Комплект контрольно-оценочных средств

Глебова Л.Н., Марченко В.Ф., Чемеркина О.В.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА СТУДЕНТОВ, КАК СПОСОБ АКТИВИЗАЦИИ МЫСЛИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ И РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ

Вопросы организации самостоятельной работы и активизации мыслительной деятельности студентов относятся к числу наиболее актуальных проблем современной педагогической науки и практики. Повышение эффективности учебного процесса требует ответа на вопросы: каким образом активизировать учащихся на уроке? какие методы обучения необходимо применять чтобы побудить студентов самостоятельно работать?
В нашей практике особое место занимают такие формы занятий, которые обеспечивают активное участие в уроке каждого студента, повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность за результаты учебного труда. Эти задачи реализуются через технологию применения активных форм обучения, с использованием информационно-развивающей технологии, которая включает в себя в тех или иных сочетаниях: изложение преподавателем учебной информации, лекционно-семинарский метод, самостоятельное изучение литературы, программируемое обучение, нестандартные элементы урока, применение технических и электронных средств информации.
Концептуальные положения необходимые для реализации технологии, заключаются в следующем:
личностный подход, педагогика успеха, педагогика сотрудничества
органическая связь индивидуальной и коллективной деятельности
сочетание урочной и внеурочной формы работы.
Методическая система включает в себя классификационные параметры, целевые ориентации и особенности содержания и методики.
По классификационным параметрам технология является:
по уровню применения – частнопредметной,
по характеру содержания – обучающей,
по подходу к учащимся – технологией сотрудничества.
Цель технологии – обучение всех на уровне стандарта.
Особенности методики основаны:
на структурировании обучения,
подаче материала небольшими порциями, содержащими подробные объяснения,
обсуждении большого числа вопросов,
постоянном применении знаний на практике.
Педагогическая система основана на педагогике сотрудничества, которая включает:
Создание благоприятного климата в процессе учения.
Предоставлять самостоятельность
Не подсказывать готового решения, а показывать возможные пути к нему
Хвалить за каждый успех. Непосредственно и незамедлительно.
Сочетание предметно-функциональной и коммуникативной деятельности.
Работа консультантов
Групповые формы работы на уроке
Взаимопроверка и рецензирование ответов и работ.
Сочетание познавательной, трудовой и игровой деятельности.
Разнообразие форм и методов обучения на всех этапах урока (Работа по карточкам у доски и на местах, фронтальные опросы, тестирование, самостоятельные работы, тихие опросы, творческие задания)
Применение различных типов уроков (Урок-викторина, урок-соревнование, аукцион, суд, ярмарка, деловая игра)
Применение на классических уроках нестандартных форм и познавательных минуток. (Составь пару, Поле чудес, Дружная четверка)
Все эти методы активизируют мысль учащихся, стимулируют их к самостоятельному приобретению знаний. Средствами достижения цели являются нестандартные формы и методы обучения. В календарно-тематическом плане по дисциплине предусматриваются нестандартные уроки по каждой теме, в планы традиционных уроков включаются творческие, активные формы объяснения и закрепления материала.
В своей практике мы используем различные пути активизации познавательной деятельности. Наибольший активизирующий эффект на занятиях дают ситуации, в которых учащиеся сами должны:
отстаивать свое мнение;
принимать участие в дискуссиях и обсуждениях;
ставить вопросы своим товарищам и преподавателям;
рецензировать ответы товарищей;
оценивать ответы и письменные работы товарищей;
заниматься обучением отстающих;
объяснять более слабым учащимся непонятные места;
самостоятельно выбирать посильное задание;
находить несколько вариантов возможного решения познавательной задачи (проблемы);
создавать ситуации самопроверки, анализа личных познавательных и практических действий;
решать познавательные задачи путем комплексного применения известных им способов решения.
В активизации познавательно-мыслительной деятельности студентов большую роль играет умение преподавателя побуждать своих учащихся к осмыслению логики и последовательности в изложении учебного материала, к выделению в нем главных и наиболее существенных положений. Если преподаватель предлагает по ходу своего изложения выделить основные вопросы, т.е. составить план изучаемого материала, то это заставляет студентов глубже вникать в сущность новой темы, мысленно расчленять материал на важнейшие логические части. При этом дается установка: минимум текста – максимум информации. Используя этот план-конспект, студенты всегда успешно воспроизводят содержание темы при проверке домашнего задания. Комментированное чтение литературы, отыскивание в тексте главной мысли, собственные формулировки основных положений помогают формированию у студентов навыка анализировать, обобщать и грамотно излагать материал, впоследствии чего они не стесняются высказывать свои мысли и суждения.
Научить студентов самостоятельно добывать знания и творчески их использовать в практической деятельности, выработать у них умение умственно трудиться дают возможность электронные уроки. Их можно проводить в форме изучения нового материала или тестирования по пройденным темам.
На отдельных уроках практикуется изучение нового материала по электронным лекциям. Главное достоинство такой работы состоит в том, что самостоятельная работа студентов над текстом развивает их активность и познавательные способности, обеспечивает сознательное усвоение новых знаний, приучает добиваться знаний самостоятельным трудом. Руководящая и направляющая роль преподавателя при этом нисколько не снижается. Преподаватель учит работать над учебным текстом, направляет мысль, в нужных случаях дополняет текст, вносит уточнения. В электронном тексте предусматриваются гиперссылки, которые позволяют быстро обратиться к необходимым пояснениям, формулам, теоремам, таблицам. Возможность моделировать различные процессы и иллюстрировать их в ходе развития, например, понятие касательной к графику функции, позволяет использовать компьютер как цветное, визуальное средство обучения.
Электронные лекции во многом способствуют экономии времени на самоподготовку, повышению уровня знаний, выработке четкого ритма в работе. Кроме того, в конце урока на 10-15 минут даются контролирующие тесты, которые включают вопросы, позволяющие проверить усвоение наиболее важных и существенных элементов изучаемого материала.
Второй тип электронных уроков применяется для контроля знаний. Студентам заранее сообщаются темы электронного тестирования. Даются примерные вопросы и задания для подготовки. Уровень заданий соответствует требованиям контрольной работы. Тест выполняется на отдельных листах. Решение примеров записывают только по мере необходимости. На устные вопросы запись решения не требуется. Если задание сложное, то правильный ответ зачитывается только при наличии письменного решения. Такие уроки позволяют быстро опросить в полном объеме всю группу. Студенты получают оценки непосредственно сразу после урока: после ответа на последний вопрос страница окрашивается в определенный цвет, соответствующий полученной оценки. Кроме того, учитывается время выполнения тестов, процент правильных ответов, указываются номера вопросов, выполненных с ошибкой. Результаты фиксируются в зачетном листе, и окончательная оценка выставляется преподавателем после анализа решений. Это обеспечивает более объективную оценку знаний, уменьшая степень угадывания ответа.
Для развития навыка самостоятельного решения упражнений мы применяем тетради с печатной основой. Их можно использовать как дидактический материал для самостоятельной работы студентов с целью восприятия и осмысления, новых знаний без предварительного объяснения их преподавателем. Например, задание преобразовать текст учебника в таблицу или план, или наоборот, преобразовать рисунки, графики, схемы в словесные ответы. С целью закрепления и применения знаний и умений в тетрадях с печатной основой для самостоятельной работы даются вопросы для размышлений, расчетные задачи с указанным алгоритмом решения.
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставило задуматься над тем, как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Такие типы уроков как деловая игра, семинар, урок-зачет, урок-КВН, аукцион, электронный урок стимулируют студентов к самостоятельному приобретению знаний.
Деловая игра способствует развитию мышления студентов, привитию им навыков по принятию решений в различных ситуациях, определению наиболее эффективных путей в решении той или иной задачи, воспитание чувства ответственности за принятие решения.
Развить чувство самоконтроля за качеством выполнения работы, собранность, организованность, умение самостоятельно оценивать степень усвоения материала помогают уроки-аукционы. Занятие проходит в виде зачета.
Семинарское занятие, как форма обучения представляет собой неотъемлемое звено процесса обучения. Его отличие от других форм состоит в том, что семинар ориентирует студентов на проявление большей самостоятельности в учебно-познавательной деятельности, так как в ходе занятия углубляются, систематизируются и контролируются знания студентов, полученные в результате самостоятельной, внеаудиторной работы над первоисточниками, документами, дополнительной литературой.
Легко решать то, что интересно. Максимальное участие каждого в уроке и элементы соревнования ставят викторину в ряд познавательных соревновательных уроков. За нестандартной формулировкой задач кроятся простые и сложные математические модели. Научить анализировать условие, видеть пути решения жизненных ситуаций важно не только для изучения математики, но и в повседневной деятельности. Для поддержания внимания в течение всего урока, все решаемые задачи и формулируемые вопросы имеют бытовое содержание, предусматриваются нестандартные ситуации, поэтические минутки и дается интересный энциклопедический материал.
Для развития интереса к математике мы используем как аудиторные, так и внеурочные формы работы, такие как кружки, олимпиады, историко-литературно-математические викторины, конкурсы, математические часы, математические бои, конференции, сочинения, математические газеты. Процесс обучения математики предоставляет большие возможности углубления знаний через внеклассную работу, что позволяет студентам проявить смекалку, сообразительность, постоянную работу мысли.
Разнообразие всех форм и методов обучения являются одними из важнейших средств активизации мыслительной деятельности студентов. Эффективность использования активных методов, стимулирующих самостоятельную работу студента, зависит от умения преподавателя их правильно применять в сочетании с традиционными способами обучения.

Список литературы
1. Кузьмина, Н. В. Актуальные проблемы профессионально-педагогической подготовки учителя / Н. В. Кузьмина, В.И. Геницинский. // Советская педагогика. – 1969. - № 3. – С. 63-66.
2. Самойленко, П. И. Профессиональная компетентность преподавателя высшей и средней профессиональной школы / П. И. Самойленко. // Специалист. – 2005. - № 8 – С. 26-28.
3. Симонов, В.П. Урок: планирование, организация и оценка эффективности. Учебное пособие. Авторское издание. – М., 2004. – 187с.
4. Сластенин, В. А. Профессионализм учителя как явление педагогической культуры / В. А. Сластенин. // Педагогическое образование и наука.- М. : 2004. - №2 - С. 8-17.
5. Маркова, А. К. Психология профессионализма / А. К. Маркова. – М., 1996. – 318 с.








13PAGE 15

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А.Петрова»
Цикловая комиссия «Математики и информатики»
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
открытого урока по теме «Конические сечения и их применение в технике»
Дисциплина: Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия)
Специальность 11.02.11 Сети связи системы коммутации
Для преподавателей

Разработчик: Чемеркина О.В. - преподаватель государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»
Содержание
Введение3
1 Семинар с групповой работой мозговой штурм как способ активизации мыслительной деятельности4
2 План занятия5
3 Самоанализ урока 15
Заключение 19
Список литературы 20
Приложение 21

Введение
Семинарское занятие, как форма обучения представляет собой неотъемлемое звено процесса обучения. Его отличие от других форм состоит в том, что семинар ориентирует студентов на проявление большей самостоятельности в учебно-познавательной деятельности, так как в ходе занятия углубляются, систематизируются и контролируются знания студентов, полученные в результате самостоятельной, внеаудиторной работы над первоисточниками, документами, дополнительной литературой. Подготовка к семинару и участие в нем, позволяет развить чувство самоконтроля за качеством выполнения работы, собранность, организованность, умение самостоятельно оценивать степень усвоения материала.
Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставило задуматься над тем, как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. Такой тип урока как семинар с мозговым штурмом стимулируют студентов к самостоятельному приобретению знаний. Работа в микрогруппах способствует развитию мышления студентов, привитию им навыков по принятию решений в различных ситуациях, определению наиболее эффективных путей в решении той или иной задачи, воспитание чувства ответственности за принятие решения.
Данное семинарское занятие охватывает все основополагающие вопросы темы «Тела вращения», поэтому его можно провести и в виде зачета по данной теме, рассмотрев предварительно задачи на предыдущих уроках, или предложив эти задания для самостоятельного решения в ходе внеаудиторной подготовки к уроку.
Методическая разработка предназначена для преподавателей математики первого курса всех специальностей, но может быть так же использована и на уроках Элементов высшей математики для групп второго курса специальности 09.02.03 «Программирование в компьютерных системах».

Семинар с групповой работой мозговой штурм как способ активизации мыслительной деятельности
Вопросы организации самостоятельной работы и активизации мыслительной деятельности студентов относятся к числу наиболее актуальных проблем современной педагогической науки и практики. Повышение эффективности учебного процесса требует ответа на вопросы: каким образом активизировать учащихся на уроке? какие методы обучения необходимо применять чтобы побудить студентов самостоятельно работать?
Особое место занимают такие формы занятий, которые обеспечивают активное участие в уроке каждого студента, повышают авторитет знаний и индивидуальную ответственность за результаты учебного труда. Эти задачи реализуются через технологию применения активных форм обучения, с использованием информационно-развивающей технологии.
Семинар с групповой работой «мозговой штурм» включает в себя в тех или иных сочетаниях: изложение преподавателем учебной информации, метод исследовательских заданий, самостоятельное изучение литературы, нестандартные элементы урока, применение технических и электронных средств обучения.
Концептуальные положения необходимые для реализации такого занятия, заключаются в следующем: личностный подход, органическая связь индивидуальной и коллективной деятельности, сочетание урочной и внеурочной формы работы. Особенности методики занятия основаны на структурировании обучения, подаче материала небольшими порциями, содержащими подробные объяснения, обсуждении большого числа вопросов, постоянном применении знаний на практике.
Важную роль играет создание благоприятного климата в процессе учения. Необходимо предоставлять самостоятельность учащимся, не подсказывать готового решения, а показывать возможные пути к нему, хвалить за каждый успех непосредственно и незамедлительно. Групповые формы работы на уроке позволяют сочетать познавательную, трудовую и игровую деятельности, активизировать мысль учащихся, стимулируют студентов к самостоятельному приобретению знаний.
На пути активизации познавательной деятельности наибольший активизирующий эффект на занятиях дают ситуации, в которых учащиеся сами должны отстаивать свое мнение, принимать участие в дискуссиях и обсуждениях, ставить вопросы своим товарищам и преподавателям, находить варианты возможного решения познавательной задачи (проблемы).
В активизации познавательно-мыслительной деятельности студентов большую роль играет умение преподавателя побуждать своих учащихся к осмыслению логики и последовательности в изложении учебного материала, к выделению в нем главных и наиболее существенных положений. Если преподаватель предлагает по ходу своего изложения выделить основные вопросы, то это заставляет студентов глубже вникать в сущность новой темы, мысленно расчленять материал на важнейшие логические части. Чтение технической литературы, отыскивание в тексте главной мысли, собственные формулировки основных положений помогают формированию у студентов навыка анализировать, обобщать и грамотно излагать материал, впоследствии чего они не стесняются высказывать свои мысли и суждения. Главное достоинство такой работы состоит в том, что самостоятельная работа студентов над текстом развивает их активность и познавательные способности, обеспечивает сознательное усвоение новых знаний, приучает добиваться знаний самостоятельным трудом.
Подготовка и чтение докладов на семинаре учит умению публичных выступлений.

План занятия
ПЛАН ЗАНЯТИЯ № 141
Дисциплина Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия)
Специальность 11.02.11 Сети связи системы коммутации
Курс 1группа С 152
Тема занятия: Конические сечения и их применение в технике.
Тип урока: урок закрепления знаний и формирование умений и навыков.
Вид занятия: семинар с групповой работой «мозговой штурм».
Цели:
обучающая:
– вторичное закрепление усвоенных знаний;
– выработка умений и навыков по их применению при решении теоретических и практических задач по теме «Конические сечения»;
развивающая:
– развитие коммуникативно-технических умений – нешаблонно, творчески подходить к решению самых разнообразных задач;
– развитие умений частично-поисковой познавательной деятельности
– частичная постановка проблемы, выдвижение гипотезы, ее решение;
воспитательная:
– воспитывать культуру умственного труда, развивать потребность в умении
применять в работе элементы научной организации труда;
– воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.
Задачи:
– должен знать: виды сечений конуса и цилиндра, понятие кривых второго порядка;
– должен уметь: решать несложные стереометрические задачи
Обеспечение занятия: экран, проектор, презентация, иллюстративные таблицы.
Внутридисциплинарные связи: тригонометрия (графики тригонометрических функций), алгебра (кривые второго порядка), геометрия (параллельность плоскостей).
Междисциплинарные связи: физика (закон Бойля, закон Ома), астрономия (движение планет), инженерная графика (построение разверток поверхностей геометрических тел вращения), черчение (построение сечений), ремонт радиотехники (акустические системы).
Методы обучения:
Метод исследовательских заданий
Технология ситуационного обучения:
– анализ конкретных ситуаций:
– работа по сопоставлению;
– перенос усвоенных знаний в новую ситуацию.
Интерактивные технологии обучения:
– постановка проблемы;
– дискуссия;
– обсуждение проблемы в микрогруппах;
– групповая работа с иллюстративным материалом.
Технология проектно-исследовательской деятельности:
– наблюдение;
– поиск;
– аналогии;
– сопоставление.
Ход занятия
Организация занятия (2 мин.).
Проверка присутствующих перекличкой.
Сообщение темы и целей занятия. (3 мин.)
Актуализация опорных знаний (базовых) как переход к освоению новых знаний. (15 мин.)
Контроль знаний (устный)(10 мин.)
Сообщение и усвоение новых знаний. (20 мин.)
План:
1. Понятие конических сечений.
2. Проверка усвоения новых знаний.
Самостоятельная работа студентов в процессе усвоения новых знаний. (20 мин.)
Выступления по теме урока. (10 мин.)
Подведение итогов занятия. (5 мин.)
Рефлексия занятия. (2 мин.)
Задание для внеаудиторной самостоятельной работы. (3 мин.)
– Здравствуйте! Садитесь. Начинаем перекличку (проверка присутствующих).
– Тема сегодняшнего урока «Конические сечения и их применение в технике».
Урок проведем в три этапа.
Первый этап – проверка домашнего задания.
Второй этап – решение задач, позволяющих обобщить ранее изученные темы.
Третий этап – практическая работа, в течение которой мы закрепим умение решать нестандартные задачи.
Цель урока – продолжить знакомство с видами сечений в цилиндре и конусе, сформироватьпонятие конических сечений и умениерешать несложные задачи на вычисление элементов конуса и цилиндра.
Проверим готовность по пятибалльной системе (проверка).
Таблица готовности по пятибалльной шкале
5 баллов – хочу знать, могу знать, интересно знать, делать, решать;
4 балла – я готов к работе;
3 балла – я не очень хорошо себя чувствую, мне не все удается, я устаю на уроке, я не понимаю материал, мне нужна помощь.
Проверка домашнего задания
– Приступаем к проверке домашнего задания.Вы готовили короткое сообщение о кривой второго порядка и о фигурах вращения (чертеж, определение, основные понятия, задача).
Возможные варианты ответов
1. Окружность (возможный вариант ответа)

Составить уравнение окружности с центром в точке О (3, -2) и радиусом r = 5.
(x – 3)2 + (y + 2)2 = 25
Записать уравнение окружности с центром в начале координат.
x2 + y2 = R2
2. Эллипс (возможный вариант ответа)
Эллипс – множество точек М плоскости, сумма расстояний МF1 и МF2 которых до двух определенных точек F1 и F2 (фокусов эллипса) постоянна МF1 + МF2 = 2а.

Каноническое уравнение эллипса QUOTE
a2 – b2 = c2 фокусы на оси абсцисс F1(-c;0) и F2(c;0), эксцентриситет ε = c/a,
b2 – a2 = c2фокусы на оси ординат F1 (0; -c) и F2 (0; c), эксцентриситет ε = c/b
Задача
Найти координаты фокусов, длины осей и эксцентриситет эллипса, заданного уравнением 2x2 + y2 = 32.
Решение.

a2 = 16,b2 = 32, b2 – a2 = c2,F1 (0,c) иF2 (0,-c), эксцентриситет ε = c/b
3. Гипербола (возможный вариант ответа)
Гипербола – множество точек М плоскости разность (по абсолютной величине) расстояний F1M и F2M которых до двух определенных точек F1 и F2 этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна: F1M - F2M = 2а <2с.

Уравнение гиперболы имеет так называемый канонический вид QUOTE
b 2 = с 2 – а 2, где, а и b длинны полуосей гиперболы.
Задача
Найти координаты фокусов, длины осей, эксцентриситет и уравнения асимптот гиперболы, заданной уравнением 16x2 - 25y2 = 400.
Решение.

a2 = 25, b2 = 16, b2 = с2 – а2, a2 + b2 = c2, F1(-c,0) и F2(c,0) – фокусы
Эксцентриситет ε = c/а. Асимптоты QUOTE
4. Парабола (возможный вариант ответа)
Парабола – геометрическое место точек плоскости равноудаленных от прямой (директрисы) и точки (фокуса), лежащих в этой же плоскости.

Каноническое уравнение параболы y2 = 2px
Задача
Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, заданной уравнением
y2=8x.
Решение.
y2 = 2px, 2p = 8, F(p/2,0) – фокус параболы, y = - p/2 – уравнение директрисы.
Итог:
Окружность, эллипс, парабола, гипербола – алгебраические кривые, циклоида механическая кривая.
Конические сечения часто встречаются в природе и технике. Например, орбиты планет, обращающихся вокруг Солнца, имеют форму эллипсов. Окружность представляет собой частный случай эллипса, у которого большая ось равна малой. Параболическое зеркало обладает тем свойством, что все падающие лучи, параллельные его оси, сходятся в одной точке (фокусе). Это используется в большинстве телескопов-рефлекторов, где применяются параболические зеркала, а также в антеннах радаров и специальных микрофонах с параболическими отражателями. От источника света, помещенного в фокусе параболического отражателя, исходит пучок параллельных лучей. Поэтому в мощных прожекторах и автомобильных фарах используются параболические зеркала. Гипербола является графиком многих важных физических соотношений, например, закона Бойля (связывающего давление и объем идеального газа) и закона Ома, задающего электрический ток как функцию сопротивления при постоянном напряжении.
5. Цилиндр (возможный вариант ответа)
Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами, называетсяцилиндром. Цилиндрическая поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги – основаниями цилиндра. Образующие цилиндрической поверхности называются образующими цилиндра, прямая ОО1 – осью цилиндра. Длина образующей называется высотой цилиндра, а радиус основания – радиусом цилиндра.

6. Конус (возможный вариант ответа)
Через точку Р и каждую точку окружности проведем прямую. Поверхность, образованная этими прямыминазывается конической поверхностью. Сами прямые называютсяобразующимиконической поверхности.Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом.

7. Сфера, шар (возможный вариант ответа)
Сферой называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на данное расстояние, называемое радиусом.
Шаром называется фигура, состоящая из всех точек пространства, удаленных от данной точки, называемой центром, на расстояние, не превосходящее данное, называемое радиусом. Сфера с тем же центром и того же радиуса, что и данный шар, называется поверхностью шара. Если плоскость проходит через центр сферы, то в сечении получается фигура, состоящая из всех точек плоскости, удаленных от точки O на расстояние R, т.е. окружность радиуса R. Прямая, имеющая со сферой только одну общую точку, называется касательной прямой.

Объявление оценок за домашнее задание.
Устный опрос
1.1 Какая фигура получается при вращении отрезка OA вокруг прямой, проходящей через точку O и перпендикулярной OA? Ответ: круг.
1.2 Назовите прямые, при вращении вокруг которых данного прямоугольника получается цилиндр. Ответ: прямые, содержащие одну из сторон прямоугольника и прямые пересекающие прямоугольник через середины его сторон.
1.3 Какой фигурой является осевое сечение прямого конуса? Ответ: равнобедренным треугольником.
1.4 Какая фигура получается при вращении равнобедренного треугольника вокруг прямой, содержащей высоту, проведенную к основанию этого треугольника? Ответ: конус.
1.5 Какая фигура получается при вращении полукруга вокруг прямой, содержащей диаметр? Ответ: шар.
1.6 Какой фигурой является сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям?
Ответ: круг.
1.7 Какая фигура получается при вращении окружности вокруг прямой, содержащей диаметр? Ответ: сфера.
1.8 Какая фигура получается вращением прямоугольного треугольника вокруг прямой, содержащей его катет? Ответ: конус.
1.9 Какой фигурой является осевое сечение цилиндра? Ответ: прямоугольник.
2.1 Осевым сечением цилиндра является квадрат, площадь которого равна 4. Найдите радиус основания цилиндра. Ответ: 1.
2.2 Высота конуса равна 8 м, а радиус основания равен 6 м. Найдите образующую конуса. Ответ: 10 м.
2.3 Радиус основания цилиндра равен 2 м, высота – 3 м. Найдите диагональ осевого сечения. Ответ: 5 м.
Дополнительные вопросы.
Вращением графика, какой функции получена поверхность, изображенная на рисунке?
3.1 Ответ: обратная пропорциональность.
3.2 Ответ: показательная функция.
3.3 Ответ: синусоида.
3.4 Ответ: тангенсоида.
Подведение итогов за устный опрос.
Сообщение и усвоение новых знаний
Понятие конических сечений.
Для данного конуса рассмотрим коническую поверхность, образованную прямыми, проходящими через вершину конуса и точки окружности основания конуса.
Изучением кривых второго порядка занимались еще древние греки. Они рассматривали эти кривые как сечения конической поверхности плоскостью, поэтому кривые второго порядка часто называют коническими сечениями. При этом эллипс получается в том случае, когда плоскость пересекает лишь одну полость конической поверхности; парабола – когда плоскость параллельна образующей конической поверхности; и гипербола – когда плоскость пересекает обе полости конической поверхности.
Сечения конической поверхности плоскостью можно рассматривать как центральную проекцию окружности основания конуса на эту плоскость. Поэтому, если плоскость параллельна плоскости основания и не проходит через вершину конуса, то в сечении конической поверхности получается окружность. Если изменить угол наклона секущей плоскости к плоскости основания, то в сечении можно получить эллипс, параболу или гиперболу.
Если плоскость образует с осью конуса угол, больший, чем угол между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается эллипс.

Если плоскость образует с осью конуса угол, равный углу между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается парабола.

Если плоскость образует с осью конуса угол, меньший угла между образующей и этой осью, то в сечении конической поверхности получается гипербола.

Проверка усвоения полученных знаний
Вопросы.
1. Перечислить и показать сечения конуса плоскостью.
Рис. 1, 2, 3.
Рис. 1 Рис. 2, 3
2. Какую форму принимает поверхность воды в наклоненной конусообразной колбе? Ответ: эллипса, параболы или гиперболы.
3. Что представляет собой сечение конической поверхности, параллельное ее оси? Ответ: гипербола.
4. Какую форму принимает поверхность воды в круглом наклоненном стакане? Ответ: форму эллипса.
5. Что представляет собой сечение конической поверхности, параллельное ее образующей? Ответ: парабола.
6. Пучок света карманного фонарика имеет форму конуса. Какую форму имеет освещенный фонариком участок ровной поверхности в зависимости от угла наклона фонарика? Ответ: эллипса, параболы или гиперболы.
7. Что представляет собой сечение конической поверхности, перпендикулярное ее оси и не проходящее через вершину конуса? Ответ: окружность.
Задачи.
1. Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол 30°? Ответ: фигура, ограниченнаягиперболой.
2. Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить эллипс? Ответ: больше 30о.
3. Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол 60°? Ответ: фигура, ограниченнаяэллипсом.
4. Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить параболу? Ответ: 30о.
5. Высота конуса равна радиусу основания. Что представляет собой сечение конуса плоскостью, образующей с осью угол 45°? Ответ: фигура, ограниченная параболой.
6. Образующая конуса в два раза больше радиуса основания. Под каким углом к оси нужно провести сечение конуса плоскостью, чтобы в сечении конической поверхности получить гиперболу? Ответ: меньше 30о.
Конические сечения в технике
Современные детали машин зачастую имеют сложную форму, сочетающую в себе как плоские, так и криволинейные поверхности, а также поверхности, усеченные плоскостями. При выполнении чертежей таких деталей определенную сложность представляют задачи на построение проекций сечений поверхностей вращения плоскостями. Кроме того, на чертежах приходится выполнять построение разверток поверхностей вращения, в том числе и усеченных различными плоскостями. Это необходимо для правильного раскроя листового материала, из которого изготавливают детали. К таким деталям можно отнести: части трубопроводов (уголки, отводы, тройники), показанные на рис. 1,загрузочные бункеры для жидких и сыпучих продуктов (рис. 2) и др.

Рис. 1Конструкции из листового металла

Рис. 2. Загрузочные бункеры для жидких и сыпучих продуктов
Части конструкций, показанных на рис. 1 и 2, представляют собой усеченные цилиндры вращения и усеченные конические поверхности, поэтому припостроении развертки особую сложность представляет построение усеченнойчасти поверхности вращения и самой фигуры сечения.
При пересечении прямого кругового цилиндра вращения плоскостью возможны такие фигуры сечения как окружность, прямоугольник и эллипс (рис. 3).

Рис. 3. Сечения цилиндра плоскостью и его развертка
При пересечении прямого кругового конуса вращения плоскостью возможны такие фигуры сечения как окружность, треугольник, эллипс, парабола и гипербола (рис. 4).

Рис. 4. Сечения конуса плоскостью
Простой пример – колено водосточной трубы. Для его изготовления нужны две стальные заготовки – выкройки (развертки), ограниченные сверху кривыми линиями, форму и размеры которых определяют с помощью чертежа, в зависимости от диаметра трубы. В слесарной мастерской можно видеть, как изготовляются колена для соединения дымовых или водосточных труб. Сгибая листы, обрезанные по некоторой кривой (рис. 6), рабочий получает нужное ему колено (рис. 5). Умея строить развёртки, он сможет изготовить колено любого диаметра d, соединяющее трубы под любым углом α.

Рис. 5

Рис. 6
Самостоятельная работа студентов в процессе усвоения новых знаний.
Практическое задание № 1.
Взять прямоугольный лист бумаги и вырезать из него развертку боковой поверхности цилиндра, осевое сечение которого является квадратом со стороной 4 см.
Решение:
Осевое сечение цилиндра – квадрат, стороны которого высота и диаметр цилиндра.
Развертка боковой поверхности цилиндра – прямоугольник, ширина которого равна высоте цилиндра, а длина прямоугольника равна длине окружности основания цилиндра.
Радиус основания цилиндра равен половине диаметра.
Высота цилиндра равна 4 см, радиус цилиндра равен 2 см, длина окружности 12,56 см.

Проверить по шаблону.
Практическое задание № 2.
Взять прямоугольный лист бумаги и вырезать из него развертку боковой поверхности цилиндра, сечение которого плоскостью параллельной основаниям дает круг радиуса равного трем и осевое сечение которого является квадратом.
Решение:
Радиус равен 3, диаметр равен 6, значит и высота равна 6.

Проверить по шаблону.
Практическое задание № 3.
Нарисовать цилиндр. Изобразить сечение цилиндра плоскостью, которая проходит под углом 450 к оси цилиндра.

Ответ: в сечении будет эллипс
Мысленно разрежьте цилиндр по секущей плоскости. Нарисуйте боковую поверхность развертки цилиндра с линией сечения цилиндра плоскостью.


Ответ: сечение развернется в синусоиду.
Практическое задание № 4.
Взять прямоугольный лист бумаги шириной 8 см и длиной 18 см.Проведите горизонтальную и вертикальную ось симметрии прямоугольника. Начертите по осям симметрии оси координат Ox и Oy. За единичный отрезок возьмите 3 см. Постройте одну волну графика функции y = sin x и разрежьте лист по синусоиде.
Затем сверните этот лист в прямой круговой цилиндр. Что при этом получилось?
Ответ: сечение цилиндра плоскостью, в сечении получился эллипс.
Развернем цилиндр обратно в прямоугольник.
В какую кривую развернется эллипс?
Ответ: в синусоиду y = k·sinx, где k = tg φ
Перенос усвоенных знаний в новую ситуацию
1. Как из прямоугольного листа получить кусок трубы, изображенной на рисунке?

Ответ: нужно разрезать лист по синусоиде (y = sin x), и из получившихся кусков сложить две части трубы.
Показать на модели.
2. Как из прямоугольного листа получить кусок трубы, изображенной на рисунке?

Ответ: нужно разрезать лист по двум синусоидам (y = k·sin x, y = -k·sin x, k = tg 22о30’), и из получившихся кусков сложить три части трубы.
Подведение итогов занятия и выставление оценок.
Рефлексия занятия.
Сегодня я узнал ...
Я познакомился с понятиями ...
Задание для внеаудиторной самостоятельной работы.
Выучить новый материал, изобразить сечения цилиндра и конуса.
Уметь решать разобранные задачи
Самоанализ урока
Дата 31.05.2016
Время 1010 – 1140
Преподаватель Чемеркина О. В.
Группа C 152
Количество студентов по списку – 23 человек
Из них присутствовало на уроке – 20 человек
Дисциплина: Математика (алгебра и начала математического анализа, геометрия)
Вид занятия: семинар с групповой работой «мозговой штурм»
Тип занятия: урок закрепления знаний и формирование умений и навыков
Метод проведения: Метод исследовательских заданий
Тема занятия:
Конические сечения и их применение в технике
Были поставлены следующие цели урока:
обучающая:
– вторичное закрепление усвоенных знаний;
– выработка умений и навыков по их применению при решении теоретических и практических задач по теме «Конические сечения»;
развивающая:
– развитие коммуникативно-технических умений – нешаблонно, творчески подходить к решению самых разнообразных задач;
– развитие умений частично-поисковой познавательной деятельности
– частичная постановка проблемы, выдвижение гипотезы, ее решение;
воспитательная:
– воспитывать культуру умственного труда, развивать потребность в умении
применять в работе элементы научной организации труда;
– воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям.
1. Организационная структура урока дала возможность оптимально организовать работу на уроке.
Имелось в наличии: подробный план урока, наглядные пособия: демонстрационные карточки с чертежами и рисунками.
Обеспечение занятия: экран, проектор, презентация, иллюстративные таблицы
2. Организационное начало урока прошло по плану.
Проверка присутствующих показала, что на уроке отсутствовали 3 человека, участвующие в соревнованиях.
Мобилизующее начало урока – проверка готовности по пятибалльной системе – показало, что группа готова к занятию. К данному уроку были готовы все студенты. В ходе опроса и решения задач выяснилось, что самооценка готовности была дана учащимися объективно.
Подготовленность студентов также отражало наличие у каждого тетради, чертежных инструментов, ножниц для практической работы.
Дежурные так же были готовы к выполнению своих обязанностей. Классное помещение было готово к занятию: чистота, доска, мел, проектор, у каждого на парте – рабочая тетрадь, письменные принадлежности.
3. Были постановлены цели и задачи урока, проведена мотивация учебной деятельности студентов.
Цель урока заключалась во вторичном закреплении усвоенных знаний, выработке умений и навыков по их применению при решении теоретических и практических задач по теме «Конические сечения».
Урок планировалось провести в четыре этапа.
Первый этап – проверка домашнего задания, второй – сообщение и усвоение новых знаний, третий этап – практическая работа, в течение которой планировалось развивать умение решать нестандартные задачи, четвертый – сообщения студентов по теме урока.
Урок был насыщенным. Обилие учебного материала, разнообразие форм работы требовало высокого темпа его проведения.
4. Была продумана последовательность, взаимосвязь и соотношение частей урока.
Организационный момент занял 5 минут урока, проверка домашнего задания – 25 минут, что соответствовало намеченному плану. Использование таблиц с чертежами и рисунками, слайдов презентации при проверке домашнего задания, повысило ее эффективность.
Опрос у доски был нацелен на повторение и анализ основных формул и свойств геометрических фигур. Он показал, что теоретический материал усвоен осознанно, с пониманием смысла и элементов.
Для воспроизведения и коррекции опорных знаний был проведен опрос по решению устных задач. Ответы соответствовали предъявляемым требованиям и показали, что основные алгоритмы решения базовых задач и теоретические положения в целом усвоены. На следующем уроке необходимо еще раз сделать акцент на способах получения фигур вращения.
Опрос по теоретическому материалу был, затянут из-за большого объема материала. Его необходимо было провести более динамично. Для этого нужно было предусмотреть разные формы опроса по кривым второго порядка и по фигурам вращения. В целом актуализация опорных знаний (базовых) как переход к освоению новых знаний прошла успешно.
При сообщении и усвоении новых знаний основной упор был сделан на то, чтобы рассмотреть наиболее разносторонне применение конических сечений в технике. В ходе объяснения новой темы планировалось обобщить и систематизировать основные понятия стереометрии, заложить систему знаний и показать способы их применения для объяснения новых фактов и выполнения нестандартных практических заданий.
Усвоение ведущих идей и основных положений было достигнуто разнообразием решаемых задач, связи теории с практикой и обучения с жизнью.
Количество задач можно было сократить, так как они дублировали одна другую. Их большое количество определялось целью отработать алгоритм решения. Оказалось, что треть задач на закрепление можно было убрать без ущерба для понимания сути вопроса. А вот алгоритм решения необходимо было записать заранее до урока на обратной стороне доски и воспользоваться им при объяснении темы и при решении задач. Алгоритм, записанный по ходу урока, выглядел не эстетично, записывая его, приходилось постоянно ходить от доски к проектору, что затягивало время и отвлекало от объяснения темы. Проверка усвоения новой темы показала, что основная часть группы самостоятельно отвечала на вопросы, проводила вычисления.
Для закрепления была выбрана нестандартная форма – самостоятельная практическая работа в процессе усвоения новых знаний, подготовка к которой, красной нитью пролегала через все этапы урока. На практическую работу времени оказалось недостаточно. Первая часть, решения нестандартных задач, прошла динамично, но вторая, требующая творческого подхода, была логически не закончена. Планировалось подробно обсудить принятое решение, и вместе с тем проконтролировать осознанность выбора ответов.
Сообщения по применению конических сечений в технике были интересными, но студенты, не закончившие практические задания из-за ограниченности во времени, с трудом переключились на доклады, и первое сообщение слушали не внимательно.
Было сформулировано домашнее задание. На подведение итогов урока осталось мало времени. Но логично подвести окончательные итоги на следующем уроке, проанализировав не только оценки за урок, но и практическую работу. Оценки объявлялись в течение урока. Но общий итог необходимо было подвести более подробно. В связи с ограничением во времени, этот момент урока был скомкан. На рефлексию времени не осталось.
5. Анализ содержания учебного материала урока показывает, что избранная последовательность реализации учебного материала привела к ожидаемым результатам.
Вопросы и задачи соответствовали программе и уровню знаний студентов по дисциплине. Соотношение теоретического и практического материала было сбалансировано так, чтобы основной частью урока было решение задач. Для того чтобы длительное время держать внимание и высокую активность студентов, подбирались задачи, имеющие связь с жизнью и практикой.
6. Были выдержаны общепедагогические и дидактические требования к уроку.
Были выдвинуты реальные цели урока. План и конспект урока соответствовали поставленной цели. Выбранный метод обучения полностью себя оправдал: удалось усвоить все основные моменты, скорректировать неполные представления некоторых вопросов, принять к сведению способы решения новых типов задач и закрепить их.
Использование нестандартных элементов урока позволило установить взаимосвязь образовательных, развивающих и воспитательных аспектов урока.
7. Деятельность преподавателя предполагает сочетание научности и доступности изложения новых знаний.
Это было достигнуто тем, что повторялись лишь базовые вопросы стереометрии. С другой стороны, аудитория была подготовлена к восприятию достаточно сложного материала.
Были использованы методические рекомендации ведущих преподавателей страны. Например, как считает Шаталов, повышенная скорость изложения нового материала не влияет на степень его усвоения.
За основу метода подготовки и проведения урока была выбрана концепция реализации поэтапного формирования умственных действий М.Б.Воловича.
Осознанная самостоятельная работа способствовала достижению порядка и сознательной дисциплины и продемонстрировала эффективность использования наглядных пособий и технических средств обучения.
При проверке и оценке знаний студентов поощрялось умение сконцентрировать внимание на главном и четко высказать предположение или идею метода решения, контролировалось сознательное усвоение студентами учебного материала.
Полностью оправдала себя мотивация к учению: стремиться не к удовлетворительным оценкам, а как минимум к хорошим и отличным. В группе не осталось студентов, не усвоивших минимум знаний, а большая часть группы имеет осознанное представление по данной теме. Контакт с группой достигнут, проведенный урок вызывает чувство удовлетворения от отдачи.
8. Деятельность студентов была направлена на то, чтобы в ходе урока не только усвоить новый материал, но и существенно повысить итоговую оценку. Этим было обусловлено поведение студентов на уроке: дисциплина, прилежание, активность, внимание.
Состояние устной и письменной речи студентов требует доработки, удалось достигнуть лишь некоторого прогресса в этом вопросе. Неумение говорить тормозило активность группы и привело к неоправданным потерям времени. Не все студенты интенсивно и качественно работали самостоятельно на протяжении всего урока, об этом можно судить по проведенным ими вычислениям в тетрадях и по сбою внимания на заключительном этапе урока. В целом же коллектив работал достаточно слаженно, настроены студенты были доброжелательно.
9. Можно сделать следующие выводы.
План урока выполнен. Цели урока достигнуты.
За ответы на уроке получили оценку «5» – 8 человек, «4» – 10 человек, «3» – 2 человека.
Особенный интерес у студентов вызвали нестандартные формулировки практических заданий.
При повторном проведении урока на эту тему целесообразно внести следующие изменения.
Опрос по теоретическому материалу провести в разных формах: по кривым сообщения у доски по таблицам, по фигурам вращения провести опрос по модели или по слайдам презентации, показывая элементы фигур и объявляя их название.
Для объяснения алгоритма решения задач по новой теме в презентации создать анимационную картинку, в которой будет изменяться угол наклона плоскости, а вместе с ним – вид сечения. Алгоритм заранее написать на доске с тыльной стороны.
Резервом повышения эффективности обучения является сочетание работы у доски с моделями и проверка решений с использованием слайдов.
Заключение
Легко решаются те задачи, которые вызывают интерес. Для поддержания внимания в течение всего урока, решаемые задачи и формулируемые вопросы имеют бытовое и техническое содержание, предусматриваются нестандартные ситуации, дается интересный энциклопедический материал. Материал урока постоянно связывается с другими дисциплинами. Например, с физикой (закон Бойля, закон Ома), с астрономией (движение планет), с инженерной графикой (построение разверток поверхностей геометрических тел вращения), с черчением (построение сечений), с ремонтом радиотехники (акустические системы).
Максимальное участие каждого в уроке ставят семинар с «мозговым штурмом» в ряд познавательных соревновательных уроков. За нестандартной формулировкой задач кроятся простые и сложные математические модели. Научить анализировать условие, видеть пути решения жизненных ситуаций важно не только для изучения математики, но и в повседневной деятельности. Процесс обучения математики предоставляет большие возможности углубления знаний через решение нестандартных задач, что позволяет студентам проявить смекалку, сообразительность, постоянную работу мысли.
Разнообразие всех форм и методов обучения на уроке, постоянная смена видов деятельности, являются одними из важнейших средств активизации мыслительной работы студентов. Эффективность использования активных методов, стимулирующих самостоятельную работу студента, зависит от умения преподавателя их правильно применять в сочетании с традиционными способами обучения.

Литература
Соловейчик И.Л. Сборник задач по математике с решениями для техникумов /И.Л. Соловейчик, В.Т. Лисичкин, - М.: ООО Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и образование, 2003, - 464с.
Кожеуров П.Я. Тригонометрия, М. ГИФ-МЛ, - 336с.
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике. Учебное пособие для средних спец. учебных заведений. –М.: Высшая школа, 2002, - 495с. (Р)
Погорелов А.В. 7 - 11кл, М.: Просвещение, 2014. - 383с.
Атаносян Л.С. 7 - 11 кл, М.: Просвещение, 2011. - 207с.
Короткий В.А. Проективное построение коники: учеб. пособие / В.А. Короткий. – Челябинск: ЮУрГУ, 2010. – 98 с.
Короткий В.А. Графоаналитический способ построения коробовой линии кривых второго порядка. Серия строительная архитектура / В.А. Короткий. – Челябинск: Вестник ЮУрГУ № 35, 2011. – 98 с.
Белоенко Е.В. Построение разверток поверхностей: метод. пособие / Е.В. Белоенко – Томск, 2008. – 17 с.
Викепидия
www.exponenta.ru - Образовательный математический сайт

Приложение
Сообщения по теме урока
1. Аппроксимация плавных кривых в архитектуре
В практике архитектурного проектирования нередко возникает ситуация, когда проектировщик прочерчивает какую-либо линию «от руки», исходя из эстетической оценки создаваемой архитектурной формы. Например, кривая, по которой выполнено очертание тыльной части монумента Покорителям Космоса (Москва ВВЦ), была прорисована от руки архитектором. Для выполнения инженерных расчетов необходимо заменить эту графически заданную линию какой-либо закономерной кривой (желательно алгебраической). Ее находят с помощью метода аппроксимации кривых второго порядка.

Есть и другие примеры в архитектурной практике. Например, в Объединенных арабских Эмиратах готовятся построить очередной шедевр мировой архитектуры. Это будет жилой комплекс из двух зданий, сходящихся в верхних своих точках и скрывающих зеленый сад у основания. Главная его особенность заключается в том, что комплекс этот будет состоять из двух чуть наклоненных зданий, практически сходящихся одно с другим в верхних точках. А в пространстве между основаниями зданий разместится парк.
При конструировании такого здания, приходится решать задачу построения криволинейного обвода, состоящего из дуг кривых линий и проходящего через заданные точки. Обводы, имеющие в местах стыка кривых, общие касательные называются гладкими или коробковыми. Коробковой линей кривых второго порядка называют плавную кривую, состоящую из последовательного ряда дуг, кривых второго порядка, имеющие на стыках либо общие касательные, либо не только общие касательные, но и общие радиусы кривизны.
2. Динамический диффузорный громкоговоритель
Диффузор – это мембрана или купол воспроизводящий звук. Динамический диффузорный громкоговоритель предназначен для излучения звука. Он состоит из излучающей части – конического диффузора 2 и звуковой катушки, помещенной в постоянное магнитное поле. Переменный ток звуковой частоты, протекающий через цилиндрическую звуковую катушку, взаимодействует с постоянным магнитным полем, в которое помещена эта катушка. Под действием возникающей силы диффузор колеблется как поршень, излучая всей своей поверхностью.Известно, что диффузоры с криволинейной образующей по техническим и экономическим показателям лучше, чем с прямолинейной образующей. Профиль диффузора рассчитывается численными методами вычислительной газодинамики. В результате расчета получается ряд дискретных точек. Требуется проектировать гладкую кривую, проходящую через эти точки. Участки профиля диффузора описываются кривой второго порядка – эллипсом. Криволинейная образующая описывается коробковой (гладкой) кривой, составленной из дуг двух эллипсов.
громкоговоритель с эллиптическим диффузором
3. О задаче проектирования идеального диффузора для сжатия сверхзвукового потока
В воздушно-реактивных двигателях диффузоры предназначены для повышения статического давления газа за счет уменьшения его кинетической энергии в процессе торможения. Считается, что эффективность диффузора тем выше, чем больше степень повышения давления π в нем. При проектировании задаётся форма вогнутой поверхности в соответствии с уравнением линии тока в плоской волне Прандтля-Майера. При проектировании изоэнтропического диффузора необходимо так задавать геометрию вогнутой поверхности, чтобы отраженный разрыв был скачком уплотнения. Чем меньше интенсивность этого скачка, тем выше коэффициент восстановления полного давления в диффузоре. Конструирование образующей диффузора основано на построении линий второго порядка.
4. При проектировании прецизионных кулачковых механизмов
Ключевым конструктивным узлом системы впрыска двигателя, работающего на дизельном топливе, является топливный насос высокого давления. С каждым годом количество автомобилей с дизельным двигателем растет. Они более экологичные, более экономичные. Топливный насос высокого давления – один из наиболее сложных узлов системы подачи топлива дизелей, работает с помощью кулачкового механизма.При проектированиикоторого требуется обеспечить гладкость профиля кулачка. Гладкую кривую составляют из частей эллипса, проходящих через заданные точки и вписанных в данный прямоугольник.
Так же кулачковый механизм применяется:
в топливных насосах автомобильных карбюраторных двигателей;
в механическом (пневматическом) приводе колодочных тормозов (грузовики, тракторы);
в прерывателе контактной системы зажигания бензиновых ДВС;
в приводе воздушной заслонки карбюраторов (автомобиль ОКА);
в механизмах переключения коробок передач мотоциклов;
в швейных машинках (механические переключатели режимов, варианты движения рабочих органов);
в шарманках и музыкальных шкатулках (вырожденный кулачок – шип – только включает звук в определённый момент);
в механических (часовых) таймерах и реле времени;
в газораспределительном механизме ДВС;
в металлорежущих станках;
и многих других машинах для воспроизведения сложной траектории движения рабочих органов и выполнения функций управления, таких, как включение и выключение рабочих органов по определённой схеме.

5. Проектирование профиля морских саней, судостроение
При постоянной нагрузке и в условиях гладкой воды максимальным гидродинамическим качеством при глиссировании обладает корпус с абсолютно плоским днищем. Однако с увеличением мощности двигателей и скоростей катеров выявились существенные недостатки плоскодонных обводов. Основной из них – это сильные удары корпуса о волну. При встрече с волной подъёмная сила на днище судна вследствие увеличения угла атаки мгновенно возрастает в несколько раз, корпус может взлететь над поверхностью воды. В следующий момент, при падении на воду, корпус получает сильный удар в днище. Для снижения ударных перегрузок при глиссировании на волне днищу придают ту или иную килеватость. При увеличении угла килеватости днища с 0 до 10 градусов сила удара снижается более чем в 1,5 раза. Наиболее сильные удары приходятся на носовую часть корпуса, поэтому заостряют в основном носовую треть днища, оставляя в корме глиссирующий участок малой килеватости. Такие корпуса отличаются более комфортабельным ходом на волнении, чем корпуса с малой килеватостью. При проектировании профилей днищ, используют кривые второго порядка.

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А.Петрова»
Цикловая комиссия «Математики и информатики»
МЕТОДИЧЕСКИЙ ДОКЛАД
Методика подготовки открытого урока
Для преподавателей

Разработчик: Чемеркина О.В. - преподаватель государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»
Аннотация
В данной разработке излагаются основные принципы построения логически законченного, целостного, характерного для лучших учителей открытого занятия. В работе описывается схема подготовки урока, который включает все основные компоненты учебно-воспитательного процесса, цели, задачи, содержание, формы, методы, средства, взаимосвязанную деятельность учителя и ученика. Даны практические рекомендации по организации урока не только вооружающего учащихся знаниями и умениями, значимость которых невозможно оспорить, но, и позволяющего создать занятие, вызывающее у студентов искренний интерес, подлинную увлеченность, формирующее их творческое сознание.
Оглавление
Вступление ................................................................................................................................................... 2
Подготовка к открытому уроку .................................................................................................................. 3
Правила правильной организации урока ................................................................................................... 6
Требования к открытому занятию .............................................................................................................. 8
Методическое обеспечение открытого занятия ........................................................................................ 10
Заключение ................................................................................................................................................... 11
Литература .................................................................................................................................................... 12
Приложение 1 Основные положения личностного анализа урока .......................................................... 13
Приложение 2 Требования к современному уроку ................................................................................... 14
Приложение 3 Цели обучения, воспитания и развития ............................................................................ 15
Приложение 4 Типы и виды уроков ........................................................................................................... 17
Приложение 5 Методы обучения ................................................................................................................ 18

Вступление
Урок - это логически законченный, целостный, ограниченный определенными рамками отрезок учебно-воспитательного процесса, основная форма организации обучения в современной школе. В нем находятся все основные компоненты учебно-воспитательного процесса цель, задачи, содержание, формы, методы, средства, взаимосвязанная деятельность учителя и ученика.Урок необходимо проектировать, тем более открытый. И.С. Якиманская различает термин "прожектирование" (медленное, идеальное выстраивание чего-либо и "проектирование" (как создание и практическое выполнение проекта). Таким образом, я рассматриваю открытый урок не как случайное событие, обязательное для учителя, но как целостный процесс, характерный для лучших учителей, способных быть маяками, или вернее, лоцманами, в деле повышения качества образования детей.
Общество желает видеть в современном преподавателе педагога эрудированного, интеллектуала, человека с чувством юмора, находчивого, гордого, способного к рефлексии, способного к научному анализу своих изобретений.
С другой стороны, в самой преподавательской среде появляется все больше профессионалов высокого класса, специалистов с высокими степенями, которые могут и хотят передать свои ценные умения другим, испытывают потребность в серьезной аналитической дискуссии с целью саморазвития.
Просто каждый урок, с одной стороны, должен быть замкнутым целым. Должен иметь начало (экспозицию), развитие и завершение. Вот это завершение очень важно. Как только мы начинаем думать не только о начале, но и о завершении урока, мы тут же ощущаем: урок – это искусство. И строится он по законам искусства. Поэтому, кроме того, что он правильный, он должен быть еще и красивым.
У учителей-артистов (а такая категория учителей всегда была малочисленна) заключение урока не только подводит итог тому, что делалось, но и обещает что-то интересное впереди. Ученики выходят с такого урока и с нетерпением ожидают следующего. Урок становится необходимым звеном в цепи постижения.
Урок – главная составная часть учебного процесса. Учебная деятельность преподавателя и учащихся в значительной мере сосредоточивается на уроке. Вот почему качество подготовки учащихся по той или иной учебной дисциплине во многом определяется уровнем проведения урока, его содержательной и методической наполненностью, его атмосферой. Для того чтобы этот уровень был достаточно высоким, надо, чтобы преподаватель в ходе подготовки урока постарался сделать его своеобразным педагогическим произведением со своим замыслом, завязкой и развязкой подобно любому произведению искусства.
Как же построить такой урок? Как сделать так, чтобы урок не только вооружал учащихся знаниями и умениями, значимость которых невозможно оспорить, но, чтобы все, что происходит на уроке, вызывало у студентов искренний интерес, подлинную увлеченность, формировало их творческое сознание?
Подготовка к открытому уроку
I. Первое, с чего надо начать подготовку к уроку:
четко определить и сформулировать для себя его тему;
определить место темы в учебном курсе;
определить ведущие понятия, на которые опирается данный урок, иначе говоря, посмотреть на урок ретроспективно;
и, наоборот, обозначить для себя ту часть учебного материала урока, которая будет использована в дальнейшем, иначе говоря, посмотреть на урок сквозь призму перспективы своей деятельности.
II. Определить и четко сформулировать для себя и отдельно для учащихся целевую установку урока – зачем он вообще нужен?
В связи с этим надо обозначить обучающие, развивающие и воспитывающие функции урока.
III. Спланировать учебный материал урока.
Для этого надо:
Подобрать литературу по теме. При этом, если речь идет о новом теоретическом материале, следует постараться, чтобы в список вошли вузовский учебник, энциклопедическое издание, монография (первоисточник), научно-популярное издание. Надо отобрать из доступного материала только тот, который служит решению поставленных задач наиболее простым способом.
Подобрать учебные задания, целью которых является:
узнавание нового материала;
воспроизведение;
применение знаний в знакомой ситуации;
применение знаний в незнакомой ситуации;
творческий подход к знаниям.
Упорядочить учебные задания в соответствии с принципом «от простого к сложному».
Составить три набора заданий:
задания, подводящие ученика к воспроизведению материала;
задания, способствующие осмыслению материала учеником;
задания, способствующие закреплению материала учеником.
IV. Продумать «изюминку» урока. Каждый урок должен содержать что-то, что вызовет удивление, изумление, восторг учеников– одним словом, то, что они будут помнить, когда все забудут. Это может быть интересный факт, неожиданное открытие, красивый опыт, нестандартный подход к уже известному и пр.
V. Сгруппировать отобранный учебный материал. Для этого подумать, в какой последовательности будет организована работа с отобранным материалом, как будет осуществлена смена видов деятельности учащихся. Главное при группировке материала – умение найти такую форму организации урока, которая вызовет повышенную активность учащихся, а не пассивное восприятие нового.
VI. Спланировать контроль за деятельностью учащихся на уроке, для чего подумать:
что контролировать;
как контролировать;
как использовать результаты контроля.
При этом не забывать, что чем чаще контролируется работа всех, тем легче увидеть типичные ошибки и затруднения, а также показать студентам подлинный интерес преподавателя к их работе.
VII. Подготовить оборудование для урока. Составить список необходимых учебно-наглядных пособий, приборов, технических средств обучения. Проверить, все ли работает. Продумать вид классной доски так, чтобы весь новый материал остался на доске в виде опорного конспекта.
VIII. Продумать задания на дом: его содержательную часть, а также рекомендации по его выполнению.
Подготовленный таким образом урок должен лечь в конспект. Что надо помнить, готовя конспект урока?
Конспект должен содержать три основные части:
формальную;
содержательную;
аналитическую.
К примеру:
Формальная часть выглядит так:
Урок №Дата
Тема:
Цель:
Задачи: обучающие –
развивающие –
воспитывающие –
Оборудование: 1________________________
2________________________
3________________________
Последовательность отдельных этапов урока
Организация – 1 мин.
Самостоятельная работа – 10 мин.
Новый материал – 20 мин.
Демонстрация фильма – 5 мин.
Закрепление – 7 мин.
Задание на дом – 2 мин.
Литература: (с указанием страниц)
Содержательная часть – состоит из двух частей:
1) тексты всех заданий, новый учебный материал, решающие задачи, рекомендации по выполнению домашнего задания. Особенное внимание обратить на то, чтобы вопросы преподавателя в конспекте были выделены другим цветом;
2) таблица, в которой зафиксировано, что, на каком этапе урока делают студенты и преподаватель. Она может выглядеть так:
Что делают
Этап урока Студенты Преподаватель
Аналитическая часть – заполняется после урока и представляет собой самоанализ урока преподавателем. Приложение 1.
Сушествуют определенные требования, которым должен отвечать современный качественный урок. Приложение 2.
Правила правильной организации урока
Нормальная организация такого урока возможна только при соблюдении определенных правил:
первое – определение целей урока;
второе – уточнение типа урока;
третье – уточнение вида урока;
четвертое – выбор методов и приемов обучения в соответствии с поставленными целями;
пятое – определение структуры урока, соответствующей целям и задачам, содержанию и методам обучения.
Определение целей урока. Цель деятельности педагога – это его познавательное стремление, осознанное решение изменить степень обученности, воспитанности и развитости учащихся.
Цель есть не любой образ будущего, но непременно образ желаемого будущего, достижению которого и должна быть подчинена вся деятельность преподавателя. Поэтому цели урока должны быть максимально конкретными. Приложение 3.
Уточнение типа урока. Учитывая, что целеполагание лежит в основе всякой деятельности человека, целесообразно подразделять уроки по цели организации занятий на пять типов. В соответствии с выбранным типом урока необходимо определить вид урока. Приложение 4.
В рамках теории развивающего обучения разработана система методов, построенная на основе принципа целеполагания (отражающего систему целей обучающего и обучаемого), принципа бинарности (отражающего характер взаимодействия деятельности преподавателя и учащегося) и принципа проблемности (отражающего наличие противоречивости в учебном процессе и предмете). Выбор методов и приемов обучения – четвертое правило правильной организации урока. Приложение 5.
Под структурой урока следует понимать устойчивый порядок внутренних связей между элементами урока. Поскольку в основе структуры традиционного урока лежит цель деятельности только самого преподавателя (опросить, объяснить, закрепить и дать учащимся задание), то не возникает достаточных условий для реализации идей и принципов развивающего обучения. Главное – традиционная структура урока не дает преподавателю возможности применять разнообразные формы, методы и средства обучения.
Известно, что всякое формирование новых знаний идет на базе актуализации прежних знаний и систематического применения усвоенных знаний в учебной деятельности.
Исходя из этого, можно использовать такую структуру урока:
Актуализация прежних знаний.
Формирование новых понятий и способов действия.
Формирование умений и навыков.
Актуализация означает, что надо сделать знания актуальными, нужными в данный момент, т.е. «освежить» прежние знания и способы деятельности в памяти. Кроме того, актуализация означает и психологическую подготовку обучаемого, возбуждение его интереса к теме (проблеме), создание эмоционального настроя, оценку степени готовности отдельных учащихся к восприятию нового материала и т.д. Актуализация – более широкое понятие, чем опрос. В нее входит и контроль преподавания за состоянием знаний ученика, его умений и навыков, который осуществляется и в форме опроса, и в форме проверки выполнения учебных заданий. Видами деятельности учащегося на этапе актуализации могут быть решение задач, чтение текста, самостоятельные работы, взаимопроверка, выполнение упражнений и т.д.
Вторым компонентом дидактической структуры урока является формирование новых понятий и способов действий.
Здесь понятие «формирование» включает деятельность преподавателя по объяснению нового материала или организации деятельности учащегося по самостоятельному раскрытию сущности новых понятий. Способ объяснения преподавателя может быть разным (лекция, беседа, рассказ, демонстрация опыта и т.д.), так же, как и способ «самообъяснения» учащегося (работа с книгой, анализ ситуаций, анализ текста произведения, решение задач и т.д.).
Эти приемы и способы деятельности преподавателя и учащихся являются элементами методической подструктуры урока.
В третьем компоненте дидактической структуры урока – формирование умений и навыков – происходит отработка навыков применения знаний путем многократного повторения тех или иных умственных и практических действий, операций. Здесь выполняются различные упражнения, решаются задачи, анализируется ход решения и т.д.
Преподаватель может дать домашнее задание на любом из этапов урока в зависимости от учебной ситуации. Эта процедура, как правило, занимает очень маленький отрезок времени, но имеет важное значение. Поэтому задание на дом входит в структуру урока как самостоятельный элемент методической подструктуры.
Варианты структуры уроков для разных типов и видов урока образуются за счет изменения числа элементов методической подструктуры, их взаимосвязи и последовательности. Умение преподавателя выбрать методическую подструктуру урока, более всего соответствующую теме урока и избранным методам, характеризует его методическое мастерство, да и его профессиональную компетентность.
Схема взаимосвязи дидактической структуры урока с методической подструктурой
Дидактическая структура (постоянная) Актуализация Формирование новых знаний Формирование умений и навыков
Методическая подструктура (переменная) Опрос Упражнения решение задач Объяснение Демонстрация фильма, опыта Решение познавательной задачи Упражнения Задание на дом
Требования к открытому занятию
Воспитательная направленность открытого учебного занятия должна обеспечивать единство обучения предмету, воспитания и развития учащихся.
Научный уровень занятий должен отражать научность и точность фактического материала, использование последних достижений науки в рассматриваемом вопросе, реализацию учебных, воспитательных и развивающих задач.
Методическая оптимальность занятия должна определить правильность выбранных педагогических технологий; вида использования наглядности, ТСО; правильное распределение времени на структурные элементы занятия. Применение наиболее эффективных приемов и методов преподавания, при помощи которых реализуются цели занятия, формирование знаний, умений и навыков на основе самостоятельной познавательной деятельности учащихся - являются основными требованиями к открытому учебному занятию.
Открытое занятие должно служить иллюстрацией выводов, к которым пришел педагог в результате педагогического эксперимента, методической работы или на основании многолетнего опыта.
В соответствии с методической целью занятия педагог выбирает такой учебный материал, который позволит наиболее полно раскрыть те методы, приемы и средства, которые составляют основу педагогического мастерства.
Открытый урок обязательно должен иметь новизну. Новизна может относиться к содержанию учебного материала или методикам его изучения. Урок как форма организации учебного процесса сам может содержать новое, например, особую структуру.
Открытый урок отражает решение методической проблемы, над которой работает преподаватель. Его индивидуальная проблема должна быть связана с общей методической проблемой колледжа. Это показатель реализации системного подхода к организации методической работы.
При проведении открытого урока соблюдаются все требования к учебно-воспитательному процессу. Урок должен проводиться в обычных условиях, с общепринятой продолжительностью и т.д. Создание особых условий для открытых уроков, во-первых, нарушает устоявшийся режим учебно-воспитательной работы, во-вторых, идеализированные условия ставят под сомнение тиражируемость новации.
Для посещающих обязательно готовится рабочее место. Места должны располагаться за спиной учащихся, чтобы посетители не отвлекали их внимание. Нельзя сажать посетителя рядом с учащимися; учащийся, сидящий за одной партой с посторонним, вряд ли сможет сконцентрировать внимание на содержании учебного материала.
Открытый урок должен показать (доказать) преимущества (высокую эффективность) новации. Поэтому преподаватель, показывающий открытый урок, выбирает тему, содержание которой позволяет это сделать. Например, методическая цель открытого урока – «Методика организации изучения теоретических (обобщённых) знаний». Преподаватель выбирает тему, которая содержит теоретический материал.
Открытый урок не должен наносить вред системе знаний, умений и навыков учащихся. Учащиеся должны получить столько знаний, сколько они усвоили бы, изучая тему без посещающих. Также недопустимо объяснение только той части темы, которая позволяет наиболее ярко демонстрировать новый методический приём, оставляя на самостоятельное изучение оставшуюся часть.
Число посетителей на открытых уроках не может быть безграничным. Как показывает образовательная практика, этим требованием часто пренебрегают: иногда в классе из 25 учащихся сидят 15-20 приглашенных. Отметим, что посещение урока хотя бы одним посторонним человеком создаёт дискомфорт и для учителя, и для учащихся, в связи с чем в настоящее время широко практикуется изучение опыта педагогов по видеозаписям уроков.
Открытые уроки и их содержание не должны противоречить учебным программам. Нельзя непомерно расширять содержание учебного материала, чтобы показать новую методику, недопустима организация изучения проблем, не включённых в программу. Не рекомендуется также увеличивать время, отведённое на изучение тем.
Недопустима «репетиция» открытого урока с одним и тем же классом. Это требование нарушается повсюду: педагоги предварительно готовят учащихся к уроку, «проигрывают» его и т.д., называя всё это подготовкой открытого урока. Отметим, что здесь речь идёт не об уроках, к которым учащиеся должны подготовить сообщения, доклады, творческие работы и т.п.
Рекомендуется сообщить учащимся о проведении открытого урока (самое меньшее, накануне). Это подготовит учащихся к ситуации, когда на уроке будут сидеть посетители.
Открытые уроки проводятся в соответствии с планом методической работы колледжа и цикловых комиссий. Преподаватели должны располагать достаточным временем для его подготовки.
Нельзя проводить в одной группе в один день несколько открытых уроков. Нежелательно проведение нескольких открытых уроков в одной и той же группе и в течение месяца. Это объясняется большой психологической нагрузкой, которую испытывают и студенты, и преподаватели.
Методическое обеспечение открытого занятия
Полный комплект документов, определяющих методическое обеспечение занятия, готовится не позднее, чем за неделю до его проведения. За одну неделю до проведения занятия педагог ставит в известность учебную часть о проведении открытого учебного занятия.
В зависимости от формы обучения, типа занятия подбираются соответствующие составляющие методического обеспечения.
Методическая цель открытого занятия формулируется в соответствии с методической темой педагога.
Методическая разработка или методические рекомендации к открытому занятию должны отражать вопросы организации и методики учебно - воспитательного процесса на занятии.
Педагог, готовящий открытое занятие, рассматривает в методической разработке учебно -воспитательный процесс в свете тех педагогических задач. Которые положены в основу занятия, чтобы используемые методы и средства воздействия на учащихся способы организации их деятельности помогли другим педагогам критически оценивать всю систему работы и вызвали желание ее усовершенствовать.
Методическая разработка может дополняться и частично перерабатываться после проведения открытого занятия, чтобы все ценное, что получено в процессе проведения занятия, нашло в ней отражение и могло использоваться другими педагогами.
Содержание и оформление методической разработки должно соответствовать требованиям разработок урока
Подготовленная и оформленная методическая разработка после утверждения на заседании цикловой комиссии сдается в методический кабинет.
Заключение
В заключение можно отметить следующее: без постоянной кропотливой работы невозможно показать хороший, отдельно взятый открытый урок. Нужно сделать учение привлекательным ежедневно, учиться проводить уроки в интересной форме, создавать копилку собственных интересных средств обучения. Знание и соблюдение педагогических требований к организации учебного процесса намного повышают профессиональную компетентность современного преподавателя. Для того чтобы показать свое методическое мастерство и профессиональную компетентность во время проведения открытого урока, необходимо урок тщательно готовить. Тогда урок принесет удовлетворенность и самому преподавателю, и его коллегам.
Удовлетворенность самого учителя, коллег, администрации и учащихся.
Наличие оправданной, полезной и педагогической привлекательной новизны.
Факт достижения заявленных целей.
Возможность использования показанного опыта в работе коллег.
Сбалансированность воспитательно-образовательных взаимодействий.
Активизацию познавательной деятельности учащихся.
Наличие доверительно-уважительной, эмоционально положительной обстановки, увлеченность и включенность учащихся в процесс.
Сбалансированность форм и методов, применяемых в процессе деятельности.
Учет интересов каждой группы учащихся (нуждающихся в педагогической поддержке, одаренных, успешных, средних).
Использование необходимых и достаточных вспомогательных средств обучения, средств наглядности, технических средств.
Разумное соотношение репродуктивного, репетиционного и поискового, творческого.
Литература
Поташник М.М., Левит М.В. Как подготовить и провести открытый урок (современная технология) – М.: Педагогическое общество России, 2008
Поташник М.М. Требования к современному уроку – М.: Центр педагогического образования, 2008
Пидкасистый П. И. Организация учебно-познавательной деятельности студентов / П. И. Пидкасистый. - Изд. 2-е, доп. и перераб. - М.: Пед. общество России, 2005. - 144 с.
Проблемы подготовки учителя для современной российской школы: сб. материалов. - М.: Изд. Дом РАО: Баланс, 2007. - 320 с.: табл. - (Образовательная система "Школа-2100").
Решетников П. Е. Нетрадиционная технологическая система подготовки учителей. Рождение мастера: кн. для преподавателей высш. и сред. пед. учеб. заведений / П. Е. Решетников. - М.: ВЛАДОС, 2000. - 301 с.: ил. - (Педагогическая мастерская).
Сальникова Т.П. Педагогические технологии: Учебное пособие /М.: ТЦ Сфера, 2005.
Самигуллин Г.Х. К. биол. н. доцент, Ректор Института непрерывного педагогического образования. Педагогические требования к открытым урокам// Методист №6 2007.
Научно-практический журнал «Завуч» № 6 1998 г, «Завуч» №1 2000 г
http://pages.marsu.ru/iac/resurs/burkova/himia/urok/rek_otkr_yr.html
Приложение 1
Основные положения личностного анализа урока
1. Эмоциональное начало урока:
оптимистический и пессимистический настрой преподавателя и студентов;
степень откровенности преподавателя и открытости студентов;
активность или пассивность преобладают у учащихся на уроке;
концентрация внимания преподавателя и студентов (через сколько времени после начала урока она наступила). Когда начался урок?
2. Постановка задачи преподавателем при помощи:
формулирования основной идеи;
показа практического значения темы (а может, нам все это и не нужно?);
создания проблемной ситуации.
3. Передача нового знания и его получение:
формирование представлений («образ») и понятий («слово»);
описательно или доказательно объяснение преподавателя (или ход диалога);
связь изложения с опытом учащихся;
на каких студентов ориентируется преподаватель (сильные – слабые);
эмоциональность и непрерывность изложения;
ограниченное использование наглядных пособий и технических средств.
4. Отработка навыков:
четкое осознание, какой именно навык отрабатывается в данный момент (преподавателем и студентами);
осознание необходимости автоматизации навыка учащимися (в поле предмета, либо в жизненном поле, а лучше и то, и другое);
последовательность в отработке навыков;
качественная разноуровневость в отработке навыков в группе.
5. Обобщение и закрепление:
преодоление в процессе обобщения недостатков изложения и отработки навыков;
встраивание данного материала в общую картину знания (в данную науку, в другие науки, в общечеловеческое знание).
6. Завершение урока.
Приложение 2
Требования к современному уроку
Среди общих требований, которым должен отвечать современный качественный урок, И. П. Подласый выделяет следующие:
Использование новейших достижений науки, передовой педагогической практики, построение уроков на основе закономерностей учебно-воспитательного процесса.
Реализация на уроке в оптимальном соотношении всех дидактических принципов и правил.
Обеспечение надлежащих условий для продуктивной познавательной деятельности учащихся с учётом их интересов, наклонностей и потребностей.
Установление осознаваемых учащимися межпредметных связей.
Связь с ранее изученными знаниями и умениями, опора на достигнутый уровень развития учащихся.
Мотивация и активизация развития всех сфер личности.
Логичность и эмоциональность всех этапов учебно-воспитательной деятельности.
Эффективное использование педагогических средств.
Сязь с жизнью, педагогической деятельностью, личным опытом учащихся.
Формирование прктически необходимых знаний, умений, навыков, рациональных приёмов мышления и деятельности.
Формирование умения учиться, потребности постоянно поплнять объём знаний.
12.Тщательная диагностика, прогнозирование, проектирование и планирование каждого урока.
Приложение 3
Цели обучения, воспитания и развития
Цель обучения предполагает формирование у учащихся новых понятий и способов действий, системы научных знаний и т. п.
Ее необходимо конкретизировать, например:
обеспечить усвоение учащимися закона, признаков, свойств, особенностей:
обобщить и систематизировать знания о... (или по конкретной теме);
отработать навыки (какие?);
устранить пробелы в знаниях (каких?);
добиться усвоения учащимися каких-то понятий (вопросов).
Цель воспитания предполагает формирование у учащихся определенных свойств личности и черт характера.
Какие же свойства личности необходимо воспитывать? Прежде всего, нравственные качества человека, готовность к труду, к защите Отечества и др.
В общем виде можно представить следующий перечень целей воспитания на уроке:
воспитание патриотизма;
воспитание интернационализма;
воспитание гуманности;
воспитание мотивов труда, добросовестного отношения к труду;
воспитание мотивов учения, положительного отношения к знаниям:
воспитание дисциплинированности;
воспитание эстетических взглядов.
Цель развития предполагает в основном развитие на уроке психических качеств учащихся: интеллекта (мышления, познавательных, общетрудовых и политехнических умений), воли и самостоятельности.
Развитие мышления:
развитие аналитического мышления – формирование умения выделять существенные признаки и свойства:
развитие синтезирующего мышления – развитие умения устанавливать единые, общие признаки и свойства целого, составлять план изучаемого материала;
развитие анилитико-синтезирующего мышления – развитие умений классифицировать факты, делать обобщающие выводы;
развитие абстрактного мышления – развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них;
развитие умений применять знания на практике и др.
Развитие познавательных умений:
формирование умений выделять главное, составлять план, тезисы, вести конспект, наблюдать, делать опыты;
развитие умений частично-поисковой познавательной деятельности – частичная постановка проблемы, выдвижение гипотезы, ее решение.
Развитие общетрудовых и политехнических умений:
развитие коммуникативно-технических умений – нешаблонно, творчески подходить к решению самых разнообразных задач;
развитие операционно-контрольных умений – умения пользоваться приборами и инструментом. умения планировать, оценивать результаты выполненных действии, регулировать и контролировать свои действия.
Развитие умений учебного труда:
развитие умения работать в должном темпе – читать, писать, вычислять, чертить, конспектировать;
развитие приемов наблюдения – цель наблюдения и его последовательность, состав наблюдаемых объектов.
Развитие воли и самостоятельности:
развитие инициативы, уверенности в своих силах;
развитие настойчивости, умения преодолевать трудности для достижения намеченной цели;
развитие умения владеть собой – выдержка, самообладание;
развитие умений действовать самостоятельно.
Приложение 4
Типы и виды уроков
Типы уроков по цели организации занятий:
первый тип – уроки изучения нового учебного материала (сюда входят вводные, вступительные, наблюдений и сбора материала - как методические варианта уроков первого типа);
второй тип – уроки совершенствования знаний, умений и навыков (сюда входят уроки формирования умений и навыков, целевого применения усвоенного и др.):
третий тип – уроки обобщения и систематизации знаний, умений и навыков;
четвертый тип – комбинированные уроки:
пятый тип – уроки контрольные (уроки учета и оценки знаний и умений).
Виды уроков
урок-лекция;
урок-беседа;
киноурок;
урок теоретических или практических самостоятельных работ (исследовательского типа);
урок самостоятельных работ (репродуктивного типа – устных или письменных упражнений);
урок лабораторных работ;
урок практических работ:
урок-экскурсия;
урок-семинар;
дидактическая игра;
анализ ситуаций;
устный опрос;
письменный опрос;
контрольная работа;
зачет.
Приложение 5
Методы обучения
К методам обучения относятся:
Метод монологического изложения (монологический метод).
Метод диалогического изложения (диалогический метод).
Метод эвристической беседы (эвристический метод).
Метод исследовательских заданий (исследовательский метод).
Метод алгоритмических предписаний (алгоритмический метод).
Метод программированных заданий (программированный метод).
Дадим краткое описание этих методов.
При использовании монологического метода преподаватель рассказывает (монолог), сообщая готовые выводы науки, правила, факты, показывает образец действия и дает учащимся задание на заучивание учебного материала и его воспроизведение и т.д. При этом доминирует исполнительная деятельность учащихся: наблюдение, слушание, запоминание и выполнение действий по образцу.
При использовании диалогического метода изложение учебного материала преподаватель ведет в форме сообщающей беседы. При этом проблемная ситуация создается постановкой проблемных вопросов или показом противоречивости фактов, явлений. А учащиеся как бы помогают преподавателю в обосновании гипотезы и ее доказательстве. Но сущность новых понятий объясняется преподавателем.
Эвристический метод характеризуется тем, что изложение учебного материала преподаватель ведет в форме эвристической беседы. А она отличается от сообщающей беседы главным образом постановкой основной проблемы, делением ее на под проблемы и организацией поисковой деятельности учащихся по ее решению.
Эвристическая беседа возможна в виде взаимосвязанных вопросов, влияющих друг на друга, и большая часть которых является небольшими проблемами. Здесь характерно то, что последующие вопросы исходят из предыдущих. Эвристический метод характеризуется возникновением дискуссии, высоким уровнем познавательной активности учащихся. Если используется исследовательский метод преподаватель организует самостоятельную работу учащихся, давая им проблемные познавательные задачи и задания, имеющие практический характер и решаемые учащимися самостоятельно, обычно без помощи преподавателя.
Исследовательский метод характеризуется самым высоким уровнем познавательной самостоятельности учащихся.
Основные признаки алгоритмического метода – это инструктирование учащихся. При этом преподаватель указывает, что следует делать и как делать. Учащиеся обычно пользуются инструкционными картами. Применяется этот метод в основном на лабораторно-практических занятиях и в кружковой работе (моделирование, конструирование и т. д.)
Программированный метод заключается в подготовке учебного материала путем «пошаговой» разбивки его в форме вопросов, задач и заданий (часто с выбором ответов).
Нужно отметить, что метод программированных заданий обусловливает самостоятельную работу учащихся в основном репродуктивного типа.

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи
имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»













РАБОЧАЯ ПРОГРАММа
учебной дисциплины

МАТЕМАТИКА: АЛГЕБРА И НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ГЕОМЕТРИЯ

По специальностям:
13.02.06 Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем
38.02.02 Страховое дело (по отраслям)














Ставрополь, 2016 г.


Разработчик: Чемеркина О.В. - преподаватель государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

Программа учебной дисциплины «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия» предназначена для изучения в учреждениях среднего профессионального образования, реализующих образовательную программу среднего (полного) общего образования для специальностей:
13.02.06 «Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем»
38.02.02 «Страховое дело» (по отраслям)

В программе предусмотрена реализация следующих целей:
формирование представлений о математике как универсальном языке науки;
развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры;
овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения смежных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне и дисциплин профессионального цикла;
воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики.
Основу программы составляет содержание, согласованное с требованиями федерального компонента государственного стандарта среднего (полного) общего образования базового уровня.
В программе учебный материал представлен в форме чередующегося развертывания основных содержательных линий:
алгебраическая линия, включающая систематизацию сведений о числах; изучение новых и обобщение ранее изученных операций (возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование, синус, косинус, тангенс, котангенс и обратные к ним); изучение новых видов числовых выражений и формул; совершенствование практических навыков и вычислительной культуры, расширение и совершенствование алгебраического аппарата, сформированного в основной школе, и его применение к решению математических и прикладных задач;
теоретико-функциональная линия, включающая систематизацию и расширение сведений о функциях, совершенствование графических умений; знакомство с основными идеями и методами математического анализа в объеме, позволяющем исследовать элементарные функции и решать простейшие геометрические, физические и другие прикладные задачи;
линия уравнений и неравенств, основанная на построении и исследовании математических моделей, пересекающаяся с алгебраической и теоретико-функциональной линиями и включающая развитие, и совершенствование техники алгебраических преобразований для решения уравнений, неравенств и систем; формирование способности строить и исследовать простейшие математические модели при решении прикладных задач, задач из смежных и специальных дисциплин;
геометрическая линия, включающая наглядные представления о пространственных фигурах и изучение их свойств, формирование и развитие пространственного воображения, развитие способов геометрических измерений, координатного и векторного методов для решения математических и прикладных задач;
стохастическая линия, основанная на развитии комбинаторных умений, представлений о вероятностно-статистических закономерностях окружающего мира.
Математика является фундаментальной общеобразовательной дисциплиной со сложившимся устойчивым содержанием и общими требованиями к подготовке обучающихся. Реализация общих целей изучения математики традиционно формируется в четырех направлениях – методическое (общее представление об идеях и методах математики), интеллектуальное развитие, утилитарно-прагматическое направление (овладение необходимыми конкретными знаниями и умениями) и воспитательное воздействие.
Изучение математики как профильного учебного предмета обеспечивается:
– выбором различных подходов к введению основных понятий;
– формированием системы учебных заданий, обеспечивающих эффективное осуществление выбранных целевых установок;
– обогащением спектра стилей учебной деятельности за счет согласования с ведущими деятельностными характеристиками выбранной профессии.
Профильная составляющая отражается в требованиях к подготовке обучающихся в части:
– общей системы знаний: содержательные примеры использования математических идей и методов в профессиональной деятельности;
– умений: различие в уровне требований к сложности применяемых алгоритмов;
– практического использования приобретенных знаний и умений: индивидуального учебного опыта в построении математических моделей, выполнении исследовательских и проектных работ.
В программе курсивом выделен материал, который при изучении математики как профильного учебного предмета контролю не подлежит.
В программе разработаны тематическое планирование, условия реализации программы, контроль и оценка результатов освоения дисциплины.
В программе выделены темы исследовательских и практических работ, курсивом выделен материал, который при изучении математики как профильного учебного предмета контролю не подлежит.
Данная программа рассчитана на максимальный объем учебной нагрузки обучающегося 435 часов, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 290 часов.

1.СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Введение
Математика в науке, технике, экономике, информационных технологиях и практической деятельности. Цели и задачи изучения математики в учреждениях среднего профессионального образования.

АЛГЕБРА
Развитие понятия о числе
Целые и рациональные числа. Действительные числа. Приближенные вычисления. Приближенное значение величины и погрешности приближений.
Комплексные числа.

Основы тригонометрии
Радианная мера угла. Вращательное движение. Синус, косинус, тангенс и котангенс числа. Основные тригонометрические тождества, формулы приведения. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов. Синус и косинус двойного угла. Формулы половинного угла. Преобразования суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму. Выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента. Преобразования простейших тригонометрических выражений.
Простейшие тригонометрические уравнения. Решение тригонометрических уравнений. Простейшие тригонометрические и неравенства. Арксинус, арккосинус, арктангенс числа.

Корни, степени и логарифмы
Корни и степени. Корни натуральной степени из числа и их свойства. Степени с рациональными показателями, их свойства. Степени с действительными показателями. Свойства степени с действительным показателем.
Логарифм. Логарифм числа. Основное логарифмическое тождество. Десятичные и натуральные логарифмы. Правила действий с логарифмами. Переход к новому основанию.
Преобразование алгебраических выражений. Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений.

Функции, их свойства и графики
Функции. Область определения и множество значений; график функции, построение графиков функций, заданных различными способами.
Свойства функции: монотонность, четность, нечетность, ограниченность, периодичность. Промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения, точки экстремума. Графическая интерпретация. Примеры функциональных зависимостей в реальных процессах и явлениях.
Обратные функции. Область определения и область значений обратной функции. График обратной функции.
Арифметические операции над функциями. Сложная функция (композиция).

Степенные, показательные, логарифмические и тригонометрические функции
Определения функций, их свойства и графики.
Обратные тригонометрические функции.
Преобразования графиков. Параллельный перенос, симметрия относительно осей координат, и симметрия относительно начала координат, симметрия относительно прямой y = x, растяжение и сжатие вдоль осей координат.

Уравнения и неравенства
Равносильность уравнений, неравенств, систем.
Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические уравнения и системы. Основные приемы их решения (разложение на множители, введение новых неизвестных, подстановка, графический метод).
Рациональные, иррациональные, показательные и тригонометрические неравенства. Основные приемы их решения. Использование свойств и графиков функций при решении уравнений и неравенств. Метод интервалов. Изображение на координатной плоскости множества решений уравнений и неравенств с двумя переменными и их систем.
Применение математических методов для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. Интерпретация результата, учет реальных ограничений.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

Последовательности. Способы задания и свойства числовых последовательностей. Понятие о пределе последовательности. Существование предела монотонной ограниченной последовательности. Суммирование последовательностей. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия и ее сумма.
Понятие о непрерывности функции.
Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции. Производные суммы, разности, произведения, частного. Производные основных элементарных функций. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Производные обратной функции и композиции функции.
Примеры использования производной для нахождения наилучшего решения в прикладных задачах. Вторая производная, ее геометрический и физический смысл. Применение производной к исследованию функций и построению графиков. Нахождение скорости для процесса, заданного формулой и графиком.
Первообразная и интеграл. Применение определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции. Формула Ньютона-Лейбница. Примеры применения интеграла в физике и геометрии.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Элементы комбинаторики
Основные понятия комбинаторики. Задачи на подсчет числа размещений, перестановок, сочетаний. Решение задач на перебор вариантов. Формула бинома Ньютона. Свойства биноминальных коэффициентов. Треугольник Паскаля.

Элементы теории вероятностей
Событие, вероятность события, сложение и умножение вероятностей. Понятие о независимости событий. Дискретная случайная величина, закон ее распределения. Числовые характеристики дискретной случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Элементы математической статистики
Представление данных (таблицы, диаграммы, графики), генеральная совокупность, выборка, среднее арифметическое, медиана. Понятие о задачах математической статистики.
Решение практических задач с применением вероятностных методов.

ГЕОМЕТРИЯ

Прямые и плоскости в пространстве
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Параллельность прямой и плоскости. Параллельность плоскостей. Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонная. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Угол между плоскостями. Перпендикулярность двух плоскостей.
Геометрические преобразования пространства: параллельный перенос, симметрия относительно плоскости.
Параллельное проектирование. Площадь ортогональной проекции. Изображение пространственных фигур.

Многогранники
Вершины, ребра, грани многогранника. Развертка. Многогранные углы. Выпуклые многогранники. Теорема Эйлера.
Призма. Прямая и наклонная призма. Правильная призма. Параллелепипед. Куб.
Пирамида. Правильная пирамида. Усеченная пирамида. Тетраэдр.
Симметрии в кубе, в параллелепипеде, в призме и пирамиде.
Сечения куба, призмы и пирамиды.
Представление о правильных многогранниках (тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр).

Тела и поверхности вращения
Цилиндр и конус. Усеченный конус. Основание, высота, боковая поверхность, образующая, развертка. Осевые сечения и сечения, параллельные основанию.
Шар и сфера, их сечения. Касательная плоскость к сфере.

Измерения в геометрии
Объем и его измерение. Интегральная формула объема.
Формулы объема куба, прямоугольного параллелепипеда, призмы, цилиндра. Формулы объема пирамиды и конуса. Формулы площади поверхностей цилиндра и конуса. Формулы объема шара и площади сферы.
Подобие тел. Отношения площадей поверхностей и объемов подобных тел.

Координаты и векторы
Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками. Уравнения сферы, плоскости и прямой.
Векторы. Модуль вектора. Равенство векторов. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Разложение вектора по направлениям. Угол между двумя векторами. Проекция вектора на ось. Координаты вектора. Скалярное произведение векторов.
Использование координат и векторов при решении математических и прикладных задач.

В программе курсивом выделен материал, который при изучении контролю не подлежит.
 2. ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
Наименование тем
Содержательные линии
Количество часов



теория
практика

Введение


2

Числовые функции
Теоретико-функциональная

6

Тригонометрические функции
Тригонометрические уравнения
Преобразование тригонометрических выражений
Простое гармоническое колебание
Алгебраическая,
теоретико-функциональная,
уравнений и
неравенств. Теоретико-функциональная

52

Начала математического анализа
Функции, непрерывность и пределы
Производная и ее приложения
Теоретико-функциональная

38

Векторы и координаты
Геометрическая, алгебраическая

16

Прямые и плоскости в пространстве
Геометрическая

26

Развитие понятия о числе
Комплексные числа
Алгебраическая

16

Степени и корни
Степенные функции
Алгебраическая,
теоретико-функциональная

16

Показательная и логарифмическая функции
Алгебраическая,
теоретико-функциональная,
уравнений и неравенств

34

Начала математического анализа
Первообразная и интеграл
Теоретико-функциональная

22

Элементы комбинаторики
Элементы теории вероятностей
Элементы математической статистики
Стохастическая

16

Уравнения и неравенства
Системы уравнений
Системы неравенств
Алгебраическая,
теоретико-функциональная,
уравнений и неравенств

20

Многогранники
Тела и поверхности вращения Измерения в геометрии
Геометрическая. Теоретико-функциональная

26

Итого

0
290

ВСЕГО
290


3. ТРЕБОВАНИЯ К РЕЗУЛЬТАТАМ ОБУЧЕНИЯ

В результате изучения учебной дисциплины «Математика» обучающийся должен
знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира.

АЛГЕБРА
уметь:
выполнять арифметические действия над числами, сочетая устные и письменные приемы; находить приближенные значения величин и погрешности вычислений (абсолютная и относительная); сравнивать числовые выражения;
находить значения корня, степени, логарифма, тригонометрических выражений на основе определения, используя при необходимости инструментальные средства; пользоваться приближенной оценкой при практических расчетах;
выполнять преобразования выражений, применяя формулы, связанные со свойствами степеней, логарифмов, тригонометрических функций;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
для практических расчетов по формулам, включая формулы, содержащие степени, радикалы, логарифмы и тригонометрические функции, используя при необходимости справочные материалы и простейшие вычислительные устройства.
Функции и графики
уметь:
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
для описания с помощью функций различных зависимостей, представления их графически, интерпретации графиков.

НАЧАЛА МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
уметь:
находить производные элементарных функций;
использовать производную для изучения свойств функций и построения графиков;
применять производную для проведения приближенных вычислений, решать задачи прикладного характера на нахождение наибольшего и наименьшего значения;
вычислять в простейших случаях площади и объемы с использованием определенного интеграла;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
решения прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, на наибольшие и наименьшие значения, на нахождение скорости и ускорения.

Уравнения и неравенства
уметь:
решать рациональные, показательные, логарифмические, тригонометрические уравнения, сводящиеся к линейным и квадратным, а также аналогичные неравенства и системы;
использовать графический метод решения уравнений и неравенств;
изображать на координатной плоскости решения уравнений, неравенств и систем с двумя неизвестными;
составлять и решать уравнения и неравенства, связывающие неизвестные величины в текстовых (в том числе прикладных) задачах.
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
для построения и исследования простейших математических моделей.

КОМБИНАТОРИКА, СТАТИСТИКА И ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
уметь:
решать простейшие комбинаторные задачи методом перебора, а также с использованием известных формул;
вычислять в простейших случаях вероятности событий на основе подсчета числа исходов;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
для анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков;
анализа информации статистического характера.

ГЕОМЕТРИЯ
уметь:
распознавать на чертежах и моделях пространственные формы; соотносить трехмерные объекты с их описаниями, изображениями;
описывать взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве, аргументировать свои суждения об этом расположении;
анализировать в простейших случаях взаимное расположение объектов в пространстве;
изображать основные многогранники и круглые тела; выполнять чертежи по условиям задач;
строить простейшие сечения куба, призмы, пирамиды;
решать планиметрические и простейшие стереометрические задачи на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов);
использовать при решении стереометрических задач планиметрические факты и методы;
проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни:
для исследования (моделирования) несложных практических ситуаций на основе изученных формул и свойств фигур;
вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.
4. РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Для обучающихся
Основные источники:
Башмаков М.И. Математика. Учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. – 6 изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2012, - 256 с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, – 14 изд., доп. – М.: Академия, 2010. – 400 с.
Мордкович А.Г. Алгебра и начала математического анализа. 10 – 11 классы. В 2 ч. Ч. 2. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (базовый уровень) / А.Г. Мордкович, – 14 изд., доп. – М.: Академия, 2010. – 271 с.


Дополнительная литература:
Погорелов А.В. Геометрия. 10 – 11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и профил. уровни / А.В. Погорелов – М.: Просвещение, 2014. – 175с.
Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. - 5-е изд., стереотип. – ЭБС: Лань, 2014. - 464с.
Нелин Е.П. Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия (базовый и углубленный уровни). 10 класс, учебное пособие для общеобразовательных учреждений, Е.П. Нелин, В.А. Лазарев, – М.: Илекса, 2015. - 312с.
Виленкин Н.Я. Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 10 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. - 312с.
Виленкин Н.Я. Математика, алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа, 11 класс, учебник для учащихся общеобразовательных организаций (углублённый уровень) / Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд. - 18-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2014. - 312с.

Интернет-ресурсы:
www.exponenta.ru - Образовательный математический сайт
www.math24.ru – Математический анализ
teorver-online.narod.ru - ТеорВер-Онлайн интернет учебник по теории вероятностей и математической статистике.
http://mat.1september.ru/ - Журнал Математика.
http://pedsovet.su/ - Сообщество взаимопомощи учителей - Pedsovet.su - интернет-сообщество учителей.









13 PAGE \* MERGEFORMAT 14115




Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 3Заголовок 4Заголовок 5Заголовок 615

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕГРЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
"ставропольский колледж связи
имени Героя Советского Союза В.А. Петрова"













РАБОЧАЯ ПРОГРАММа
учебной дисциплины

МАТЕМАТИКА

13.02.06 Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем

















Ставрополь, 2016 г.
Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее - СПО)
13.02.06 Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем

Организация-разработчик: Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

Разработчик: Чемеркина О.В. - преподаватель высшей категории государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

СОДЕРЖАНИЕ


стр.

ПАСПОРТ рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


4

СТРУКТУРА и содержание УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


5

условия реализации рабочей программы учебной дисциплины

11

Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины

12


1. паспорт рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математика

1.1. Область применения программы
Программа учебной дисциплины является частью программы подготовки специалистов среднего звена в соответствии с ФГОС по специальности СПО (базовой и углублённой подготовки): 13.02.06 Релейная защита и автоматизация электроэнергетических систем.

1.2. Место учебной дисциплины в структуре программы подготовки специалистов среднего звена: Дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный цикл.

1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
значение математики в профессиональной деятельности и при освоении основной профессиональной образовательной программы;
основные понятия и методы линейной алгебры;
основные понятия и методы теории комплексных чисел;
основные понятия и методы математического анализа;
основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики;
основные методы дифференциального исчисления;
основные методы интегрального исчисления;
основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:
максимальной учебной нагрузки обучающегося 144 часа, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 96 часов;
самостоятельной работы обучающегося 48 часов.












2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы
Объем часов

Максимальная учебная нагрузка (всего)
144

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)
96

в том числе:


практические занятия
46

Самостоятельная работа обучающегося (всего)
48

Итоговая аттестация в форме экзамена


2.2. Примерный тематический план и содержание учебной дисциплины «Математика»
Наименование разделов и тем
Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающихся
Объем часов
Уровень освоения

1
2
3
4

Введение

4



1
Содержание дисциплины и ее задачи
2
1


2
Связь с другими дисциплинами




3
Значение дисциплины для подготовки специалистов




Самостоятельная работа студента: реферат «Значение математики в профессиональной деятельности»
2


РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
14


Тема 1.1 Комплексные числа
1
Задачи, приводящие к понятию комплексного числа
2
1


2
Геометрическая интерпретация комплексного числа




3
Модуль и аргумент комплексного числа




4
Три формы комплексного числа




Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Применение комплексных чисел при решении задач по видам профессиональной деятельности»
2


Тема 1.2 Действия над комплексными числами
1
Степени мнимой единицы
2
2


2
Действия над комплексными числами




3
Перевод из одной формы в другую




Практическое занятие № 1. Действия над комплексными числами.
2
2


Практическое занятие № 2. Перевод комплексных чисел из одной формы в другую.
2
2


Практическое занятие № 3. Применение комплексных чисел при решении задач по видам профессиональной деятельности
2
2


Самостоятельная работа студента: решение типовых задач на применение комплексных чисел при изучении общепрофессиональных дисциплин.
2


РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
10


Тема 2.1
Теория пределов
1
Предел последовательности
2
1


2
Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними




3
Предел функции в точке




4
Предел функции на бесконечности




Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Односторонние пределы. Непрерывность функции»
2


Тема 2.2 Замечательные пределы
1
Виды неопределенностей и способы их раскрытия
2
1


2
Первый замечательный предел




3
Второй замечательный предел




Практическое занятие № 4. Вычисление пределов функций
2
2


Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Определение видов разрывов функции»
2


1
2
3
4

РАЗДЕЛ 3. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
20


Тема 3.1 Производная
1
Задачи, приводящие к понятию производной
2
2


2
Формулы и правила дифференцирования




3
Производная сложной функции




Практическое занятие № 5. Вычисление производных сложных и обратных функций
2
2


Самостоятельная работа студента: конспект по теме «Производная неявной функции»
2


Тема 3.2 Приложения производной
1
Геометрические и физические приложения производной
2
1


2
Вторая производная и ее механический смысл




3
Исследование функций и построение графиков




Практическое занятие № 6. Построение графиков гармонических колебаний в задачах по видам профессиональной деятельности.
2
2


Самостоятельная работа студента: решение упражнений по теме «Производные высших порядков»
2


Тема 3.3 Дифференциал функции

1
Понятие дифференциала функции
2
1


2
Инвариантность дифференциала функции




3
Вычисление дифференциала сложной функции




Практическое занятие № 7. Вычисление дифференциала сложной функции
2
2


Практическое занятие № 8. Решение прикладных задач с помощью производной и дифференциала.
2
2


Самостоятельная работа студента: конспект по теме «Приложение дифференциала к приближенным вычислениям»
2


РАЗДЕЛ 4. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
20


Тема 4.1 Неопределенный интеграл
1
Первообразная и неопределенный интеграл
2
1


2
Основные формулы интегрирования




3
Геометрический смысл неопределенного интеграла




Практическое занятие № 9. Вычисление неопределенного интеграла методом непосредственного интегрирования.
2
2


Самостоятельная работа студента: решение прикладных задач на нахождение неопределенного интеграла.
2


Тема 4.2
Методы интегрирования
1
Непосредственное интегрирование
2
2


2
Метод интегрирования заменой переменной




3
Метод интегрирования по частям




Практическое занятие № 10. Вычисление неопределенного интеграла подстановкой и по частям.
2
2


Самостоятельная работа студента: решение упражнений по теме «Интегрирование по частям»
2


1
2
3
4

Тема 4.3 Определенный интеграл
1
Определенный интеграл
2
1


2
Геометрический смысл определенного интеграла




3
Методы интегрирования в определенном интеграле




Практическое занятие № 11. Вычисление определенных интегралов.
2
2


Практическое занятие № 12. Решение прикладных задач с помощью интеграла.
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла»
2


РАЗДЕЛ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
18


Тема 5.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
1
Понятие дифференциального уравнения
2
1


2
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными




3
'°Задача Коши




Практическое занятие № 13. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
2
2


Самостоятельная работа студента: решение задач на составление дифференциальных уравнений
2


Тема 5.2
Линейные дифференциальные уравнения
1
Однородные дифференциальные уравнения
2
2


2
Линейные дифференциальные уравнения




3
Частное и общее решение




Практическое занятие № 14. Решение дифференциальных уравнений методом Бернулли
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Дифференциальные уравнения гармонических колебаний»
2


Тема 5.2 Дифференциальные уравнения второго порядка
1
Дифференциальные уравнения второго порядка
2
1


2
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами




3
Теорема о структуре общего решения




Практическое занятие № 15. Решение дифференциальных уравнений по видам профессиональной деятельности.
2
2


Самостоятельная работа студента: решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2


РАЗДЕЛ 6. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
12


Тема 6.1
Числовые ряды
1
Числовые ряды. Основные понятия
2
1


2
Признаки сходимости рядов




3
Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда




Практическое занятие № 16. Исследование рядов на сходимость по признаку Даламбера
2
2


Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Ряд Маклорена»
2


1
2
3
4

Тема 6.2 Функциональные ряды
1
Степенные ряды
2
1


2
Область сходимости функционального ряда




3
Разложение элементарных функций в степенные ряды




Практическое занятие № 17. Вычисление суммы ряда и исследование сходимости ряда, разложение функции в ряд в области профессиональной деятельности.
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Приложение рядов к приближенным вычислениям»
2


РАЗДЕЛ 7. ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
6


Тема 7.1
Численное интегрирование
1
Метод прямоугольников
2
1


2
Метод трапеций




3
Алгоритм численного интегрирования




Практическое занятие № 18. Вычисление определенных интегралов методом прямоугольников и методом трапеций
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Метод Симпсона»
2


РАЗДЕЛ 8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
26


Тема 8.1
Основные понятия теории вероятностей
1
Испытание и событие
2
2


2
Вероятность и частота




3
Действия над событиями




Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Основные подходы к вычислению вероятности»
2


Тема 8.2
Сложные события
1
Теорема сложения вероятностей
2
1


2
Независимость событий




3
Теорема умножения вероятностей




Практическое занятие № 19. Вычисление вероятностей сложных событий
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Схема Бернулли»
2


Тема 8.3
Случайные величины
1
Дискретные и непрерывные случайные величины
2
1


2
Ряд распределения случайной величины




3
Многоугольник распределения




Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Законы распределения случайных величин»
2


Тема 8.4
Числовые характеристики случайных величин
1
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение
2
1


2
Алгоритм вычисления




3
Свойства математического ожидания и дисперсии




Практическое занятие № 20. Вычисление числовых характеристик случайных величин
2
2


Самостоятельная работа студента: составление ряда распределения случайной величины, заданной содержательным образом
2


1
2
3
4

Тема 8.5 Выборки и выборочные распределения
1
Выборки. Виды выборок
2
1


2
Графическое представление выборок




3
Числовые характеристики выборок




Практическое занятие № 21. Построение для данной выборки ее графических диаграмм. Вычисление числовых характеристик
2
2


Самостоятельная работа студента: доклад по теме «Методы математической статистики»
2


РАЗДЕЛ 9. ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ
14


Тема 9.1 Матрицы и действия над ними
1
Понятие матрицы. Виды матриц
2
1


2
Линейные операции с матрицами




3
Умножение матриц




Самостоятельная работа студента: доклад по теме «Элементарные преобразования матрицы»
2


Тема 9.2 Определители второго и третьего порядка и их вычисление
1
Определители второго и третьего порядка
2
2


2
Вычисление определителей второго порядка




3
Вычисление определителей третьего порядка




Практическое занятие № 22. Операции над матрицами. Нахождение обратной матрицы
2
2

Тема 9.3 Решение систем линейных уравнений
1
Алгоритм решения систем с помощью обратной матрицы
2
2


2
Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера




3
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса




Практическое занятие № 23. Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса
2
2


Самостоятельная работа студента: решение систем линейных уравнений по видам профессиональной деятельности.
2


ВСЕГО
144



3. условия реализации УЧЕБНОЙ дисциплины
3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация программы требует наличие учебного кабинета математики.

Оборудование учебного кабинета:
- посадочные места по количеству обучающихся.
- рабочее место преподавателя,
- печатные демонстрационные пособия.

Технические средства обучения:
- компьютер, лицензионное программное обеспечение;
- мультимедийные средства.

3.2. Информационное обеспечение обучения
Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы
Основные источники:
Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. - 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 304с.

Дополнительная литература:
Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. - 5-е изд., стереотип. – ЭБС: Лань, 2014. - 464с.
Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для СПО / Н. В. Богомолов. 11-е изд., перераб. и доп. М.: Издательство Юрайт, 2015. 495 с.
Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник для студентов среднего профессионального образования/ В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 8 изд., стер. –М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 320с.
Григорьев В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для студентов среднего профессионального образования/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – 3 изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.



Интернет-ресурсы:
www.exponenta.ru - Образовательный математический сайт
www.math24.ru – Математический анализ
teorver-online.narod.ru - ТеорВер-Онлайн интернет учебник по теории вероятностей и математической статистике.










4. Контроль и оценка результатов освоения УЧЕБНОЙ Дисциплины

Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляются преподавателем в процессе проведения практических занятий и тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.

Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)
Формы и методы контроля и оценки
результатов обучения

Освоенные умения:
- решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности;

Усвоенные знания:
- основные понятия и методы
математического анализа, теории
вероятностей и математической
статистики; линейной алгебры; теории комплексных чисел;

- основные методы дифференциального и интегрального исчисления;

- основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности.

- защита практических занятий;
- тестирование;
- самостоятельные работы;

- защита практических занятий;
- самостоятельные работы;


- защита практических занятий;
- тестирование;
- самостоятельные работы;

- защита практических занятий;
- тестирование;
- самостоятельные работы;
- защита практических занятий;
- самостоятельные работы;

- экзамен.




Разработчик:
Преподаватель _________________________ О.В. Чемеркина



























13 PAGE 141215






13 PAGE 14515



Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 3Заголовок 4Заголовок 5Заголовок 6Заголовок 7Заголовок 8Заголовок 915

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕГРЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
"ставропольский колледж связи
имени Героя Советского Союза В.А. Петрова"













РАБОЧАЯ ПРОГРАММа
учебной дисциплины

МАТЕМАТИКА

11.02.11 Сети связи и системы коммутации


















Ставрополь, 2016 г.
Рабочая программа учебной дисциплины разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта (далее – ФГОС) по специальности среднего профессионального образования (далее - СПО)
11.02.11 Сети связи и системы коммутации

Организация-разработчик: Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

Разработчик: Чемеркина О.В. - преподаватель государственного бюджетного профессионального образовательного учреждения «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»

СОДЕРЖАНИЕ


стр.

ПАСПОРТ рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


4

СТРУКТУРА и содержание УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ


5

условия реализации рабочей программы учебной дисциплины

11

Контроль и оценка результатов Освоения учебной дисциплины

12


1. паспорт рабочей ПРОГРАММЫ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
Математика

1.1. Область применения программы
Программа учебной дисциплины является частью программы подготовки специалистов среднего звена в соответствии с ФГОС по специальности СПО (базовой и углублённой подготовки): 11.02.11 Сети связи и системы коммутации.

1.2. Место учебной дисциплины в структуре программы подготовки специалистов среднего звена: Дисциплина входит в математический и общий естественнонаучный цикл.

1.3. Цели и задачи дисциплины – требования к результатам освоения дисциплины:
В результате освоения дисциплины обучающийся должен уметь:
применять методы дифференциального и интегрального исчисления;
решать дифференциальные уравнения.

В результате освоения дисциплины обучающийся должен знать:
основные понятия и методы математического анализа,
основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики;
основные методы дифференциального исчисления;
основные методы интегрального исчисления;
основные численные методы решения математических задач.

1.4. Рекомендуемое количество часов на освоение программы дисциплины:
максимальной учебной нагрузки обучающегося 108 часов, в том числе:
обязательной аудиторной учебной нагрузки обучающегося 72 часа;
самостоятельной работы обучающегося 36 часов.












2. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ

2.1. Объем учебной дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы
Объем часов

Максимальная учебная нагрузка (всего)
108

Обязательная аудиторная учебная нагрузка (всего)
72

в том числе:


практические занятия
26

Самостоятельная работа обучающегося (всего)
36

Итоговая аттестация в форме экзамена


2.2. Примерный тематический план и содержание учебной дисциплины «Математика»
Наименование разделов и тем
Содержание учебного материала, лабораторные и практические работы, самостоятельная работа обучающихся
Объем часов
Уровень освоения

1
2
3
4

Введение

4



1
Содержание дисциплины и ее задачи
2
1


2
Связь с другими дисциплинами




3
Значение дисциплины для подготовки специалистов





Самостоятельная работа студента: реферат «Роль математики в становлении и развитии отрасли связи»
2


РАЗДЕЛ 1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ
8


Тема 1.1 Комплексные числа
1
Задачи, приводящие к понятию комплексного числа
2
1


2
Геометрическая интерпретация комплексного числа




3
Модуль и аргумент комплексного числа




4
Три формы комплексного числа



Тема 1.2 Действия над комплексными числами
1
Степени мнимой единицы
2
2


2
Действия над комплексными числами




3
Перевод из одной формы в другую




Практическое занятие № 1. Действия над комплексными числами. Перевод из одной формы в другую
2
2


Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Применение комплексных чисел в теории электрических цепей»
2


РАЗДЕЛ 2. ОСНОВЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
8


Тема 2.1
Теория пределов
1
Предел последовательности
2
1


2
Бесконечно малые и бесконечно большие величины. Связь между ними




3
Предел функции в точке




4
Предел функции на бесконечности



Тема 2.2 Замечательные пределы
1
Виды неопределенностей и способы их раскрытия
2
1


2
Первый замечательный предел




3
Второй замечательный предел




Практическое занятие № 2. Вычисление пределов функций
2
2


Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Односторонние пределы. Непрерывность функции. Определение видов разрывов функции»
2



1
2
3
4

РАЗДЕЛ 3. ОСНОВЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
16


Тема 3.1 Производная
1
Задачи, приводящие к понятию производной
2
2


2
Формулы и правила дифференцирования




3
Производная сложной функции




Самостоятельная работа студента: конспект по теме «Производная неявной функции»
2


Тема 3.2 Механический смысл производной
1
Геометрические приложения производной
2
1


2
Физическое приложение производной




3
Вторая производная и ее механический смысл




Практическое занятие № 3. Вычисление производных сложных и обратных функций
2
2


Самостоятельная работа студента: решение упражнений по теме «Производные высших порядков»
2


Тема 3.3 Дифференциал функции

1
Понятие дифференциала функции
2
1


2
Инвариантность дифференциала функции




3
Вычисление дифференциала сложной функции




Практическое занятие № 4. Вычисление дифференциала сложной функции
2
2


Самостоятельная работа студента: конспект по теме «Приложение дифференциала к приближенным вычислениям»
2


РАЗДЕЛ 4. ОСНОВЫ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
12


Тема 4.1 Неопределенный интеграл
1
Первообразная и неопределенный интеграл
2
1


2
Основные формулы интегрирования




3
Геометрический смысл неопределенного интеграла



Тема 4.2
Методы интегрирования
1
Непосредственное интегрирование
2
2


2
Метод интегрирования заменой переменной




3
Метод интегрирования по частям




Практическое занятие № 5. Вычисление неопределенного интеграла
2
2


Самостоятельная работа студента: решение упражнений по теме «Интегрирование по частям»
2


Тема 4.3 Определенный интеграл
1
Определенный интеграл
2
1


2
Геометрический смысл определенного интеграла




3
Методы интегрирования в определенном интеграле




Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Геометрические и физические приложения определенного интеграла»
2



1
2
3
4

РАЗДЕЛ 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
16


Тема 5.1 Дифференциальные уравнения первого порядка
1
Понятие дифференциального уравнения
2
1


2
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными




3
Задача Коши




Практическое занятие № 6. Решение дифференциальных уравнений с разделяющимися переменными
2
2


Самостоятельная работа студента: решение задач на составление дифференциальных уравнений
2


Тема 5.2
Линейные дифференциальные уравнения
1
Однородные дифференциальные уравнения
2
2


2
ї°Линейные дифференциальные уравнения




3
Частное и общее решение




Практическое занятие № 7. Решение дифференциальных уравнений методом Бернулли
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Дифференциальные уравнения гармонических колебаний»
2


Тема 5.2 Дифференциальные уравнения второго порядка
1
Дифференциальные уравнения второго порядка
2
1


2
Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами




3
Теорема о структуре общего решения




Самостоятельная работа студента: решение дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами
2


РАЗДЕЛ 6. ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
10


Тема 6.1
Числовые ряды
1
Числовые ряды. Основные понятия
2
1


2
Признаки сходимости рядов




3
Абсолютная и условная сходимость знакопеременного ряда




Практическое занятие № 8. Исследование рядов на сходимость по признаку Даламбера
2
2


Самостоятельная работа студента: сообщение по теме «Ряд Маклорена»
2


Тема 6.2 Функциональные ряды
1
Степенные ряды
2
1


2
Область сходимости функционального ряда




3
Разложение элементарных функций в степенные ряды




Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Приложение рядов к приближенным вычислениям»
2



1
2
3
4

РАЗДЕЛ 7. ОСНОВЫ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ
12


Тема 7.1
Численное интегрирование
1
Метод прямоугольников
2
1


2
Метод трапеций




3
Алгоритм численного интегрирования




Практическое занятие № 9. Вычисление определенных интегралов методом прямоугольников и методом трапеций
2
2


Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Метод Симпсона»
2


Тема 7.2
Численное решение дифференциальных уравнений
1
Численное решение дифференциальных уравнений
2
1


2
Метод Эйлера




3
Алгоритм решения




Практическое занятие № 10. Численное решение дифференциальных уравнений методом Эйлера
2
2

РАЗДЕЛ 8. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ



Тема 8.1
Основные понятия теории вероятностей
1
Испытание и событие
2
2


2
Вероятность и частота




3
Действия над событиями




Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Основные подходы к вычислению вероятности»
2


Тема 8.2
Сложные события
1
Теорема сложения вероятностей
2
1


2
Независимость событий




3
Теорема умножения вероятностей




4
Схема Бернулли




Практическое занятие № 11. Вычисление вероятностей сложных событий
2
2

Тема 8.3
Случайные величины
1
Дискретные и непрерывные случайные величины
2
1


2
Ряд распределения случайной величины




3
Многоугольник распределения




Самостоятельная работа студента: реферат по теме «Законы распределения случайных величин»
2








1
2
3
4

Тема 8.4
Числовые характеристики случайных величин
1
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение
2
1


2
Алгоритм вычисления




3
Свойства математического ожидания и дисперсии




Практическое занятие № 12. Вычисление числовых характеристик случайных величин
2
2


Самостоятельная работа студента: составление ряда распределения случайной величины, заданной содержательным образом
2


Тема 8.5 Выборки и выборочные распределения
1
Выборки. Виды выборок
2
1


2
Графическое представление выборок




3
Числовые характеристики выборок




Практическое занятие № 13. Построение для данной выборки ее графических диаграмм. Вычисление числовых характеристик
2
2


Самостоятельная работа студента: доклад по теме «Методы математической статистики»
2


ВСЕГО
108







3. условия реализации УЧЕБНОЙ дисциплины
3.1. Требования к минимальному материально-техническому обеспечению

Реализация программы требует наличие учебного кабинета математики.

Оборудование учебного кабинета:
- посадочные места по количеству обучающихся.
- рабочее место преподавателя,
- печатные демонстрационные пособия.

Технические средства обучения:
- компьютер, лицензионное программное обеспечение;
- мультимедийные средства.

3.2. Информационное обеспечение обучения
Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы
Основные источники:
Пехлецкий И.Д. Математика: учебник для студ. образоват. учреждений сред. проф. образования / И.Д. Пехлецкий. - 10-е изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. - 304с.

Дополнительная литература:
Лисичкин В.Т. Математика в задачах с решениями: учебное пособие / В.Т. Лисичкин, И.Л. Соловейчик. - 5-е изд., стереотип. – ЭБС: Лань, 2014. - 464с.
Богомолов, Н. В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для СПО / Н. В. Богомолов. 11-е изд., перераб. и доп. М.: Издательство Юрайт, 2015. 495 с.
Григорьев В.П. Элементы высшей математики: учебник для студентов среднего профессионального образования/ В.П. Григорьев, Ю.А. Дубинский. – 8 изд., стер. –М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 320с.
Григорьев В.П. Сборник задач по высшей математике: учебное пособие для студентов среднего профессионального образования/ В.П. Григорьев, Т.Н. Сабурова. – 3 изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2013. – 160 с.



Интернет-ресурсы:
www.exponenta.ru - Образовательный математический сайт
www.math24.ru – Математический анализ
teorver-online.narod.ru - ТеорВер-Онлайн интернет учебник по теории вероятностей и математической статистике.










4. Контроль и оценка результатов освоения УЧЕБНОЙ Дисциплины

Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляются преподавателем в процессе проведения практических занятий и тестирования, а также выполнения обучающимися индивидуальных заданий, проектов, исследований.

Результаты обучения
(освоенные умения, усвоенные знания)
Формы и методы контроля и оценки
результатов обучения

Освоенные умения:
- применять методы
дифференциального и интегрального
исчисления;

- решать дифференциальные
уравнения;

Усвоенные знания:
- основные понятия и методы
математического анализа, теории
вероятности и математической
статистики;

- основные методы дифференциального и интегрального исчисления;

- основные численные методы
решения математических задач

- защита практических занятий;
- тестирование;
- самостоятельные работы;

- защита практических занятий;
- самостоятельные работы;


- защита практических занятий;
- тестирование;
- самостоятельные работы;


- защита практических занятий;
- тестирование;
- самостоятельные работы;
- защита практических занятий;
- самостоятельные работы;

- экзамен.




Разработчик:
Преподаватель _________________________ О.В. Чемеркина



























13 PAGE 141215






13 PAGE 14515



Заголовок 1Заголовок 2Заголовок 3Заголовок 4Заголовок 5Заголовок 6Заголовок 7Заголовок 8Заголовок 915

МИНИСТЕРСТВО ЭНЕРГЕТИКИ, ПРОМЫШЛЕННОСТИ И СВЯЗИ
СТАВРОПОЛЬСКОГО КРАЯ
Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение
«Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А.Петрова»



Цикловая комиссия математики и информатики




Комплект контрольно-оценочных средств
по учебной дисциплине


МАТЕМАТИКА

программы подготовки специалистов среднего звена
по специальности СПО:
специальность 080114 «Экономика и бухгалтерский учет»




















Разработчик: Чемеркина О.В.







Ставрополь, 2016
Комплект контрольно-оценочных средств разработан на основе Федерального государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по специальности СПО 080114 «Экономика и бухгалтерский учет», программы учебной дисциплины «Математика»


Разработчик: Чемеркина О.В. - преподаватель государственного бюджетного образовательного учреждения среднего профессионального образования «Ставропольский колледж связи имени Героя Советского Союза В.А. Петрова»





СОДЕРЖАНИЕ

Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств 4
2. Оценка освоения учебной дисциплины ....7
2.1. Формы и методы оценивания..7
2.2. Типовые задания для оценки освоения учебной дисциплины.9
3. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине....................................................................................................................................15
Приложение. Задания для оценки освоения дисциплины....



Паспорт комплекта контрольно-оценочных средств
В результате освоения учебной дисциплины Математика обучающийся должен обладать предусмотренными ФГОС по специальности СПО 080114 Экономика и бухгалтерский учет следующими
умениями:
У1 - решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.
знаниями:
З1 - значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
З2 - основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
З3 - основные понятия и методы математического анализа;
З4 - основные понятия и методы дискретной математики;
З5 - основные понятия и методы линейной алгебры;
З6 -основные понятия и методы теории комплексных чисел;
З7 - основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики;
З8 -основные методы дифференциального исчисления;
З9 - основные методы интегрального исчисления.
общими компетенциями:
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.
ОК 5. Владеть информационной культурой, анализировать и оценивать информацию с использованием информационно-коммуникационных технологий.
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации.

Формой аттестации по учебной дисциплине является экзамен.



2. Результаты освоения учебной дисциплины, подлежащие проверке
2.1. В результате аттестации по учебной дисциплине осуществляется комплексная проверка следующих умений и знаний, а также динамика формирования общих компетенций:
Таблица 1.1
Результаты обучения: умения, знания и общие компетенции
Показатели оценки результата

Форма контроля и оценивания

1
2
3

Уметь:



У1-уметь решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации;
- использование алгоритма решения квадратного уравнения с отрицательным дискриминантом;
- умение решать системы линейных уравнений;
- умение выполнять операции над множествами; - использование формул интегрирования и дифференцирования;
- использование алгоритмов вычисления вероятностей сложных событий.

- защита практических занятий;

- выполнение индивидуальных заданий;
- самостоятельные работы;

- тестирование;

Знать:



З1- значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития;
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации;
- скорость и техничность выполнения всех видов вычислительных работ;
- использование новых технологий при подготовке выступлений;
- соблюдение требований к логичному и последовательному выполнению заданий.

- выполнение индивидуальных заданий;

З2 - основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
- знание формулировки задач, приводящих к понятию комплексного числа;
- знание формулировки задач, приводящих к понятию производной;
- соблюдение алгоритма вычисления классической и статистической вероятности.
- выполнение индивидуальных заданий;

З3 - основные понятия и методы математического анализа;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 4. Осуществлять поиск и использование информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач, профессионального и личностного развития
- использование понятия одностороннего предела при исследовании функции на непрерывность и классификации разрывов;
- правильность выбора методов математического анализа при вычислении пределов.
- защита практических занятий;
- выполнение индивидуальных заданий;
- контрольная работа;


1
2
3

З4 - основные понятия и методы дискретной математики;
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
- соблюдение правил действия над множествами.

- выполнение индивидуальных заданий;
- тестирование;

З5 - основные понятия и методы линейной алгебры;
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития, заниматься самообразованием, осознанно планировать повышение квалификации;
- использование понятий линейной алгебры;
- соблюдение последовательности действий при решении систем линейных уравнений
- правильность выполнения действий с матрицами.
- защита практических занятий;


З6 -основные понятия и методы теории комплексных чисел;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
- соблюдение правил перехода из одной формы комплексного числа в другую;
- правильность выполнения действий с комплексными числами.
- защита практических занятий;
- выполнение индивидуальных заданий;


З7 - основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
- использование понятий классической и статистической вероятности;
- правильность выбора алгоритма решения вероятностных и статистических задач.
- защита практических занятий;
- выполнение индивидуальных заданий;


З8 -основные методы дифференциального исчисления;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
- правильность составления математических моделей простейших систем и процессов в экономике;
- использование формул дифференцирования;
- соблюдение правил вычисления производной;
- защита практических занятий;
- выполнение индивидуальных заданий;
- контрольная работа;

З9 - основные методы интегрального исчисления;
ОК 2. Организовывать собственную деятельность, выбирать типовые методы и способы выполнения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество
ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии в профессиональной деятельности;
- правильность составления математических моделей простейших систем и процессов в экономике;
- использование формул интегрирования;
- соблюдение правил вычисления неопределенного и определенного интеграла;
- защита практических занятий;
- выполнение индивидуальных заданий;




2. Оценка освоения учебной дисциплины
2.1. Формы и методы оценивания
Предметом оценки служат умения и знания, предусмотренные ФГОС по дисциплине Математика, направленные на формирование общих и профессиональных компетенций.
Оценка освоения дисциплины Математика включает текущий контроль успеваемости и итоговую аттестацию в виде экзамена. Проведение текущего контроля успеваемости осуществляется в форме устного опроса, письменного задания, практических занятий, контрольных работ. Для этих целей формируются фонды оценочных средств, включающие типовые задания, контрольные работы, тесты и методы контроля, позволяющие оценить знания, умения и уровень приобретенных компетенций.
Контроль и оценка освоения учебной дисциплины по темам (разделам)
Таблица 2.2
Элемент учебной дисциплины
Формы и методы контроля


Контроль в ходе изучения дисциплины
Промежуточная аттестация


Форма контроля
Проверяемые ОК, У, З
Форма контроля
Проверяемые ОК, У, З

Тема 1. Основы теории комплексных чисел
Устный опрос
Защита практического занятия № 1

У1; З1; З2; З6
ОК2; ОК4; ОК5; ОК8
Экзамен
У 1; З1; З2; З6; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8

Тема 2. Элементы линейной алгебры
Письменный опрос
Защита практического занятия № 2-4
Устный опрос
У1; З1; З2; З5; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8
Экзамен
У 1; З1; З2; З5; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8

Тема 3. Основы теории вероятностей и математической статистики
Устный опрос
Защита практических занятий № 5-7
Самостоятельная работа
У1; З1; З2; З3; З7; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8
Экзамен
У 1; З1; З2; З3; З7; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8

Тема 4. Введение в анализ
Устный опрос
Письменный опрос
Защита практических занятий № 8-12
Самостоятельная работа
У 1; З1; З2; З3; З8; З9; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8
Экзамен
У 1; З1; З2; З3; З8; З9; ОК2; ОК4; ОК5; ОК8

Тема 5. Основы дискретной математики
Письменный опрос

У1; З1; З2; З4; ОК4; ОК5



Тема 6. Основы теории графов
Устный опрос

У1; З1; З2; З4; ОК4; ОК5



2.2. Типовые задания для оценки освоения учебной дисциплины
Типовые задания для оценки знаний (З1, З2, З3, З4, З5, З6, З7, З8, З9, умений У1) для текущей аттестации
Примеры видов заданий:
Устный опрос
Верно ли данное утверждение: (У1; З7)
1. Суммой двух случайных событий называют появление обоих этих случайных событий в одном испытании? -
2.Необходимое условие случайного события – его редкость? -
3. Произведением двух случайных событий называют появление обоих этих случайных событий в одном испытании? +
4. Несовместные случайные события всегда противоположны? -
5. Если P (A) = 1, то A =
·? +
6. Дисперсия числа
· равна нулю? +
7. Выборка – это подмножество генеральной совокупности? +
8. P(
·)
· 1? +
9. Дисперсия всегда положительна? +
10. Частота безразмерна? +
11. Противоположные случайные события всегда несовместны? +
12. Математическое ожидание всегда положительно? –
13. Математическое ожидание числа
· равно нулю? –
14. В формуле 13 EMBED Equation.3 1415 n – это число испытаний? –
15. Дисперсия случайной величины может быть отрицательной? –
16. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины? +
17. Математическое ожидание случайной величины – это величина неслучайная? +
18. Вероятность события – величина постоянная? +
19. Частота появления события меняется от опыта к опыту? +
20. Если при трех подбрасываниях монеты герб выпал дважды, то можно утверждать, что частота появления события А – при подбрасывании монеты выпал герб равна 2/3? –

КРИТЕРИИ ОЦЕНОК:
Устный опрос оценивается по пятибалльной системе. При оценке выполнения задания:
- 5 баллов выставляется в том случае, если определения, понятия, теоремы и свойства сформулированы точно и грамотно, приведена грамотная математическая запись формул, пояснены обозначения и их смысл, приведены примеры (идеальный ответ);
- 4 балла выставляется, если определения, понятия, теоремы и свойства сформулированы точно и грамотно, приведена грамотная математическая запись формул, пояснены обозначения и их смысл, допускается один, два недочета или негрубая ошибка;
- 3 балла выставляется, если даны верные ответы на две трети вопросов, или ответ содержит грубые ошибки;
- 2 балла выставляется во всех остальных случаях.

2) Практическое занятие
Пример Практического занятия № 1 (У1; З1; З2; З6)
Тема: Три формы комплексного числа и действия в них
Цель занятия - усвоение правил действия над комплексными числами.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Задание 1
Найти модуль комплексного числа z = 8 - 6i.
Решение:
Комплексное число z = 8 - 6i имеет модуль, равный 10, т.к. а = 8, b = - 6, тогда
r = 13 EMBED Equation.3 1415 = 10
Задание 2
Найти аргумент комплексного числа Z = 1 - i13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
Аргумент комплексного числа числа z = a + bi можно находить так:
а) найти острый угол 13 EMBED Equation.3 1415 = arctg 13 EMBED Equation.3 1415
б) Найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в каком координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу: в I четверти 13 EMBED Equation.3 1415, во II четверти 13 EMBED Equation.3 1415, в III четверти 13 EMBED Equation.3 1415, в IV четверти 13 EMBED Equation.3 1415.
Находим угол 13 EMBED Equation.3 1415 arctg 13 EMBED Equation.3 1415 = arctg13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 /3. Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в IV координатной четверти, поэтому аргумент комплексного числа равен 13 EMBED Equation.3 1415.
Аргументы действительных и чисто мнимых чисел надо находить непосредственно, исходя из их геометрической интерпретации, а не используя приведенное выше правило (тем более, что для чисто мнимых чисел это правило вообще нельзя применять).
Задание 3
Записать число z = - 13 EMBED Equation.3 1415- i в тригонометрической форме.
Решение:
Находим модуль r =13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=2.
Находим угол 13 EMBED Equation.3 1415arctg13 EMBED Equation.3 1415= arctg 13 EMBED Equation.3 1415= arctg13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415. Вектор, соответствующий данному комплексному числу, лежит в III координатной четверти, поэтому 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415.
Для того чтобы перейти от тригонометрической формы записи комплексного числа z = r (cos13 EMBED Equation.3 1415 к алгебраической, достаточно найти действительные числа a и b по формулам
a = r cos13 EMBED Equation.3 1415.
Задание 4
Записать число z = 2 (cos 3300 + i sin 3300 ) в алгебраической форме.
Решение: Сначала найдем cos 3300 и sin 3300:
cos 3300 = cos ( 3600 - 300 ) = cos 300 =13 EMBED Equation.3 1415; sin 3300 = sin (3600 - 300 ) = - sin 300 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда a = 2
· (13 EMBED Equation.3 1415) = 13 EMBED Equation.3 1415, b = 2
· (13 EMBED Equation.3 1415) = - 1 .
Следовательно, z = 2 (cos 3300 + isin 3300 ) =13 EMBED Equation.3 1415
Задание 5
Представить число 13 EMBED Equation.3 1415в алгебраической форме.
Решение: По условию, r = 4, 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 6
Выполнить действие и записать ответ в тригонометрической и показательной формах.
13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Сначала выполним действие: 13 EMBED Equation.3 1415
Теперь запишем число в тригонометрической и показательной форме, для чего найдём его модуль и аргумент:
13 EMBED Equation.3 1415 Тогда 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 7
Даны комплексные числа z1 = 13 EMBED Equation.3 1415 и z2 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Найти их произведение z1 z2 и частное z1/z2. Ответ записать в алгебраической форме.
Решение. Применяя правила умножения и деления комплексных чисел, имеем
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание 8
Вычислить z = 13 EMBED Equation.3 1415
Решение Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задание 1 Найдите модуль и аргумент комплексного числа.
1.1 Z = 1 - i 1.3 Z = -13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Задание 2 Представьте в алгебраической и показательной форме комплексное число.
2.1 Z = 3 (cos 0 + i sin 0) 2.6 Z = 13 EMBED Equation.3 1415(cos (-13 EMBED Equation.3 1415/2) + i sin (-13 EMBED Equation.3 1415/2))
2.–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415 + i sin 13 EMBED Equation.3 1415 2.10 Z = 5 (cos ( 13 EMBED Equation.3 1415) + i sin (13 EMBED Equation.3 1415))

Задание 3 Представьте в тригонометрической и алгебраической формах число.
3.1. 3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·Задание 4 Представьте в тригонометрической и показательной форме число.
4.1. Z = -1 - i13 EMBED Equation.3 1415 4.3. Z = 3 - i13 EMBED Equation.3 1415 4.5. Z = -1 + i13 EMBED Equation.3 1415 4.7. Z = 2 + 2 13 EMBED Equation.3 1415i
4.2. Z = 5 + 5 i 4.4. Z = - 2 – 2 i 4.6. Z = -4 + 4 i 4.8. Z = - 3 13 EMBED Equation.3 1415- i
4.9. Z = 13 EMBED Equation.3 1415- i 4.10. Z = - 213 EMBED Equation.3 1415+ 2 i

Задание 5. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме.
1.1 13 EMBED Equation.3 1415 1.2 13 EMBED Equation.3 1415 1.3 13 EMBED Equation.3 1415 1.4 13 EMBED Equation.3 1415 1.5 13 EMBED Equation.3 1415
1.6 13 EMBED Equation.3 1415 1.7 13 EMBED Equation.3 1415 1.8 13 EMBED Equation.3 1415 1.9 13 EMBED Equation.3 1415 1.10 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 6. Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и результат изобразить геометрически.
2.1 13 EMBED Equation.3 1415 2.2 13 EMBED Equation.3 1415 2.3 13 EMBED Equation.3 1415 2.4 13 EMBED Equation.3 1415
2.5 13 EMBED Equation.3 1415 2.6 13 EMBED Equation.3 1415 2.7 13 EMBED Equation.3 1415 2.8 13 EMBED Equation.3 1415
2.9 13 EMBED Equation.3 1415 2.10 13 EMBED Equation.3 1415

Задание 7. Произвести действие и результат представить в алгебраической форме.
3.1 13 EMBED Equation.3 1415 3.2 13 EMBED Equation.3 1415
3.3 13 EMBED Equation.3 1415 3.4 13 EMBED Equation.3 1415
3.5 13 EMBED Equation.3 1415 3.6 13 EMBED Equation.3 1415
3.7 13 EMBED Equation.3 1415 3.8 13 EMBED Equation.3 1415
3.9 13 EMBED Equation.3 1415 3.10 13 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З6)
1) Дать определение модуля комплексного числа
2) Как вычислить аргумент комплексного числа?
3) Перечислить три формы комплексного числа?
4) Как выполнить действия в алгебраической форме?
5) Записать формулы для выполнения действий в тригонометрической форме.
6) Записать формулы для выполнения действий в показательной форме.
7) Как перевести комплексное число из алгебраической формы?
8) Как перевести комплексное число в алгебраическую форму?
9) Как изображаются комплексные числа?

КРИТЕРИИ ОЦЕНОК:
Практическая работа оценивается по пятибалльной системе.
При оценке выполнения практического задания учитывается решение задач и ответы на контрольные вопросы:
- 5 баллов выставляется в том случае, если правильно решены все задачи (приведена верная последовательность всех шагов решения, все преобразования и вычисления выполнены верно и получен верный ответ (идеальное решение)) и даны полные ответы на все контрольные вопросы;
- 4 балла в том случае, если правильно решены все задачи (приведена верная последовательность всех шагов решения, все преобразования и вычисления выполнены верно; допускается один, два недочета или негрубая ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения; в результате этой описки/ошибки может быть получен неверный ответ) и даны ответы контрольные вопросы;
- 3 балла выставляется, если решено две трети объема практической работы (общая идея и приведенный способ решения верные, но не были выполнены некоторые промежуточные этапы решения, или решение не было завершено) и даны ответы по крайней мере на половину контрольных вопросов;
- 2 балла выставляется, если решено половина объема практической работы (общая идея и приведенный способ решения верные, но не были выполнены этапы решения, или в решении содержится грубая ошибка);
- 1 балл выставляется, если выполнено треть объема практической работы, включая контрольные вопросы.

3) Самостоятельная работа по теме «Вычисление интегралов»
Задание
1. Найти определенные интегралы (У 1; З1; З2; З9)
2. Составить пары: номер примера – номер правильного ответа.
Номера примеров 1 варианта 1, 6, 9, 13, 14
Номера примеров 2 варианта 3, 7, 8, 11, 16
113 EMBED Equation.
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·КРИТЕРИИ ОЦЕНОК:
Самостоятельная работа оценивается по пятибалльной системе.
- 5 баллов выставляется в том случае, если правильно решены все задачи (приведена верная последовательность всех шагов решения, все преобразования и вычисления выполнены верно и получен верный ответ (идеальное решение));
- 4 балла в том случае, если правильно решены все задачи (приведена верная последовательность всех шагов решения, все преобразования и вычисления выполнены верно; допускается один, два недочета или негрубая ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения; в результате этой описки/ошибки может быть получен неверный ответ);
- 3 балла выставляется, если решено две трети объема самостоятельной работы (общая идея и приведенный способ решения верные, но не были выполнены некоторые промежуточные этапы решения, или решение не было завершено);
- 2 балла выставляется, если решено половина объема самостоятельной работы (общая идея и приведенный способ решения верные, но не были выполнены этапы решения, или в решении содержится грубая ошибка);
- 1 балл выставляется, если выполнено треть объема работы.

4) Письменный опрос (время выполнения – 30 минут, объем ответа - 1,5 стр.)
(У 1; З1; З2; З3)
1 вариант
Дать понятие предела функции в точке.
В чем заключается связь между непрерывностью и дифференцируемостью?
2 вариант
Записать основные свойства пределов.
Как раскрыть неопределенность
· /
·?
3 вариант
Сформулировать теоремы о пределах.
В чем заключается связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами?
4 вариант
Дать понятие предела функции на бесконечности.
Как раскрыть неопределенность 0/0?

КРИТЕРИИ ОЦЕНОК:
Письменный опрос оценивается по пятибалльной системе.
При оценке выполнения теоретического задания:
- 5 баллов выставляется в том случае, если тема раскрыта полностью: все определения, понятия, теоремы и свойства сформулированы точно и грамотно, приведена грамотная математическая запись формул, пояснены обозначения и их смысл, приведены примеры и доказательство одного положения из темы (идеальный ответ);
- 4 балла выставляется, если все определения, понятия, теоремы и свойства сформулированы точно и грамотно, приведена грамотная математическая запись формул, пояснены обозначения и их смысл, допускается один, два недочета или негрубая ошибка;
- 3 балла выставляется, если общая идея темы раскрыта, но не были сформулированы некоторые важные положения темы, или ответ содержит грубые ошибки;
- 2 балла выставляется во всех остальных случаях.

3. Контрольно-оценочные материалы для промежуточной аттестации по учебной дисциплине Математика.
Предметом оценки являются умения и знания. Контроль и оценка осуществляются с использованием следующих форм и методов: решение упражнений, ответы на теоретические вопросы, решение задач.
I. ПАСПОРТ
Назначение:
КОМ предназначен для контроля и оценки результатов освоения учебной дисциплины Математика по специальности СПО 080114 Экономика и бухгалтерский учет следующими
умениями:
У1 - решать прикладные задачи в области профессиональной деятельности.
знаниями:
З1 - значение математики в профессиональной деятельности и при освоении профессиональной образовательной программы;
З2 - основные математические методы решения прикладных задач в области профессиональной деятельности;
З3 - основные понятия и методы математического анализа;
З5 - основные понятия и методы линейной алгебры;
З6 - основные понятия и методы теории комплексных чисел;
З7 - основные понятия и методы теории вероятности и математической статистики;
З8 - основные методы дифференциального исчисления;
З9 - основные методы интегрального исчисления.

II. ЗАДАНИЕ ДЛЯ ЭКЗАМЕНУЮЩЕГОСЯ
Инструкция для обучающихся
1. Внимательно прочитайте задание.
2. Выполните практическое задание.
3. Подготовьте ответ на теоретический вопрос.
Время выполнения задания – 30 минут

Пример экзаменационного билета № 1

1. Задачи, приводящие к понятию комплексного числа. Основные понятия и определения.
(У1; З1; З2; З6)

2. Найти пределы функций: (У1; З1; З3)
а)13 EMBED Equation.3 1415, б)13 EMBED Equation.3 1415, в)13 EMBED Equation.3 1415

3. В урне 7 черных и 4 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 3 белых шара; б) хотя бы один белый шар.
(У1; З1; З7)

Теоретические вопросы
1. Задачи, приводящие к понятию комплексного числа. Основные понятия и определения.
(У1; З1; З2; З6)
2. Изображение комплексного числа. Три формы комплексного числа. (У1; З1; З2; З6)
3. Понятие о модуле и аргументе комплексного числа. (У1; З1; З2; З6)
4. Перевод комплексных чисел из одной формы в другую. (У1; З1; З2; З6)
5. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия в ней. (У1; З1; З2; З6)
6. Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Действия.
(У1; З1; З2; З6)
7. Предел функции в точке. Свойства пределов. Теоремы о пределах. (У1; З1; З3)
8. Предел функции на бесконечности. Бесконечно малые и бесконечно большие величины и их свойства. (У1; З1; З3)
9.1-й и 2-й замечательные пределы. Виды неопределенностей и способы их раскрытия.
(У1; З1; З3)
10. Задачи, приводящие к понятию производной. (У1; З1; З8)
11. Общее правило нахождения производной. Частное значение производной. (У1; З1; З8)
12. Понятие случайной величины. Закон распределения случайной величины. (У1; З1; З7)
13. Определение первообразной функции. Неоднозначность ее нахождения. (У1; З1; З8, З9)
14. Неопределенный интеграл и его свойства. Основные формулы интегрирования.
(У1; З1; З9)
15. Методы интегрирования в неопределенном интеграле. (У1; З1; З9)
16. Определенный интеграл и его свойства. (У1; З1; З9)
17. Геометрический смысл определенного интеграла. (У1; З1; З9)
18. Методы интегрирования в определенном интеграле. (У1; З1; З9)
19. Предмет теории вероятностей. Основные понятия и определения. (У1; З1; З7)
20. Определители и их свойства. (У1; З1; З5)
21. Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера (У1; З1; З5)
22. Исследование решений систем линейных уравнений. (У1; З1; З5)
23. Непрерывность функции. Свойства непрерывных функций. (У1; З1; З3)
24. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение. (У1; З1; З7)
25. Предмет теории вероятностей. Основные понятия и определения. (У1; З1; З7)
26. Основные понятия комбинаторики. (У1; З1; З7)
27. Матрицы и действия над ними. (У1; З1; З5)
28. Операции над событиями. Теоремы сложения и умножения вероятностей. (У1; З1; З7)
29.Формулы и правила дифференцирования. Вторая производная и ее механический смысл.
(У1; З1; З8)
30. Математическое ожидание и его свойства. (У1; З1; З7)
31. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва. (У1; З1; З3)
32. Вероятность события и относительная частота. Геометрический подход к вычислению
вероятности. (У1; З1; З7)

Практические задания
1. Составить уравнение кривой, проходящей через точку А (-1;4), если известно, что угловой коэффициент касательной в каждой ее точке равен 13EMBED Equation.31415. (У1; З1; З9)
2. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415в) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найти пределы функций: (У1; З1; З3)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Найти математическое ожидание и дисперсию по свойствам числовых характеристик, если М(Х) = 0,2, D(Х) = 3,2, М(Y) = 0,1, D(Y) = 1,1 для случайных величин Z = 7Х + 5 и
U = 2Х – 8Y. (У1; З1; З7)
5. Найти интеграл: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1;З9)
6. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415в) 13 EMBED Equation.3 1415
7. Найти пределы функций: (У1; З1; З3)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
8. В урне 7 черных и 4 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шара. Найти вероятность того, что среди них имеется меньше чем 3 белых шара. (У1; З1; З7)
9. Решить систему уравнений по формулам Крамера 13EMBED Equation.31415 (У1; З1;З5)
10. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
11. Найти интеграл: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
(У1; З1; З9)
12. В группе 7 отличников и 9 хорошистов. На конференцию из них наудачу выбирают 5 человек. Чему равна вероятность того, что:
1) будут выбраны только отличники; 2) выбраны только хорошисты? (У1; З1; З7)
13. Найдите модуль и аргумент комплексного числа а) Z = -13 EMBED Equation.3 1415 - i, б) Z = 13 EMBED Equation.3 1415 - 13 EMBED Equation.3 1415i
(У1; З1; З2; З6)
14. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
15. Решите уравнения: a) 13EMBED Equation.31415, b) 13EMBED Equation.31415 (У1; З1; З6)
16. Вычислить определенный интеграл а)13 EMBED Equation.3 1415, б)13 EMBED Equation.3 1415(У1; З1; З9)
17. Найдите модуль и аргумент комплексного числа а) Z = -213 EMBED Equation.3 1415+ 2 i, б) Z = 2 + 213 EMBED Equation.3 1415. (У1; З1; З2; З6)
18. Решить систему уравнений по формулам Крамера 13EMBED Equation.31415 (У1; З1;З5)
19. Решите уравнения: a)13EMBED Equation.31415, b)13EMBED Equation.31415 (У1; З1;З6)
20. Вычислить определенный интеграл а) 13 EMBED Equation.3 1415, б)13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1; З9)
21. Представьте в тригонометрической и показательной форме число:
а) Z = 3 - i13 EMBED Equation.3 1415, б) Z = - 1 + i13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1; З2; З6)
22. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить её график
f (x) = 13EMBED Equation.31415(У1; З1;З3)
23. Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и результат изобразить геометрически 13 EMBED Equation.3 1415. (У1; З1; З2; З6)
24. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
25. Представьте в тригонометрической и показательной форме число:
а) Z = 2 + 2 13 EMBED Equation.3 1415i, б) Z = - 2 – 2 i (У1; З1; З2; З6)
26. Исследовать данную функцию f (x) = 21/ (x - 3) + 1 на непрерывность в точках x1 = 3, x2 = 4.
(У1; З1; З3)
27. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415.
(У1; З1; З2; З6)
28. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
29. Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и результат изобразить геометрически: 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1; З2; З6)
30. Найти: а) 2A – B, б) AB – BA, если 13EMBED Equation.31415, 13EMBED Equation.31415. (У1; З1; З5)
31. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415.
(У1; З1; З2; З6)
32. Найти пределы функций:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1;З3)
33. Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и результат изобразить геометрически: 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1; З2; З6)
34. Вычислить определитель: а) 13EMBED Equation.31415, б)13EMBED Equation.31415 (У1; З1 ;З5)
35. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415.
(У1; З1; З2; З6)
36. Найти пределы функций: (У1; З1; З3)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
37. Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и результат изобразить геометрически: 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1; З2; З6)
38. Исследовать данную функцию на непрерывность и построить её график (У1; З1; З3)
f (x) = 13EMBED Equation.31415
39. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415.
(У1; З1; З2; З6)
40. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X, заданной законом распределения:
xk
-5
3
7

pk
0.3
0.1
0.6




Построить многоугольники распределения и отметить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение. (У1; З1; З7)
41. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
42. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках
f (x) = (x + 6) / (x - 5); x1 = 5, x2 (У1; З1;З3)
43. Извлеките корень:13EMBED Equation.31415. (У1; З1; З2; З6)
44. Найти интеграл:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1;З9)
45. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
46. Исследовать данную функцию на непрерывность в указанных точках
f (x) = 71/ (x - 3) - 1; x1 = 3, x2 = 4. (У1; З1; З3)
47. Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме 13 EMBED Equation.3 1415.
(У1; З1; З2; З6)
48. Найти интеграл:
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1;З9)
49. Найти производные функций: (У1; З1; З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
50. Вычислить определенный интеграл: а)13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415. (У1; З1; З9)
51. Извлеките корень:13EMBED Equation.31415. (У1; З1; З2; З6)
52. Найти интеграл: а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415 (У1; З1; З9)
53. Найти производные функций: (У1; З1;З8)
а) 13 EMBED Equation.3 1415, б) 13 EMBED Equation.3 1415, в) 13 EMBED Equation.3 1415
54. Решить систему уравнений по формулам Крамера 13EMBED Equation.31415 (У1; З1; З5)
55. Исследовать данную функцию f (x) = 111/ (x - 6) - 1 на непрерывность в х точках x1 = 6,
x2 = 2 (У1; З1; З3)
56. Число опечаток на одной странице в каждой из двух книг имеет соответственно закон распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2
3

13 EMBED Equation.3 1415
0.82
0.08
0.03
0.07


13 EMBED Equation.3 1415
0
1
2
3

13 EMBED Equation.3 1415
0.81
0.09
0.06
0.04

а) Какая из книг набрана качественнее?
б) Найдите среднее число опечаток на 20 страницах первой книги.
в) Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонения числа опечаток на одной странице в каждой из 2х книг. (У1; З1; З7)
57. Вычислить определитель: а) 13EMBED Equation.31415, б)13EMBED Equation.31415 (У1; З1; З5)
58. Исследовать данную функцию f (x) = 141/ (x - 3) - 5 на непрерывность в х точках x1 = 4, x2 = 3 (У1; З1; З3)
59. Решить систему уравнений по формулам Крамера 13EMBED Equation.31415 (У1; З1; З5)
60. Число условных единиц прибыли за месяц для каждого из двух предприятий имеем соответственно закон распределения:
13 EMBED Equation.3 1415
1
2
3

13 EMBED Equation.3 1415
0.5
0.3
0.2


13 EMBED Equation.3 1415
1
2
3

13 EMBED Equation.3 1415
0.6
0.3
0.1

а) Какому из предприятий вы отдали бы предпочтение?
б) Найдите среднее число условных единиц прибыли за полугодие для первого предприятия.
в) Найдите дисперсию числа условных единиц прибыли для 2 х предприятий за месяц
(У1; З1; З3, З7)
61. Извлеките корень:13EMBED Equation.31415. (У1; З1; З2; З6)
62. Найти произведение матриц: а) 13EMBED Equation.31415, б)13EMBED Equation.31415 (У1; З1; З5)
63. Найти пределы функций: (У1; З1; З3)
а)13 EMBED Equation.3 1415, б)13 EMBED Equation.3 1415, в)13 EMBED Equation.3 1415
64. В урне 7 черных и 4 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется: а) 3 белых шара; б) хотя бы один белый шар.
(У1; З1; З7)

III. ПАКЕТ ЭКЗАМЕНАТОРА
III а. УСЛОВИЯ
Группа делится на 3 подгруппы по 10 человек. Время на решение упражнений 30 минут. Время опроса по билетам 50 минут на каждую подгруппу.
Представлено 32 варианта билетов для экзаменующегося.
Время выполнения задания (решение упражнений и устный ответ) – 1 час 20 минут.
Оборудование: кабинет математики, основные формулы и правила дифференциально-интегрального исчисления, калькулятор.
Оценочный лист
Ф.И.О.
Студента
Теоретическое задание
Практическое задание
Дополнительные вопросы
Итоговая оценка



1
2

























Экзаменационная ведомость составляется согласно положению о промежуточной аттестации студентов ГБОУ СПО «СКС».

IIIб. КРИТЕРИИ ОЦЕНОК:
При оценке выполнения теоретического задания:
- 5 баллов выставляется в том случае, если тема раскрыта полностью: все определения, понятия, теоремы и свойства сформулированы точно и грамотно, приведена грамотная математическая запись формул, пояснены обозначения и их смысл, приведены примеры и доказательство одного положения из темы (идеальный ответ);
- 4 балла выставляется, если все определения, понятия, теоремы и свойства сформулированы точно и грамотно, приведена грамотная математическая запись формул, пояснены обозначения и их смысл, допускается один, два недочета или негрубая ошибка;
- 3 балла выставляется, если общая идея темы раскрыта, но не были сформулированы некоторые важные положения темы, или ответ содержит грубые ошибки;
- 0 баллов выставляется во всех остальных случаях.
При оценке выполнения практического задания:
- 5 баллов выставляется в том случае, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все преобразования и вычисления выполнены верно и получен верный ответ (идеальный ответ);
- 4 балла в том случае, если приведена верная последовательность всех шагов решения, все преобразования и вычисления выполнены верно; допускается один, два недочета или негрубая ошибка, не влияющая на правильность дальнейшего хода решения; в результате этой описки/ошибки может быть получен неверный ответ;
- 3 балла выставляется, если общая идея и приведенный способ решения верные, но не были выполнены некоторые промежуточные этапы решения, или решение не было завершено;
- 2 балла выставляется, если общая идея и приведенный способ решения верные, но не были выполнены этапы решения, или в решении содержится грубая ошибка;
- 0 баллов выставляется во всех остальных случаях.
При выставлении итоговой оценки за экзамен:
«отлично» выставляется в том случае, если экзаменующийся набрал 14-15 баллов за ответы на теоретические и практические задания.
«хорошо» выставляется в том случае, если экзаменующийся набрал 11 баллов.
«удовлетворительно» выставляется в том случае, если экзаменующийся набрал 7-10 баллов.
«не удовлетворительно» выставляется в том случае, если экзаменующийся набрал менее 7 баллов.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Задания для оценки освоения дисциплины
Раздел 1. Основы теории комплексных чисел

1) Устный опрос по карточкам у доски по теме «Основные понятия комплексного числа»
Карточка № 1 (У1; З1; З2; З6)
1. Задачи, приводящие к понятию комплексного числа.
2. Решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Карточка № 2 (У1; З1; З2; З6)
1. Изображение комплексного числа.
2. Понятие о модуле и аргументе комплексного числа.
Карточка № 3 (У1; З1; З2; З6)
1. Три формы комплексного числа.
2. Действия над комплексными числами в алгебраической форме.

2) Практическое занятие № 1 (У1; З1; З2; З6)
Тема: Три формы комплексного числа и действия в них
Цель занятия - усвоение правил действия над комплексными числами.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.

Задание № 1 Найдите модуль и аргумент комплексного числа.
1.1 Z = 1 - i 1.3 Z = -13 EMBED Equation.3
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 2 Представьте в алгебраической и показательной форме комплексное число.
2.1 Z = 3 (cos 0 + i sin0) 2.6 Z =13 EMBED Equation.3 1415(cos (-13 EMBED Equation.3 1415/2) + i sin (-13 EMBED Equation.3 1415/2))
2.2 Z =13 EMBED Equation.3 1415(cos (13 EMBED Equation.3 1415/2) + i sin (13 EMBED Equation.3 1415/2)) 2.7 Z =13 EMBED Equation.3 1415(cos (13 EMBED Equation.3 1415/6) + i sin (13 EMBED Equation.3 1415/6)
2.3 Z = 2 (cos (13 EMBED Equation.3 1415/4) + i sin (13 EMBED Equation.3 1415/4)) 2.8 Z = 6 (cos 1800 + i sin 1800 )
2.4 Z = 4 (cos (-13 EMBED Equation.3 1415/3) + i sin (-13 EMBED Equation.3 1415/3)) 2.9 Z = cos 450 + i sin 450
2.5 Z = cos13 EMBED Equation.3 1415 + i sin 13 EMBED Equation.3 1415 2.10 Z = 5 (cos (13 EMBED Equation.3 1415) + i sin (13 EMBED Equation.3 1415))

Задание № 3 Представьте в тригонометрической и алгебраической формах число.
3.1. 3 e13 EMBED Equation.3 1415 3.3. e13 EMBED Equation.3 1415 3.5. 2e13 EMBED Equation.3 1415 3.7. 13 EMBED Equation.3 1415e13 EMBED Equation.3 1415 3.9. 5 e13 EMBED Equation.3 1415
3.2. 4 e13 EMBED Equation.3 1415 3.4. e13 EMBED Equation.3 1415 3.6. 5e13 EMBED Equation.3 1415 3.8. 3 e13 EMBED Equation.3 1415 3.10. 4 e13 EMBED Equation.3 1415

Задание № 4 Представьте в тригонометрической и показательной форме число.
4.1. Z = -1 - i13 EMBED Equation.3 1415 4.3. Z = 3 - i13 EMBED Equation.3 1415 4.5. Z = - 1 + i13 EMBED Equation.3 1415 4.7. Z = 2 + 2 13 EMBED Equation.3 1415i
4.2. Z = 5 + 5 i 4.4. Z = - 2 – 2 i 4.6. Z = - 4 + 4 i 4.8. Z = - 3 13 EMBED Equation.3 1415- i
4.9. Z = 13 EMBED Equation.3 1415- i 4.10. Z = - 213 EMBED Equation.3 1415+ 2 i

Задание № 5 Произвести действие и результат представить в тригонометрической форме.
1.1 13 EMBED Equation.3 1415 1.2 13 EMBED Equation.3 1415 1.3 13 EMBED Equation.3 1415 1.4 13 EMBED Equation.3 1415 1.5 13 EMBED Equation.3 1415
1.6 13 EMBED Equation.3 1415 1.7 13 EMBED Equation.3 1415 1.8 13 EMBED Equation.3 1415 1.9 13 EMBED Equation.3 1415 1.10 13 EMBED Equation.3 1415

Задание № 6 Выполнить действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме и результат изобразить геометрически.
2.1 13 EMBED Equation.3 1415 2.2 13 EMBED Equation.3 1415 2.3 13 EMBED Equation.3 1415 2.4 13 EMBED Equation.3 1415
2.5 13 EMBED Equation.3 1415 2.6 13 EMBED Equation.3 1415 2.7 13 EMBED Equation.3 1415 2.8 13 EMBED Equation.3 1415
2.9 13 EMBED Equation.3 1415 2.10 13 EMBED Equation.3 1415

Задание № 7 Произвести действие и результат представить в алгебраической форме.
3.1 13 EMBED Equation.3 1415 3.2 13 EMBED Equation.3 1415
3.3 13 EMBED Equation.3 1415 3.4 13 EMBED Equation.3 1415
3.5 13 EMBED Equation.3 1415 3.6 13 EMBED Equation.3 1415
3.7 13 EMBED Equation.3 1415 3.8 13 EMBED Equation.3 1415
3.9 13 EMBED Equation.3 1415 3.10 13 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З6)
1) Дать определение модуля комплексного числа
2) Как вычислить аргумент комплексного числа?
3) Перечислить три формы комплексного числа?
4) Как выполнить действия в алгебраической форме?
5) Записать формулы для выполнения действий в тригонометрической форме.
6) Записать формулы для выполнения действий в показательной форме.
7) Как перевести комплексное число из алгебраической формы?
8) Как перевести комплексное число в алгебраическую форму?
9) Как изображаются комплексные числа?

Раздел 2. Элементы линейной алгебры
1) Практическое занятие № 2 (У1; З1; З2; З5)
Тема: Вычисление определителей второго и третьего порядка
Цель занятия - проверить знание свойств определителей 2 и 3 порядков, правила вычисления определителей, вычислительные навыки.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задание № 1
1.Вычислить определители второго порядка:
1. 1
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 2
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 3
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 4
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 5
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 6
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 7
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 8
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 9
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415
1. 10
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415 в) 13 EMBED Equation.3 1415

Задание № 2
Вычислить определители третьего порядка, а) разложив определитель по элементам 1-й строки, б) разложив его по элементам 1-го столбца:
2.113 EMBED Equation.3 1415 2.213 EMBED Equation.3 1415 2.313 EMBED Equation.3 1415 2.413 EMBED Equation.3 1415
2.513 EMBED Equation.3 1415 2.613 EMBED Equation.3 1415 2.713 EMBED Equation.3 1415 2.813 EMBED Equation.3 1415 2.913 EMBED Equation.3 1415 2.1013 EMBED Equation.3 1415

Задание № 3
Решить уравнение:
3.1 13 EMBED Equation.3 1415 3.2 13 EMBED Equation.3 1415

3.313 EMBED Equation.3 1415 3.4 13 EMBED Equation.3 1415

3.513 EMBED Equation.3 1415 3.6 13 EMBED Equation.3 1415

3.713 EMBED Equation.3 1415 3.8 13 EMBED Equation.3 1415

3.913 EMBED Equation.3 1415 3.10 13 EMBED Equation.3 1415

Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З5)
Что называется определителем матрицы?
Какие способы вычисления определителя третьего порядка вам известны?
Перечислите свойства определителей.
Как разложить определитель по элементам столбца или строки?
2) Письменный опрос по теме «Определители второго и третьего порядка и их свойства» (У1; З1; З2; З5)
Вариант № 1
1. Определитель третьего порядка. Основные понятия.
2. Как изменится определитель, если два столбца поменять местами? Ответ обосновать.
Вариант № 2
1. Определитель второго порядка. Основные понятия.
2. Доказать, что определитель не изменится, если строки и столбцы поменять местами.
Вариант № 3
1. Вычисление определителя разложением по элементам строки.
2. Как изменится определитель, если две строки поменять местами? Ответ обосновать.
Вариант № 4
1. Вычисление определителя разложением по элементам столбца.
2. Перечислить свойства определителя второго порядка. Одно доказать.

3) Практическое занятие № 3 (У1; З1; З2; З5)
Тема: Линейные операции над матрицами. Произведение матриц
Цель занятия - проверить знания операций над матрицами, умения выполнять действия с матрицами.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задание № 1
Найти 13EMBED Equation.31415 если 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415
Значения m и n взять из таблицы
вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2

n
9
8
7
6
5
4
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9

вариант
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

m
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8
7
6
5
4
3
2

n
8
7
6
5
4
3
2
3
4
5
6
7
8
9
10
9
8


Задание № 2
Найти AB – BA, где
2.1 13 EMBED Equation.3 1415 2.2 13 EMBED Equation.3 1415
2.3 13 EMBED Equation.3 1415 2.4 13 EMBED Equation.3 1415
2.5 13 EMBED Equation.3 1415 2.6 13 EMBED Equation.3 1415
2.7 13 EMBED Equation.3 1415 2.8 13 EMBED Equation.3 1415
2.9 13 EMBED Equation.3 1415 2.1013 EMBED Equation.3 1415

Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З5)
1.Что называется матрицей?
2.Какие матрицы называются равными?
3.Что называется главной диагональю матрицы?
4.Какая матрица называется диагональной?
5.Что называется суммой матриц?
6.В чем состоит обязательное условие существования произведения матриц?

4) Устный опрос по теме «Решение систем линейных уравнений» (У1; З1; З2; З5)
1. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными методом сложения
а) 13EMBED Equation.31415 Ответ: (1, -2), б) 13EMBED Equation.31415 Ответ: (2, 2)
2. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными способом подстановки

13EMBED Equation.31415 Ответ: (4, 1),
3. Решить систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными графически

а) 13EMBED Equation.31415 Ответ: (3, 0),
б) 13EMBED Equation.31415Ответ: бесчисленное множество решений,
в) 13EMBED Equation.31415 Ответ: нет решения

5) Практическое занятие № 4 (У1; З1; З2; З5)
Тема: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса
Цель занятия - усвоение алгоритмов решения систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.

Задание № 1
Решить систему линейных неоднородных алгебраических уравнений.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 2. Решить систему линейных уравнений тремя способами:
1) по формуле Крамера; 2) методом Гаусса
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З5)
1. Как составить главный определитель ( для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными?
2. Как составить определители (x , (y , (z , для решения системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными?
3. В каком случае система имеет единственное решение?
4. Как по значению определителей выяснить число решений системы?
5. В чем заключается алгоритм решения системы методом Гаусса?
Раздел 3. Основы теории вероятностей и математической статистики
1) Практическое занятие № 5 (У1; З1; З2; З7)
Тема: Вычисление вероятностей событий по классической формуле определения вероятности
Цель занятия - усвоение правила вычисления вероятности по классической формуле.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задача № 1
В группе N отличников и M хорошистов. На конференцию из них наудачу выбирают K человек. Чему равна вероятность того, что:
1) будут выбраны только отличники; 2) выбраны только хорошисты;
3) выбран ровно один отличник?
Значения параметров по вариантам.
Вариант
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

N
2
3
4
5
3
2
5
4
2
3
6
4
5
3
3
2
2

М
7
8
9
9
7
10
4
8
11
3
7
10
5
6
5
9
11

К
3
4
4
3
4
4
3
5
3
3
5
4
5
5
4
5
3


Вариант
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

N
3
4
5
3
2
5
4
2
3
6
4
5
3
3
2
4
7

М
10
6
5
6
11
8
5
7
4
6
9
9
5
7
8
5
6

К
2
2
3
4
2
5
3
5
4
3
6
5
5
4
5
4
4

Задача № 2
Устройство состоит из трех независимых элементов, работающих в течение времени Т безотказно соответственно с вероятностями p1, p2 и p3. Найти вероятность того, что за время Т выйдет из строя: а) только один элемент; б) хотя бы один элемент.
Значения параметров вычислить по вариантам:
вариант
p1
p2
p3

вариант
p1
p2
p3

1
0,861
0,761
0,711

18
0,969
0,869
0,819

2
0,871
0,771
0,721

19
0,959
0,859
0,809

3
0,881
0,781
0,731

20
0,949
0,849
0,799

4
0,891
0,791
0,741

21
0,939
0,839
0,789

5
0,901
0,801
0,751

22
0,929
0,829
0,779

6
0,911
0,811
0,761

23
0,919
0,819
0,769

7
0,921
0,821
0,771

24
0,909
0,809
0,759

8
0,931
0,831
0,781

25
0,899
0,799
0,749

9
0,941
0,841
0,791

26
0,889
0,789
0,739

10
0,951
0,851
0,801

27
0,879
0,779
0,729

11
0,961
0,861
0,811

28
0,869
0,769
0,719

12
0,971
0,871
0,821

29
0,859
0,759
0,709

13
0,981
0,881
0,831

30
0,849
0,749
0,699

14
0,991
0,891
0,841

31
0,839
0,739
0,689

15
0,999
0,899
0,849

32
0,829
0,729
0,679

16
0,989
0,889
0,839

33
0,819
0,719
0,669

17
0,979
0,879
0,829

34
0,809
0,709
0,659

Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З7)
1. Дать определение вероятности.
2. Перечислить виды событий и привести примеры.
3. Записать формулу классического определения вероятности и пояснить входящие в формулу обозначения
4. В каких пределах может изменяться вероятность?
5. Дать определение суммы событий и привести примеры.
6. Сформулировать теорему сложения вероятностей и записать формулу.
7. Какие события называются совместными? Привести примеры совместных и несовместных событий.
8. Дать определение произведения событий и привести примеры.
9. Сформулировать теорему умножения вероятностей и записать формулу.
10. Дать понятие независимых событий и привести примеры.

2) Практическое занятие № 6 (У1; З1; З2; З7)
Тема: Вычисление характеристик ДСВ; вычисление (с помощью свойств) характеристик функций от ДСВ
Цель занятия - усвоение правил вычисления математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического ожидания.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.




Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задача № 1
Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение для случайной величины, заданной своим законом распределения:
xi
x1
x2
x3
x4

pi
p1
p2
p3
p4


yi
y1
y2
y3

pi
p1
p2
p3





а) для случайной величины. X; б) для случайной величины У.
Построить многоугольники распределения случайных величин X и У.
Отметить на них математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение.
Задача № 2
Используя результаты предыдущей задачи, найти математическое ожидание и дисперсию Z и U, если:
а) Z = AX + B; б) U = CX + DY;
Значения параметров А, В, С и D взять в соответствии с номером варианта.
№
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17

A
2
3
4
2
3
3
4
4
2
3
2
2
4
2
2
5
4

B
3
2
2
3
4
4
3
3
4
2
4
4
2
4
4
3
3

C
2
2
3
4
2
3
2
3
4
3
3
4
3
2
3
2
2

D
4
3
4
2
3
2
3
2
3
3
4
2
3
3
2
4
4


№
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34

A
2
3
4
6
5
2
3
2
5
6
4
2
5
3
2
6
4

B
4
5
2
5
3
3
2
4
2
4
2
2
2
4
3
2
5

C
3
2
3
4
4
5
2
5
4
3
5
3
3
5
3
5
2

D
5
4
5
3
2
3
5
3
3
2
3
5
4
6
6
4
3


Задания по вариантам:
Вариант 1 (а)
xi
-1
0
1
2

pi
0.1
0.2
0.4
0.3

Вариант 2 (а)
xi
2
3
5
7

pi
0.2
0.1
0.1
0.6

Вариант 3(а)
xi
-1
2
4
6

pi
0.2
0.1
0.3
0.4

Вариант 4(а)
xi
-1
0
3
5

pi
0.3
0.1
0.1
0.5

Вариант 5 (а)
xi
-2
1
2
3

pi
0.2
0.3
0.1
0.4

Вариант 6 (а)
xi
-2
-1
0
4

pi
0.01
0.5
0.19
0.3

Вариант 7(а)
xi
-2
0
1
3

pi
0.4
0.2
0.1
0.3

Вариант 8 (а)
xi
2
3
4
6

pi
0.2
0.4
0.1
0.3

Вариант 9(а)
xi
-3
-2
-1
0

pi
0.1
0.2
0.3
0.4

Вариант 10 (а)
xi
-3
-2
0
3

pi
0.2
0.1
0.2
0.5

Вариант 11 (а)
xi
-3
-1
0
1

pi
0.5
0.1
0.3
0.1

Вариант 12(а)
xi
2
4
5
7

pi
0.3
0.2
0.1
0.4

Вариант 13 (а)
xi
-1
4
2
5

pi
0.2
0.3
0.1
0.4

Вариант 14(а)
xi
2
4
5
7

pi
0.1
0.2
0.4
0.3

Вариант 15 (а)
xi
1
2
3
5

pi
0.2
0.5
0.1
0.2

Вариант 16(а)
xi
-1
1
2
4

pi
0.1
0.1
0.3
0.5

Вариант 17(а)
xi
-2
0
1
3

pi
0.6
0.1
0.1
0.2





Вариант 18(а)
xi
-3
-2
1
2

pi
0.1
0.3
0.5
0.1

Вариант 19 (а)
xi
1
3
4
6

pi
0.1
0.5
0.1
0.3

Вариант 20(а)
xi
-2
2
3
4

pi
0.1
0.2
0.2
0.5

Вариант 21(а)
xi
-3
-1
0
1

pi
0.2
0.1
0.2
0.5

Вариант 22 (а)
xi
2
3
4
6

pi
0.2
0.2
0.3
0.3

Вариант 23(а)
xi
1
2
4
5

pi
0.3
0.2
0.2
0.3

Вариант 24 (а)
xi
-2
-1
0
1

pi
0.3
0.2
0.3
0.2

Вариант 25 (а)
xi
-1
0
3
5

pi
0.2
0.1
0.3
0.4

Вариант 26 (а)
xi
-3
-2
1
3

pi
0.1
0.2
0.2
0.5

Вариант 27 (а)
xi
-2
1
3
5

pi
0.3
0.2
0.4
0.1

Вариант 28 (а)
xi
2
4
5
7

pi
0.1
0.3
0.2
0.4

Вариант 29(а)
xi
-3
0
2
3

pi
0.3
0.1
0.1
0.5

Вариант 30(а)
xi
-2
1
2
4

pi
0.1
0.3
0.1
0.5

Вариант 31 (а)
xi
1
3
4
6

pi
0.5
0.2
0.1
0.2

Вариант 32 (а)
xi
-1
1
2
5

pi
0.2
0.3
0.1
0.4

Вариант 33 (а)
xi
2
3
4
6

pi
0.1
0.1
0.3
0.5

Вариант 34 (а)
xi
1
2
3
5

pi
0.1
0.2
0.5
0.2

Вариант 1(б)
yi
1
2
4

pi
0.3
0.5
0.2

Вариант 2 (б)
yi
-1
0
1

pi
0.3
0.1
0.6

Вариант 3 (б)
yi
2
3
5

pi
0.2
0.3
0.5

Вариант 4 (б)
yi
-1
1
4

pi
0.5
0.1
0.4

Вариант 5 (б)
yi
-1
0
1

pi
0.6
0.1
0.3

Вариант 6 (б)
yi
-1
2
4

pi
0.5
0.1
0.4

Вариант 7 (б)
yi
-1
3
4

pi
0.5
0.3
0.2

Вариант 8 (б)
yi
-2
-1
2

pi
0.5
0.2
0.3

Вариант 9 (б)
yi
1
3
5

pi
0.2
0.5
0.3

Вариант 10 (б)
yi
2
3
6

pi
0.4
0.3
0.3

Вариант 11 (б)
yi
1
3
5

pi
0.3
0.1
0.6

Вариант 12 (б)
yi
-1
1
2

pi
0.3
0.3
0.4

Вариант 13 (б)
yi
-1
2
4

pi
0.7
0.1
0.2

Вариант 14 (б)
yi
1
2
3

pi
0.3
0.5
0.2

Вариант 15 (б)
yi
-1
1
3

pi
0.6
0.3
0.1

Вариант 16 (б)
yi
1
2
4

pi
0.3
0.5
0.2

Вариант 17 (б)
yi
1
3
5

pi
0.2
0.4
0.4





Вариант 18 (б)
yi
-1
1
2

pi
0.3
0.5
0.2

Вариант 19 (б)
yi
2
4
6

pi
0.3
0.5
0.2

Вариант 20 (б)
yi
-1
1
3

pi
0.3
0.4
0.3

Вариант 21 (б)
yi
1
3
6

pi
0.5
0.4
0.1

Вариант 22 (б)
yi
-1
2
3

pi
0.1
0.5
0.4

Вариант 23 (б)
yi
-1
0
1

pi
0.5
0.1
0.4

Вариант 24 (б)
yi
1
2
4

pi
0.3
0.4
0.3

Вариант 25 (б)
yi
2
3
6

pi
0.3
0.1
0.6

Вариант 26 (б)
yi
-1
1
2

pi
0.3
0.2
0.5

Вариант 27 (б)
yi
1
3
6

pi
0.3
0.4
0.3

Вариант 28 (б)
yi
-1
1
2

pi
0.3
0.2
0.5

Вариант 29 (б)
yi
1
3
4

pi
0.2
0.2
0.6

Вариант 30 (б)
yi
-1
1
2

pi
0.3
0.3
0.4

Вариант 31 (б)
yi
-1
0
3

pi
0.4
0.4
0.2

Вариант 32 (б)
yi
1
2
4

pi
0.3
0.3
0.4

Вариант 33 (б)
yi
1
2
3

pi
0.3
0.2
0.5

Вариант 34 (б)
yi
1
2
4

pi
0.1
0.3
0.6

 Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З7)
1. Записать формулы для вычисления математического ожидания.
2. Записать формулу для вычисления дисперсии.
3. Перечислить свойства математического ожидания.
4. Перечислить свойства дисперсии.
5. Как вычислить среднее квадратическое отклонение?
5. В чем сущность математического ожидания и дисперсии?
6. Как построить многоугольник распределения случайной величины?
7. Как отметить математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение графически?

3) Самостоятельная работа по теме «Случайные события»
Ответьте на вопросы теста:
Вопросы
1. Какие из предложенных событий являются совместными?
Возможные варианты ответов
а) Опыт - бросания монеты.
События: А - выпала цифра;
В-выпал герб;
в) Опыт - бросание игральной кости.
События: А - выпадение единицы;
В - выпадение тройки;
С-выпадение четного числа очков;
с) Опыт-бросание двух монет.
События: А - хотя бы одна из монет выпадет герб;
В - на обеих монетах выпадет герб;
d) Опыт - два выстрела по мишени.
События: А - есть хотя бы одно попадание;
В - ни одного попадания
2. Какие из предложенных событий являются несовместимые?
а) Опыт - бросание монеты.
События:
А - хотя бы на одной монете выпал герб;
В - на обеих монетах выпал герб;
в) Опыт – два выстрела по мишени.
События: А – хотя бы одно попадание;
В – ни одного попадания;
с) Опыт-бросание игрального кубика.
События: А – выпадение шестерки;
В – выпадение четного числа очков;
d) Опыт – сдача экзамена.
События: А – получение оценки «3» на экзамене;
В – получение оценки ниже оценки «5»

4) Устный опрос по теме «Основные понятия теории вероятностей и математической статистики»

Верно ли данное утверждение: (У1; З7)
1. Суммой двух случайных событий называют появление обоих этих случайных событий в одном испытании? -
2.Необходимое условие случайного события – его редкость? -
3. Произведением двух случайных событий называют появление обоих этих случайных событий в одном испытании? +
4. Несовместные случайные события всегда противоположны? -
5. Если P (A) = 1, то A =
·? +
6. Дисперсия числа
· равна нулю? +
7. Выборка – это подмножество генеральной совокупности? +
8. P(
·)
· 1? +
9. Дисперсия всегда положительна? +
10. Частота безразмерна? +
11. Противоположные случайные события всегда несовместны? +
12. Математическое ожидание всегда положительно? –
13. Математическое ожидание числа
· равно нулю? –
14. В формуле 13 EMBED Equation.3 1415 n – это число испытаний? –
15. Дисперсия случайной величины может быть отрицательной? –
16. Математическое ожидание – это среднее значение случайной величины? +
17. Математическое ожидание случайной величины – это величина неслучайная? +
18. Вероятность события – величина постоянная? +
19. Частота появления события меняется от опыта к опыту? +
20. Если при трех подбрасываниях монеты герб выпал дважды, то можно утверждать, что частота появления события А – при подбрасывании монеты выпал герб равна 2/3? –

5) Практическое занятие № 7 (У1; З1; З2; З6)

Тема: Построение для заданной выборки ее графической диаграммы; расчёт по заданной выборке её числовых характеристик
Цель занятия - усвоение правил построения графических диаграмм, расчета числовых характеристик выборок.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задача.
Дана выборка (протокол наблюдений), где N – объем выборки.
Начало первого интервала:0. Длина интервала:1
По выборке
– составить вариационный ряд;
– построить графики вариационного ряда (полигон и гистограмму);
– вычислить относительные частоты (частости) и накопленные частости;
– построить кумуляту частот;
– вычислить числовые характеристики вариационного ряда:
– среднее арифметическое 13 EMBED Equation.3 1415;
– дисперсию 13 EMBED Equation.3 1415; стандартное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415;
Задания по вариантам:

Выборка А1 N = 69
0
4
2
0
5
1
1
3
0
2
2
4
3
2
3
3
0
4
5
1

3
1
5
2
0
2
2
3
2
2
2
6
2
1
3
1
3
1
5
4

5
5
3
2
2
0
2
1
1
3
2
3
5
3
5
2
5
2
1
1

2
3
4
3
2
3
2
4
2












Выборка А2 N = 66
3
7
4
6
1
4
2
4
6
5
3
2
9
0
5
6
7
7
3
1

5
5
4
2
6
2
1
5
3
3
1
5
6
4
4
3
4
1
5
5

3
4
3
7
4
5
6
7
5
2
4
6
6
7
7
3
5
4
4
3

5
5
7
6
6
1















Выборка А3 N = 82
0
0
2
0
1
3
0
1
0
1
2
1
3
0
0
2
1
3
2
2

1
3
3
2
0
2
4
3
2
1
2
2
2
2
3
3
1
1
1
3

2
1
0
1
2
1
4
4
2
3
3
5
5
2
1
2
3
2
3
1

1
0
1
0
4
1
1
0
2
2
4
2
1
4
3
0
2
0
2
0

3
1



















Выборка А4 N = 70
3
3
1
0
0
3
3
5
3
0
0
4
1
5
1
6
5
4
7
4

5
3
3
0
2
3
1
4
1
2
4
3
4
5
4
0
5
6
6
3

5
4
1
3
3
6
3
1
1
5
2
3
5
3
3
4
1
5
6
1

3
3
3
5
6
1
2
1
3
4











Выборка А5 N = 81
0
2
5
1
0
8
6
0
6
0
3
5
0
1
8
7
6
0
7
7


3
3
6
5
4
5
6
4
4
5
5
5
6
4
7
7
7
7
5
6


2
3
3
5
5
4
4
6
5
5
4
6
4
5
6
7
1
1
2
2


3
6
6
4
4
4
5
5
6
2
2
2
1
3
4
4
2
3
6
4
0

Выборка А6 N = 73
4
1
0
7
6
3
7
8
7
4
7
8
7
3
9
3
1
5
10
10

6
5
7
6
3
8
4
3
8
4
6
8
7
8
7
7
7
4
11
10

6
7
4
4
0
5
4
4
8
5
5
7
3
8
5
6
6
6
10
10

3
5
7
8
5
7
9
8
2
3
6
9
11








Выборка А7 N = 64
2
2
1
3
4
2
1
1
3
3
4
3
2
4
2
1
4
3
1
4

0
4
2
3
4
3
7
1
3
3
3
4
3
2
1
2
3
3
1
5

3
0
2
1
2
3
0
0
3
6
2
4
3
4
2
4
1
2
0
3

1
0
0
2

















Выборка А8 N = 80
8
4
4
7
5
5
5
3
2
3
6
7
6
6
7
7
6
10
10
10

7
6
8
7
7
9
1
3
4
7
4
4
5
4
9
6
5
10
10
11

9
5
6
5
6
4
7
2
5
7
6
7
3
8
8
7
4
11
10
10

7
5
7
6
6
5
6
6
6
5
8
1
9
1
4
5
6
8
4
8

Выборка А9 N = 79
2
1
2
3
1
1
0
2
2
4
3
3
0
3
0
3
2
3
1
2

2
3
0
2
3
0
2
3
3
4
4
1
4
0
0
1
2
4
4
3

0
0
0
2
2
3
2
1
0
0
0
3
1
0
1
2
1
2
2
4

3
2
0
0
1
0
3
0
0
3
1
3
4
2
3
3
2
0
4


Выборка А10 N = 88
3
5
6
8
4
5
4
7
2
7
7
3
7
4
4
5
4
4
5
2

4
8
8
4
6
5
9
4
0
4
4
4
9
3
3
2
1
5
2
5

5
3
4
4
7
9
1
1
4
5
2
5
7
6
1
2
5
6
3
1

2
6
7
3
3
2
5
4
8
2
6
5
9
5
5
2
8
3
6
4

6
6
8
7
3
3
7
3













Выборка А11 N = 86
4
5
6
1
1
6
2
2
8
4
5
5
4
2
3
4
7
5
4
7

3
3
4
4
3
8
4
3
5
5
2
1
4
3
5
1
4
3
3
3

1
0
2
2
1
7
5
2
6
2
1
1
8
4
5
4
1
4
5
4

4
2
3
4
3
3
9
2
6
2
3
2
7
1
4
7
3
5
7
2

5
5
4
4
6
1















Выборка А12 N = 80
11
10
11
6
7
8
7
3
7
3
3
7
9
5
4
7
2
7
8
5

10
11
11
7
4
5
5
5
6
4
5
8
9
8
5
6
7
9
5
7

10
11
10
9
3
8
9
7
6
6
9
8
6
4
6
7
8
7
5
7

10
10
11
8
4
6
8
3
6
6
7
7
6
3
8
5
8
5
5
9

Выборка А13 N = 71
0
2
2
3
1
2
3
1
2
0
3
1
2
4
1
2
3
3
3
3

0
0
1
5
5
5
6
4
4
5
5
6
6
1
2
1
3
2
1
0

0
2
3
1
0
3
1
1
1
2
1
1
0
0
1
1
3
0
2
3

2
1
1
0
4
2
2
1
1
2
0










Выборка А14 N = 71
6
6
5
6
11
8
7
4
4
8
3
2
3
9
7
6
9
5
8
10

7
8
6
9
10
3
9
5
7
6
8
9
9
3
8
4
8
4
7
10

4
6
9
2
10
8
7
7
7
8
4
3
6
2
3
8
6
9
6
11

6
8
2
3
10
8
8
7
6
9
4










Выборка А15 N = 64
2
0
1
2
0
0
2
2
1
1
0
0
0
0
1
2
0
4
0
0
2


1
0
4
1
1
0
2
1
0
0
2
1
1
1
1
0
1
1
0
3
2


1
2
1
0
1
2
1
2
3
0
2
4
0
0
0
3
0
2
0
2
1
1

Выборка А16 N = 73
5
4
4
4
5
0
3
7
2
2
3
0
5
6
3
4
6
1
2
5

3
2
3
6
6
2
3
1
7
2
3
2
2
5
2
0
2
2
6
1

3
6
7
7
2
0
4
6
1
1
6
7
1
3
4
6
6
3
2
1

7
2
5
4
2
3
4
5
6
6
5
3
2








Выборка А17 N = 95
4
8
4
1
7
7
5
8
9
6
7
1
6
5
8
4
7
4
8
4

6
5
7
4
8
7
4
3
2
8
7
5
0
4
7
6
3
5
7
2

6
6
5
8
1
3
8
6
6
8
8
9
6
8
7
5
8
5
3
9

5
7
7
8
3
7
9
6
5
4
4
4
7
7
4
7
5
9
5
9

3
4
4
8
5
1
9
6
1
7
6
8
6
7
9






Выборка А18 N = 73
5
3
3
3
5
4
5
3
3
4
2
1
5
2
4
0
2
2
3
2

1
3
3
1
2
4
6
6
4
1
2
4
3
1
5
2
4
6
3
8

4
5
1
1
2
0
2
3
3
2
4
2
1
2
3
1
2
4
3
0

6
3
1
4
3
7
1
1
0
2
3
1
1








Выборка А19 N = 80
2
2
0
1
3
0
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
4
1
0
0

3
3
4
4
5
4
5
4
6
6
4
3
4
4
5
5
6
6
6
4

0
1
0
0
2
3
5
3
3
1
3
2
2
5
6
5
4
4
6
2

0
0
0
2
1
1
1
1
3
0
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0

Выборка А20 N = 89
7
8
4
0
4
6
5
4
3
2
4
8
6
2
2
5
3
6
6
5

3
5
6
7
8
9
5
2
5
4
5
6
6
3
6
5
3
4
5
1

3
7
5
3
3
3
7
5
3
4
9
2
1
4
4
4
2
4
3
4

5
5
3
7
5
3
2
6
2
4
4
4
0
6
1
3
4
4
5
4

3
5
4
1
1
9
9
5
0












Выборка А21 N = 85
4
5
3
4
5
2
3
3
3
4
4
5
3
1
4
1
4
5
5
1

2
5
5
5
3
4
3
5
5
4
0
2
6
7
1
3
2
2
4
2

3
3
6
0
6
2
4
3
6
1
5
4
4
4
5
2
4
5
3
5

5
6
2
2
3
2
2
5
2
5
5
0
7
1
0
0
0
5
3
2

7
6
3
5
3
















Выборка А22 N = 65
2
3
1
6
4
6
3
3
1
3
1
2
4
4
4
3
0
3
2
4

2
3
2
3
3
2
0
6
1
0
2
2
6
2
0
2
4
3
1
5

3
0
4
4
3
5
3
2
5
2
0
2
0
2
5
0
1
3
3
2

0
2
2
2
5
















Выборка А23 N = 66
1
4
3
3
1
0
4
0
4
3
2
0
2
2
3
3
1
0
3
3

3
2
3
3
3
2
5
6
3
2
5
2
3
4
2
3
2
2
6
2

0
1
2
3
6
2
1
4
3
3
1
5
4
3
2
1
1
1
6
3

2
0
2
2
2
3















Выборка А24 N = 76
7
5
5
5
5
9
4
5
3
8
5
3
8
3
3
9
6
1
6
11

8
3
3
6
2
7
4
4
3
5
7
4
6
5
2
9
5
8
6
11

1
7
7
4
4
9
7
4
3
1
6
6
4
5
4
5
5
7
8
10

8
4
2
7
7
5
9
6
2
7
7
9
2
6
8
11





Выборка А25 N = 94
2
0
2
6
2
3
5
3
8
3
6
4
5
2
6
6
5
5
8
8

3
5
3
2
4
5
2
1
6
9
7
6
7
4
5
6
5
6
8
3

6
5
5
1
7
6
4
1
5
6
4
7
2
8
8
2
8
2
1
6

5
2
3
6
3
3
5
3
3
7
5
6
6
3
4
6
7
4
6
2

7
7
1
2
3
6
6
3
2
6
4
2
4
8







Выборка А26 N = 80
2
0
0
3
1
2
2
2
3
4
1
2
3
3
2
1
1
3
3
0

4
1
3
3
0
1
0
0
1
2
1
1
3
2
3
0
1
0
4
2

3
1
2
1
1
1
1
2
1
2
5
2
1
3
2
3
1
1
1
1

2
1
1
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
0
0
3
3
1
2
3

Выборка А27 N = 91
1
0
1
3
1
1
4
4
5
5
4
5
4
5
5
5
6
6
6
6

1
0
1
0
2
2
1
1
5
4
5
4
1
2
1
1
1
2
3
0

3
2
2
3
1
2
0
1
5
4
2
2
2
1
1
3
3
1
2
5

2
1
1
0
1
2
0
2
2
1
0
0
2
0
0
0
3
1
2
2

2
5
4
4
6
3
1
1
3
5
4










Выборка А28 N = 84
5
5
4
6
0
0
1
3
1
1
1
0
3
0
2
0
2
3
4
5

1
1
1
3
2
0
0
1
4
1
5
6
6
2
0
1
2
1
2
0

1
2
1
5
2
2
3
3
6
5
4
2
1
1
2
0
1
0
0
2

1
2
0
1
1
1
2
0
0
2
2
1
2
2
3
3
2
1
6
4

0
1
0
0


















Выборка А29 N = 68
4
1
9
6
11
11
6
5
4
10
11
10
9
6
8
8
6
9
9
3

6
8
4
2
10
11
5
6
8
10
11
10
6
7
2
2
6
2
8
6

9
6
7
4
10
10
5
9
7
10
11
11
9
5
9
5
8
6
8
9

8
6
1
3
10
10
4
8













Выборка А30 N = 65
4
6
0
2
1
3
3
1
2
5
3
1
2
2
4
4
4
3
2
5

2
5
1
2
3
0
3
0
5
1
2
1
3
0
4
0
2
2
1
0

5
1
4
2
4
2
1
3
1
0
6
1
2
1
4
2
2
0
2
4

2
2
1
2
2
















Выборка А31 N = 89
3
3
7
5
3
4
9
2
1
4
4
4
2
4
3
5
3
6
6
5

5
3
5
6
7
8
9
5
2
5
4
5
6
6
3
6
5
3
4
5

1
0
3
7
5
3
3
3
7
5
3
4
9
2
1
4
4
4
2
4

3
7
8
4
0
4
6
5
4
3
2
4
8
6
2
2
4
4
5
5

3
7
5
3
2
6
2
4
4












Выборка А32 N = 80
3
3
6
0
6
2
4
3
6
1
5
4
4
4
5
2
4
5
3
5

4
5
3
4
5
2
3
3
3
4
4
5
3
1
4
1
4
5
5
1

2
5
5
5
3
4
3
5
5
4
0
2
6
7
1
3
2
2
4
2

5
6
2
2
3
2
2
5
2
5
5
0
7
1
0
0
0
5
3
2

Выборка А33 N = 69
3
0
4
4
3
5
3
2
5
2
0
2
0
2
5
0
1
3
3
2

2
3
1
6
4
6
3
3
1
3
1
2
4
4
4
3
0
3
2
4

2
3
2
3
3
2
0
6
1
0
2
2
6
2
0
2
4
3
1
5

0
2
2
2
5
3
4
5
6












Выборка А34 N = 66
3
2
3
3
3
2
5
6
3
2
5
2
3
4
2
3
2
2
6
2

1
4
3
3
1
0
4
0
4
3
2
0
2
2
3
3
1
0
3
3

0
1
2
3
6
2
1
4
3
3
1
5
4
3
2
1
1
1
6
3

2
0
2
2
2
3















Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З7)
1. Дать понятие выборки, вариационного ряда.
3. Перечислить графические диаграммы выборки.
4. Перечислить числовые характеристики выборки.
5. Как вычислить среднее значение выборки?
6. Как построить полигон частот, гистограмму частот?



Раздел 4. Введение в анализ
1) Практическое занятие № 8 (У1; З1; З2; З3)
Тема: Вычисление пределов, раскрытие неопределенностей
Цель занятия - усвоение правил вычисления пределов и способов раскрытия неопределенностей.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Найти указанные пределы:
Задание 1
1.113 EMBED Equation.3 1415 1.6 13 EMBED Equation.3 1415
1.2 13 EMBED Equation.3 1415 1.713 EMBED Equation.3 1415
1.3 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 1.8 13 EMBED Equation.3 1415
1.4 13 EMBED Equation.3 1415 1.9 13 EMBED Equation.3 1415
1.5 13 EMBED Equation.3 1415 1.10 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 2
2.1 13 EMBED Equation.3 1415 2.6 13 EMBED Equation.3 1415
2.2 13 EMBED Equation.3 1415 2.7 13 EMBED Equation.3 1415
2.3 13 EMBED Equation.3 1415 2.8 13 EMBED Equation.3 1415
2.4 13 EMBED Equation.3 1415 2.9 13 EMBED Equation.3 1415
2.5 13 EMBED Equation.3 1415 2.10 13 EMBED Equation.3 1415
Задание 3
3.113 EMBED Equation.3 1415 3.613 EMBED Equation.3 1415
3.213 EMBED Equation.3 1415 3.713 EMBED Equation.3 1415
3.313 EMBED Equation.3 1415 3.813 EMBED Equation.3 1415
3.413 EMBED Equation.3 1415 3.913 EMBED Equation.3 1415
3.513 EMBED Equation.3 1415 3.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание 4
4.113 EMBED Equation.3 1415 4.613 EMBED Equation.3 1415
4.213 EMBED Equation.3 1415 4.713 EMBED Equation.3 1415
4.313 EMBED Equation.3 1415 4.813 EMBED Equation.3 1415
4.413 EMBED Equation.3 1415 4.913 EMBED Equation.3 1415
4.513 EMBED Equation.3 1415 4.1013 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З3)
1. Дать понятие предела функции в точке.
2. Перечислить свойства пределов.
3. Сформулировать теоремы о пределах.
4. Дать понятие предела функции на бесконечности.
5. Сформулировать первый и второй замечательные пределы.
6. Перечислить способы раскрытия неопределенности 0/0
7. Дать понятие бесконечно малой и бесконечно большой величины.
8. Как связаны они между собой?
9. Как раскрыть неопределенность
·/
·?

2) Письменный опрос (У1; З1; З2; З3) (время выполнения – 30 минут, объем ответа - 1,5 стр.)
1 вариант
Дать понятие предела функции в точке.
В чем заключается связь между непрерывностью и дифференцируемостью?
2 вариант
Записать основные свойства пределов.
Как раскрыть неопределенность
· /
·?
3 вариант
Сформулировать теоремы о пределах.
В чем заключается связь между бесконечно большими и бесконечно малыми величинами?
4 вариант
Дать понятие предела функции на бесконечности.
Как раскрыть неопределенность 0/0?

3) Практическое занятие № 9 (У1; З1; З2; З3)
Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
Цель занятия - усвоение правил вычисления односторонних пределов, определения типов разрывов.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях
и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задание № 1
Исследовать данные функции на непрерывность.
Задание № 2
Исследовать данные функции на непрерывность в указанных точках.

2.1 f (x) = 21/ (x - 3) + 1; x1 = 3, x2 = 4.
2.2 f (x) = 51/ (x - 3) - 1; x1 = 3, x2 = 4.
2.3 f (x) = (x + 7) / (x - 2); x1 = 2, x2 = 3.
2.4 f (x) = (x - 5) / (x + 3); x1 = - 2, x2 = - 3.
2.5 f (x) = 41/ (3 - x) + 2; x1 = 2, x2 = 3.
2.6 f (x) = 91/ (2 - x); x1 = 0, x2 = 2.
2.7 f (x) = 21/ (x - 5) + 1; x1 = 4, x2 = 5.
2.8 f (x) = 51/ (x - 4) - 2; x1 = 3, x2 = 4.
2.9 f (x) = 61/ (x - 3) + 3; x1 = 3, x2 = 4.
2.10 f (x) = 71/ (5 - x) + 1; x1 = 4, x2 = 5.
1.1 13 EMBED Equation.3 1415
1.2 13 EMBED Equation.3 1415
1.3 13 EMBED Equation.3 1415
1.4 13 EMBED Equation.3 1415
1.5 13 EMBED Equation.3 1415

1.6 13 EMBED Equation.3 1415
1.7 13 EMBED Equation.3 1415
1.8 13 EMBED Equation.3 1415
1.9 13 EMBED Equation.3 1415
1.10 13 EMBED Equation.3 1415




Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З3)
1. Дать определение непрерывной функции (в точке, на промежутке).
2. Сформулировать свойства непрерывных функций.
3. Перечислить типы точек разрыва функции.
4. Перечислить методы исследования функции на непрерывность.
5. Дать понятие односторонних пределов функции.
6. Как можно установить непрерывность функции?
7. Как найти точки разрыва функции?

4) Практическое занятие № 10 (У1; З1; З2; З8)
Тема: Вычисление производных сложных функций
Цель занятия - усвоение формул и правил дифференцирования.

Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях
и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Задание № 1
Продифференцировать данные функции:
1.113 EMBED Equation.3 1415 1.213 EMBED Equation.3 1415
1.313 EMBED Equation.3 1415 1.413 EMBED Equation.3 1415
1.513 EMBED Equation.3 1415 1.613 EMBED Equation.3 1415
1.713 EMBED Equation.3 1415 1.813 EMBED Equation.3 1415
1.913 EMBED Equation.3 1415 1.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 2
2.113 EMBED Equation.3 1415 2.213 EMBED Equation.3 1415
2.313 EMBED Equation.3 1415 2.413 EMBED Equation.3 1415
2.513 EMBED Equation.3 1415 2.613 EMBED Equation.3 1415
2.713 EMBED Equation.3 1415 2.2813 EMBED Equation.3 1415
2.913 EMBED Equation.3 1415 2.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 3
3.113 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 3.213 EMBED Equation.3 1415
3.313 EMBED Equation.3 1415 3.413 EMBED Equation.3 1415
3.513 EMBED Equation.3 1415 3.613 EMBED Equation.3 1415
3.713 EMBED Equation.3 1415 3.813 EMBED Equation.3 1415
3.913 EMBED Equation.3 1415 3.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 4
4.113 EMBED Equation.3 1415 4.213 EMBED Equation.3 1415
4.313 EMBED Equation.3 1415 4.413 EMBED Equation.3 1415
4.513 EMBED Equation.3 1415 4.613 EMBED Equation.3 1415
4.713 EMBED Equation.3 1415 4.813 EMBED Equation.3 1415
4.913 EMBED Equation.3 1415 4.1013 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З8)

1. Дать определение производной.
2. Записать основные формулы дифференцирования.
3. Перечислить правила дифференцирования.
4. Как найти производную произведения?
5. Как найти производную частного?
6. Какая функция называется сложной?
В чем заключается правило цепочки?

5) Практическое занятие № 11 (У1; З1; З2; З9)
Тема: Непосредственное интегрирование в неопределенном интеграле

Цель занятия - усвоение правил непосредственного интегрирования в неопределенном интеграле.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.
Найти неопределенные интегралы.
Задание № 1
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 2
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 3
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 4
1.113 EMBED Equation.3 1415 1.213 EMBED Equation.3 1415
1.313 EMBED Equation.3 1415 1.413 EMBED Equation.3 1415
1.513 EMBED Equation.3 1415 1.613 EMBED Equation.3 1415
1.713 EMBED Equation.3 1415 1.813 EMBED Equation.3 1415
1.913 EMBED Equation.3 1415 1.1013 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З9)

1. Записать формулу неопределенного интеграла и пояснить значение символов и переменных.
2. Сформулировать свойства неопределенного интеграла.
3. В чем заключается метод непосредственного интегрирования.
4. Записать основные табличные интегралы.
5. Как проверить результат интегрирования?
6. Почему интеграл называют неопределенным?

6) Самостоятельная работа по теме «Вычисление интегралов»
Задание
1. Найти определенные интегралы (У 1; З1; З2; З9)
2. Составить пары: номер примера – номер правильного ответа.
Номера примеров 1 варианта 1, 6, 9, 13, 14
Номера примеров 2 варианта 3, 7, 8, 11, 16
1
13 EMBED Equation.3 1415
2
9
3
13 EMBED Equation.3 1415
4
5

5
4
6
13 EMBED Equation.3 1415
7
13 EMBED Equation.3 1415
8
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
10
3
11
13 EMBED Equation.3 1415
12
2

13
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415
15
12
16
13 EMBED Equation.3 1415


7) Практическое занятие № 12 (У1; З1; З2; З9)
Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
Цель занятия - усвоение правил интегрирования подстановкой и по частям.
Форма отчета по практическому занятию: выполнение заданий в тетради для практических работ, защита отчета по выполненным заданиям индивидуального варианта.
Порядок проведения практического занятия
А) решение типового варианта упражнений практической работы в рабочих тетрадях и у доски.
Б) выполнение задания, используя рабочую тетрадь.

Задание № 1
1.1 13 EMBED Equation.3 1415 1.2 13 EMBED Equation.3 1415
1.3 13 EMBED Equation.3 1415 1.4 13 EMBED Equation.3 1415
1.5 13 EMBED Equation.3 1415 1.6 13 EMBED Equation.3 1415
1.7 13 EMBED Equation.3 1415 1.8 13 EMBED Equation.3 1415
1.9 13 EMBED Equation.3 1415 1.10.13 EMBED Equation.3 1415
Задание № 2
2.113 EMBED Equation.3 1415 2.213 EMBED Equation.3 1415
2.313 EMBED Equation.3 1415 2.413 EMBED Equation.3 1415
2.513 EMBED Equation.3 1415 2.613 EMBED Equation.3 1415
2.713 EMBED Equation.3 1415 2.813 EMBED Equation.3 1415
2.913 EMBED Equation.3 1415 2.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 3
3.113 EMBED Equation.3 1415 3.213 EMBED Equation.3 1415
3.313 EMBED Equation.3 1415 3.413 EMBED Equation.3 1415
3.513 EMBED Equation.3 1415 3.613 EMBED Equation.3 1415
3.713 EMBED Equation.3 1415 3.813 EMBED Equation.3 1415
3.913 EMBED Equation.3 1415 3.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 4
4.113 EMBED Equation.3 1415 4.213 EMBED Equation.3 1415
4.313 EMBED Equation.3 1415 4.413 EMBED Equation.3 1415
4.513 EMBED Equation.3 1415 4.613 EMBED Equation.3 1415
4.713 EMBED Equation.3 1415 4.813 EMBED Equation.3 1415
4.913 EMBED Equation.3 1415 4.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 5
5.113 EMBED Equation.3 1415 5.213 EMBED Equation.3 1415
5.313 EMBED Equation.3 1415 5.413 EMBED Equation.3 1415
5.513 EMBED Equation.3 1415 5.613 EMBED Equation.3 1415
5.713 EMBED Equation.3 1415 5.813 EMBED Equation.3 1415
5.913 EMBED Equation.3 1415 5.1013 EMBED Equation.3 1415
Задание № 6
6.113 EMBED Equation.3 1415 6.213 EMBED Equation.3 1415
6.313 EMBED Equation.3 1415 6.413 EMBED Equation.3 1415
6.513 EMBED Equation.3 1415 6.613 EMBED Equation.3 1415
6.713 EMBED Equation.3 1415 6.813 EMBED Equation.3 1415
6.9 13 EMBED Equation.3 1415 6.1013 EMBED Equation.3 1415
Перечень контрольных вопросов (У1; З1; З2; З9)
1. Записать формулу интегрирования по частям.
2. Сформулировать алгоритм решения интегралов методом замены переменной.
3. Как найти дифференциал функции?
4. Верно ли, что интеграл произведения равен произведению интегралов? Ответ обосновать.
5. По какому признаку можно определить, что интеграл можно вычислить способом подстановки?

Раздел 5. Основы дискретной математики
1) Письменный опрос по теме «Основы теории множеств. Основы алгебры логики»
Вариант № 1
1. Математическая логика
2. Логические операции над высказываниями.
Вариант № 2
1. Равносильности, выражающие одни логические операции через другие.
2. Недостаточность логики высказываний. Понятие предиката.
Вариант № 3
1. Равносильности, выражающие основные законы алгебры логики.
2. Логические операции над предикатами
Вариант № 4
1. Законы алгебры логики
2. Кванторные операции

Раздел 6. Основы теории графов
1) Устный опрос по теме «Основы теории графов»

Вариант № 1
Конечные графы и сети.
Вариант № 2
Достижимость и связность.
Вариант № 3
Эйлеровы и гамильтоновы графы.
Вариант № 4
Деревья и циклы.








13PAGE 14615


13PAGE 14115


13PAGE 14615


13PAGE 14715


13PAGE 15


13PAGE 143515




 "$&(0268^`bdrtљ
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 561Рисунок 562Рисунок 564Рисунок 566Рисунок 567Рисунок 569Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native(Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native