Задачи с параметром на квадратичную функцию

Задачи с параметром на квадратичную функцию
Автор: Криулин Антон Анатольевич
МБОУ Россошинская ООШ, 2012 г.
Содержание
TOC \o "1-3" \h \z \u Глава I. Квадратичная функция, квадратный трехчлен, квадратное уравнение, квадратное неравенство PAGEREF _Toc481310865 \h 3§1. Квадратный трехчлен, квадратичная функция PAGEREF _Toc481310866 \h 3§2. Квадратное уравнение. PAGEREF _Toc481310867 \h 6§3. Квадратные неравенства PAGEREF _Toc481310868 \h 13Глава II. Список задач PAGEREF _Toc481310869 \h 17§1. Квадратичная функция PAGEREF _Toc481310870 \h 17§2. Квадратный трехчлен PAGEREF _Toc481310871 \h 26§3. Квадратное уравнение PAGEREF _Toc481310872 \h 28§4. Квадратное неравенство. PAGEREF _Toc481310873 \h 33§5. Задачи с параметром PAGEREF _Toc481310874 \h 38Заключение PAGEREF _Toc481310875 \h 41Список используемой литературы: PAGEREF _Toc481310876 \h 42
Глава I. Квадратичная функция, квадратный трехчлен, квадратное уравнение, квадратное неравенство§1. Квадратный трехчлен, квадратичная функцияОпределение. Рассмотрим многочлен ах2 + bx + c, где а,b,с – числа (коэффициенты), причем а ≠ 0. Его называют квадратным трехчленом; при этом одночлен ах2 называют старшим членом квадратного трехчлена, коэффициент а – старшим коэффициентом, b – второй коэффициент, или коэффициент при х; с – свободный член.
Значения х, при которых квадратный трехчлен ах2 + bх + с обращается в нуль, называют корнями трехчлена. Таким образом, для нахождения корней квадратного трехчлена нужно решить квадратное уравнение
ах2 + bх + с = 0.
Определение. Функцию у = ах2 + bx + с, где а,b,c – произвольные числа, причем а≠0, называют квадратичной функцией.
Теорема. Графиком квадратичной функции у = ах 2+ bх + с является парабола, которая получается из параболы у = ах2 параллельным переносом.
Доказательство. Воспользуемся методом выделения полного квадрата. Имеем ах2 + bх + с = (ах2 + bх) + с = аx2+bax + c = ax2+2b2ax++b24a2-b24a2+c=ax+b2a2-b24a+c=ax+b2a2+4ac-b24a.
2476599695Итак, нам удалось преобразовать квадратный трехчлен ах2 + bх + с к виду а(х + l)2 + m, где l = b2a, m = 4ac-b24a.
Чтобы построить график функции у = а(х2 + + l)2 + m, нужно выполнить параллельный перенос параболы у = ах2 так, чтобы вершина параболы оказалась в точке (-l;m). Теорема доказана.
Из проведенного доказательства следует, что вершиной параболы у = ах2 + bx + с служит точка (-l;m). Осью параболы является прямая х = −l, т.е. х = − b2a.
Итак, осью параболы у = ах2 + bx + c служит прямая х = -b2a; абсцисса х0 вершины параболы у = ах2 + bх + с вычисляется по формуле
x0=-b2a
Формулу для ординаты вершины параболы запоминать не нужно (речь идет о формуле у0 = m, т.е. у0 = 4ac-b24a). Во-первых, она достаточно громоздкая, а во-вторых, если известна абсцисса х0, то ординату у0 всегда можно вычислить по формуле у0 = f(x0), где f(x) = ax2 + bx + c.
Свойства квадратичной функции:
-51435582295Свойства функции и вид ее графика определяется, в основном, значениями коэффициента а и дискриминанта D = b2 – 4ac.
Область определения: R
Область значений: Если координаты вершины параболы (хв,ув), то
При а > 0 E(y) = [yв; + ∞);
При а < 0 E(y) = (− ∞; ув].
Четность, нечетность:
При b = 0 функция четная.
При b ≠ 0 функция не является ни четной, ни нечетной.
Нули функции:
При D > 0 два нуля: x1=-b-D2a, x2=-b+D2a.
При D = 0 один нуль: x1=-b2a.
При D < 0 нулей нет.
Промежутки монотонности:
При а > 0 функция возрастает при x∈-b2a;+∞,функция убывает при x∈-∞;-b2a.
При а < 0 функция возрастает при x∈ -∞; -b2a,функция убывает при x∈ -b2a;+∞. Экстремумы:
При а > 0 xmin = -b2a; ymin = yв.
При а < 0 xmax = -b2a; ymax = yв.
Способы нахождения координат вершины параболы (хв, ув).
-b2a;у-b2a.
Если х1, х2 – нули функции (корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с), то xв=x1+x22; yВ = у(хв) = ахв2 + bxв + с.
В вершине параболы экстремум, значит производная у'(хв) = 0. Так как у'(ах2 + bx + c)' = 2ax + b = 0, то хв = − b2a.
Выделить в квадратном трехчлене полный квадрат:
ах2 + bх + с = ax+b2a2-b2-4ac4a = а(х – хв)2 + ув.
Алгоритм построения параболы у = ах2 + bx + c
Найти координаты вершины параболы, построить на координатной плоскости соответствующую точку, провести ось параболы.
Отметить на оси х две точки, симметричные относительно оси параболы (чаще всего в качестве одной из таких точек берут точку х=0), найти значения функции в этих точках; построить на координатной плоскости соответствующие точки.
Через полученные точки провести параболу (в случае необходимости берут еще пару точек, симметричных относительно оси параболы, и строят параболу по пяти точкам).
§2. Квадратное уравнение.Определение. Квадратным уравнением называют уравнение вида ах2 + bx + c = 0, где коэффициенты а,b,с – любые действительные числа, причем а ≠ 0. Коэффициенты а,b,с различают по названиям: а – первый, или старший, коэффициент; b – второй коэффициент, или коэффициент при х; с – свободный член.
Определение. Квадратное уравнение называют приведенным, если его старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если его старший коэффициент отличен от 1.
Определение. Полное квадратное уравнение – это квадратное уравнение, в котором присутствует все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение – это уравнение, в котором присутствует не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b,с равен нулю.
Решить квадратное уравнение – значит найти все его корни или установить, что корней нет.
Определение. Корнем квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 называется всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ах2 + bx + с обращается в нуль; такое значение переменной х называется также корнем квадратного трехчлена.
Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 – это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство 0=0.
Мы с вами знаем, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола. Корнями квадратного уравнения ах2 + bx + с с осью х. Парабола может пересекать ось х в двух точках, может касаться оси х, т.е. иметь с ней лишь одну общую тоску, может вообще не пересекаться с осью х. Это значит, что квадратное уравнение ах2 + b + с = 0 может иметь либо 2 корня либо один корень(два совпавших корня), либо вообще не иметь действительных корней.
Конечно, неплохо знать, сколько корней имеет квадратное уравнение, но лучше уметь находить эти корни.
Пример 1. Решить уравнение х2 – 4х + 3 = 0.
Решение.
I способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 – 4х + 3 и разложим его на множители, используя способ группировки; предварительно представив слагаемое – 4х в виде – х – 3х. Имеем
х2 − 4х + 3 = х2 – х – 3х + 3 = (х2 – х) – (3х – 3) = х(х – 1) – 3(х – 1) =
= (х – 1)(х – 3).
Значит, заданное уравнение можно переписпть в виде (х – 1)(х – 3) = 0, откуда ясно, что уравнение имеет два корня; х1 = 1, х2 = 3; при х = 1 обращается в нуль множитель х – 1, а при х = 3 обращается в нуль множитель х – 3.
II способ. Рассмотрим квадратный трехчлен х2 – 4х + 3 и разложим его на множители, используя метод выделения полного квадрата; предварительно представив слагаемое 3 в виде 4 – 1. Имеем
х2 – 4х + 3 = х2 – 4х + 3 = (х – 2)2 – 1.
Воспользовавшись формулой разности квадратов, получим
(х – 2 + 1)(х – 2 – 1) = (х – 1)(х – 3).
Рассуждая как и в первом способе, находим, что х1 = 1, х2 = 3.
III способ. Построим график функции у = х2 – 4х + 3, воспользовавшись алгоритмом:
Имеем а = 1, b = − 4, х0 = -b2a = 2; у0 = f(2) = 22 – 4 ∙ 2 + 3 = − 1.
3739515342265Значит, вершиной параболы является точка (2; −1), а осью параболы – прямая х = 2.
Возьмем на оси х две точки, симметричные относительно оси
параболы, например точки х = 1 и х = 3. Имеем f(1) = f(3) = 0; построим на координатной плоскости тоски (1; 0) и (3; 0).
Через точки (1; 0), (2; −1), (3; 0) проводим параболу. Корнями
уравнения х2 – 4х + 3 = 0 служат абсциссы точек пересечения параболы с осью х. Таких точек две: (1; 0) и (3; 0). Итак, х1 = 1, х2 = 3.
Итак, мы решили уравнение х2 – 4х + 3 = 0 тремя способами. Тем не менее, знание этих способов не есть, как говорится, панацея от всех бед. Ведь наши успехи в решении квадратных уравнений зависели до сих пор от наличия одного из двух благоприятных обстоятельств: 1) квадратный трехчлен удавалось разложить на множители; 2) график, который мы использовали для графического решения уравнения, пересекался в «хороших» точках.
Пусть дано квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0. Применим к квадратному трехчлену ах2 + bх + с те же преобразования, которые мы выполняли когда доказывали теорему о том, что графиком функции у = ах2 + bх + с является парабола.
Имеем
ах2 + bх + с = (ах2 + bх) + с = аx2+bax + c = ax2+2b2ax++b24a2--b24a2+c=ax+b2a2-b24a+c=ax+b2a2-b2-4ac4a.
Обычно выражение b2 – 4ac обозначается буквой D и называется дискриминантом квадратного уравнения ах2 + bх + с = 0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ах2 + bх +с).
Таким образом, ах2 + bх + с = аx+b2a2-D4a.
Значит, квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 можно переписать в виде
аx+b2a2-D4aи далее
x+b2a2-D4a2 (1)
Любое квадратное уравнение можно преобразовать к виду (1), удобному, как мы сейчас убедимся, для того, чтобы определять число корней квадратного уравнения и находить эти корни.
Теорема Если D<0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней.
Доказательство. Если D<0, то правая часть уравнения (1) – отрицательное число; в то же время левая часть уравнения (1) при любых значениях х принимает неотрицательное значения. Значит, нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (1), а поэтому уравнение (1) не имеет действительных корней.
Теорема Если D = 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет один действительный корень, который находится по формуле х = -b2a.
Доказательство. Если D = 0, то уравнение (1) принимает вид x+b2a2==0. Значит, x+b2a =0, т.е. х = -b2a − единственный корень уравнения.
Теорема Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два корня, которые находятся по формулам
x1=-b-D2a; x2=-b+D2a.
Доказательство.Перепишем квадратное уравнение ах2 + bх + с = 0 в виде (1)
x+b2a2-D4a2.
Положим x+b2a = t, тогда уравнение (1) примет вид
t2=D4a2. (2)
По условию, D > 0, значит, правая часть уравнения – положительное число. Тогда из уравнения (2) получаем, что
t2=±D2a.
Но t = x + b2a, таким образом, задача свелась к решению двух уравнений:
x + b2a=D2a; x + b2a=-D2a.
Из первого уравнения находим
х = -b2a+D2a=-b+D2a.
Из второго уравнения находим
х = -b2a-D2a=-b-D2a.
Итак, заданное квадратное уравнение имеет вид:
x1=-b-D2a; x2=-b+D2a. (3)
Правило решения уравнения ах2 + bх + с = 0:
Вычислить дискриминант D по формуле D = b2 – 4ac.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет действительных корней.
Если D = 0, то квадратное уравнение имеет два совпавших корня:
х = -b2a.
Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два действительных корня:
x1=-b-D2a; x2=-b+D2a.
Еще одна формула корней квадратного уравнения
Формулу (1) можно упростить в случае, когда коэффициент b имеет вид b = 2k, в частности, если b есть четное число.
В самом деле, пусть у квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 коэффициент b имеет вид b = 2k. Подставив в формулу (1) число 2k в место b, получим:
x1,2=-2k±(2k)2-4ac2a=-2k±4k2-4ac2a=-2k±4(k2-ac)2a ==-2k±2k2-ac2a=2(-k±k2-ac)2a=-k±k2-aca.
Итак, корни квадратного уравнения ах2 + 2kx + c = 0 можно вычислить по формуле
x1,2=-k±k2-aca.
Сравните эту формулу с формулой (1). В чем ее преимущества? Во-первых, в квадрат возводятся не число b, а его половина k-b2. Во-вторых, вычитается из этого квадрата не 4ас, а просто ас. В-третьих, в знаменателе содержится не 2а, а просто а. Как ведете, по крайней мере в трех моментах мы облегчим себе выкладки. Особенно приятно выглядит формула (2) для приведенного квадратного уравнения, т.е. для случая, когда а = 1. Тогда получаем
x1,2=-k±k2-a. (3)
Это – формула коней уравнения х2 + 2kx + c = 0.
Теорема Виета.
В этом параграфе мы познакомимся с любопытными соотношениями между корнями квадратного уравнения и его коэффициентами. Эти соотношения впервые обнаружил французский математик Франсуа Виет (1540 – 1603).
Теорема(теорема Виета) Пусть х1, х2 – корни квадратного уравнения ах2 + bx + с = 0. Тогда сумма коней уравнения ах2 + bх + с = 0. Тогда сумма корней равна − ba, а произведение корней равно ca:
х1 + х2 = − ba,
х1х2 = ca.
Доказательство теоремы Виета. Корни х1 и х2 квадратного уравнения ах2 + bx + c = 0 находятся по формулам
x1=-b-D2a; x2=-b+D2a,
где D = b2 – 4ac – дискриминант уравнения. Сложив эти корни, получим
x1+x2=-b+D2a+-b-D2a=-b-D-b-D2a=-2b2a=-ba.
Первое соотношение доказано: х1 + х2 = − ba.
Теперь вычислим произведение корней х1 и х2. Имеем
x1x2=-b+D2a∙-b-D2a=(-b)2-(D)24a2=b2-D4a2=b2-(b2-4ac)4a2=4ac4a2=ca.
Второе соотношение доказано: х1х2 = ca.
Теорема Если х1 и х2 – корни квадратного трехчлена ах2 + bx + с, то справедливо тождество ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Доказательство. Имеем ах2 + bx + c = ax2+bax+ca.
По теореме Виета, х1 + х2 = − ba, х1х2 = ca. Значит,
ax2+bax+ca = a(x2-(x1 + x2)x + x1x2) = a(x2 − x1x − x2x + x1x2) = a(x(x − x1)- − x2(x − x1)) = a(x – x1)(x − x2).
§3. Квадратные неравенстваОпределение. Неравенство вида
ах2 + bx + c > 0, (1)
где а,b,c – действительные числа, а ≠ 0, будем называть квадратным неравенством.
Если вместо х в левую часть неравенства (1) подставить некоторое действительное число х0, то получим числовое неравенство ах02 + bx0 + c > 0, которое при одних значениях х0 может оказаться верным, а при других – неверным.
Определение Число х0 называют решением неравенства (1), если при подстановке вместо х числа х0 получается верное числовое неравенство
ах02 + bx0 + c > 0, т.е. если квадратный трехчлен ах2 + bx + c при х = х0 принимает положительное значение. Решить неравенство (1) − значит найти все решения этого неравенства.
Если использовать график функции у = ах2 + bx + c, то решение неравенства (1) сводится к отысканию всех тех значений х, для которых точки графика функции у = ах2 + bx + c лежат выше оси абсцисс.
Наряду с неравенствами вида (1) можно рассматривать такие неравенства:
ах2 + bx + c < 0, (2)
ах2 + bx + c ≥ 0, (3)
ах2 + bx + c ≤ 0, (4)
а1х2+ b1x + c1 > а2х2+ b2x + c2. (5)
Эти неравенства мы также будем называть квадратными.
Определение. Два квадратных неравенства называются равносильными, если эти неравенства имеют одни и те же решения, т.е. если всякое решение первого неравенства является решением второго и, обратно, всякое решение второго неравенства является решением первого.
Пример. Решить неравенство х2 – 2х – 3 > 0.
-146685337185Решение. Рассмотрим параболу у = х2 – 2х – 3. Решить неравенство
х2 – 2х – 3 > 0 – это значит ответить на вопрос, при каких значениях х ординаты точек параболы положительны. Замечаем, что у > 0, т.е. график функции лежит выше оси х, при х < −1 или при х > 3. Значит, решениями неравенства служат все точки открытого луча (− ∞, − 1), а также все точки открытого луча (3, + ∞). Используя знак ∪ (знак объединения множеств), ответ можно записать так: (−∞, − 1) ∪ (3, + ∞). Впрочем, ответ можно записать и так: x < − 1; x > 3;
Практичные математики обычно говорят так: зачем нам, решая неравенство ах2 + bx + c > 0, аккуратно строить параболу – график квадратичной функции у = ах2 + bx + c? Достаточно сделать схематический набросок графика, для чего следует лишь найти корни квадратного трехчлена (точки пересечения параболы с осью х) и определить, куда направлены ветви параболы – вверх или вниз. Этот схематический набросок даст наглядное истолкование решению неравенства.
Алгоритм решения квадратного неравенства
ах2 + bх + с > 0 (ах2 + bx + c < 0)
Найти корни квадратного трехчлена ах2 + bх + с.
Отметить найденные корни на оси ох и определить, куда (вверх или вниз) направлены ветви параболы, служащий графиком функции у = ах2 + bх + с; сделать набросок графика.
С помощью полученной геометрической модели определить, на каких промежутках оси х ординаты графика положительны (отрицательны); включить эти промежутки в ответ.
На первом шаге этого алгоритма требуется найти корни квадратного трехчлена. Но ведь корни могут и не существовать, что же делать? Тогда алгоритм неприменим, значит, надо рассуждать как-то по-другому. Ключ к этим рассуждениям дают следующие теоремы.
Теорема Если квадратный трехчлен ах2 + bx + c не имеет корней действительных (т.е. его дискриминант D – отрицательное число) и если при этом а > 0, то при всех значениях х выполняется неравенство
ах2 + bx + c > 0.
Иными словами, если D < 0, то а > 0, то неравенство ах2 + bx + c > 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ах2 + bx + c ≤ 0 не имеет решений.
-4318019685Доказательство. Графиком функции у = ах2 + bx + c является парабола, ветви которой направлены вверх (поскольку а > 0) и которая не пересекает ось х, так как корней у квадратного трехчлена по условию нет (см рисунок). Видим, что при всех х график расположен выше оси х, а это означает, что при всех х выполняется неравенство
ах2 + bx + c > 0, что и требовалось доказать.
Теорема Если квадратичная трехчлен ax2 + bx + c не имеет действительных корней (т.е. его дискриминант D – отрицательное число) и если при этом a < 0, то при всех значениях х выполняется неравенство
-121285144780ax2 + bx + c < 0.
Иными словами, если D < 0, а < 0, то неравенство ax2 + bx + c < 0 выполняется при всех х; напротив, неравенство ax2 + bx + c ≥ 0 не имеет решений.
Доказательство. Графиком функции
у = ax2 + bx + c является парабола, ветви которой направлены вниз (поскольку а < 0) и которая не пересекает ось х, так как коней у квадратного трехчлена по условию нет (см. рисунок). Видим, что при всех х график расположен ниже оси х, а это значит, что при всех х выполняется неравенство ax2 + bx + c < 0, что и требовалось доказать.
Пример. Решить неравенство х2 – 6х + 8 > 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен х2 – 6х + 8 на множители. Корнями трехчлена являются числа 2 и 4. Воспользовавшись формулой ax2 + + bx + c = a(x – x1)(x – x2), получим
х2 – 6х +8 = (х – 2)(х – 4).
17392652722880Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 2 и 4(см. рисунок). Выясним, когда произведение (х – 2)(х – 4) положительно, а когда отрицательно. Если х > 4, то х – 2 > 0 и х – 4 > 0, значит, (х – 2)(х – 4) > 0. Если 2 < x < 4, то х – 2 > 0, а х – 4 < 0, значит, (х – 2)(х – 4) < 0. Если х < 2, то и х – 2 < 0, и х – 4 < 0, а потому (х – 2)(х – 4) > 0. Спрашивается, при каких значениях переменной х квадратный трехчлен х2 – 6х + 8 принимает положительные значения. С помощью геометрической модели делаем вывод: указанный квадратный трехчлен принимает положительное значение на двух открытых лучах – (− ∞, 2) и (4, + ∞).
Ответ: х < 2; x > 4.
Метод рассуждений, который мы применили, называют методом интервалов.
Алгоритм решения квадратных неравенств метом интервалов.
Разложить квадратный трехчлен ах2 + bх + с на множители, воспользовавшись формулой ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2).
Отметить на числовой прямой корни трехчлена: х1 и х2.
Выяснить, когда произведение a(x – x1)(x – x2) положительно, а когда отрицательно.
С помощью геометрической модели делаем вывод, при каких значениях указанный квадратный трехчлен принимает положительные (отрицательный) значения
Глава II. Список задач§1. Квадратичная функцияЧто должны знать:
Определение квадратичной функции.
График квадратичной функции, основные этапы его построения.
Свойства функции в зависимости от коэффициентов а, b, с.
Что должны уметь:
Выделять в списке функций квадратичные.
Находить координаты вершины параболы 4-мя способами, ось симметрии, нули функции, множество значений.
Определять промежутки возрастания, убывания функции, точку экстремума и сам экстремум по координатам вершины.
Решать задачи на нахождения наибольшего и наименьшего значений квадратичной функции на всех области определения и на заданном промежутке.
Строить график квадратичной функции по основным ее свойствам и с помощью преобразований графика у = х2.
Строить график функций у=|ах2+bх+с|, у=ах2+b|х|+с.
а) Определять поведение параболы при изменении коэффициентов а, b, с.
б) Определять знаки а, b, c по графику параболы
9) Использовать график квадратичной функции при решении
уравнений и неравенств; систем уравнений и неравенств.
Список задач по теме квадратичная функция:
Какая из следующих функций является квадратичной:
y=3x2+5x+6;
y=3x-1;
y=5x2-7x;
y=9x;
у=х-4х2+1;
у=(х-1)(х+2);
у=(х+1)(х2+1);
у=(х-1)2+3;
у=|3х2+3х+3|;
у=|x|(x2-1)?
Укажите номер рисунка, где изображен график квадратичной функции у=ах2+bx+c.
2)
3) 4)
Для квадратичной функции у = ах2 + bx + c нули функции положительные. Укажите знак первой координаты вершины.
Для квадратичной функции у = ах2 + bx + c коэффициенты а и b положительные. Какой знак у абсциссы параболы?
Первая координата вершины параболы
у = 2х2 − 4х + 13;
у = 3х2 – 6х + 9;
у = − х2 + 2х – 4,
равна 1. Определите вторую координату вершины.
Для квадратичной функции у = 2(х – 3)2 + 5 определите координаты вершины.
Найдите координаты вершины параболы:
y = 4x2 + 8x − 1;
y= − 3x2 − 6x + 2;
y= − x2 + 2x + 1;
y = 5x2 − 10x + 4;
Запишите уравнение прямой, которая является осью симметрии параболы. Найдите нули функции.
у = 2х2 – х + 1;
у = − 5х2 + 2х − 2;
у = 7х2 + 12х + 4;
у = − х2 + 2х + 1;
Найдите область значений функций:
у = х2 − 2х + 3, где х ϵ (- ∞;+ ∞);
у = х2 − 2х + 3, где х ϵ [0;1];
у = − х2 − 4х − 5, где х ϵ (- ∞;+ ∞);
у = − х2 − 4х − 5, где х ϵ [-1;0].
Постройте график функции при указанных значениях х и определите
область значений этой функции при этих х.
1) у = х2 − 2х − 3, где х ϵ (-∞;+∞);
2) у = − х2 + 4х, где х ϵ (-∞;+∞);
3) у = 1/3х2 − 3, где х ϵ [-3;6];
4) у = 2х2 − 4х − 1, где х ϵ [-1;2];
5) y = 3x − 0.5x2, где х ϵ [2;7].
Указать промежутки возрастания функции
у = х2 − 3х + 5;
у = − х2 + 3х – 5;
у = 2х2 + 4х + 1;
у = -3х2 + 6х +2.
Указать промежутки убывания функции
у = 2х2 + 4х − 25;
у = − 3х2 + 12х + 2;
у = − 2х2 + 6х −1;
у = 5х2 + 10х +20.
Вершина параболы у = ax2 + bx + c, где a > 0 имеет координаты
(− 2;5). Укажите промежутки возрастания и убывания функции.
На рисунке изображен график функции. Используя график ответьте
на вопросы:
При каких х значение функции равно 0?
При каких х значение функции положительное?
В какой точке минимум функции?
Укажите промежутки возрастания, убывания функции.

Укажите наибольшее значение функции у = − х2 + 4х + 5 на всей
области определения.
Укажите наименьшее значение функции у = х2 − 6х – 7 на всей
области определения.
Пользуясь графиком функции, изображенным на рисунке,
определите:
наибольшее значение функции;
значения х, при которых у<0;
1005840234315промежуток, в котором функция возрастает.
3516630233045 Пользуясь графиком функции, укажите:
наибольшее значение функции на отрезке [0;3];
наименьшее значение функции на отрезке [-1;4].
Постройте график функции:
y = x2 + 4x + 5;
y = − x2 + 2x − 3;
y = − x2 + 2x + 2;
y = 3x2 −12x;
y = − 4x2 − 8x;
y = − 2x2 + 2x − 5;
y = (2 − x)(x − 6);
y = 3x(2 + 2x);
y = (x + 2)2 − 2x + 2;
y = 5x + (x − 2)2.
Ниже изображен график функции у=х2−2х

Укажите график функции у=|х2-2х|
2) 3)
21. Постройте график функции:
1) у=х2-2|х|+1;
2) у=х2-|х|-6;
3) у=|х2+6х-8|;
4) у=|х2-х-6|.
653415362585 22. График функции f(x)=-x2-2x+2 изображен ниже

Установите соответствие между формулами и графиками
у = f(x – 2)
y = f(x+2)
у = |f(x)|
y = f(x)+2
у = − f(x)
у = f(|x|)
y = |f(|x|)|
б) в)
г) д) е)
ж)
23. Ниже изображен график функции у = ах2 + bх + с
1) 2) 3)
4)
Укажите график функции, для которой свободный член
с > 0;
c < 0;
c = 0.
24. Ниже изображен график функции у = ах2 + bх + с
1) 2) 3)
4)
Укажите график функции, для которой старший член
а > 0;
а < 0;
25. а) Найдите коэффициенты а, b и c, если точка М(−1;−7) является
вершиной параболы у = ax2 + bx + c, пересекающей ось ординат в
точке N(0;−4).
б) Найдите коэффициенты а, b и c, если точка М(1;5) является
вершиной параболы у = ax2 + bx + c, пересекающей ось ординат в
точке N(0;1).
26. а) Найдите функцию у = ax2 + bx + c, если известно, что график ее
проходит через точки А(1;4), В(-1;10), С(2;7).
б) Парабола у = ax2+ bx + c проходит через точку В(−1;5) и имеет
вершину А(1;1). Найдите ординату такой точки параболы, абсцисса
которой равна 5.

439420262890 27. Ниже изображен график функции у = ах2 + bх + с
Найдите коэффициенты а, b, c.
ы
28. Найдите с помощью графиков функций число решений систем
уравнений
y=-3x y= -x2-2x+4 2) y=-x2+4x+5y=8x 3) y=-x2+6x-42x-y+3=0 4) y=3x2-6x+4x-2y=0 29. Решите графически систему уравнений:
1) yx+3=0, y= x2+2; 2) xy+4=0, y= (x-1)2; 3) y=x, y+2x2=3;
§2. Квадратный трехчленЧто должны знать:
Определение квадратного трехчлена.
Определение корня квадратного трехчлена.
Что должны уметь:
Распознавать в списке многочленов квадратные.
Разлагать на множители квадратный трехчлен.
Находить корни квадратного трехчлена.
Список задач по теме квадратный трехчлен:
Разложите квадратный трехчлен на линейные множители с целыми коэффициентами
1) 5х2 −11х − 42;
2) 7х2 − 2х − 24;
3) − 3х2 + 6х + 24;
4) − 6х2 + 70х – 200.
Докажите, что данные два квадратный трехчлена имеют общий корень, и найдите его:
1) 14х2 + 19х − 3 и − 14х2 + 37х – 5;
2) − 15х2 + 4х + 4 и 15х2 + х – 2.
Определите, при каких указанных значений х данный квадратный трехчлен принимает положительные значения, отрицательный значения, равен 0.
1) 3х2 + 5х − 8, при х1 = 1, х2 = −223, х3 = −313, х4 = 0,9, х5 = 1 + 7;
2) − 2х2 + 7х + 9, при х1 = −1, х2 = 4,5, х3 = 4,6, х4 = 313, х5 = −1− 3;
Найдите значение х, при которых трехчлен − 3х2 + 6х + 1 принимает
значения, меньшие − 4/3.
Найдите все х, при которых трехчлен – х2 + 2х + 11 принимает значения, большие −1/4.
Найдите корни квадратного трехчлена и разложите его на линейные множители
1) 3х2 − 11х − 34;
2) 2х2 + 17х − 26;
3) − 2х2 + 2.5х + 13;
4) − 5/3х2 + х + 12.

§3. Квадратное уравнениеЧто должны знать:
Определение квадратного уравнения.
Какое квадратное уравнение называется приведённым (неприведённым).
Какое квадратное уравнение называется полным (неполным).
Что такое решение квадратного уравнения.
Способы решения квадратного уравнения.
Что должны уметь:
Распознавать в списке уравнений квадратные.
Находить корни квадратного уравнения различными способами.
Находить корни уравнений содержащие модуль.
Составлять квадратные уравнения.
По графику параболы определять количество корней и сами корни.
Список задач по теме квадратное уравнение:
Являются ли квадратным уравнение?
1) x2 + 3x – 6 = 0;
2) х – 4 = 0;
3) 8х2 – 8 = 0;
4) – 7х2 + 7х + 7 = 0;
5) х3 – 7х + 3 = 0;
6) 4x2 – 3x = 0;
7) х4 – 16 = 0;
8) (х – 3)(х – 1) = 0;
Укажите старший коэффициент, второй коэффициент и свободный член.
Составьте квадратное уравнение, у которого:
1) Старший коэффициент равен 8, коэффициент при х равен 5,
свободный член равен 1;
2) Старший коэффициент равен -12, коэффициент при х равен 3;
3) Старший коэффициент равен 1, свободный член равен 4;
4) старший коэффициент равен 9, коэффициент при х равен -2,
свободный член равен 3 .
Какие из следующих уравнений являются приведёнными? В случае неприведенного квадратного уравнения сделайте такие преобразования, чтобы оно стало приведенным.
x2 – 4x + 35 = 0;
− 15x2 + 4x – 2 = 0;
12 − x2 + 3x = 0;
18 − 9x + x2 = 0;
–x2 + 31x – 6 = 0;
−1/3x2 + 3/14 = 0.
Составьте квадратное уравнение, которое является:
Полным и приведенным;
Полным и неприведенным;
Неполным и приведенным;
Неполным и неприведенным.
Докажите что:
Число 3 является корнем уравнения х2 − 4х + 3 = 0;
Число -7 не является корнем уравнения 2х2 – х – 3= 0;
Число -5 является корнем уравнения 2х2 − 3х – 65 = 0;
Число 6 не является корнем уравнения х2 − 2х + 6 = 0.
Определите число корней уравнения:
x2 – 8х – 84 = 0;
36x2 – 12х + 1 = 0;
x2 – 22х – 23 = 0;
16x2 – 8х + 1 = 0;
x2 – 16х + 64 = 0;
x2 + 6х + 9 = 0.
1189990309880Определите по графику функции число корней уравнения и сами корни.
По графику параболы определите, какой знак у дискриминанта.
2) 3)
4) 5) 6)
Решите графически уравнение
x2 + 4х + 3 = 0;
x2 − 6х + 5 = 0;
х2 – 7х – 8 = 8;
х2 + х – 12 = 0;
2х2 – 5х + 2 =0;
0.5х2 + 3.5х – 4 = 0;
х2 + |x| − 6 = 0;
x2 – 2|x| − 15 = 0;
2x2 + |x| − 1 = 0;
2x2 – 3|x| − 2 = 0
Решите уравнение:
x2 +4х + 4 = 0;
x2 + 8х + 7 = 0;
x2 − 34х + 289 = 0;
x2 + 4х + 5 = 0;
2x2 + 3х −1= 0;
3x2 − 3х + 4 = 0;
3x2 + 32х + 80 = 0;
100x2 − 160х + 63 = 0;
x2 = 2х + 48;
6x2 + 7х = 5;
0,6x2 + 0,8х − 7,8 = 0;
х(х − 5) = 1 − 4х;
|x2 + 5| = 6x;
|x2 + x −3| = x;
|x2 – x – 8| = − x;
|x2 + 2x + 3| = 3x + 45;
|x + 3| = |2x2 + x – 5|;
|3x2 – 3x + 5| = |2x2 + 6x − 3|;
3|2x2 + 4x + 1| = |x2 + 5x +1|
|x – 2|x2 = 10 – 5x;
(x2 – 5x +6)2 + 3|x – 3| = 0;
6x – 9 = x2(|x – 3| +1).
Найдите все корни уравнения х2 + х + 6 − 6 = 0, удовлетворяющие условию х < 2.
Сравните меньший корень уравнения х2 – 14х + 28 = 0 с большим корнем уравнения х2 – 2х – 1 = 0.
У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение корней равно -11:
x2 - 6x + 11 = 0;
x2 + 6x − 11 = 0;
x2 − 11x – 6 = 0;
x2 + 11x − 6 = 0.
Не решая уравнения, определите, имеет ли оно корни. Для уравнения, имеющие корни, найдите их сумму и произведение:
x2 + 2x – 5 = 0;
x2 – 15x + 16 = 0;
x2− 19x + 1 = 0;
x2 + 8x + 10 = 0;
2x2 + 9x – 10 = 0;
19x2 − 23x + 5 = 0.
Не использую формулу корней, найдите корни квадратного уравнения:
x2 + 3x + 2 = 0;
x2 − 15x + 14 = 0;
x2 − 19x + 18 = 0;
x2 + 8x + 7 = 0;
x2 + 3x – 4 = 0;
x2 − 12x − 11 = 0;
§4. Квадратное неравенство.Что должны знать:
Определение квадратного неравенства.
Что является решением квадратного неравенства.
Какие неравенства называются равносильными.
Методы решения квадратного неравенства.
Что должны уметь:
Решать неравенства:
графическим способом.
методом интервалов.
составлением систем.
Решать системы неравенств.
Решать неравенства, содержащие модуль.
Решать задачи, связанные с квадратными неравенствами.
Список задач по теме квадратное неравенство:
Постройте график функции у = х2 – 3х + 2. С помощью графика решите неравенство:
х2 − 3х + 2 > 0;
х2 − 3х + 2 < 0;
3) х2 − 3х + 2 ≤ 0;
4) х2 − 3х + 2 ≥ 0.
2. Постройте график функции у = − х2 + 3х + 2. С помощью графика
решите неравенство:
1) − х2 + 3х + 2 > 0;
2) − х2 + 3х + 2 ≤ 0;
3) − х2 + 3х + 2 < 0;
4) − х2 + 3х + 2 ≥ 0.
3. Ниже изображен график функции у = −х2 + 2х +3.

Укажите значения х, при которых:
у < 0;
y > 0;
y = 0;
4. Дискриминант квадратного трехчлена ах2 + bх + с отрицательный, а
первый коэффициент положительный. Укажите решение неравенства:
ах2 + bх + с > 0;
ах2 + bх + с < 0;
ах2 + bх + с ≥ 0;
ах2 + bх + с ≤ 0.
5. Дискриминант квадратного трехчлена ах2 + bх + с отрицательный, а
неравенство ах2 + bх + с ≤ 0 имеет пустое множество решений,
укажите знак а.
6. Решите графическим способом неравенство:
1) (5х − 2)(4х + 3) ≤ 0;
2) (6х − 5)(8х + 1) > 0;
3) 8х2 + 3х − 5 ≥ 0;
4) 3х2 + 5х − 8 < 0;
5) 2х2 − 3х + 5 > 0;
6) 3х2 − 4х + 2 ≥ 0;
7) х2 − 10х + 27 < 0;
8) 5х2 − 12х + 8 ≤ 0;
9) (2х2 + 3х + 4)(х + 3) ≥ 0;
10) 25х2 + 30х + 9 > 0.
7. Какой из рисунков изображает множество решений неравенства
732155309880 – х2 + 2х + 3 ≥ 0.
751205283845
713740172085
74993574930
8. Решите неравенства методом интервалов или составлением систем:
9х2 + 12х + 4 ≤ 0;
49х2 − 70 + 25 > 0;
64x2 + 112x + 49 ≥ 0;
25x2 − 40x + 16 < 0;
(2x2 + 3x + 4)(x + 3) ≥ 0;
(7 + 6x − x2)(3x − 5) < 0;
(x − 1)2(x2 − 2) < (x − 1)2(6 − 2x);
(x2 − 4x + 4)(3x2 − 2x − 1) ≤ 0.
9. Решите неравенство
|х2 + 2х| ≥ 3;
|2x2 + 5x − 4| < 0;
|x2 + 3x| ≤ 4;
|3x2 − 4x − 2| > 2;
x2 − 5|x| + 6 < 0;
x2 − |x| − 12 ≥ 0;
7|x| − x2 – 12 ≤ 0;
11|x| + 20 − 3x2 > 0;
|x2 − 4x|(x2 − 1) ≤ 0;
|x2 − 4|(x2 − 4x + 3) ≤ 0;
|x2 − 6x + 9| < 2x − 6;
x2 − 2x + 1 < 2|x − 1|.
10. Решите систему неравенств
х2-х-6≥0,х2-4х<0;3х2-4х+2>0, 3х2-5х+2≤ 0;х2-2х-3>0, х2-11х+28≥0;х2≤0, х2-х-6≥0;х2-х-20<0,х2-2х-8>0,2х2+х-45<0;3х2-5х-2>0,3х2-7х-6<0,6х2-11х-10≤0;2х-3≤0, х2-4х+3<0; 758825328930 На каком рисунке изображена область определения функции у=x+2x2+4?
758825236220
758825231775
758825227330
Найдите область определения функции
у=60х-25х2-36;
у=1112х+64+49х2;
у=5х2+6х+1+13х+5;у=3х+4-1-2х2-5х-14;у=3х+4-1-2х2-5х-2 ;у = 410х2-3х-1;
y = 2-5x-3x23x2;Найдите целочисленные решения неравенства:
|x2 + 2x| ≤ x;
|x2 + 2x − 3| < |6x − 6|;
|x2 − 4x + 3| + 2 < 2|x − 1| + |x − 3|.
Дана функция g(x) = 3 − х − х2.
При каких значениях х имеет место неравенство g(x) ≤ 1?
Найдите наибольшее значение функции g(x).
Решите неравенство g(x) > g(x2).
При каких значениях а неравенство g(x) < a.
§5. Задачи с параметромПри каком значении b корнем квадратного трехчлена f(x)=-3x2+bx-2b-12 является число 6? При найденном значении b определите второй корень трехчлена, постройте график функции у=f(x), укажите промежутки возрастания и убывания функции, значения х, при которых f(x)<0, f(x)>0, -5≤f(x-1)<7.
Постройте график функции:
у=х2-6х+а, если известно, что ее наименьшее значение равно 1;
у=-х2+4х+а, если известно, что ее наибольшее значение равно 2.
Постойте график квадратного трехчлена:
у= 2х2-(а-2)х+а, если известно, что корни х1 и х2 связаны соотношением 1/х1+1/х2=3;
у=х2+3х+а, если известно, что его корни связаны соотношением х12х2+х22х1=12.
При каких значениях а множество значений функции у=х2-2х+а совподает с областью определения функции у=3x+a?
При каких значениях b графики функции у=2bx2+2x+1 и у=5х2+2bx-2 пересекаются в одной точке?
При каких значениях параметра k вершина параболы у=kx2-7x+4k лежит во второй четверти?
Найдите все значения параметра а, для которых уравнение
х2-2(а-1)х+2а+1=0 имеет два различных положительных корня.
Найдите все значения параметра k, при каждом из которых ровно один корень уравнения х2+2(k-1)х+3k+1=0 удовлетворяет неравенству х<-1.
При каких значениях параметра а, число 3 заключено между корнями уравнения х2-(2а+1)х+4-а=0?
Найдите все значения параметра а, для которых уравнение
3х2-4(3а-2)х+а2+2а=0 имеет корни х1 и х2, удовлетворяющие условию х1<a<x2.
При каких значениях а решением неравенства х2-(а2-7)х+а+2а+6>0 является объединение промежутков (-∞;1) и (5;∞)?
При каких значениях параметра а решением неравенства
х2-(а2-2а-3)х+а2+2≤0 является отрезок [2;3]?
При каких значениях с графики функций у=сх2-х+с и у=сх+1-с не имеет общих точек?
Найдите все значения параметра b, для которых уравнение х2-2bх+b+6=0 имеет: а) отрицательные корни; б) положительные корни; в) корни разных знаков.
При каких значениях а неравенство:
х2-(а+2)х+8а+1>0;
ах2+4х+а+3<0;
1/24x2+ax-a+1>0;
ax2-4ax-3≤0
выполняется для всех действительных значений х?
При каких значениях b неравенство:
х2+2bx+1<0;
bx2+(2b+3)x+b-1≥0;
(4-b2)x2+2(b+2)x-1>0;
bx2+4bx+5≤0;
не имеет решений?
При каких значениях а не существует ни одного значения х, одновременно удовлетворяющего неравенствам х2-ах<0 и ах>1;
При каких значениях а нули функции f(x)=x2-4(a-3)x-20a+35 расположены между числами -4 и 2?
Найдите все значения параметра а, при которых все решения неравенства х2-2(а+4)х+4а+13≤0 являются решениями неравенства х2+4|х|-5≤0.
При каких значениях параметра р неравенство рх2-4х+3р+1>0 справедливо при всех положительных х?
Укажите все значения параметра k, при которых квадратный трехчлен х2+kx+k2+6k отрицателен при всех значениях х, удовлетворяющих неравенству 8х2+17<24х+2|х-1,5|.
Даны два утверждения:
уравнение х2+(k+2)x+1=0 имеет два различных отрицательных корня;
уравнение х2+(1-k)x+4=0 имеет два различных положительных корня;
При каких значениях параметра k оба утверждения истинны; оба утверждения ложны; одно из утверждений истинно, а другое ложно?
При каких значениях параметра с уравнение 5х2-4х+с=0:
имеет действительные различные корни;
имеет один корень;
не имеет действительных корней;
имеет хотя бы один общий корень с уравнением х2+13х-30=0;
При каких значениях параметра b уравнение х2+bx+4=0;
имеет один из корней, равный 3;
имеет действительные различные корни;
имеет корень двойной кратности;
не имеет действительных корней;
При каких значениях параметра b корни уравнения 4х2+(3b-5|b|+2)x-3=0 равны по модулю?
Найдите наименьшее целое значение а, при котором уравнение
х2-2(а+2)х+12+а2=0 имеет два различных действительных корней.
При каких значениях а уравнение (а2-6а+8)х2+(а2-4)х+(10-3а-а2)=0 имеет один корень?
При каких значениях а уравнения х2+2(а-1)х+(а2-7а+12)=0 и х2+(а2-5а+6)х=0 равносильны?
Докажите, что корни уравнения х2+рх+q=0, где p и q – нечетные числа, иррациональны.
При каком значении параметра а уравнение (а+4х-х2-1)(а+1-|x-2|)=0
имеет три корня.