21+x2Иногда встречаются примеры, в которых подчиненная (внутренняя) функция не одна, а две или три. Рассмотрим пример на несколько внутренних функций.
Пример 10 Найти производную функции y=arctg e2xРешение:Находим подчиненную (внутреннюю) и главную (внешнюю) функции. Внутренними функциями являются v2=e2x и v1=2x, внешней - arctg e2x arctg/e2x=11+e4x∙v2/ ∙v1/ , v2/=e2x, v1/=2, y/=2e2x1+e4x.
Ответ: y/=2e2x1+e4x3. Геометрический смысл производной
3.1 Тангенс угла наклона касательной к графику функции

Рисунок 1 – График касательной
Секущая к графику fx-прямая, проходящая через любые две точки графика fx.ММ1 – секущая с угловым коэффициентом
tgφ=∆f∆xГде φ- угол наклона ММ1 к положительному направлению оси ОХ. Если зафиксировать точку М, а точку М1 приблизить к М, двигаясь по графику fx (при этом ∆x→0, φ→α, tgφ→tgα), то в итоге секущая займет предельное положение, т.е. совпадет с касательной к графику fx в точке x0.
3.2 Угловой коэффициент касательной к графику функции
Угловой коэффициент касательной k в точке x0 равен производной f/(x0)k=f/(x0)Угловой коэффициент k равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс.
k= tgαЗдесь угол α – это угол между прямой  y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется  углом наклона прямой  (рис.1 и 2).
 
Рисунок 2 – Примеры угла наклона касательной
Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент k является положительным числом. График возрастает (рис.1).
Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент
k является отрицательным числом. График убывает (рис.2).
Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент k прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид
y = b (рис.3).
Если угол наклона прямой равен 90º (π/2), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x= c, где c – некоторое действительное число. В этом случае угловой коэффициент k не существует (рис.4).
3.3 Уравнение касательной к графику функции
Уравнение касательной к графику функции fx в точке x0
y=f/x0∙x-x0+f(x0)Пример 11 Составить уравнение касательной к графику функции  fx=x2+1 в точке с абсциссой  x0=1.
Решение: Cразу приведем готовое графическое решение задачи (на практике этого делать в большинстве случаев не надо):

Рисунок 3
Общий вид уравнения касательной к графику функции в точке x0 имеет вид: y=f/x0∙x-x0+f(x0)Находим значение функции в точке x0=1: f1=12+1=2Находим производную функции: fx=2xНаходим значение производной в точке x0=1: f/1=2∙1=2Подставляем значения:  x0=1, fx0=2, f/x0=2 в формулу y=f/x0∙x-x0+fx:
y=2∙x-1+2=2x-2+2=2xУравнение касательной: y=2xОтвет: y=2xПример 12 Написать уравнение касательной к графику функции 
y=x2 в точке x0=3. Сделать чертеж.
Решение:
1. Запишем уравнение касательной к графику функции y=f (x) в точке с абсциссой  x0 в общем виде: y=f/x0∙x-x0+fx2. Находим значение данной функции в точке с данной абсциссой:
f (x0)=f (3)=32=93. Находим производную функции:  f '(x)=(x2)'=2x 
4. Находим значение этой производной при x0=3: f '(3)=2·3=6
Рисунок 4
Подставим найденные значения f (x0)=9  и  f '(3)=6  в уравнение касательной, получим: y=9+6·(x-3) = 9+6x-18= 6x-9Ответ: y=6x-94. Физический смысл производной
Определение
Производная функции fx-это скорость изменения функции в точке x0.
Применение: Мгновенная скорость неравномерного движения есть производная от функции, выражающей зависимость перемещения S от времени t.
Если закон прямолинейного движения тела задан уравнением St=ft, где S- путь в метрах, а t – время в секундах, то v=S/t- скорость тела,
a=v/t- ускорение тела.
Пример 13 Точка движется прямолинейно по закону S=2t3+t2+1, где S – путь в метрах, t – время в секундах.
Найти величину ускорения в момент времени 4 секунды и величину скорости в момент времени 3 секунды. Найдите время до полного торможения.
Решение:
1. v=S/=6t2+2t,v3=54+6=60(м/с)
2. a=v/=12t+2,a4=48+2=50(м/с2), v=0; 6t2+2t=0; 2t3t+1=0; t1=0-не имеет смысла; t2=-13 секунды; знак "-" означает направление проекции на ось ОХ.Ответ: v=60мс; a=50мс25. Применение производной к исследованию функции

5.1. Монотонность (промежутки возрастания и убывания функции)
Основные определения и понятия:
Функция y=fx называется возрастающей на промежутке (а;b), если для любых х1 и х2, из этого промежутка имеет место неравенство:
если х1 < x2, то f(x1) < f(x2)
Функция y=fx называется убывающей на промежутке (а;b), если для любых х1 и х2, из этого промежутка. Имеет место неравенство:
если х1 < x2, то f(x1) > f(x2)
Возрастание и убывание функции f(x) характеризуется знаком ее производной
Достаточный признак возрастания функции
f/x>0 на a;b → fx возрастает на a;bДостаточный признак убывания функции
f/x<0 на a;b → fx убывает на a;bПример 14 Найдите промежутки монотонности функции
fx=x2-8x+12Решение:
1. Найдем производную функции:
f/x=2x-8.
2. Находим нули производной:
f/x=0; 2x-8=0; x=43. Строим таблицу:
x-∞;44 (4; +∞)
f/x-0 +
fx
Ответ: при х ∈-∞;4- функция убывает, при х ∈4; +∞- функция возрастает
5.2. Исследование функции на экстремум с помощью производной
Основные определения и понятия:
Критические точки – это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует.
Только критические точки могут быть точками экстремума функции.
Теорема Ферма
Необходимое условие экстремума. Если точка x0 является точкой экстремума функции f и в этой точке существует производная f /, то она равна нулю: f /(x0)=0.
Точки экстремума функции – это точки минимума и максимума.
Признак максимума функции (упрощенная формулировка).
Если в точке x0 производная меняет знак с плюса на минус, то x0 – точка максимума.
f /(x)
« + » « - »
x0 – max
Признак минимума функции (упрощенная формулировка).
Если в точке x0 производная меняет знак с минуса на плюс, то x0 – точка минимума.
f /(x)
« - » « + »
x0 – min
Если при переходе через критическую точку x0 производная f/x не меняет знака, то функция f(x) в точке x0 не имеет экстремума.
Значения функции в точках минимума и максимума – это минимум и максимум (или экстремумы) функции.
Правило нахождения экстремумов функции у= f(x) Найти производную f/xНайти критические точки функции у= f(x): f/x=0Исследовать знак производной f/x в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции у= f(x)
Вычислить значения функции в точках экстремума
Пример 15 Найти точки экстремума функции y = x3 – 3x. Вычислить значения функции в точках экстремума.
Решение:
1. y/= 3x2 – 3 = 3(x -1)(x +1)
2. у/=0; 3(x -1)(x +1)=0
x1= - 1, x2= 1 – критические точки, т.к. являются корнями уравнения
3. Найдем точки экстремума функции, построив таблицу:
x-∞;-1-1 (-1; 1) 1 (1; +∞)f/x+0 - 0 +
fx 2 -2
max min 4. Найдем значения функции в точках экстремума:
ymax=(-1)3-3∙-1=-1+3=2ymin=13-3∙1=1-3=-2Ответ: хmax = -1, хmin = 1, ymax= 2, ymin=-25.3. Построение графиков функции
Общая схема построения графиков функций
1. Найти область определения функции
2. Выяснить, не является ли функция четной, нечетной или периодической (если это тригонометрическая функция)
3. Найти точки пересечения графика с осями координат (если это не вызывает затруднений)
4. Найти промежутки монотонности и экстремумы функции
5. На основании полученных данных исследования построить график функции. Если необходимо, то находим дополнительные точки
Пример 16 Исследовать и построить график функции f(x) = x3- 4x.
Решение:
D(f) = (-∞; +∞)2. f(-x)=(-x)3-4(-x)=-x3+4x=-(x3- 4x)=-f(x) – функция нечетная
3. Найдем точки пересечения графика с осью координат:
а) с осью ординат:
если х = 0, то у = f(0) = 03- 4∙0=0; (0;0)
б) с осью абсцисс:
если у=0, то x3- 4x=0
х(х2- 4)=0; х=0, х2-4=0
х2=4, х=±2 (0;0), (-2;0), (2;0)
4. Найдем производную функции и критические точки:
f/x=3x2-4;
fx=0; 3x2-4=0; 3x2=4; x1=-233; x2=233 – критические точки
5. Заполним таблицу:
x-∞;-233-233-233;233233233;∞f/x+0 _ 0 +
fx 1639 - 1639
max min Находим значения функции в критических точках:
f(-233)=1639; f(233)=- 1639 6. Строим график: у

1639 f(x) = x3- 4x



-2 -233 0 233 2 х

- 1639
5.4. Наибольшее и наименьшее значения функции
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной в некотором промежутке
1. Найти производную f/x2. Найти критические точки, принадлежащие данному промежутку, т.е. решить уравнение f/x=03. Вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих данному промежутку
4. Найти значения функции на концах данного промежутка
5. Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее и наименьшее значения функции
Пример 17 Найти наибольшее и наименьшее значения функции
f(x) = x2– 4x + 3 на промежутке [0; 3].
Решение:
1. Находим производную функции: f// = 2x – 4
2. Найдем критические точки: f / = 0, 2x – 4 = 0, x = 2 ∈ [0; 3]
3. Найдем значения функции:
f(2) = 4 – 8 + 3 = -1
f(0) = 0 – 0 + 3 = 3
f(3) = 9 – 12 + 3 = 0
4.Выберем наибольшее и наименьшее значения функции:
fmin = f(2) = -1, fmax = f(0) = 3
6. Вопросы для самопроверки
Сформулируйте определение производной функции в точке.
В чем заключается геометрический смысл производной?
В чем заключается физический смысл производной?
Перечислите формулы дифференцирования.
Сформулируйте правила дифференцирования.
Сформулируйте признаки монотонности функции.
Какие точки называют критическими точками функции?
Сформулируйте признаки максимума и минимума функции.
Как определить наибольшее и наименьшее значения функции на заданном промежутке?
Опишите схему исследования функции.
7. Практические задания
Чтобы правильно найти производную функции f(x), полезно придерживаться алгоритма:
1. Выделите, какие элементарные функции входят в состав уравнения функции
2. Отделите  в явном виде коэффициенты
3. Если возможно, упростите выражение f(x), используя свойства степени, свойства логарифмов или тригонометрические формулы в зависимости от того, какие элементарные функции входят в состав функции f(x)4. Вспомните, чему равны производные  этих функций или посмотрите в таблице производных
5. Обратите внимание на то, какими арифметическими действиями связаны между собой элементарные функции, которые входят в состав функции  и вспомните правило f(x), по которому находится производная суммы, разности, произведения или частного двух функций
Решить самостоятельно
Найти производную функции:
у=16x-4x2;
y=x+7x2;y=xx4-14;y=x53x+2;y=5x3x-42;y=4-x5∙2x-2.Найдите значения х, при которых значение производной функции f(x) равно нулю:
fx=x-352x=6;fx=x-42∙x.Решите уравнение f/x=0и неравенства f/x>0 и f/x≤0.fx=x2+3x-3;fx=2x-3x+5.Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции в точке с абсциссой x0:
fx=x3-x; x0=2;fx=1x; x0=-13;fx=x2; x0=-2.Исследуйте функцию и постройте её график:
y=x2-4x-5;y=-x4+4x2;y=x2+6x+8;у=x4-4x2.Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S=t3-3t+4м, где t- время движения в секундах. Найдите скорость тела через 3 секунды после движения.
Тело движется по прямой так, что расстояние S до него от некоторой точки А этой прямой изменяется по закону S=0,5t2+3t+2м, где t- время движения в секундах. Через какое время после начала движения скорость тела окажется равной 15 м/с?
Найти ускорение тела, движущегося по закону S=0.5sin2t, при t=π4.
Тело массой m=1 кг движется по закону: S=0,3sin10t-π. Определить силу, действующую на тело при t=π20.
Количество электричества, протекшее через проводник, начиная с момента t=0, определяется формулой q=2t2+3t+1Кл. Найти силу тока в конце 10-й секунды.
Движение двух материальных точек задано уравнениями:
S=4t+8t2-16t3,
S=2t-4t2+t3.
Найти, в какой момент времени ускорения одинаковы.
Маховик вращается по закону φ=8t2-6t+4. Найти угловую скорость в момент времени t=3с.
Закон изменения температуры тела Т в зависимости от времени выражается формулой T=2,5t2. С какой скоростью нагревается тело в t=2с?Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: c=100t1+5t. Найти скорость растворения.
Зависимость между массой вещества М, получаемой в некоторой химической реакции, и временем t выражается уравнением: M=5t2+6t. Найти скорость реакции.
Составьте уравнение касательной к графику функции y=x-3x2 в точке с абсциссой х0 = 2.
Составьте уравнение касательной к графику функции y=1+cosx в точке x0=π2. Найдите координаты всех точек графика этой функции, касательные в которых параллельны найденной касательной.
В какой точке касательная к графику функции y=x параллельна прямой y=x?Дана функция y=2x2-5x+1. Найдите координаты точки её графика, в которой угловой коэффициент касательной к нему равен 3.
В каких точках касательные к графику функции y=x3-3x+1 параллельны оси абсцисс?
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y=x3-3x2-9x-4 на отрезке [-4; 4].
Найдите наибольшее и наименьшее значения функции
y=2x3-15x2+24x+3 на отрезке [2;3].
Найдите промежутки убывания функции y=-x3+9x2+21x.Найдите точки экстремума функции y=3x2-2x3+6.Задания типа B9 (ЕГЭ по математике)
Для решения данной задачи необходимо знать, в чем состоит геометрический смысл производной. Прежде всего, должны внимательно определить: дан график самой функции или её производной.  
Задача 1
На рисунке дан график функции y=f(x), а также касательная к графику в точке с абсциссой, равной 3. Найти значение производной данной функции в точке х=3.

Решение: Для решения данной задачи необходимо вспомнить тот факт, что производная функции в точке равна тангенсу угла, образованному касательной и осью Ox, т.е. f /(xo)=tg a. 

f'(xo)=tg ACD. 
Рассмотрим треугольник ADC и найдем tg ACD. По определению, тангенс равен отношению противолежащего катета к прилежащему. AD=6, CD=3. Отсюда очевидно, что tg ACD=63=2. Следовательно, f /(xo)=2.
Ответ: 2
Решить самостоятельно
Задача №2
На рисунке дан график функции y = f(x) , а также касательная к графику в точке с абсциссой x0. Найдите значение производной функции y = f (x) в точке xo.

Задача №3
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-8;5). Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Задача №4
На рисунке изображен график функции y = f (x), определенной на интервале (-10;3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой у =3.

Задания типа B15 (ЕГЭ по математике)
Задача 1
Найдите наибольшее значение функции y=x3+2x2+x+3 на отрезке [−3;−0,5].
Задача 2
Найдите наименьшее значение функции y=x2−3x+lnx+5 на отрезке [34; 54].
Задача 3
Найдите наибольшее значение функции y=11⋅ln(x+9)−11x+37 на отрезке [−8,5; 0].
8. Контрольные работы
В каждой контрольной работе кружочком отмечены задания, соответствующие уровню обязательной подготовки.
Контрольная работа № 1 «Производная»
Вариант 1
10. Найдите производную функции:
.
20. Найдите значение производной функции:.
30. Найдите значения х, при которых значения производной функции отрицательны.
4. Решите уравнение , если .
5. Задайте формулой хотя бы одну функцию , если
Вариант 2
10. Найдите производную функции:
.
20. Найдите значение производной функции:.
30. Найдите значения х, при которых значения производной функции отрицательны.
4. Решите уравнение , если .
5. Задайте формулой хотя бы одну функцию , если
Контрольная работа № 2 «Применение непрерывности и производной»
Вариант 1
10. Решите неравенство: .
20. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
30. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
4. При движении тела по прямой скорость (в м/с) от начальной точки изменяется по закону . Найти ускорение (в м/с2) тела через 4 секунды после начала движения.
5. Найдите уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Вариант 2
10. Решите неравенство: .
20. Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой .
30. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой .
4. При движении тела по прямой скорость (в м/с) от начальной точки изменяется по закону . Найти ускорение (в м/с2) тела через 5 секунд после начала движения.
5. Найдите уравнения касательных к графику функции , параллельных прямой .
Контрольная работа № 3 «Применение производной к исследованию функций»
Вариант 1
10. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
.
20. Найдите критические точки функции . Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.
30. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
4. Докажите, что функция возрастает на всей числовой оси.
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Вариант 2
10. Найдите промежутки возрастания и убывания функции:
.
20. Найдите критические точки функции . Определите, какие из них являются точками максимума, а какие – точками минимума.
30.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
4. Докажите, что функция убывает на всей числовой оси.
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Контрольная работа № 4 (Итоговая)
Вариант 1
10. Найдите область определения каждой из функций.
20. Решите уравнение: .
30. Найдите производную функции: .
4. Напишите уравнения касательных к кривой проходящих через точку .
5. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
Вариант 2
10.Найдите область определения каждой из функций: .
20. Решите уравнение: .
30. Найдите производную функции: .
4. В каких точках касательные к кривой параллельны прямой ?5.Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке .
9. Литература
Основные источники:
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2013.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2011.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2011.
Дополнительные источники:
Лысенко, Ф. Ф. Математика ЕГЭ - Учебно-тренировочные тесты / Ф. Ф. Лысенко. - Ростов н/Д.: Легион, 2013.
Лысенко, Ф. Ф. Тематические тесты. Математика ЕГЭ -/ Ф. Ф. Лысенко. - Ростов н/Д.: Легион, 2014.
Методические рекомендации к учебникам математики для 10-11 классов, журнал «Математика в школе».
Математика. Весь школьный курс в таблицах/сост. Т.С. Степанова - Минск «Современная школа», «Кузьма», 2010. - 7-е издание – 304с.
Математика: учеб. Пособие / В.П. Омельченко, Э.В. Курбатова. – Изд. 8-е, стер. – Ростов н/Д: Феникс, 2013. – 380с. – (Среднее профессиональное образование).
Интернет – ресурс:
1. www.edu - "Российское образование" Федеральный портал.
2. www.school-collection.edu.ru/ Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов.
3. www.it-n.ru"Сеть творческих учителей".

Приложенные файлы

  • docx proizvodn.doc
    Размер файла: 473 kB Загрузок: 21