Учебно-методическое пособие «Ряды динамики» по дисциплине «Статистика» для специальности 38.02.01


Комитет образования и науки Волгоградской области
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Камышинский технический колледж»
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ
по теме «Ряды динамики»
по дисциплине «Статистика»
для специальности 38.02.01 (080114) «Экономика и бухгалтерский учёт (по отраслям)
Разрешение на гриф
протоколом №16 от 18 октября 2013 г.
Автор:
преподаватель ГБПОУ
«Камышинский технический колледж»
Левицкая Татьяна Робертовна
Камышин
2013
Введение
Анализ динамических (временных) рядов представляет самостоятельную, весьма обширную и одну из наиболее интенсивно развивающихся областей статистики.
Важнейшей классической задачей при исследовании экономических временных рядов является выявление и статистическая оценка основной тенденции развития изучаемого процесса и отклонений от неё.
Основные этапы анализа динамических (временных) рядов:
- графическое представление и описание поведения динамического ряда;
- выделение и удаление закономерных (неслучайных) составляющих временного ряда (тренда, сезонных и циклических составляющих);
- исследование случайной составляющей временного ряда построение и проверка адекватности математической модели для её описания;
- прогнозирование развития изучаемого процесса на основе имеющегося динамического ряда;
- исследование взаимосвязи между различными временными рядами.
Понятие и классификация рядов динамики
Процесс развития социально-экономических явлений во времени в статистике принято называть динамикой.
Для отображения динамики строят ряды динамики (хронологические, временные), которые представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенных в хронологическом порядке.
Статистические показатели, характеризующие изучаемое явление, называются уровнями ряда. Вид ряда динамики зависит не только от характера показателей, оценивающих изучаемое явление, но и от того, приводится ли этот показатель за период или на момент времени.
Уровни ряда обычно обозначаются через γ, момент или периоды времени, к которым относятся уровни, - через t.
Существуют различные виды рядов динамики. Их можно классифицировать по следующим признакам.
В зависимости от способа выражения уровней, ряды динамики подразделяются на ряды абсолютных, относительных и средних величин.
В зависимости от того, как выражают уровни ряда состояние явления на определённый момент времени (начало месяца, квартал, года и т.п.) или его величину за определённые интервалы времени (например, за сутки, месяц, год и т.п.), различают соответственно моментные и интервальные ряды динамики.
Ряд, в котором время задано в виде конкретных лет (моментов времени), называется моментным динамическим рядом.
Ряд, в котором время задано в виде промежутков – лет, месяцев, называется интервальным динамическим рядом.
В зависимости от расстояния между уровнями ряды динамики подразделяются на ряды динамики с равностоящими уровнями и неравноотстоящими уровнями во времени.
Ряды динамики следующих друг за другом периодов или следующих через определённые промежутки дат называются равноотстоящими. Если же в рядах даются прерывающиеся периоды или неравномерные промежутки между датами, то ряды называются неравноотстоящими.
В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные.
Если математическое ожидание значения признака и дисперсия (основные характеристики случайного процесса) постоянны, не зависят от времени, то процесс считается стационарным и ряды динамики также называются стационарными.
Экономические процессы во времени обычно не являются стационарными, так как содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путём исключения тенденций.
По числу показателей можно выделить изолированные и комплексные (многомерные) ряды динамики.
Если ведётся анализ во времени одного показателя, то ряд динамики изолированный. В многомерном ряду представлена динамика нескольких показателей, характеризующих одно явление.

Показатели рядов динамики
Динамический ряд представляет собой последовательность уровней, сопоставляя которые между собой, можно получить характеристику скорости и интенсивности развития явления во времени.
Наличие рядов динамики требует их анализа для изучения изменения явления во времени и установления его направления; характера этого изменения и проявления закономерности развития. Для оценки свойств динамики в статистике применяются взаимосвязанные характеристики или аналитические показатели. Среди них: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста, абсолютное значение 1% прироста. Расчёт таких показателей базируется на сопоставлении уровней ряда γi. Если базой сравнение является начальный (постоянный) уровень ряда γ0 , то соответствующее показатели называется базисными. Если база сравнения переменная и отвечает предыдущему уровню γi-1, то показатели называется цепными.


Базисные показатели



Рис 1.
Показатели ряда динамики из n уровней

уn-1
уn-2
у0
у1
у2


Цепные показатели
Рис. 2
Цепные показатели
Рассмотрим показатели ряда динамики
Абсолютный прирост (или уменьшение) Δi соответствует скорости изменения уровней и рассчитывается как разность уровней ряда:
базисный ;
цепной
где n-количество уровней ряда динамики.
Цепные и базисные абсолютный прирост связаны между собой зависимостью (сумма цепных приростов равняется конечному базисному).
Темп роста Ki характеризует интенсивность изменений уровней ряда и выражается относительными величинами в виде коэффициентов в процентах:
базисный
цепной
Тема прироста выражается в процентах и показывает, на сколько уровень больше (меньше) уровня, взятого за базу сравнения:
базисный
цепной 100
Между темпом прироста и темпом роста существует такая связь:
.
Абсолютное значение одного процента прироста характеризует весомость каждого процента прироста к темпу прироста:

Расчёт этого показателя имеет экономический смысл только на цепной основе, поскольку на базисной основе для всех уровней будет получено то же значение показателя - сотая часть базисного (первого) уровня.
Этот показатель имеет важное практическое значение в экономическом анализе; так, в динамических рядах, уровни которых постоянно растут, темпы роста могут замедляться или оставаться на одном уровне, а значение одного процента прироста расти.
Рассчитаем показатели ряда динамики (табл.1) и полученный результат сведём в табл. 2.
Таблица 1.
Динамический ряд урожайности озимых зерновых.
Годы
2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Урожайность,
ц/га 15,4 12,3 17,7 13,6 16,0 14,3 12,1
Таблица 2.
Показатели динамического ряда урожайности озимых зерновых.
Годы Урожай-
ность,
ц/га Абсолютный прирост Темп роста, % Темп прироста, %
базисный цепной базисный цепной базисный цепной
2006
15,4 - - 100,0 - - -
2007
12,3 -3,1 -3,1 79,9 79,9 -20,1 -20,1
2008
17,7 2,3 5,4 114,9 143,9 14,9 43,9
2009
13,6 -1,8 -4,1 88,3 76,8 11,7 -23,2
2010
16,0 0,6 2,4 103,9 117,6 3,9 17,6
2011
14,3 -1,1 -1,7 92,9 89,4 -7,1 -10,6
2012
12,1 -3,3 -2,2 78,8 84,6 -21,2 -15,4
Как показывает таблица, наибольшее снижение урожайности по сравнению с базисным (2006г) произошло в 2007 и 2012гг. и составило 3,1 ц/га (20,1%) и 3,3 ц/га (21,2%) соответственно.
В 2008г наблюдался самый заметный рост урожайности, который по сравнению с базисным годом составил 2,3 ц/га (14,9%) и с предыдущим годом -5,4 ц/га (43,9%)
Вопросы для контроля.
Что называется динамическим рядом?
Назовите виды динамических рядов по времени, форме представления, по расстоянию между датами.
Какие Вы знаете составные элементы ряда?
Какие применяются показатели для анализа рядов динамики?
Правило построения динамического ряда.
Практическое задание №1
Имеются следующие данные о производстве продукции животноводства в области (данные условные)
Годы
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012
Мясо в убойной массе, млн.т 17,0 17,4 18,4 18,8 18,9 19,6 19,7 19,9
Определите цепным и базисным методами:
Абсолютный прирост (млн.т);
темп роста, %
темп прироста, %
абсолютное значение 1% прироста (млн.т).
Результат расчётов изложите в таблице, и проанализируйте полученные данные.
Практическое задание №2
Дано:
Годы Производство продукции
млн. руб. По сравнению с предыдущим годом
Абсолютный прирост млн.руб. Темп
роста, % Темп
Прироста, % Абсолютное значение 1% прироста, млн.руб.
2005 92,5 2006 4,8 2007 104,0 2008 5,8 2009 11,5
2010 7,0 Средние показатели рядов динамики
Для нахождения обобщающих характеристик ряда динамики рассчитывают также средние показатели: средние уровни динамического ряда; средние из аналитических показателей.
Методы вычисления средних уровней динамических рядов зависят от статистической структуры показателей.
В интервальном ряду с равными интервалами времени применяют среднюю арифметическую простую, а для неравных интервалов – среднюю арифметическую временную:
, где
ti- промежуток времени, в течении которого сохранялось значение уровня γi;
n- число уровней ряда.
В моментных динамических рядах с равными промежутками между датами средний уровень вычисляется по формуле средней хронологической для уровней
=
Если отрезки времени между датами для моментных рядов разные, то используют формулу средней арифметической временной:
= где
- средние уровни отдельных интервалов времени
: 2;
ti- длительность соответствующих интервалов.
Если для моментного ряда динамики есть данные только на начало и конец периода, то средний уровень может быть рассчитан по формуле:
,где
У1 ,Уn- уровни соответственно на начало и конец периода.
К средним из аналитических показателей относятся такие: средний абсолютный прирост; средний темп роста; средний темп прироста.
Средний абсолютный прирост характеризует среднюю скорость роста (или уменьшения) к уровней ряда динамики.
Для моментных и интервальных рядов средний абсолютный прирост вычисляется по формуле:
=или = , где
m- число ценных абсолютных приростов (m=n-1).
Средний темп роста показывает, во сколько раз в среднем каждый данный уровень больше (или меньше) предыдущего уровня. Для рядов динамики с равными интервалами средний темп роста рассчитывается по формуле средней геометрической:
, где
Km- темп роста за отдельные периоды времени;
m- Число ценных темпов роста (m=n-1).
Эту формулу можно записать иначе, если учесть, что
K₁ × K₂ × …× Km=Уm: У0:
= , где
У0 , Уm - начальный и конечный уровни ряда динамики.
На основе среднего темпа роста определяется средний темп прироста , который показывает, на сколько процентов в среднем увеличивается (уменьшается) этот уровень по сравнению с предыдущим.
Его вычисляют по формуле:
= %-100%
Рассмотрим примеры расчёта аналитических показателей динамического ряда.
По данным таблицы 3. определите средний уровень производства продукции за анализируемый период, а так же средний абсолютный прирост, средний темп роста, средний темп прироста. Сделайте выводы.
Таблица 3.
Годы 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007
производство
продукции,
тыс.д.е 46,8 50,9 55,30 58,7 62,4 66,2 70,3 78,9
Решение.
Поскольку ряд динамики в таблице 3. является интервальным, то средний уровень производства продукции рассчитывается по формуле средней арифметической простой:
=
Средний абсолютный прирост продукции определяется по формуле и составляет:
= =
Средний темп роста за период с 2000 г. по 2007 г. рассчитывается по формуле:
=n-1 = 1,08 или 108%
Средний темп прироста за исследуемый период вычисляется по формуле:
=%-100=108-100=8%
Вывод.
Средний уровень производства продукции за исследуемый период составляет 61,2 тыс.д.е., при этом средний абсолютный прирост выпуска продукции за 2000-2007г.г. равняется 4,58 тыс.д.е.
Выпуск продукции за период ежегодно возрастает в 1,08 раза (8 %), или на 4,58 тыс. д. е.
Пример 2. Вычисление средней хронологической.
Имеются следующие данные о товарных запасах в различной сети торговых организаций города и их движении: на 01.01.2003 г. поступило товаров на 6,3 тыс.д.е.; на 01.07.2003 г. поступило товаров на 2,2 тыс.д.е.; на 01. 10. 2003 г.- на 3,2 тыс.д.е.; а на 01. 01.2004 г. - на 9,1 тыс.д.е.
Необходимо: а) построить ряд динамики; б) определить его вид; в) установить, равные ли интервалы между заданными моментами времени; г) установить средние остатки товаров.
Сделайте выводы.
Решение:
Построим ряд динамики наличия товаров согласно условиям задачи (тыс. д. е.), уровни которого будут:
01.01. 2003 г. – 64,1;
01.04. 2003 г. -57,8;
01.07. 2003г. – 60,0;
01.10. 2003 г. -63,2;
01.01. 2004 г. – 72,3.
Данный ряд динамики является моментным с равными интервалами (3 мес.). Для такого ряда используется формула для средней хронологической:
=
Вывод. В среднем ежемесячно в течение 2003 г. средние остатки товарных запасов составляли 62 300 д.е.
Вопросы для контроля.
Как вычисляется средняя величина уровней в интервальных рядах?
Как рассчитывается средняя хронологическая для моментных рядов динамики?
Как вычисляется средний абсолютный прирост?
Как рассчитывается средний темп роста?
Что характеризует средний темп прироста и как он рассчитывается?
Практическое задание №1
Остатки оборотных средств предприятия составляли, тыс.д. е: на 01. 01. 03-185; 01.04.03 -240; 01. 07. 02- 215; 01.10.03 – 225;на 01. 01. 04 -230.
Определите среднегодовой остаток оборотных средств. Сделайте выводы.
Практическое задание №2
Сумма остатков готовой продукции на складе составила, тыс.д.е.: на 03.11.03-15; 10.11.03-23; 17.11.03-16; 24.11.03-21; на 01.12.03-4.
Определите средние остатки готовой продукции в ноябре.
Сделайте вывод.
Компоненты ряда динамики
Ряд динамики может быть подвержен влиянию факторов эволюционного и осциллятивного характера, а также находится под влиянием факторов разного воздействия.
Влияния эволюционного характера - это изменения, определяющие некое общее направление развития, как бы многолетнюю эволюцию, которая пробивает себе дорогу через другие систематические и случайные колебания.
Такие изменения динамического ряда называются тенденцией развития, или трендом.
Влияния осциллятивного характера – это циклические (конъюнктурные) и сезонные колебания. Циклические ( или периодические) состоят в том, что значение изучаемого признака в течении какого-то времени возрастает, достигает определённого максимума , затем понижается, достигает определённого минимума, вновь возрастает до прежнего значения и т. д.
Циклические колебания в экономических процессах примерно соответствует так называемым циклам конъюнктуры.
Сезонные колебания – это колебания, периодически повторяющиеся в некоторое определённое время каждого года, для месяца или часа дня. Эти изменения отчётливо наблюдаются на графиках многих рядов динамики, содержащих данные за период не менее одного года.
Рассмотрим нерегулярные колебания, которые для социально- экономических явлений можно разделить на две группы:
-спорадически наступающие изменения, вызванные, например, войной или экологической катастрофой;
- случайные колебания, являющиеся результатом действия большого количества относительно слабых второстепенных факторов.
Следовательно, первоначальные значения ряда динамики подвергаются самым разнообразным воздействиям. Выделим его четыре основных компонента:
- основную тенденцию (тренд) (Т);
-циклическую или конъюнктурную (К);
-сезонную (S)
-случайные колебания (Е).
Если ряд динамики разбить на различные компоненты, то он представляется в следующем виде:
= .
В зависимости от взаимосвязи этих компонентов между собой может быть построена аддитивная или мультипликативная модель ряда динамики. Аддитивная модель ряда динамики =T+K+S+E характеризуется главным образом тем, что характер циклических и сезонных флюктуаций (колебаний) остаётся постоянным. Мультипликативная модель ряда динамики
=T×K×S+E.
В этой модели характер циклических и сезонных колебаний остаётся постоянным только по отношению к тренду.
Рис. 1. Сочетание различных составляющих ряда динамики при аддитивной связи.


yтренд

0 t
Рис.2. Сочетание различных составляющих ряда динамики при мультипликативной связи.
У тренд

0 t
Выявление и характеристика основной тенденции ряда
Задачи статистического изучения динамики состоят в установлении направления изменений изучаемого признака с течением времени его тенденции, в измерении скорости и темпов изменения, а также в измерении колебаний в динамики, если эти колебания существенны.
В одних случаях закономерность изменения явления, общая тенденция его развития вполне ясно отражаются уровнями динамического ряда.
Таблица 4.
Потребление хлеба в среднем за год на 1 члена семьи.
Годы 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
потребление, кг 96,0 99,6 100,8 112,4 124,8 133,2 135,6
В приведённом примере уровням динамического ряда свойственна тенденция к увеличению, не нарушаемая на протяжении всего рассматриваемого периода.
В других рядах динамики наблюдается систематическое снижение уровней ряда.

Таблица 5.
Динамический ряд уровня рождаемости.
Годы 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000
Родившиеся на 1000 человек населения 10,8 9,4 7,2 6,9 6,1 5,9 5,8
Однако чаще всего приходится встречаться с такими рядами динамики, когда уровни ряда претерпевают самые различные изменения (то возрастают, то убывают) и можно говорить лишь об общей тенденции развития явления: либо тенденция к росту, либо к снижению.
Во всех перечисленных случаях для выявления основной тенденции развития явления, достаточно устойчивой на протяжении изучаемого периода, используют особые приёмы обработки ряда динамики, одним из которых является выявление его основной тенденции (тренда) с помощью аналитического выравнивания.
Выравнивание позволяет характеризовать особенность изменения во времени данного динамического ряда в наиболее общем виде как функцию времени, предполагая, что через время можно выразить влияние всех основных факторов:
t = f(t), где t - уровни динамического ряда, вычисленные по соответствующему аналитическому уравнению на момент времени t.
Отклонение конкретных уровней ряда от уровней, соответствующих общей тенденции, объясняется действием факторов, проявляющихся случайно или циклически.
Целью аналитического выравнивания динамического ряда является определение аналитической зависимости f(t). Функцию f(t) выбирают таким образом, чтобы она давала содержательное объяснение изучаемого процесса.
Чаще всего при выравнивании используются следующие зависимости: линейная, параболическая, показательная, гиперболическая, логарифмический тренд. Основанием для выбора кривой служит анализ сущности развития данного явления.
Линейный тренд хорошо отражает тенденцию изменений при действии множества разнообразных факторов, изменяющихся различным образом по разным закономерностям.
Равнодействующая этих факторов при взаимопогашении особенностей отдельных факторов (ускорение, замедление, нелинейность), часто выражается в примерно постоянной абсолютной скорости изменения, т. е. в прямолинейном тренде. Таковы, например, тенденции динамики урожайности.
Параболическая форма тренда выражает ускоренные или замедленные изменение уровней ряда с постоянным ускорением. Такой характер развития можно ожидать при наличии важных факторов прогрессивного развития (поступление новых производственных трендов, увеличение среднесуточного прироста живого веса свиней с возрастом и т. п.)
Ускоренное возрастание может происходить в распределении доходов населения в уровне оплаты труда, при повышении цен реализации на продукцию ( особенно в период после снятия каких-то сдерживающих развитие этих процессов ограничений).
Показательная функция – гибкая, пригодная для отображения изменений с разной мерой пропорциональности изменений признака во времени. Однако эта форма тренда сложна для вычисления параметров и интерпретации, поэтому она крайне редко применяется.
Логарифмический тренд пригоден для отображения тенденции замедляющегося роста уровней при отсутствии предельного возможного значения. Замедление роста становится всё меньше и меньше, и при достаточно большом t логарифмическая кривая мало отличается от прямой линии. Этот вид тренда пригоден для отображения роста производительности труда, повышения продуктивности скота и т.д
Гиперболическая форма тренда выражает тенденцию замедляющегося снижения уровня и наиболее подходит для отображения тенденции явления, ограниченного предельным значениям уровня (предельный коэффициент полезного действия, себестоимость продукции и т.д.).
Одним из приёмов выявления основной тенденции является метод укрупнения интервалов. Этот метод основан на укрупнения периодов времени, к которым относятся уровни ряда.
Например, ряд ежесуточного выпуска продукции заменяется рядом месячного выпуска продукции и т.д.
Другой приём – метод скользящей средней
Суть его состоит в замене абсолютных данных средними арифметическими за определённые периоды: Расчёт средних ведётся способом скольжения, т.е постепенным исключением из принятого периоде скольжения первого уровня и включением следующего.
В большинстве расчётов используют метод наименьших квадратов, который обеспечивает наименьшую сумму квадратов отклонений фактических уровней от выровненных.

Он даёт возможность получить такую зависимость, которая наиболее близко проходит к точкам фактических данных на графике в осях координат «t-y», т.е. даёт наименьшую сумму квадратов отклонений фактических значений результативного признака y от уровней (теоретических) значений yt
Выравнивание рядов динамики по методу наименьших квадратов, как и выравнивание, посредством других приемов, должно осуществляться в пределах качественно однородных периодов. Если в динамическом ряду есть качественно неоднородные периоды, то выявлять тенденцию целесообразно в пределах каждого из них.
В практической деятельности может возникнуть необходимость интерполяции или экстраполяции рядов динамики. Самым совершенным при этом является выравнивание их по определённому аналитическому уравнению.
Интерполяция – это нахождение отсутствующих промежуточных уровней ряда. Зная уравнение тренда для вычисления теоретических уравнений и подставляя в него промежуточные значения t между заданными, можно определить им отвечающий теоретический уровень результативного факторам yt..
Экстраполяция используется при прогнозировании общественных явлений в будущем с предположением, что выявленная тенденция будет сохраняться и в дальнейшем за пределами исследуемого ряда динамики.
При этом значения t вне пределов динамического ряда подставляют в трендовое уравнение и получают точечное прогнозное значение уровня тренда пр в будущем.
На практике результат экстраполяции прогнозируемых уровней социально – экономических явлений обычно выполняют интервальными оценками. Для определения границ интервалов используется интервальное неравенство:
,где
tg - коэффициент доверия;
– остаточное среднее квадратическое отклонение
= ,где
n- количество уровней рассматриваемого (базисного) ряда динамики;
m-количество параметров теоретической зависимости тренда;
(n-m) – число степеней свободы;
𝒴t- дискретное (точечное) значение прогнозного уровня.
Коэффициент доверия tg выбирается из статистических таблиц распределения Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы (n-m) и уровня значимости а (0,01 или 0,05), тогда окончательно с вероятностью P=1-а прогнозный уровень тренда в будущем 𝒴t будет находиться в пределах : верхний предел составляет (𝒴t+tg) , нижний предел - (𝒴t-tg).
Рассмотрим на примере аналитическое выравнивание ряда динамики.
Имеются данные о численности населения районного центра области на начало года:
Таблица 6.
Год 1999 2000 2001 2002 2003
Численность населения, тыс. чел 72 78 83 87 90
Определите:
а) вид линии тренда;
б) параметры уравнения регрессии линии тренда;
в) точечный и интервальный прогноз относительно населения районного центра области на 2005 г.
Сделайте выводы.
Решение.
Общие представления о характере тенденции изменения явления можно получить из графического изображения ряда динамики (таб. 6.1):
Рис. 6.1. Численность населения районного центра области в 1999-2003 г.г.

3542665264160 90

80
70

1995 2000 2001 20022003
Из графика видно, что фактические данные ряда динамики (точки на рисунке) размещены близко к прямой линии. Тогда выравнивание ряда динамики осуществляется по прямой, которая описывается уравнением тренда в виде функции 𝒴t=a0+ а1t, где a0, a₁- параметры уравнения тренда, t - порядковый номер периодов времени.
Параметры уравнения прямой, которые удовлетворяют методу наименьших квадратов, находятся из решения такой системы:
a0n+a₁Σt=Σy;
a0Σt+a₁Σt2=Σyt. ,
где у - фактические уровни ряда динамики по табл.6;
n- число уровней.
Необходимые для расчёта a0 и a₁ суммы (Σt, Σy, Σt², Σyt) рассчитаны в табл. 6.2.
Годы последовательно обозначены как 1,2,3,4,5 (n=5).
Используя полученные данные, имеем такую систему уравнений:
5a0+15a₁=410;
15a0+55a₁=1275.
Из решения данной системы определяем параметры линии тренда: a0=68,5; a₁=4,5
Таблица 6.2.
Год Численность населения,
Тыс. чел Условный признак
времени,
t t² Σt 𝒴t-Σt y-𝒴t (y-𝒴t)²
1999 72 1 1 72 73,0 -1,0 1.0
2000 78 2 4 156 77,5 +0,5 0,25
2001 83 3 9 249 82,0 +1.0 1,0
2002 87 4 16 348 85,5 +0,5 0,25
2003 90 5 25 450 91,0 -1,0 1,0
Всего: 410 15 55 1275 410 × 3,50
Тогда уравнение, которые описывает прямую линию тренда, будет иметь такой вид:
𝒴t=68,5+4,5t.
Подставляя в это уравнение значения t=1,2,3,4,5, найдём выравненные (теоретические) значения 𝒴t( см. табл. 6.2.) , которые покажем на рис.6.1.
Решение данной задачи можно сократить с использованием другого, упрощенного способа расчёта параметров уравнения линии тренда. Для этого применяем способ отсчёта времени от условного начала – середины периода. Выразим признаки времени t в отклонениях от t = 0 в середине ряда динамики для 2001 г.
Система уравнений упрощается, и будет иметь вид
а0n=Σy;
a₁Σt²=Σyt.
Параметры линии тренда рассчитываются по формуле:
a0=; a₁= .
Необходимые для расчёта a0 и a₁ суммы приведены в таблице:
Таблица 6.3.
Год Численность населения,
Тыс. чел Условный признак
времени,
t t² yt 𝒴t
1999 72 -2 4 -144 73,0
2000 78 -1 1 -78 77,5
2001 83 0 0 0 82,0
2002 87 1 1 87 86,5
2003 90 2 4 180 91
Всего: 410 0 10 45 410
a0= a₁=
Уравнение линейного тренда имеет вид 𝒴t=82+4,5t и отвечает отсчёту t от середины ряда динамики (2001 г.). Так, при t=0 𝒴t= 82 тыс. чел.
Определим точечный и интервальный прогнозы на 2005 г., воспользовавшись уравнением тренда при отсчёте признака времени от начала периода в 1999 г.: 𝒴t=68,5+4,5t.
Для 2005г. t=7. Следовательно, по точечному прогнозу на 2005 г. численность населения районного центра будет составлять:
𝒴пр=68,5+4,5t=68,5+4,5×7=68,5+31,5=100,0 тыс. чел.
Для установления интервального прогноза на 2005 г. воспользуемся зависимостью
𝒴t-tg≤𝒴пр≤𝒴t+tg
Определим остаточное среднее квадратическое отклонение с учётом данных табл. 6.3 при n=5 и m=2.
==.
Коэффициент доверия tg выбирается из статистических таблиц t-распределения Стьюдента в зависимости от уровня значимости а= 0,05 и числа степеней свободы (n-m)=5-2=3 : tg =2,35.
Тогда прогнозное значение численности населения (тыс. чел.) в районном центре области в 2005 г. с вероятностью 95 % будет находиться в пределах:
100,0-2,35×1,08≤𝒴пр≤100,0+2,35×1,08;
97,46≤𝒴пр≤102,54

Вопросы для контроля.
Какие Вы знаете методы сглаживания динамических рядов?
Назовите примеры преобразования рядов динамики.
В чем состоит суть приема метода скользящей средней, наименьших квадратов?
Практическое задание № 1.
Производство кожаной обуви в области региона за 1999-2004г.г. характеризуется такими данными: (тыс. пар):
Таблица 7.
Год 1999 2000 2001 2002 2003 2004
показатель 7,2 7,4 8,1 8,6 8,8 9,0
Для изучения общей тенденции роста производства обуви:
а) покажите ряд динамики фактических данных графически;
б) выберите вид аналитической функции для теоретического тренда изучаемой зависимости;
в) определите параметры уравнения тренда и проведите их анализ;
г) сделайте выводы.

Сезонные колебания. Измерение сезонных колебаний в рядах динамики
При анализе рядов динамики важное значение имеет выявление сезонных колебаний.
Сезонными колебаниями называются повторяющие различия в величине явления, вызванные временем года. Сезонные колебания имеют место в ряде отраслей народного хозяйства, но наиболее они выражены в сельскохозяйственном производстве. Они часто приводят к нарушению ритма производства, к неравномерному в течение года снабжению населения продуктами, рабочей силой и т. д. Значительному колебанию во внутригородской динамики подвержены денежные обращения и товарооборот. Спрос на разные виды услуг, производство молока, яиц, мяса, шерсти, вылов рыбы колеблются по сезонам.
Сезонные колебания негативно влияют на результат производственной деятельности, которые вызывают нарушение ритмичности производства. Поэтому хозяйственные организации используют разные мероприятия для сглаживания сезонности за счёт рационального соединения отраслей, механизации трудоёмных процессов, образования агропромышленных фирм и др. Комплексная регуляция сезонных изменений по отдельным отраслям экономики должна основываться на исследованиях сезонных колебаний.
В статистике существует ряд методов изучения и измерения сезонных колебаний:
а) метод абсолютных разностей;
б) метод относительных разностей;
в) построение индексов сезонности;
г) построение аналитической модели.
По методу абсолютных разностей сезонные колебания характеризуются величинами:
Δi =ȳ-ȳ₀i , где
Δi - абсолютные отклонения фактических уровней или средних месячных (квартальных) уровней i от общей средней или трендового i-го уровня i
По методу относительных разностей сезонные колебания описываются зависимостью
ᵢ=и могут быть выражены в относительных величинах или процентах.
Графическое изображение абсолютных или относительных разностей уровней по месяцам (кварталам) года наглядно иллюстрирует сезонную волну. Если значение ȳ₀ᵢ, отсчитывается от выраженного уровня тренда, то для построения последнего используется метод скользящей средней, или аналитическое выравнивание.
Вместо относительных разностей по каждому месяцу может быть рассчитан индекс сезонности, который определяется как отношение среднего уровня соответствующего месяца к общей средней:
si=
Индексы сезонности могут быть рассчитаны и как отношение фактического уровня соответствующего месяца к уровню, рассчитанному по уравнению тренда. Сезонная волна может быть выделена и при образовании аналитической модели, которая применяется для исследования явлений периодического типа при использовании специального типа уравнении – ряда Фурье:
𝒴t=a₀+ (cos Kt+sin Kt), где
a0, ,- параметры, которые подлежат определенно;
- количество членов ряда Фурье:
Для вычисления параметров уравнения используют метод наименьших квадратов:
(yi-𝒴t)²=min
На основе условия данной формулы формируют систему нормальных уравнений, решение которой даёт формулы для вычисления параметров.
Общим показателем силы колебания динамического ряда сезонности за год является среднее квадратическое отклонение индексов сезонности, выраженное в процентах:
si =
Чем меньше величина этого показателя, тем меньше является сезонность исследуемого явления. Рассмотрим на примере сезонность колебаний. Имеются данные за 3 года о динамике снабжения молоком (T) молокозаводов города (табл.8) . Необходимо:
а) определить индексы сезонности;
б) изобразить сезонную волну снабжения молока графически;
в) сделать выводы.
Решение.
Сезонность снабжения молоком за 3 года (2001-2003 г. г.) может быть охарактеризована посредством индексов сезонности: в процентном отношении отдельных уровней к среднему уровню ряда динамики.
Месячные данные одного года через влияние случайных факторов могут быть нетипичны для выявления тенденции развития явления.
Поэтому целесообразно определять индексы сезонности в среднем за 3 года. Сначала помесячно за 3 года вычисляем среднюю величину снабжения молоком. Потом определим среднегодовой уровень для трёх лет и вычислим индексы сезонности:
Таблица 8.
Месяц Годы Всего за три года,
т В среднем за три года, т Индекс сезонности
2001
2002
2003
1 2 3 4 5 6 7
120 131 112 363 121,0 78,7
125 127 130 382 127,3 82,8
140 152 143 435 145,0 94,3
157 160 162 479 159,7 103,8
168 181 175 524 174,7 113,6
181 194 197 572 190,7 124,0
196 201 191 588 196,0 127,4
183 180 171 534 178,0 115,7
160 165 154 579 159,7 103,8
142 148 155 445 148,3 96,4
133 127 140 400 133,3 86,7
115 110 111 336 112,0 72,8
Всего 1820 1876 1841 5537 1845,7 1200
В среднем 151,7 156,3 153,4 461,4 153,8 100

В гр. 6 таблицы определяем средние уровни снабжения молоком за 3 года по месяцам. Средние уровни рассчитываются по формуле средней арифметической простой:
ȳᵢ= ,
где yi - месячные уровни за три года;
n- число месяцев.
Так, в январе
₁==121,0 т;
в феврале
₁==127,3 т и т.д.
3.По вычислению средимесячным уровнем определим средний общий уровень за три года (последняя строка гр. 6):
общ==
или по данным о средних уровнях за каждый год
общ=
4.Установим индексы сезонности снабжения молоком (гр. 7):
в январеs =
в феврале s = и т.д.
Изобразим сезонную волну снабжения молоком графически построить линейную диаграмму (рис 8.1):
𝒴s%






месяц

I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII
Выводы. Из данных тпбл.8 и рис 8,1 видно что сезонность снабжения молоком молокозаводов города имеет чётко выраженный характер: больше всего молоко было поставлено в весеннее - летний период, а меньше всего – в осеннее зимний. Максимум снабжение приходит на июль, минимум на декабрь.
Вопросы для контроля.
1.Что называется сезонными компаниями?
2.Какие показатели используются для изучения сезонных колебаний?
3.Какие применимы способы изучения сезонных колебаний, если уровни имеют ярко выраженную тенденцию к увеличению или уменьшению из года в год?

Практическое задание №1.
В хозяйстве численность работников по месяцам характеризуется следующими данными:
Январь -320 Июль -590
Февраль -300 Август -910
Март -340 Сентябрь -870
Апрель -380 Октябрь -820
Май -420 Ноябрь -550
Июнь -540 Декабрь -480
Исчислите:
а) коэффициент сезонности работ;
б) постройте график.

Практическое задание №2
Среднесуточное потребление энергии характеризуется данными, тыс. кВт. час:
месяц показатель месяц показатель
I 15,9 VII 8,2
II 14,2 VIII 9,7
III 13,6 IX 10,6
IV 9,8 X 12,1
V 8,1 XI 16,1
VI 7,4 XII 17,9
Определите индекс сезонности.
Опишите сезонную волну графически.
Сделайте вывод.
Основные требования к содержанию темы «Ряды динамики»
Студент должен знать:
- понятия и составные элементы динамического ряда;
- их виды;
- методы анализа рядов динамики;
- компонент ряда динамики;
- методы укрупнения интервалов;
- методы аналитического выравнивания динамических рядов;
- о методах изучения сезонных колебаний.
Уметь:
- строить и анализировать ряды динамики;
- выявлять и анализировать основную тенденцию в рядах динамики;
- построить сезонную волну.

Заключение
Данное пособие должно способствовать формированию основных умений и практических навыков студентов при освоении темы «Ряды динамики»
Электронный вариант пособия даст возможность лучше подготовиться к компьютерному тестированию, экзамену, показать более высший результат при выполнении практических работ.

Список использованной литературы
Примерная программа учебной дисциплины. Статистика для специальностей «Экономика и бухгалтерский учёт» Министерства образования РФ ИПРСПО.
И.П. Маличенко, О.Е. Лучинин. Общая теория статистики. Курс лекций с практическими примерами. Ростов-на-Дону «Феликс», 2010.
Р.А. Шмойлова, В.Г. Минашкин, Н.А. Садовникова, Е.Б. Шувалова.
Теория статистики; -М.:, «Финансы и статистика» 2009г.
И.П. Маличенко, О.Е. Лучинин. Общая теория статистики. Практикум с решением типовых задач. Ростов- на- Дону. «Феникс» , 2010г.
Р.А. Шмойлова. Теория статистики. Москва, « Финансы и статистика», 2000г.
Сиденко А.В., Попов Г. Ю., Матвеева В. М. Статистика. Новосибирск, изд. НГА ЭиУ-М.: «Дело и сервис». 2000г.
Интернет-ресурсы.

Приложенные файлы

  • docx file6
    Учебно-методическое пособие "Ряды динамики"
    Размер файла: 72 kB Загрузок: 3