Проектная работа по математике «Много ли человеку земли надо?»

Автор: Джум Светалана Павловна, учитель математики МОУ «Чапаевская средняя общеобразовательная школа МО – Михайловский муниципальный район Рязанской области
Визитная карточка проекта
«Много ли человеку земли нужно?»
(Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции)

Тема учебного проекта: «Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции».
Охватывает учебные темы: «Применение производной к исследованию функций», «Площадь и периметр четырехугольников», творчество Л.Н. Толстого, «Долгота дня. Точки равноденствия», «Легенды и мифы Древней Греции», творчество русских художников И. Левитана, А. Веницианова и др
Какие дидактические цели преследует проект?
Формирование умений и навыков в применении производной к исследованию функции.
Какие компетентности формирует проект?
Формирование умений самостоятельно формировать условие задачи, умений находить самостоятельное решение, искать решение задачи как можно большим количеством способов, формирование умений конструировать и изготавливать презентации.
Какие методические задачи ставим в своем проекте?
Научить учащихся творчески мыслить, видеть прекрасное, переводить на язык формул, обрабатывать и обобщать полученную информацию в результате приведенных примеров.
Основополагающий вопрос.
Много ли человеку земли надо? Как получить землю большей площади при заданном периметре участка.
Вопросы учебной темы:
- Площадь прямоугольника.
- Площадь трапеции.
- Периметр четырехугольника.
- Квадрат.
- Возрастание и убывание функции.
- Точки максимума и минимума.
- Область определения функции.
- Наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке.
- Касательная к графику функции.
- Угловой коэффициент касательной.
8. Творческое название работы: «Много ли человеку земли нужно?»
9. Самостоятельные исследования
- Работа с учебным пособием.
- Изучение темы по астрономии «Долгота дня. Точки равноденствия»
- Изучение текста рассказа с целью составления траектории движения.
- Изучение материалов Интернет о марафонских дистанциях для уточнения условия задачи.
- Перебор возможных вариантов на основе знаний, полученных на уроках геометрии.
10. Проект соответствует обобщающему повторению темы «Применение производной» в 11 классе.
11. Проект предусматривает применение знаний, полученных на уроках астрономии, информатики, истории, литературы, геометрии, алгебры.
12. Возраст: 11 класс, старшая школа.
13. Оформление результатов проекта в виде презентации.
14. Время для выполнения учебного проекта 5 академических часов:
1 час – уточнение условия задачи (литература, астрономия, история)
1 час – решение задачи методом перебора вариантов с использованием геометрических фигур
2 часа – оформление графиков и презентации.
1 час – защита
Контроль: опрос, наблюдение, анализ приведенных решений, подведение итога.


HYPER15Основной шрифт абзаца


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

«Много ли человеку земли нужно?» (Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции) Работу выполнил: ученик 11 класса Чапаевской средней общеобразовательной школы Джум Антон Сергеевич, 1991 года рождения История вопроса Источником послужил рассказ Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?» Условие задачи Крестьянин Пахом, мечтавший о собственной земле, собравший, наконец желанную сумму, предстал перед условием хозяина богатого участка. Что необходимо сделать? Сколько за день земли обойдешь, вся твоя и будет за 1000 рублей. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги» Как выполнял Пахом задание? Выбежал утром Пахом в поле, прибежал на место с последним лучом солнца и упал без чувств, обежал четырехугольник. Как надо было бежать Пахому, чтобы площадь была наибольшей? План работы Выяснить расстояние, которое Пахом мог пробежать.Выяснить время движения Пахома.Подобрать четырехугольники, обладающие наибольшей площадью при наименьшем периметре.Составить функцию, выражающую зависимость площади от длин сторон Продолжение работы 5. Построить график данной функции6. По графику определить наибольшее значение7. Решить задачу с помощью производной. Определим расстояние События происходят летом. Долгота светового дня 16 часов. В среднем скорость движения – 5 км в час Таким образом, расстояние равно 80 км S=vt Если работать с текстом, то получим: Определим S прямоугольников с периметром 80. 39 1 S=ab S=39*1=39, а P = 80 30 10 S= 30*10 = 300 25 15 S=25*15 =375 22 18 S = 22*18=396 20 20 S=20*20=400 Итак, возможные переборы показали, что площадь будет максимальной, если мы имеем квадрат. Как по другому можно решить эту задачу? Приведенные выше рассуждения показали, что если одну из сторон уменьшать, то площадь сначала увеличивается, а затем уменьшается, то есть при некотором значении достигает своего максимума при заданном значении периметра. Можно изобразить графически изменение S от а Переведем задачу на язык функций Обозначим через Х длину прямоугольника. По смыслу задачи 0 0, х < 20. Учитывая условие 0 0 при 0 < x < 20у ′ < 0 при 20< x < 40 Проанализируем поведение функции S =(40-х)*х Итак, функция сначала возрастает, а затем убывает, достигая своего наибольшего значения при х=20. Как же надо было бежать Пахому, чтобы земли досталось больше? Мы выяснили, что из прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Значит, траекторией передвижения Пахома должен быть тоже квадрат Вот она земля Российская, которая нужна человеку. Нужна она ему вся: поля, леса, луга, степи, горы, реки, озера. Много земли не бывает. Надо только ею уметь распорядиться. Итог работы Во время выполнения работы удалось убедиться, что из всех четырехугольников, имеющих равные периметры наибольшую площадь имеет квадрат. Использованы репродукции 1. Н. Ярошенко «Кочегар»2. И.Левитан «Владимирка»3.Г. Мясоедов «Косцы»4. А.Веницианов «На пашне»5. В.Г. Перов «Странник»6.И. Репин. «Л.Н. Толстой на пашне»7.Н. Ге «Портрет Л.Н. Толстого» Использованная литература Л.Н. Толстой. «Рассказы»«Алгебра 10-11» М.Алимов Руководитель: Учитель математики и информатики Чапаевской средней общеобразовательной школы – Джум Светлана Павловна

Автор: Джум Светалана Павловна, учитель математики МОУ «Чапаевская средняя общеобразовательная школа МО – Михайловский муниципальный район Рязанской области
Проектная практическая работа
Тема: «Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции», 11 класс
Работа имеет исследовательский характер. Выполняется после изучения темы: «Применение производной к исследованию функций»

Цель работы: Формирование познавательной активности учащихся, развитие конструктивных умений, формирование умений творчески решать возникающие проблемы, формирование умений и навыков оценивать свой результат и нахождение оптимального варианта решения.
Содержание работы: определение наибольшей площади прямоугольника при фиксированном значении периметра.
Оборудование: для построения графиков среда ЕХСЕL, календарь для определения долготы дня, репродукции картин русских художников, «Рассказы» Л.Н. Толстой.

Порядок проведения работы:
Прочитать рассказ Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно?»
Сформировать условие задачи.
Выяснить расстояние, которое Пахом мог пробежать.
Выяснить время движения Пахома. (долгота дня по календарю)
Обсудить траекторию движения.
Исследовать площадь четырехугольников имеющих предполагаемый периметр.
Подобрать прямоугольник, обладающий наибольшей площадью при наименьшем периметре
Составить функцию, выражающую зависимость площади от длины сторон.
Построить график данной функции
По графику определить наибольшее значение
Повторить по учебному пособию темы: «Геометрический смысл производной», «Нахождение наименьшего и наибольшего значения функции с помощью производной»
Решить задачу с помощью производной
Сделать вывод.

Изучая тему алгебры и начала анализа «Решение задач на отыскание наибольшего и наименьшего значения функции», прочитали рассказ Л.Н. Толстого «Много ли человеку земли нужно». О том, как крестьянин Пахом, мечтавший о собственной земле, собравший, наконец, желеанную сумму, предстал перед условием хозяина богатого участка: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 рублей. Но, если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои деньги». Выбежал Пахом утром в поле, бежал весь день, прибежал на место с последним лучом солнца и упал без чувств, обежал четырехугольник, сумму длин которого предстоит уточнить. Наибольшую ли площадь получил Пахом? Как Пахому надо было бежать, чтобы при данном периметре получить наибольшую площадь?

Сначала определим долготу дня. Дело происходит весной. В середине мая долгота дня – 16 часов. В среднем скорость движения человека - 5 км в час. Таким образом, расстояние равно 80 км. Это и есть наш искомый периметр четырехугольника. (Известно, что греческий воин по имени Фидиппид в 490 году до нашей эры после битвы при Марафоне пробежал, не останавливаясь, от Марафона до Афин, чтобы возвестить о победе греков. Добежав до Афин без остановок, он успел крикнуть: «Радуйтесь, афиняне! Мы победили!» и умер. Эта легенда не подтверждается документальными источниками: согласно Геродоту, Фидиппид был гонцом, безуспешно посланным за подкреплением из Афин в Спарту и преодолевшим дистанцию в 230 км менее , чем за два дня.)
Сначала найдем площадь трапеции, периметр которой равен 80.
Затем прямоугольник с тем же периметром. Исследование показало, что площадь прямоугольника будет больше.
Определим площадь прямоугольников с периметром 80. Будем менять длины сторон от 39 до 1.
Возможные переборы показывают, что площадь будет максимальной, если мы возьмем квадрат.
Практические измерения показали, что если одну сторону уменьшать, то площадь сначала увеличивается, а затем уменьшается, то есть при некотором значении достигает своего максимума при заданном значении периметра. График функции приведен в презентации.

На втором этапе ищем еще один способ решения задачи с помощью производной.
Переведем задачу на язык функций.
Обозначим через Х длину прямоугольника. По смыслу задачи 0Тогда вторая сторона будет равна (40-х)
Площадь прямоугольника равна S = х*(40-х)
По графику мы видели. Что максимального значения площадь достигает, когда касательная к графику параллельна оси х, а это значит, что производная функции в этой точке равна 0.
Найдем значение производной S’(x) = -2x+40
Находим критическую точку: S’(x)=0, х=20
Тогда и вторая сторона тоже равна 20. Итак, перед нами наш квадрат со стороной 20
Определим знак производной на каждом из промежутков:
У = - 2х + 40
2х + 40> 0,
х < 20.
Учитывая условие 0 у < 0 при 20< x < 40,
у > 0 при 0 < x < 20
Проанализируем поведение функции S =(40-х)*х


Итак, функция сначала возрастает, а затем убывает, достигая своего наибольшего значения при х=20.
Итог работы: составлена функция по данному условию, исследована на экстремумы, убедились различными способами, что максимальная площадь при данном периметре будет у квадрата со стороной 20 км.
Практический выход: создание презентации: «Много ли человеку земли нужно?»




Рисунок 1

Приложенные файлы

  • doc fail1
    Визитная карточка проекта "Много ли человеку земли надо?"
    Размер файла: 30 kB Загрузок: 10
  • ppt fail2
    Презентация работы обучающихся по теме "Много ли человеку земли надо?
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 15
  • doc fail3
    Проектная работа "Много ли человеку земли надо?"
    Размер файла: 40 kB Загрузок: 10