Презентация по теме «Задачи на делимость», 9 класс


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Задачи на делимостьУчитель математики МАОУ «Центр образования № 13 имени Героя Советского Союза Н.А.Кузнецова» Е.В.Кирина Задача 1. Доказать, что при всяком целом n число n3 – n делится на 3.Доказательство.Имеем n3 – n=(n-1)n(n+1), а из трёх последовательных чисел одно обязательноделится на 3.

Задача 2. Доказать, что при всяком целом n число n5 – nделится на 5.Доказательство. Имеем n5 – n=n(n-1)(n+1)(n2 +1). Если целоечисло оканчивается одной из цифр 0, 1, 4, 5, 6 или 9, то один из первых множителей на 5.Если n оканчивается одной из цифр 2, 3, 7 или 8,то n2 оканчивается на 4 или 9 и n2 +1 делится на 5.


Задача 3. Доказать, что при всяком n число n5 - 3n3 + 4n делитсяна 120. Доказательство.Имеем n5 - 3n3 + 4n = n(n2 - 1)(n2 - 4)== (n - 2)(n - 1)n(n + 1)(n + 2).Но из пяти последовательных целых чисел одно делитсяна 5, по крайней мере одно делится на 3 и по крайнеймере два на 2, причём из этих двух последних чисел одно делится на 4. Т.о., произведение пяти последовательных целых чисел всегда делится на 5∙3∙2∙4=120




Задача 4. Доказать, что 1110 – 1 делится на 100.Доказательство.1110–1 =(11-1)(119+118+117+116+115+114+113+112+11+1)Легко видеть, что второй сомножитель делится на10, т.к. он представляет сумму 10 слагаемых , каждое из которых оканчивается на 1. Итак, 1110–1 есть произведение 10 на число, делящееся на 10, и значит, делится на 100.



Задача 5. Доказать, что при любом чётном n числоn3+20n делится на 48.Доказательство.Всякое чётное число может быть выписано ввиде n=2k, где k – целое число. Поэтому n3+20nможет быть представлено следующим образом:N=n3+20n=8k(k2+5).Отсюда видно, что N делится на 8. Докажем, чточисло k(k2+5) делится на 6. Продолжение →



Перепишем это число так: k(k2+5)=k3-k+6k=(k-1)k(k+1)+6k.Очевидно, что второе слагаемое 6k на 6 делится. Первое же слагаемое является произведением трёхпоследовательных чисел. Поэтому один изсомножителей этого произведения обязательно делится на 3. Кроме того, из двух последовательныхцелых чисел (а тем более трёх) одно является чётным. Значит, произведение (k-1)k(k+1) делится на 6, и требуемое доказано. Задача 6. Определить при каких целых значениях nвыражение n4 +4 является простым числом.Решение.Дополним n4 +4 до полного квадрата: n4 +4n2+4-4n2 =(n2+2)2 – 4n2=(n2-2n+2)(n2+2n+2)Число n4 +4 может быть простым только в томслучае, если либо n2-2n+2=1, либо n2+2n+2=1. Решаяэти уравнения, получим n=1, n= - 1. При n=±1 данноевыражение равно 5,т.е. является простым числом. Ответ: n=±1



Задача 7.Найти двузначное число, равное неполномуКвадрату суммы его цифр.Решение.По условию 10х+у=х2+ху+у2, или 10х+у+ху=(х+у)2.Т.к. х≤9 и у≤9, то 10х+у+ху≤180, а тогда х+у≤13; но при х+у<13, 10х+у+ху≤130, значит, х+у≤11.При х+у=10, х=9, у=1.При х+у=9, х+у=8, х+у=7, х+у=6, х+у=5 – решений нет.При х+у=4, х=1, у=3.Ответ: 91, 63, 13



Задача 8.Если число – точный квадрат, то сумма егоцифр или делится на 3 или в результате деления на 3 даёт в остатке 1. Доказать это.Решение.Любое число можно представить в виде одногоиз видов: 3k, 3k-1; 3k+1. Квадрат первоговыражения делится на 3, квадраты двух других выражений при делении на 3 дают в остатке 1.


Задача 9. Может ли сумма квадратов трёх последовательныхнатуральных чисел равняться сумме кубов двух последовательных натуральных чисел?Решение.Пусть для натуральных чисел k и n выполняется равенство (k-1)2+k2+(k+1)2 =n3+(n+1)3 или n3+(n+1)3=3k2+2. Если число n делится на 3 или даст при делении на 3 остаток 1, то левая часть этого равенства делится на 3n даёт остаток 2, так что 3k2+2=(3p-1)3 +27p3=54p3-27p2+9p-1, K2=18p3-9p2+3p-1.Отсюда следует, что число k2 при делении на 3 даёт остаток 2, чего быть не может. Следовательно, рассматриваемое равенство невозможно.




Задача 10. Найдите наименьшее натуральное число, которое после умножения на 2 станет квадратом,а после умножения на 3 – кубом натурального числа. Решение.Пусть х – наименьшее, натуральное число, такое, что 2х=в2,3х=с3, где в и с – натуральные числа. Из равенства 2х=в2 следует, что х кратно 2. А т.к. 3х=с3, то х кратно 23=8 и кратно 32=9, т.е. х=23∙32∙а6=72а6, где а – любое натуральное число. Наименьшее х получаем при а=1.Ответ: 72



Задача 11.Найдите два числа, разность квадратов которых представляет собой куб, а разность кубов – квадрат?Решение. 102 – 62=100 – 36=64 =43 103 – 63=1000-216=784=282

Задача 12. Докажите, что если m и m2+2 простые числа, точисло m3+2 тоже простое.Доказательство.Любое простое число m, отличное от 3, можно представить в виде 3n+1 или в виде 3n-1, где n Z. Впервом случае можно записать m2+2=9n2-6n+3 вовтором m2+2=9n2-6n+3.Т.к. m≥2, то в любом случае m2+2 больше 3 и делится на 3, значит, m2+2 может быть простым числом, только если m=3. В этом случае m2+2=11число простое, m3+2=24 – тоже простое.




Задача 13. Найдите трёхзначное число, которое равноквадрату двузначного и кубу однозначного числа.Решение.Выпишем все кубы однозначных чисел: 13, 23, 33, 43, 53, 63, 73, 83, 93.Рассмотрим те из них, которые являясьтрёхзначными числами, могут быть равныквадрату двузначных. Очевидно, что 53 и 73 не могут быть квадратами двузначных чисел(5 и 7 –простые числа). Продолжение →



Разложим на простые множители оставшиеся числа: 63 =23∙33≠а2; 83=(23)3=29≠а2; 93=(32)3=36=(33)2=272=729. Искомое число 729=272=93.Ответ: 729 Задача 14.При каких натуральных n число n4 + 64n являетсясоставным?Решение.Ясно, что при n чётным число n4 + 64n такжечётно (и больше 2), т.е. является составным.Если n=2k+1, то, положив а=8m, будем иметь: n4+ 64n=n4+64a4=(n2+8a2)2-16a2n2= (n2-4an+8a2)(n2+4an+8a2).При этом n2-4an+8a2=(n-2a)2+4a2>1, так что прилюбом n рассматриваемое число составное.



Задача 15. Доказать, что сумма квадратов пяти последовательных целых положительных чиселникогда на является квадратом целого числа.Решение.Обозначим пять последовательных целых чиселследующим образом: (n-2), (n-1), n, (n+1), (n+2), тогда (n-2)2+(n-1)2+n2+(n+1)2+(n+2)2=5(n2+2). Для тогочтобы 5(n2+2) было квадратом, необходимо, чтобыn2+2, т.е. n2 должно оканчиваться на 3 или 8, чтоневозможно. Следовательно, n2+2 не делится на 5.



Задача 16. Найти наименьшее простое число, которое может быть представлено в виде суммы двух,трёх, четырёх и пяти простых слагаемых.Решение. Наименьшая сумма пяти простых слагаемых равна,очевидно, 10, и поэтому искомое простое число а неменьше 11. Однако 11=2+9=3+8=5+6=7+4 не можетбыть представлено в виде суммы двух простых чисел и, следовательно, а≠11. С другой стороны, 13=2+11=3+3+7=2+2+2+7=2+2+2+2+5 удовлетворяет условию задачи, и поэтому а=13. Продолжение →



Если считать, что все слагаемые различны, то искомое число должно быть не меньше, чем 3+5+7+11+13=39 (заметим, что число 2 среди слагаемых не должно быть, т.к. по условию число а нечётно), так что а≥41. Но 41 нельзя представить в виде суммы, например, двух простых слагаемых.Следующая по величине сумма пяти простых слагаемых получается, если заменить 13 – наибольшее из слагаемых – на 17 (следующее простое число), и эта сумма равна 43. Подбором убеждаемся, что 43=2+41=7+17+19=2+5+17+19=3+5+7+11+17. Следовательно, искомое число а равно 43. Ответ: 43 Задача 17. Дано 1989 положительных чисел. Известно, чтопроизведение любых 22 из них больше 1. Докажите,что произведение всех данных чисел больше 1.Доказательство.Разобьём все числа подряд на группы по 22 числа.Получим 90 групп. Произведение всех чисел в каждой группе больше 1. Кроме того, у нас осталось ещё 9чисел. Выберем в первых 9 группах по одному наибольшему числу. Каждое выбранное число больше 1. Оставшиеся первоначально после объединения 9 чиселраспределим в каждую из групп по одному. Так чтов них вновь станет по 22 числа. Значит, произведение чисел в каждой группе больше 1. Но оно равно произведению всех данных 1989 чисел. Следовательно, произведение больше 1.





Используемая литератураИ.Кушнир «Шедевры школьной математики» Астарта Киев, 1995

Приложенные файлы

  • pptx Delimost
    Размер файла: 112 kB Загрузок: 4