ОГЛАВЛЕНИЕ:
Введение.
2
Перебор возможных вариантов. Дерево возможных вариантов. Правило суммы и правило произведения.
3 - 5
Размещения.
6 - 8
Перестановки.
9 - 10
Сочетания.
11 - 12
Прояви смекалку!!!
13 - 18
УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ:
Внимательно прочитай и разберись
Это нужно запомнить
Введение
В обыденной жизни нам нередко встречаются задачи, которые имеют несколько различных вариантов решения. Чтобы сделать правильный выбор, важно не упустить ни один из них. Для этого надо уметь осуществлять перебор всех возможных вариантов или подсчитывать их число. Задачи, требующие такого решения, называются комбинаторными. С аналогичными задачами люди сталкивались в глубокой древности. Уже несколько тысячелетий назад в Древнем Китае увлеклись составлением магических квадратов, в которых заданные числа располагались так, что их сумма по всем горизонталям, вертикалям и главным диагоналям была одной и той же. В Древней Греции подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей особым образом разрезанного квадрата и т.д. Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Область математики, в которой изучают комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.
КОМБИНАТОРИКА – раздел математики, в котором изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов. Наукой комбинаторика становится лишь в 18 веке - в период, когда возникла теория вероятностей. Чтобы решать теоретико-вероятностные задачи, нужно было уметь подсчитывать число различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям. После первых работ, выполненных в 18 веке итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Тартальей, и Г. Галилеем, такие задачи изучали французские математики Б. Паскаль и П. Ферма. Первым рассматривал комбинаторику как самостоятельную ветвь науки немецкий философ и математик Г. Лейбниц, опубликовавший в 1666 году работу " Об искусстве комбинаторики", в которой впервые появляется сам термин "комбинаторный". Замечательные достижения в области комбинаторики принадлежат Л. Эйлеру.
Комбинаторными задачами интересовались и математики, занимавшиеся составлением и разгадыванием шифров, изучением древних письменностей. Теперь комбинаторика находит применение во всех областях науки и техники: в биологии, где она применяется для изучения состава белков и ДНК, в химии, в механике и т.д.
Знание комбинаторики научит вас воспринимать и анализировать информацию, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты.
Перебор возможных вариантов.
Дерево возможных вариантов.
Правило суммы и правило произведения.
Пример. Из группы теннисистов, в которую входят четыре человека – Антонов, Григорьев, Сергеев и Федоров, тренер выделяет пару для участия в соревнованиях. Сколько существует вариантов выбора такой пары?
Решение. Составим сначала все пары, в которые входит Антонов (для краткости будем писать первые буквы фамилий). Получим три пары: АГ, АС, АФ.
Выпишем теперь пары, в которые входит Григорьев, но не входит Антонов. Таких пар две: ГС, ГФ.
Далее составим пары, в которые входит Сергеев, но не входят Антонов и Григорьев. Такая пара только одна: СФ.
Других вариантов составления пар нет, так как все пары, в которые входит Федоров уже составлены. Итак, мы получили 6 пар: АГ, АС, АФ, ГС, ГФ, СФ, т.е. 321=6. значит, существует всего шесть вариантов выбора тренером пары теннисистов из данной группы.
Способ рассуждений, которым мы воспользовались при решении задачи, называют перебором возможных вариантов. Приведем еще один пример. Составить все двузначные числа из цифр 1,2,3.
Полный перебор вариантов:
12 21 31 12 21 31
12 23 32 или 13 23 32
22 33 (без повтора)
Эту же задачу можно решить используя способ, который носит название «Дерево возможных вариантов» (без повтора):
Двузначные
1 2 3
2 3 1 3 1 2 (одинаковое число веток)
Теперь рассмотрим два общих правила, с помощью которых решаются задачи комбинаторики – правило суммы и правило произведения. Начнем с простых примеров.
Пример. Допустим, что в магазине имеются 5 различных видов коробок конфет и 4 различных вида коробок печенья. Поставим два вопроса. Сколькими способами можно выбрать в подарок коробку конфет или коробку печенья? Сколькими способами можно составить набор, состоящий из коробки конфет и коробки печенья?
Решение. На первый вопрос ответ очевиден. Коробку конфет можно выбрать пятью способами, коробку печенья – четырьмя способами. Следовательно, конфеты или печенье можно выбрать 5+4=9 способами.
Если мы составляем набор из коробки конфет и коробки печенья, то к каждой из пяти различных коробок конфет можно подобрать печенье четырьмя способами: к коробке конфет первого вида – 4 способа выбора печенья, к коробке конфет второго вида – опять 4 способа и т.д. Всего 5х4=20 различных способов.
Ответ: 9; 20.
Этот простейший пример показывает применение правил суммы и произведения. Как мы видим, союзу “или” в постановке задачи соответствует сложение, союзу “и” - умножение. Сформулируем теперь правила в общем виде.
Правило суммы. Если некоторый объект a можно выбрать m способами, а объект b – k способами (не такими, как объект a), то объект “a или b” можно выбрать (m + k) способами.
Правило произведения. Если объект a можно выбрать m способами, а после каждого такого выбора другой объект b можно выбрать (независимо от выбора a) k способами, то объект “a и b” можно выбрать m х k способами.
Задачи:
Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 4 и 7?
В четверг в первом классе должно быть 3 урока: русский язык, математика и физкультура.
Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
Запишите все трехзначные числа, которые можно составить из цифр 0, 5, 9, используя при записи числа каждую цифру только один раз. Сколько всего таких чисел можно составить?
Данила, Андрей и Коля собрались потренироваться в бросании мяча в баскетбольную корзину. У них только один мяч, и им надо договориться, кто за кем будет бросать мяч в корзину. Сколькими способами они могут занять очередь?
В костюмерной танцевального кружка имеются зелёные и жёлтые кофты, а также синие, красные и чёрные юбки. Сколько можно из них составить различных костюмов?
Сколько всего четырехзначных чисел можно составить из цифр 0 и 3?
В палатке имеется 3 сорта мороженого: рожок, брикет и эскимо? Наташа и Данил решили купить по одной порции каждого сорта мороженого. Сколько существует вариантов такой покупки?
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 1,3,5,7, используя в записи числа каждую из них не более одного раза?
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 5, 9, 0, 6?
Сколькими способами можно указать на шахматной доске два квадрата – белый и черный? Решите эту же задачу, если нет ограничений на цвет квадратов; если надо выбрать два белых квадрата.
Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы из слова «ЗДАНИЕ»
На тарелке лежат 5 яблок и 4 апельсина. Сколькими способами можно выбрать один плод?
Из города А в город В ведут две дороги, из города В в город С – три дороги, из города С до пристани – две дороги. Туристы хотят проехать из города А через города В и С к пристани. Сколькими способами они могут выбрать маршрут?
В кафе имеются три первых блюда, пять вторых блюд и два третьих. Сколькими способами посетитель кафе может выбрать обед, состоящий из первого, второго и третьего блюд?
Сколько различных пятизначных чисел, делящихся на 10 можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4? Каждую цифру можно использовать в записи только один раз.
Сколько пятизначных чисел, делящихся на три, можно составить из цифр 3, 4, 6, 7, 9 если каждое число не содержит одинаковых цифр?
Сколько шестизначных чисел можно составить из цифр 4, 5, 6, 7, 8, 9 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «567»?
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы каждое из них начиналось с комбинации «45»?
Сколько чётных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 5, 9, 6, 0, так, чтобы цифры в числе не повторялись?
Сколько четных положительных пятизначных чисел можно получить из цифр 1,2,3,4?
Запишите все двузначные числа, в записи которых используются только цифры 3, 5, 7, 9. Сколько двузначных чисел можно записать, если использовать при записи числа каждую цифру только один раз?
В четверг в первом классе должно быть три урока: русский язык, математика и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?
Коля выбрал в магазине 5 дисков, но одновременно можно купить только два диска. Сколько вариантов выбора двух дисков есть у Коли?
Школьники из Волгограда собрались на каникулы поехать в Москву, посетив по дороге Нижний Новгород. Сколькими различными способами могут ребята осуществить свое путешествие, если из Волгограда в Нижний Новгород можно отправиться на теплоходе ли поезде, а из Нижнего Новгорода в Москву – на самолете, теплоходе, поезде или автобусе? Решите задачу с помощью построения дерева.
Начертите окружность и отметьте на ней три точки. Обведите получившиеся при этом дуги карандашом разных цветов. Сколько карандашей вам понадобилось? Сколько дуг у вас получилось?
Лена, Света, Маша, Катя и Наташа пришли к зубному врачу. Сколькими способами они могут встать в очередь?
Девять школьников, сдавая экзамены по математике и информатике, получили отметки «4» и «5». Можно ли утверждать, что по крайней мере двое из них получили по каждому предмету одинаковые отметки?
Сколько существует двузначных чисел, у которых первая цифра больше второй?
К полднику в детском саду на четырёхместный стол поставили сок, молоко, какао и компот. Сколькими способами четверо детей могут выбрать себе один из напитков?
Размещения.
Пусть имеется 4 шара и 3 пустых ячейки. Обозначим шары буквами a, b, c, d. в пустые ячейки можно по-разному разместить три шара из этого набора шаров. Если мы поместим шар a в первую ячейку, шар b во вторую, а шар с в третью ячейку, то получим одну из возможных упорядоченных троек шаров:
a
b
c
Выбирая по-разному первый, второй и третий шары, будем получать различные упорядоченные тройки шаров, например:
a
c
b
b
a
c
a
b
c
Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением четырех элементов по три.
Размещением из n элементов по k (k
· n) называется любое множество, состоящее из любых k элементов, взятых в определенном порядке из данных n элементов.
Число размещений из n элементов по k обозначают (читают «А из n по k»).
Из определения следует, что два размещения из п элементов по k считаются различными, если они отличаются самими элементами или порядком их расположения. Значит, =n(n – 1)(n – 2)
·
·(n – (k – 1))
Составим из элементов a, b, с, d все размещения по три элемента. В первой строке запишем все размещения, которые начинаются с элемента a, во второй – с элемента b, в третьей – с элемента c, в четвертой – с элемента d.
Получим такую таблицу:
abc, abd, acb, acd, adb, adc,
bac, bad, bca, bcd, bda, bdc,
cab, cad, cba, cbd, cda, bdc,
dab, dac, dba, dbc, dca, dcb.
Из составленной таблицы видно, что =24.
Число размещений из четырех элементов по три можно найти, не выписывая самих размещений. Первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так как им может быть один из четырех элементов. Для каждого выбранного первого элемента можно тремя способами выбрать второй элемент из трех оставшихся. Наконец, для каждых первых двух элементов можно двумя способами выбрать из двух оставшихся третий элемент. В результате получаем, что =4·3·2=24.
Пример. Учащиеся второго класса изучают 8 предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было четыре различных предмета?
Любое расписание на один день, составленное из 4 различных предметов, отличается от другого либо предметами, либо порядком следования предметов. Значит, в этом примере идет речь о размещениях из 8 элементов по 4. Имеем, = 8·7·6·5 = 1684.
Расписание можно составить 1680 способами.
Задачи:
Из 30 студентов класса надо выбрать хозяйку класса, старосту и физорга. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько букв русского алфавита можно закодировать, используя лишь комбинации точек и тире, содержащие только три знака?
Переплетчик должен переплести 12 различных книг в красный, зеленый и коричневый переплеты. Сколькими способами он может это сделать?
В классе 30 человек. Сколькими способами могут быть выбраны из них староста и казначей?
В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?
Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А,В,С,D,E и F?
Для запирания автоматической камеры применяется секретный замок, который открывается лишь тогда, когда набрано «тайное слово». Это слово набирают с помощью пяти дисков, на каждом из которых изображено 12 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова и подбирающего его наудачу?
Сколько различных четырехзначных чисел можно составить из цифр 2, 6, 7, 8 и 9, если каждая цифра может входить в комбинацию несколько раз?
На референдуме предложены четыре вопроса, на которые надо ответить «да» или «нет». Сколько есть возможностей заполнения бюллетеня (на все вопросы надо дать ответ)?
Неудовлетворенные решением Париса Гера, Афина и Афродита обратились к трем мудрецам с просьбой назвать прекраснейшую из них. Каждый из мудрецов высказал свое мнение. Сколько могло возникнуть вариантов ответа на поставленный вопрос у этой тройки?
У Лены есть восемь красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если собирается каждую букву раскрашивать одним цветом?
Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две различные путевки в санаторий?
Из 20 учащихся надо выбрать старосту, его заместителя и редактора газеты. Сколькими способами это можно сделать?
В классе изучаются 7 предметов. В среду 4 урока, причем все разные. Сколькими способами можно составить расписание на среду?
В чемпионате по футболу участвуют десять команд. Сколько существует различных возможностей занять командам первые три места?
Из десяти различных книг выбирают четыре для посылки. Сколькими способами это можно сделать?
Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?
Из 30 студентов класса надо выбрать хозяйку класса, старосту и физорга. Сколькими способами это можно сделать?
В конкурсе песен «Галерея звезд» участвуют 15 человек. Сколькими способами могут распределиться между ними места?
Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр 5, 6, 8, 7, 1?
Для запирания сейфа на диск нанесены 12 букв, а секретное слово состоит из 5 букв. Сколько неудачных попыток может быть сделано человеком, не знающим секретного слова?
Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6?
Пять разных предметов раздают 8 людям, причем может случиться так, что некоторые получат по несколько предметов. Сколькими способами может быть произведен раздел?
Сколькими способами из колоды, содержащей 36 карт, можно выбрать по одной карте каждой масти?
Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? Рассмотрите два случая: а) цифры, входящие в одно и тоже число различны; б) среди входящих в одно и тоже число, могут быть одинаковые.
Сколькими способами можно разместить 12 человек за столом, на который поставлено 12 приборов?
Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди семи учащихся группы в течение семи дней?
Сколько различных слов можно получить, переставляя буквы слова «ингредиент»?
Сколькими способами можно посадить за круглый стол пять мужчин и пять женщин так, чтобы никакие два лица одного пола не сидели рядом?
Перестановки.
Простейшими комбинациями, которые можно составить из элементов конечного множества являются перестановки.
Рассмотрим пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному:
abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).
Мы установили, что Р3 = 6. для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.
Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.
Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что
Pn = n(n-1)(n-2) ··3·2·1.
Расположив множители в порядке возрастания, получим
Pn = 1·2·3··(n-2)(n-1)n.
Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).
Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n!
Пример. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Число способов равно числу перестановок из 8 элементов. По формуле числа перестановок находим, что Р8 = 8!= 1 2 3 4 5 6 7 8 = 40320.
Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.
Задачи:
Найдите число способов расстановки 8 ладьей на шахматной доске, при которых они не бьют друг друга.
Сколькими способами можно представлять друг с другом цифры 1, 2, 3, 4?
За столом пять мест. Сколькими способами можно расставить пятерых гостей?
У Лены есть 8 разных красок. Она хочет написать ими слова «Новый Год». Сколькими способами она может это сделать, если каждая буква может быть раскрашена одним цветом и все 8 букв должны быть разные по цвету.
Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?
У мамы 2 яблока и 3 груши. Каждый день в течение 5 дней она дает сыну по 1 фрукту. Сколькими способами это может быть сделано.
Сколькими способами можно положить 28 различных открыток в 4 одинаковых конверта так, чтобы в каждом конверте было по 7 открыток?
Сколько различных кортежей получится, если переставлять буквы слова «математика»?
Сколькими способами можно усадить за стол трех мальчиков и трех девочек так, чтобы никакие две девочки не сидели рядом?
Из 20 учащихся кружка математики четверых необходимо отправить на олимпиаду. Сколькими способами можно составить команду?
В вазе стоят 10 белых и 5 красных роз. Сколькими способами можно выбрать из вазы букет, состоящий из двух красных и одной белой розы?
Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения 5, 6, 7, 8, 9? Сколько из них равносторонних, равнобедренных и разносторонних?
Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
Курьер должен разнести пакеты в 7 различных учреждений. Сколько маршрутов он может выбрать?
Сколькими способами 9 человек могут встать в очередь в театральную кассу?
·В автосервис одновременно приехали 3 машины для ремонта. Сколько существует способов выстроить их в очередь на обслуживание?
Сколько есть способов раздать спортивные номера с 1 по 5 пяти хоккеистам?
Сколько существует выражений тождественно равных произведению аbcde, которые получаются из него перестановкой множителей?
Делится ли число 14! на: а) 168; б) 136; в) 147; г) 132?
Выпишите все натуральные делители числа:
а) 4!; б) 5!; в)6!
Сочетания.
Пусть имеется пять гвоздик разного цвета. Обозначим их буквами a, b, c, d, е. требуется составить букет из трех гвоздик. Выясним, какие букеты могут быть составлены.
Если в букет входит гвоздика а, то можно составить такие букеты:
abc, abd, abe, acd, ace, ade
Если в букет не входит гвоздика а, но входит гвоздика b, то можно получить такие букеты:
bcd, bce, bde.
Наконец, если в букет не входит ни гвоздика а, ни гвоздика b, то возможен только один вариант составления букета: cde.
Мы указали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три гвоздики из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из пяти элементов по три.
Сочетанием из п элементов по k (0
В отличие от размещений в сочетаниях не имеет значения, в каком порядке указаны элементы. Два сочетания из n элементов по k отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Пример. Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
Каждый выбор отличается от другого хотя бы одним дежурным. Значит, здесь речь идет о сочетаниях из 15 элементов по 3.
Следовательно, трех дежурных можно выбрать 455 способами.
Задачи:
Из 15 членов туристической группы надо выбрать трех дежурных. Сколькими способами можно сделать этот выбор?
В магазине «Филателия» продается 8 различных марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
На полке стоит 12 книг: англо-русский словарь и 11 художественных произведений на английском языке. Сколькими способами читатель может выбрать 3 книги, если
а) словарь нужен ему обязательно;
б) словарь ему не нужен?
В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
В классе учатся 16 мальчиков и 12 девочек. Для уборки территории требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?
Сколько наборов из семи пирожных можно составить, если в продаже имеется четыре сорта пирожных?
Сколько существует различных треугольников, длины сторон которых принимают значения: 8, 10, 12 и 14 см? Сколько среди них равносторонних, равнобедренных, разносторонних?
Сколько всего существует результатов опыта, заключающегося в подбрасывании двух одинаковых игральных костей?
В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем 12 открыток? 8 открыток? 8 различных открыток?
Кодовый замок содержит 10 кнопок с цифрами от 1 до 10. Замок открывается одновременным нажатием трех кнопок. Сколько существует различных кодовых комбинаций?
Хоккейная команда насчитывает 18 игроков. Одиннадцать из них входят в основной состав. Подсчитайте количество возможных основных составов?
Сколькими способами можно выбрать три различные краски из пяти возможных?
В классе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?
В магазине «Филателия» продается 8 различных наборов марок, посвященных спортивной тематике. Сколькими способами можно выбрать из них 3 набора?
Учащимся дали список из 10 книг, которые рекомендуется прочитать во время каникул. Сколькими способами ученик может выбрать из них 6 книг?
Из трех игроков, заявленных на теннисный матч, надо выбрать двух для выступления в парном разряде (порядок игроков не важен). Сколькими способами это можно сделать?
Сколькими способами можно выбрать 49 предметов из 50?
Сколькими способами можно отобрать стартовую шестерку в волейбольном матче, если в команде заявлено 10 игроков?
Сколько существует четырехзначных чисел, кратных 10, если цифры в числах могут повторяться?
Пешеход должен пройти один квартал на север и три квартала на запад. Выпишите все возможные маршруты пешехода.
Выпишите все пятизначные числа, записанные тремя четверками и двумя единицами.
Прояви смекалку!!!
В магазине «Канцтовары» продаются 5 разных видов фломастеров, 3 разных вида авторучек и 4 разных вида карандашей.
а) Сколькими способами можно купить там один пишущий инструмент?
б) Сколькими способами можно купить набор «Фломастер + авторучка»?
в) Сколькими способами можно купить набор «Фломастер + авторучка + карандаш»?
г) Сколькими способами можно купить набор из 2 различных пишущих предметов?
В Стране Чудес есть три города: А, Б и В. Из города А в город Б ведет 6 дорог, а из города Б в город В 4 дороги (см. рис.1). Сколькими способами можно проехать от А до В?
Рис.1 Рис. 2
В Стране Чудес построили еще один город Г и несколько новых дорог (см. рис.2). Сколькими способами можно теперь добраться из города А в город В?
В магазине «Канцтовары» по-прежнему продаются 5 видов фломастеров, 3 вида авторучек и 4 вида карандашей. Известно, что один из фломастеров, одна из авторучек и один из карандашей изготовлены фирмой «Паркер». Сколькими способами можно купить набор «Фломастер + авторучка + карандаш», в котором:
а) нет предметов, изготовленных фирмой «Паркер»?
б) 1 предмет, изготовленный фирмой «Паркер»?
в) 2 предмета, изготовленных фирмой «Паркер»?
г) 3 предмета, изготовленных фирмой «Паркер»?
Забор состоит из 10 досок. У маляра Вася есть краска четырёх различных цветов. Сколькими способами он может покрасить лишь одну доску забора?
В бригаде маляров кроме Васи есть ещё маляры Люся и Нюся. Сколькими способами кто-то из маляров может покрасить одну доску забора?
Вася, Люся и Нюся работают с понедельника по пятницу. Сколькими способами кто-то из них может покрасить одну доску забора в рабочий день недели?
Рассмотрим шестизначные числа. Сколько их всего?
а) Сколько чисел, все цифры которых нечётны?
б) Сколько чисел, все цифры которых имеют одинаковую четность?
в) Сколько чисел, все цифры которых различны?
г) Сколько чисел, в которых любые две соседние цифры различны?
Заяц прыгает в одном направлении по разделенной на клетки полосе. За один прыжок он может сместиться либо на одну, либо на две клетки. Сколькими способами может заяц добраться с 1-й клетки на 12-ю?
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трех букв А, Б и В. Словом является любая последовательность, состоящая не более, чем из 4 букв. Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
В футбольной команде «Тюльпан» из 11 человек нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
Попугай Иннокентий знает следующие слова: филин, кот, таракан, поёт, бежит, стучит, спит, говорливый, мудрый, усатый. Он может произносить такие фразы:
прилагательное + существительное + глагол .
Например, «Мудрый таракан поёт». Сколько разных фраз может сказать Кеша?
Сколько имеется шестизначных чисел, в которых четные и нечетные цифры чередуются?
На одной из двух параллельных прямых выбрано 8 точек, а на другой – 6 точек.
Сколько можно построить отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых?
Пусть отрезок АВ соединяет третью точку на первой прямой с четвёртой точкой на второй. Сколько отрезков, соединяющих две точки, лежащие на разных прямых, пересечёт отрезок АВ внутри полосы?
Сколькими способами можно поставить на шахматную доску белого и черного королей, чтобы получилась допустимая правилами позиция?
На собрании должны выступить 5 человек: А, Б, В, Г и Д. Сколькими способами можно расположить их в списке ораторов при условии, что Б не должен выступать до того, как выступит А?
15.Найдите количество различных делителей числа 1)13 EMBED Equation.3 1415; 2) 13 EMBED Equation.3 1415; 3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти количество различных делителей числа 13 EMBED Equation.3 1415, имеющих в своем разложении на простые множители 1) ровно два простых делителя; 2) не больше двух простых делителей.
Найти количество 5-значных чисел, у которых есть хотя бы две одинаковые цифры.
При передаче сообщений по телеграфу используется азбука Морзе (“(, –”), при этом приходится использовать от одного до пяти знаков. Нельзя ли обойтись меньшим числом знаков?
У англичан принято давать детям несколько имен. Сколькими способами можно назвать ребенка, если общее число имен равно 300, а ему дают не более трех имен?
В алфавите 22 согласных и 10 гласных букв. Сколько можно составить двухбуквенных слов со следующими условиями:
Первая буква согласная, а вторая – гласная.
Одна из двух букв согласная, а другая гласная, но буквы стоят в любом порядке.
Никаких ограничений на буквы не накладывается.
Обе буквы одинаковые.
Обе буквы разные.
Первая буква гласная, а вторая – произвольная.
Хотя бы одна буква – гласная.
Либо обе буквы гласные, либо обе согласные, но при этом разные.
Сколько существует 10-значных чисел, в которых имеется хотя бы две одинаковые цифры?
Кубик бросают трижды. Среди всех возможных последовательностей результатов есть такие, в которых хотя бы один раз встречается шестерка. Сколько их?
Найти количество различных делителей числа 6!.
У Вани имеется 5 различных ручек и 6 карандашей. Сколькими способами он может выбрать набор из ручки и карандаша?
Сколько существует двузначных чисел, трехзначных, 100-значных?
Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры нечетные? А трехзначных?
Сколько существует двузначных чисел, у которых все цифры четные? А трехзначных?
Ученик выполняет тест, состоящий из 10 вопросов, каждый из которых имеет два варианта ответов – “верно” или “неверно’. Сколько может получиться разных вариантов ответа на весь тест?
Пятачок бежал в гости к Вини-Пуху по лестнице, содержащей 14 ступенек. На любую из этих ступенек он мог наступать или перепрыгивать. Сколькими разными способами он может подняться по лестнице?
Сколькими способами можно поставить на шахматной доске черную и белую ладью так, чтобы они не били друг друга?
Сколькими способами можно поставить на доску две черных ладьи так, чтобы они не били друг друга?
Сколькими способами можно поставить на доску 8 разноцветных ладей 8 цветов так, чтобы они не били друг друга?
Сколькими способами можно поставить на доску 8 черных ладей так, чтобы они не били друг друга?
Из города A в город B ведут пять дорог, а из города B в город C – три дороги. Сколько путей, проходящих через B, ведут из A в C?
Из двух спортивных обществ, насчитывающих по 100 фехтовальщиков каждое, надо выделить по одному фехтовальщику для участия в состязании. Сколькими способами может быть сделан этот выбор?
Имеется пять видов конвертов без марок и четыре вида марок одного достоинства. Сколькими способами можно выбрать конверт с маркой для посылки письма?
На ферме есть 20 овец и 24 свиньи. Сколькими способами можно выбрать одну овцу и одну свинью? Если такой выбор уже сделан, сколькими способами его можно сделать еще раз?
Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске белый и черный квадраты, не лежащие на одной и той же горизонтали и вертикали?
Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну – на правую руку так, чтобы эти перчатки были различных размеров?
Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг, если имеется материал 5 различных цветов? Та же задача, если один из цветов должен быть красным?
Сколько словарей нужно издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, французского, немецкого, итальянского, на любой другой из этих пяти языков?
Надо послать 6 срочных писем. Сколькими способами это можно сделать, если для передачи писем можно отправить трех курьеров и каждое письмо можно дать любому из курьеров?
Электрик дядя Вася развешивает на елке новогоднюю гирлянду из 8 лампочек. Сколькими разными способами может зажечься гирлянда, если каждая лампа в ней может как гореть, так и не гореть.
Из класса в 20 человек выбирают группу тех, кто пойдёт в театр. Число человек в такой группе может быть любым от 0 до 20 человек. Каким числом способов можно сделать такой выбор?
Нужно расставить 40 книг на три полки. Сколькими способами это можно сделать, если полки могут оставаться пустыми?
У человека не может быть больше 32 зубов. Сколько существует различных наборов зубов?
У Тани есть 5 разных фломастеров, 7 разных карандашей и 11 разных тетрадей. Сколькими способами она может подарить Коле:
а) какой-то один предмет;
б) набор из 1 фломастера, 1 карандаша и 1 тетради;
в) набор из 2 фломастеров и 1 тетради?
У Максима есть 100 конфет. Из них 60 с блестящим фантиком, 26 шоколадных, 63 вкусных, 13 шоколадных с блестящим фантиком, 25 шоколадных и вкусных, 43 вкусных с блестящим фантиком. Более того, 12 из них – шоколадные вкусные и с блестящим фантиком.
а) Сколько у него невкусных не шоколадных конфет с обычным фантиком?
б) А сколько невкусных шоколадных?
в) Сколько вкусных, но не шоколадных конфет с блестящим фантиком?
В Англии принято давать детям несколько имен, причем два раза одно имя повторяться не должно и порядок перечисления играет роль. Какое наибольшее число мальчиков могут быть названы по-разному, если имеется 300 различных имен, и можно давать не более трех имен?
Встретились 10 друзей, которые познакомились в лагере «Дилемма». Сколько будет рукопожатий, если каждый поздоровается с каждым ровно один раз?
Вершины треугольника обозначили буквами латинского алфавита A, B, C. Сколькими способами можно его назвать?
Вершины десятиугольника обозначены десятью первыми буквами. Сколькими
способами можно его назвать?
Сколько существует целых положительных чисел от 1 до 300, которые:
а) Делятся на 3 и на 5;
б) Делятся на 3, но не делятся на 5;
в) Делятся на 3 или на 5?
Сколькими способами из 30 шестиклассников можно выбрать делегацию, состоящую из трех человек?
В классе 20 человек. Сколькими способами можно выбрать из них трех членов в Совет школы?
Сколькими способами можно выбрать командира и четырех его помощников из 15 человек?
Комиссия состоит из председателя, его заместителя и еще пяти человек. Сколькими способами члены комиссии могут распределить между собой обязанности?
В классе 20 человек. Пятеро из них должны ехать на ученическую конференцию. Сколько может быть различных составов этой группы, если командир отряда, его заместитель и член Совета школы одновременно уезжать не должны?
В фортепианном кружке занимаются 10 человек, в кружке художественного слова – 15, в вокальном кружке – 12 и в фотокружке – 20 человек. Сколькими способами можно составить команду из четырех чтецов, трех пианистов, пяти певцов и одного фотографа?
Имеется 12 красных гвоздик, 10 – белых, 7 – розовых. Сколько существует способов составления букета из пяти цветов?
7 яблок и 3 апельсина надо положить в два пакета так, чтобы в каждом пакете был хотя бы один апельсин и количество фруктов в них было одинаково. Сколькими способами это можно сделать?
В подразделении 60 солдат и 5 офицеров. Сколькими способами можно выделить караул, состоящий из трех солдат и одного офицера ?
Из 10 тюльпанов и 8 нарциссов нужно составить букет так, чтобы в нем были 2 тюльпана и 3 нарцисса. Сколько таких букетов можно составить?
На окружности отмечено 8 различных точек. а) Сколько хорд можно провести, соединяя любые две из этих точек; б) Сколько различных треугольников с вершинами в данных точках можно построить; в) Сколько выпуклых четырехугольников с вершинами в данных точках можно построить?
Агрохимик проверяет шесть типов минеральных удобрений; ему нужно провести несколько опытов по изучению совместного влияния любой тройки удобрений. Для каждого опыта берется участок 0,25 га. На какой площади проводится все исследование?
В одном учреждении был обнаружен несгораемый шкаф, сохранившийся с довоенных лет. Отыскался и ключ к нему, но чтобы им воспользоваться надо знать код; дверь шкафа открывалась лишь тогда, когда имевшиеся на двери пять кружков с алфавитом (36 букв) устанавливались в определенном порядке. На составление одной комбинации требовалось 3 секунды. Можно ли открыть шкаф в ближайшие 10 рабочих дней?
В магазине «Планета чая» продаются 6 чашек разной высоты 4 блюдца разной ширины. Миша решил купить одну чашку и одно блюдце. Сколькими способами он может этот сделать?
В магазине «планета чая» еще продаются 5 чайных ложек. Сколькими способами Миша может купить чайный комплект из одного блюдца, одной чашки и одной ложки?
В волшебной стране есть 3 города: Мудрый, Светлый и Чудный. Из Мудрого в Светлый ведут 5 дорог, из Светлого в Чудный 6 дорог. Сколькими способами Миша может проехать из города Мудрый в город Чудный?
В той же волшебной стране еще 4 города: Красный, Синий, Серый и Зеленый. Город Красный и город Синий связывают 5 дорог, города Синий и Серый связывают 7 дорог. Из Красного в Зеленый ведут две дороги, из Зеленого в Серый три дороги. Сколькими способами Миша может проехать из города Красный в город Зеленый?
В магазин «Планета Чая» привезли для продажи 5 чашек, 4 блюдца и 3 ложки. Сколькими способами Миша может купить два разных предмета?
Миша решил называть числа «приятными», если в их записи участвуют только четные цифры. Помогите ему сосчитать количество 4-значных «приятных» чисел.
Буратино три раза бросил монету. Сколько различных последовательностей выпадения орлов и решек он мог при этом получить?
Миша решить разделить огород на 4 части на каждой посадить или картофель или свеклу. Сколько различных вариантов посадок существует?
Номер телефона репетитора по математике 756-93-95. Миша запомнил только первые 5 его цифр и то, что какие-то две цифры повторяются дважды. Он выписал все возможные комбинации окончаний и позвонил на каждый из номеров. Правильным оказался последний вариант. Какое количество звонков сделал Миша?
Миша захотел предсказать итог проведения пяти товарищеских матчей двух баскетбольных команд. Итогом каждой встречи может быть или победа первой команды или поражение. Сколько разных прогнозов Миша мог бы сделать?
Алфавит жителей другой планеты состоит из трех разных букв. Словом является любая их последовательность, состоящая не более чем из 4 букв. Сколько слов в языке инопланетян.
Указание репетитора по математике: считайте отдельно количество слов с одной буквой, потом с двумя буквами, потом с тремя и четырьмя.
В футбольной команде имеются семь игроков, которые удачно пробивают пенальти. Тренеру нужно выбрать пятерку финалистов для выяснения победителя матча. Сколько разных составов могут пробить серию пенальти. Порядок в котором они пробиваются не учитывается.
На горку ведут 7 дорог. Сколько существует маршрутов, которыми можно подняться на горку, а затем спуститься с нее? Решите эту же задачу при условии, что нельзя спускаться и подниматься по одной и той же дороге.
13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115
Муниципальное общеобразовательное учреждение
«Ухтинский технический лицей им. Г.В. Рассохина»
г. Ухта
2014 год
Комбинаторика в задачах
Сборник для 5 – 6 класс
Составитель: Фролова Галина Адольфовна, учитель математики
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
?
Рисунок 31
Приложенные файлы
