методичка по математике «Первообразная и интеграл»


Всероссийский фестиваль педагогического творчества(2016/2017 учебный год)
Номинация: Педагогические идеи и технологии: профессиональное образованиеНазвание работы: учебно-методическое пособие для обучающихся I курса очной формы обучения технического профиля по дисциплине математика по теме: «ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ»
Авторы: Матвеева Марина Валерьевна,
Гуляева Ольга Александровна
Место выполнения работы: ГБПОУ «Чусовской индустриальный техникум»
Министерство образования и науки Пермского края
Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования «Чусовской индустриальный техникум»
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ ОБУЧАЮЩИХСЯ I КУРСА ОЧНОЙ ФОРМЫ ОБУЧЕНИЯ
ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОФИЛЯ

Чусовой, 2015 год
Организация-разработчик: ГБОУ СПО «Чусовской индустриальный техникум»
Разработчики:
Гуляева Ольга Александровна, преподаватель высшей квалификационной категории
Матвеева Марина Валерьевна, преподаватель I квалификационной категории
Учебно-методическое пособие предназначено для проведения занятий и для самостоятельной работы обучающихся I курса на базе основного общего образования технического профиля.
Содержит теоретические сведения по изучаемым разделам «Первообразная функции. Интеграл», примеры решения задач по каждому разделу, задания для практических и контрольных работ, вопросы для самопроверки.
Одобрено на заседании предметно – цикловой комиссии преподавателей естественно - научного цикла
Имеет 2 внешние рецензии
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ………………………………………………………………...4
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИИ……...…………………………………..5
Определение первообразной функции
Основное свойство первообразной функции
Неопределённый интеграл
Интегрирование функции
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ………………………………………….7
Криволинейная трапеция
Формула Ньютона – Лейбница
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА…11
ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ…………………………………...16
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ…………………………………………..16
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ……………………………………………...17
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………....21
ВВЕДЕНИЕ
Тема «Первообразная функции. Интеграл» является одним из основных разделов начал математического анализа.
Данное учебно-методическое пособие разработано по теме «Первообразная функции. Интеграл». Пособие представляет собой совокупность теоретических основ и практических заданий, которые призваны помочь обучающимся пополнить и углубить свои знания в области математического анализа.
После изучения темы «Первообразная функции. Интеграл», обучающиеся должны научиться находить первообразные, вычислять интегралы с использованием формулы Ньютона – Лейбница, решать задачи прикладного характера.
Большое количество задач по всем разделам темы позволяет выработать у обучающихся необходимые практические навыки. Поэтому в данном учебно-методическом пособии разработана система упражнений для наиболее полного усвоения учебного материала.
Для того, чтобы обучающимся было удобнее работать с математическим текстом, в учебно-методическом пособии введены условные обозначения:
- запомнить
- пример
- ответить на вопросы
- решить самостоятельно
ПЕРВООБРАЗНАЯ
Определение первообразнойОпределение
Функция Fx называется первообразной для функции f(x) на (a; b), если
F/x=fx, x∈(a;b)Пример 1 Fx=x2-первообразная для fx=2xна -∞; +∞,
так как F/x=x2/=2x=f(x)на -∞; +∞.Таблица 1 Значения первообразных
f(x)
функция F(x) первообразная f(x)
функция F(x) первообразная
C CxПервообразные сложных функций
xx22kx+b(kx+b)22kxnxn+1n+1(kx+b)n (kx+b)n+1k(n+1)1x2-1x1(kx+b)2-1k(kx+b)1x2x1kx+b2kkx+b1xn-1(n-1)xn-11(kx+b)n-1k(n-1)xn-1axaxlnaakx+bakx+bklnaexexekx+b1kekx+bcosxsinxсos(kx+b) 1ksin⁡(kx+b)sinx-cosxsin(kx+b) -1kcos⁡(kx+b)1cos2xtgx1cos2(kx+b)1ktg(kx+b)1sin2x-ctgx1sin2(kx+b)-1kctg(kx+b)2.2. Основное свойство первообразной
Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F(x) + C, где F (х) — одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а С — произвольная постоянная
Пример 2 Найти первообразную для функции y=3x2-2, проходящую через точку М(2; 4).
Решение:
Множество всех первообразных функции y=3x2-2 есть неопределенный интеграл 3x2-2dx. Вычислим его, используя свойства интеграла 1 и 2. Имеем:
3x2-2dx=3x2-2∙dx=3x2dx-21∙dx=3∙x33-2x+C=x3-2x+C.
Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y = F(x)+C, т. e. y=x3-2x+C, где С – произвольная постоянная.
Зная, что первообразная проходит через точку М(2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С.
4=23–22+С С=4–8+4; С=0.
Ответ: F(x)=x3-2x – искомая первообразная.
Неопределённый интеграл
fxdx=Fx+CФункция f(x) на промежутке (a; b) – совокупность всех первообразных функции f(x) на (a; b):
где Fx- одна из первообразных функции fx, C=conct35756851200150052768512001600279590521082000 fxdxЗнак интеграла подынтегральная функция переменная интегрирования
Интегрирование функции
Интегрирование функции – нахождение всех ее первообразных.
Интегрирование и дифференцирование – взаимно обратные операции.Пример 3 x3dx=14x4+C, так как 14x4+С/=x3.Пример 4 12xdx=x+C,так как x+С/=12x.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
335534049166300Криволинейная трапеция
Пусть f(x) ≥0 и непрерывна y
3598545106680003590926205740003357245825500на отрезке [a;b]
426148515049500357568528575003575685-190500361378515049500382714636385500 y = f(x)
200533036639500403479015113000
0 a b x
рисунок 1 – Криволинейная трапеция
Криволинейная трапеция – фигура, ограниченная графиком функции
y = f(x), прямыми x=a, x=b и осью ОХ
Для вычисления площадей криволинейных трапеций применяется следующая теорема:
Теорема:
1073158001000Если f – непрерывная и неотрицательная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции (рис. 1) равна приращению первообразной на отрезке [a; b], т.е.
S=Fb-Fa Пример 5 Вычислить площадь S криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции fx=x2, прямыми y=0, x=1 и x=2.282765519304000249936030988000Решение: y fx=x2343502625713700
25736552457450030727656096000 x
1 2
рисунок 2
Для функции fx=x2 одной из первообразных является функция Fx=x33. Следовательно, S=F2-F1= 233-133=73.
Ответ: 73ед2.
Пример 6 На рисунке изображён график некоторой функции
 y=f(x). Функция Fx=x3+12x2+51x-3  — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

рисунок 3
Решение:
Согласно геометрическому смыслу первообразной F-3-F(-5) есть площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции
 y=f(x) и прямыми: x=-5, x=-3, y=0.
S=F-3-F-5=-53+12-52+51-5--33-12-32-51-3=-27+108-153-3+125-300+255+3=-75+83=8. 
Ответ: 8 ед2.Формула Ньютона – Лейбница
Формула Ньютона – Лейбница - это фундаментальная формула математического анализа, связывающая определенный интеграл с первообразной подынтегральной функции:
abfxdx=Fx|ab=Fb-Fa при a > b
где F(x) – первообразная непрерывной функции f(x) на [a; b]
6604009588500 Верхний предел интегрирования
5295901219200066040019875500 Fx|ab Знак подстановки
Нижний предел интегрирования
Читают: «Интеграл abfxdx равен значению первообразной функции f(x) на верхнем пределе минус значение первообразной на нижнем пределе интегрирования».
Пример 7 251x2dx=-1x|25=-15--12=0,3.Пример 8 21xdx=12x2|21=12∙12-1222=-1,5.Свойства определенного интеграла
Таблица 2 Свойства определенного интеграла
1 abfx+g(x)dx=abfxdx+abg(x)2 abk∙fxdx=k∙abfxdx, k∈R3 abfxdx=acfxdx+cbfxdx, где a<c<b4 abfxdx=-bafx5 Если fx≤gxна [a; b], то abfxdx≤abgxdxПример 9 121x-3x2+5dx=12dxx-312x2dx+5121∙dx= =ln⁡|x||12-x3|12+5x|12=ln2-ln1-23+13+10-5=ln2-2.НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
Приложения интегралов в физике
При решении физических задач изучаемый процесс разбивают на элементарные части, в пределах каждой из которых изменением соответствующих величин можно пренебречь. Теперь задача решается по формулам для постоянных величин, после чего окончательный ответ находится с помощью интегрирования.

а) Найдем работу силы при переходе материальной точки из A(a) в B(b), если материальная точка движется по прямой линии под действием силы F, направленной вдоль этой прямой, причем величина силы зависит от координаты x этой точки: F=F(x).
Известно, что в случае, если сила постоянна, работа равна F∙∆x, где ∆x — изменение координаты точки. Поэтому разобьем отрезок [a; b] на элементарные части, в пределах каждой из которых считаем силу постоянной. Тогда работа силы на участке [x; x + ∆x] равна F(x)dx. Общая работа выражается интегралом
A=abFxdx (1)
Пример 10 Найдем работу, выполняемую при переносе материальной точки, имеющей массу m, из A(a) в B(b), если притягивающая ее по закону Ньютона точка имеет массу μ и находится в начале координат.

Рисунок 4
Решение:
По закону Ньютона сила тяготения равна Gμmr2, где G — гравитационная постоянная, а r — расстояние между точками. По формуле (1) получаем: A=Gμmabdxx2=Gμm1a-1b.
б) Найдем работу, выполненную двигателем за промежуток времени
[a; b], если мощность двигателя в момент времени t равна W(t).
За элементарный промежуток времени [t; t + dt] двигатель, имеющий мощность W(t), выполняет работу dA = W(t)dt. Поэтому вся работа двигателя равна:
A=abWtdt. (2)
Пример 11 Найдем работу переменного тока, изменяющегося по формуле I=I0sinωt за промежуток времени [0; 2πω], если сопротивление цепи равно R.
Решение:
Как известно из физики, в случае постоянного тока мощность выражается формулой W=I2R. Поэтому по формуле (2) имеем: A=I2R02πωsin2ωtdt=I02Rπω. Заметим, что средняя мощность переменного тока равна A2πω=I02R2.
в) Вычислить количество электричества, протекающее через цепь за промежуток времени [a; b], если ток изменяется по формуле I=I(t). За элементарный промежуток времени протекает количество электричества dq=Itdt. Значит, общее количество электричества равно
q=abItdt. (3)
Пример 12 Найдем давление воды на плотину, если вода доходит до ее верхнего края и если известно, что плотина имеет вид трапеции с высотой h, верхним основанием a и нижним основанием b.

Рисунок 5
Решение:
 Рассмотрим элементарный слой, находящийся на глубине x и имеющий высоту dx. Легко доказать, что длина этого слоя равна a-a-bhx. Поэтому его площадь dS равна a-a-bhxdx, а давление dP на него равно
xa-a-bhxdx. Все давление воды на плотину выражается интегралом:
P=0ka-a-bhxxdx=a0kxdx-a-bh0kx2dx=ah22-a-bh∙h33=h26a+2b.Приложения интегралов в геометрии
Помимо нахождения площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла важнейшим приложением темы является вычисление объема тела вращения.
Объем тела вращения можно вычислить по формуле:
V=πabf2xdxПример 13 Вычислить объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y=2x+1, 
y=x+4, x=0 и x=1Решение:
Изобразим на чертеже плоскую фигуру, ограниченную линиями
 y=2x+1, y=x+4, x=0 и x=1,  не забывая при этом, что уравнение
x=0 задает ось OY:
рисунок 6
Искомая фигура заштрихована, синим цветом. При её вращении вокруг оси OX получается такой сюрреалистический бублик с четырьмя углами.
Объем тела вращения вычислим как разность объемов тел.
Сначала рассмотрим фигуру, которая обведена красным цветом. При её вращении вокруг оси OX получается усеченный конус. Обозначим объем этого усеченного конуса через V1.
Рассмотрим фигуру, которая обведена зеленым цветом. Если вращать данную фигуру вокруг оси OX, то получится тоже усеченный конус, только чуть поменьше. Обозначим его объем через V2.
И, очевидно, разность объемов V=V1-V2 это и есть объем нашего «бублика». Используем стандартную формулу для нахождения объема тела вращения: V=πabf2xdxФигура, обведенная красным цветом ограничена сверху прямой y=x+4, поэтому:
V1=π01x+42dx=π01x2+8x+16dx=πx33+4x2+16x|01==π13+4+16=61π3.Фигура, обведенная зеленым цветом ограничена сверху прямой y=2x+1,поэтому:V2=π012x+12dx=π014x2+4x+1dx=π4x33+2x2+x|01==π43+2+1=13π3.3) Объем искомого тела вращения: V=V1-V2=61π3-13π3=16π.Ответ:  V=16π ед3≈50,3 ед3.ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ
Cформулируйте определение первообразной
Cформулируйте основное свойство первообразной
Перечислите три правила нахождения первообразнойКакую фигуру называют криволинейной трапецией?
Запишите формулу для вычисления площади криволинейной трапеции
Объясните, что такое интеграл
Запишите формулу Ньютона – Лейбница
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
Для функции f(x) = 3sin x найдите:
а) множество всех первообразных;
б) первообразную, график которой проходит через точку М ( ; 0 ).Докажите, что функция F является первообразной для функции
f(x) на промежутке ( - ∞ ; +∞), если
а) F(х) = х3 – 4, f(x) = 3х2; б) F(х) = 2х – x2, f(x) = 2 - 2х.
Докажите, что функция F(x) является первообразной для функции f(x),
если:
Fx=2x3-6x2-ctgx+7 и fx=6x2-12x+1sin2x, x≠πn, nϵZ.Fx=5x6-ln7x и fx=30x5-1x, x>0.Для функции f(x) = 2cosx найдите:
а) множество всех первообразных функции;
б) первообразную, график которой проходит через точку М ( ; 0 ).
Для функции найдите первообразную, график которой проходит через точку М. Найдите одну из первообразных функции f(x) = 3x2 – на промежутке (0;+).
Найдите все первообразные функции f(x) = 6x2 –e2x .
Вычислите интеграл
Вычислите интеграл .
Вычислите интеграл:
а) ; б) ; в) ; г) .
Вычислите, сделав предварительно рисунок, площадь фигуры,
ограниченной линиями:
а) у = 0,5 х2, у = 0, х = 2, х = 0; б) у = 2 х2, у = 0, х = 3, х = 0.
Вычислите интеграл: а) ; б) .
Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х – х2 и
у = 2х.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=sinx, x=π6, x=5π6.
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
y=-0,5x2+x+5,5, y=x2-2x+1.Практическая работа
Номер задания задания
№1 Вычислите интеграл:
02x3dx026x2-2x+5dx-203x2-10dx0133x+1dx-10dx6x-14№2 Запишите площадь заштрихованной фигуры как сумму или разность площадей криволинейных трапеций:

№3 Запишите в виде определенного интеграла площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = 2x2, x = 1, x = 4, y = 02) y = 4x3, x = 1, x = 2, y = 03) y = 3x2 - 5, x = 0, x = 3, y = 04) y = (x - 2)(2x - 3), y = 05) y = 2x2, y = 4x
№4, №5 Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
1) y = x2, x = 1, x = 2, y = 02) y = 2x2 - 1, x = 1, x = 3, y = 03) y = 2x2 +1, x = 2, x = 3, y = 04) y = x2 -2x +3, x = 1, x = 2, y = 05) y = x2 -2x +8, x = a, x = b, y = 0
Дополнить таблицу:
№ п/п Функция Первообразная
1 f(x) = 5 F(x) = ...
2 f(x) = 0 F(x) = ...
3 f(x) = ... F(x) = – cos x + C
4 f(x) = xm (m№ – 1) F(x) = ...
5 fx=25x2+x67F(x) = ...
6 f(x) = cos kxF(x) = ...
7 f(x) = ... F(x) = 12sin x + C
8 fx=24x+15x3+17xF(x) = ...
9 f(x) = ... Fx=x33+15x+C10 fx=45x2-172xF(x) = ...
Самостоятельная работа 1
«Понятие первообразной»
Докажите, что функция есть первообразная для функции , если:
а) и , ;
б) и , .
Найдите первообразную для функции :
а) , ,; б) ,
; в) , .
Найдите ту первообразную для функции , график которой проходит через точку .
Вычислите интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ; к) ; л) ; м).
Ответы для самоконтроля:
а) ; б) ;
в) .
.
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м)
Самостоятельная работа 2
«Площадь криволинейной трапеции. Определенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница»
Вычислите значения функции:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) , , , ; б) , ;
в) , ; г) , , ; д) , .
Ответы для самоконтроля:
а) 0; б) 1; в) -2; г) ; д) 12.
а) кв.ед.; б) 36 кв.ед.; в) кв.ед.; г) кв.ед.; д) 4,5 кв.ед.Самостоятельная работа 3
Вариант 1.
1. Найдите одну из первообразных функции f(x) = 3x2 –на промежутке (0;+).
2.. Найдите все первообразные функции f(x) = 6x2 –e2x .
3. Для функции найдите первообразную, график которой проходит
через точку М.
4. Вычислите интеграл
5. Вычислите интеграл .
Вариант 2.
1. Найдите одну из первообразных функции f(x) = 4x + на промежутке (0;+).
2.Для функции у=2sinx найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0;0).3. Для функции f(x) =найдите первообразную F(x), график которой пересекает ось Ох в точке с абсциссой хо=2.
4. Вычислите интеграл .
5. Вычислите интеграл .
КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ
Контрольная работа 1 «Первообразная и интеграл»
Найдите ту первообразную для функции , график которой проходит через точку .
Вычислите интегралы:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м).
Вычислите значения функции:
а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) , , , ; б) , ; в) , ;
г) , , ; д) , .
Ответы для самоконтроля:
.
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) ; и) ;
к) ; л) ; м)
а) 0; б) 1; в) -2; г) ; д) 12.
а) кв.ед.; б) 36 кв.ед.; в) кв.ед.; г) кв.ед.; д) 4,5 кв.ед.Контрольная работа 2 «Интеграл»
Вариант 1
1. Вычислите площади заштрихованных фигур:
1) 2)
194437033210500-3937025590500 y y
67183032766000208153022352000 у=4-х2

0 1 2 х -3 0 1 х
2. Вычислите интеграл: 1) ; 2) ; 3)
3. Для функции f(х) = 3х2+1 найдите первообразную, график которой проходит через точку М(1; -2)4. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = 6х –х2 и у = х+4
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 +1 и у = 3 –х
6. Построите графики функций и вычислите площадь фигуры, ограниченной этими линиями: у= и у=6 - х
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у =, у = 2 и х = 9
Вариант 2
1. Вычислите площади заштрихованных фигур:
1) 2)
234188015113000863607493000 y y
2819400273685006515105651500 у=4-х2 у=-х2-2x+3 0 1 2 х -3 0 1 х
2. Вычислите интеграл: 1) ; 2) ; 3) .
3. Для функции f(х) = ех найдите первообразную, график которой проходит через точку М(0; 2) .4. Найдите площадь фигуры, ограниченной прямой у = -6х и параболой
у= -12х -3х2
5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями у = х2 -1 и у = 1–х
6. Построите графики функций и вычислите площадь фигуры, ограниченной этими линиями: у = х3 и у=
7. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями: у = cosx, у = 0, х = и х =
8. ЛИТЕРАТУРА
Математика: учеб. пособие / В.П.Омельченко, Э.В.Курбатова. -
Изд. 8-е, стер. – Ростов н/Д: Феникс, 2013.-380 с. – (Среднее профессиональное образование).
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений /А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др.; Под. ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 2009.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.
Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 10 класса /Б.М. Ивлев, С.М. Саакян, С.И. Шварцбурд. – М.: Просвещение, 2003.
Лысенко, Ф. Ф. Математика ЕГЭ - Учебно-тренировочные тесты / Ф. Ф. Лысенко. - Ростов н/Д.: Легион, 2013.
Лысенко, Ф. Ф. Тематические тесты. Математика ЕГЭ -/ Ф. Ф. Лысенко. - Ростов н/Д.: Легион, 2014.
Методические рекомендации к учебникам математики для 10-11 классов, журнал «Математика в школе».
Математика. Весь школьный курс в таблицах/сост. Т.С. Степанова - Минск «Современная школа», «Кузьма», 2010. - 7- е издание – 304с.
Интернет-источник
1.www.edu - "Российское образование" Федеральный портал
2.www.school-collection.edu.ru/ Единая коллекция цифровых образовательных ресурсов
3.www.it-n.ru"Сеть творческих учителей"

Приложенные файлы

  • docx integral.doc
    Матвеева М.В. и Гуляева О.А.
    Размер файла: 425 kB Загрузок: 18