Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:
Учитель ГБОУ Центра образования № 55 Валентина Васильевна НиколаеваАлгебраические методы решения прикладных задач на экстремумМатериал к внеклассным занятиям по математике в 10-12 классах
Алгебраические методы решения прикладных задач на экстремум В технике и естествознании, как, впрочем, и в обыденной жизни, встречается особый вид задач – задач на «максимум и минимум». Люди издавна желали получить наибольшую выгоду при наименьших затратах. Огромное число таких задач возникает в экономике и технике. Бурное развитие экономики и техники привело к новой теории – теории оптимального управления. В математике эти задачи называют задачами на экстремум. Исследование задач на экстремум началось 25 веков назад. С возникновением математического анализа были созданы общие методы их решения.
Метод, основанный на теореме о произведении двух сомножителей, сумма которых постояннаТеорема Произведение двух множителей, сумма которых постоянна, имеет наибольшее значение при равенстве множителей: max при
Пример 1 решения задач на экстремум Из квадратного листа картона с заданной стороной нужно изготовить квадратную коробку, вырезая по углам листа равные квадраты и загибая образовавшиеся края. Какой величины должна быть сторона каждого вырезанного квадрата, чтобы объем сделанной коробки был наибольшим?
Решение Пусть х – сторона вырезаемого квадрата. Тогда объем коробки: Вырезается 4 угла. Но величина 4V достигает максимума при тех же значениях х, что и V. Поэтому По теореме произведение множителей, сумма которыхдостигает максимума приоткуда Пример 1 решения задач на экстремумxx
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation Пример 2 решения задач на экстремум Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. При заданном периметре найти размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света.
Решение Пусть х – высота окна до полукруга, y –ширина, тогда R= y /2. Р - const, Откуда: , Функция S(x) имеет экстремум в тех же точках что и (4 + 𝜋) S(x). По теореме, если 4Р- const, то произведение имеет наибольшее значение при Поэтому: Пример 2 решения задач на экстремум
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Метод, основанный на теореме о сумме 2-х положительных слагаемых, произведение которых постоянноТеорема Сумма двух положительных слагаемых, произведение которых постоянно, имеет наименьшее значение при равных слагаемых при
style.rotation
style.rotation
style.rotation Из всех равнобедренных треугольников данной площади, найти тот, у которого сумма основания и медианы была бы наименьшей.Решение: Пусть основание искомого треугольника 2х, а медиана y. Тогда . Сумма (2х+y) достигает наименьшего значения при 2x=y, т.к. 2хy=2S= const. Поэтому Пример 3 решения задач на экстремум2xyb
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
Приложенные файлы
