Электронный учебник. Функции. Элементарные функции и их графики

Элементарные функции и их график
13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc108588332" 141. Линейная функция. 13 PAGEREF _Toc108588332 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc108588337" 14Функция вида y = kx + b. 13 PAGEREF _Toc108588337 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc108588341" 14Функция вида у = b. 13 PAGEREF _Toc108588341 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc108588343" 14Уравнение прямой х = с. 13 PAGEREF _Toc108588343 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc108588344" 142. Квадратичная функция 13 PAGEREF _Toc108588344 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc108588345" 14Функция вида у = ах2 13 PAGEREF _Toc108588345 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc108588352" 14Функция вида у = а х2 + m 13 PAGEREF _Toc108588352 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc108588361" 14Функция вида у = а(х + n)2 13 PAGEREF _Toc108588361 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc108588368" 14Функция вида у = а(х + n)2 + m 13 PAGEREF _Toc108588368 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc108588372" 14Функция вида у = ax2 + bx + c 13 PAGEREF _Toc108588372 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc108588381" 143. Обратная пропорциональная зависимость 13 PAGEREF _Toc108588381 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc108588388" 144. Функции вида у = х3; у = 13 EMBED Equation.3 1415. 13 PAGEREF _Toc108588388 \h 14111515
5. Показательная функция(((((((((((((((((((((((((((((((( 11
6. Логарифмическая функция ((((((((((((((((((((((((((((((12

15Предметный указатель13 INDEX \e " " \c "1" \z "1049" 14
Абсцисса вершины параболы хв = - b/2a ; 7
Вершина параболы (В) 4
Ветви параболы 4
Ветви параболы направлены вверх 4
Гипербола 8
Координаты вершины параболы - В( - n; 0). 6
Координаты вершины параболы - В(0;m) 5
Координаты вершины параболы В((n; m) 7
Ордината вершины параболы ув = - D/4a; 7
Ось параболы 4
Построение путем выделения полного квадрата. 8
Прямая 1
Прямая пропорциональная зависимость 2
15
1. Линейная функция.
Функция вида y = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямая13 XE "прямая" 1513 XE "прямая" 15. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки.

Функция вида y = kx
Функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.
Графиком является прямая, проходящая через начало координат и располагающаяся в 1 и 3 четвертях, если k > 0, во 2 и 4 четвертях, если k < 0.
k – называется коэффициентом пропорциональности и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. k = tg
·
Прямая у = х является биссектрисой 1 и 3 координатных углов, а прямая у = (х является биссектрисой 1 и 4 координатных углов.
Пример. Построить графики функций у = 2х, у = х, у = (2х.
Функция прямая пропорциональная зависимость13 XE "прямая пропорциональная зависимость" 15 , графикам являются прямые.
Так как графики проходят через начало координат, то одна из точек имеет координаты (0; 0), поэтому можно взять еще одну точку.
у = х, у = 2х, у = (2х,
х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = (2. 13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415







































































у
=
х






































0
1
2













-2






































у
=







у
=
-2
х















































Функция вида y = kx + b.
Графиком функции является прямая, у = kx, смещенная параллельным переносом по оси У на b единиц, в сторону согласно знаку b.
Построение можно вести по двум точкам или параллельным смещением.
Пример. Построить график функции у = 3х ( 4.
Функция линейная, графиком является прямая.
X
0
1

Y
(4
-1


13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

































































































1














0

1






































у
=



у
=

-
4
































































Построение можно вести параллельным переносом прямой у = 3х на 2 единицы вниз по оси У.
Функция вида у = b.
Графиком функции является прямая, параллельная оси Х , проходящая через точку с координатами (0; b).
Построить график функции у = 3.
Функция линейная, графиком является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)





















































у
=
3





























































0























































Уравнение прямой х = с
Прямая х = с не является функцией. Однако, графиком является прямая, параллельная оси О У и проходящая через точку с координатами ( с; 0).

2. Квадратичная функция

Функция, содержащая высшую вторую степень аргумента будет квадратичной. Графиком является парабола.
Ветви параболы13 XE "Ветви параболы" 15
Ось параболы13 XE "Ось параболы" 15
Вершина параболы (В)13 XE "Вершина параболы (В)" 15
Ветви параболы симметричны относительно оси параболы.

Функция вида у = ах2

Графиком является парабола, с вершиной, расположенной в начале координат. В (0;0). При a > 0 ветви параболы направлены вверх13 XE "ветви параболы направлены вверх" 1513 XE "ветви параболы направлены вверх" 15, при a < 0 – вниз.
Построение можно вести по пяти точкам.

Пример. Построить график функции у = х2, у = - х2.
Функция квадратичная, графиком является парабола.



а
>
0











Х
-2
-1
0
1
2















У
4
1
0
1
4






































1

У
=
х
2








0

1






a
<
0






у
=

2































Х
-2
-1
0
1
2















У
-4
-1
0
-1
-4



Функция вида у = а х2 + n
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = а х2, смещенная параллельным переносом по оси У на m единиц согласно знаку m. Координаты вершины параболы - В(0;n)13 XE "Координаты вершины параболы - В(0\;m)" 15
Построение можно вести по точкам.
Пример. Построить графики функций у = 2х2 – 1, у = ( 2х2 – 2
Функции квадратичные, графиком являются параболы.
у = 2х2 – 1
у = ( 2х2 – 2
В(0; - 1) В(0; - 2)



Х
-2
-1
0
1
2

У
7
1
-1
1
7














































у
=

2
-11

0
















1













-1







у
=
-2х
х
2-
2






































Х
-2
-1
0
1
2















У
-10
-4
-2
-3
-10



Построение можно вести через построение параболы у = 2х2 или у = - 2х2 и параллельным переносом ее по оси У на одну единицу вниз. При этом вводится запись: «Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = 2х2 ( - 2х2), смещенная параллельным переносом по оси У на 1 единицу вниз.” В(0; - 1)


































































































у
=
2
х2











у
=
2
х2
-1









-1






















































Функция вида у = а(х + m)2
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = ах2, смещенная параллельным переносом по оси Х на n единиц в сторону, противоположную знаку n. Координаты вершины параболы - В( - m; 0).13 XE "Координаты вершины параболы - В( - n\; 0)." 15
Построение можно вести по точкам, выбирая х от оси параболы х = ( n.
Пример. Построить график функции у = ( х – 2 )2.
Функция квадратичная, графиком является парабола с вершиной в точке В( 2;0).
От х = 2 в обе стороны взять по две точки, например: х = 1; х = 0; х = 3; х = 4.



Х
0
1
2
3
4

У
4
1
0
1
4





























































































у
=

-1
)2
1














0


2




















Построение можно вести путем параллельного смещения параболы по оси Х, для чего: построить график у = х2 и сместить его по оси Х на две единицы вправо, при этом вводится запись: «Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = х2, смещенная параллельным переносом по оси Х на 2 единицы вправо. Координаты вершины параболы В( 2;0)”.

Функция вида у = а(х + m)2 + n
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = ах2, смещенная параллельным переносом по оси Х на минус n единиц и на m единиц по оси У. Координаты вершины параболы В((m; n)13 XE "Координаты вершины параболы В((n\; m)" 15
Построение можно вести путем параллельного переноса, определив координаты вершины параболы, с использованием шаблона или по точкам вблизи оси параболы х = (n.
Пример. Построить график функции у = 2(х + 1)2 – 3.
Функция квадратичная, графиком является парабола у = 2х2, смещенная параллельным переносом по оси Х на 1 единицу влево и по оси У на 3 единицы вниз. Координаты вершины параболы В( - 1; - 3).















































-1
0






















-3






























Функция вида у = ax2 + bx + c
Функция квадратичная, графиком является парабола.
Абсцисса вершины параболы хв = 13 EMBED Equation.3 1415 ;13 XE "Абсцисса вершины параболы хв = \;" 15
Ордината вершины параболы ув = 13 EMBED Equation.3 1415;13 XE "Ордината вершины параболы ув = \;" 15
Построение графиков по точкам.
Пункт 1. Определить координаты вершины параболы;
Пункт 2. Определить нули функции, т. е. значения х, при которых у = 0;
Пункт 3. Определить дополнительные точки: х = 0, у = с и точка симметричная.
Пример. Построить график функции у = х2 – 2х – 3.
13 LINK \l "алгоритм" 14Пункт 1.15 хв = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415; ув = 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 В(1; - 4) .
ув – можно вычислить, подставляя значение хв в выражение, задающее функцию: ув = 1 – 2 – 3 = ( 4.
13 LINK \l "алгоритм" 14Пункт 2.15 у = 0; х2 – 2х – 3 = 0;
х1 = - 1; х2 = 3. По теореме обратной теореме Виета.
13 LINK \l "алгоритм" 14Пункт 3.15 х = 0, у = - 3














































































































-1
0



3

























-3














-4






















































Построение путем выделения полного квадрата.13 XE "Построение путем выделения полного квадрата." 15
у = х2 – 2х – 3 = х2 – 2х + 1 – 1 – 3 = (х – 1)2 – 4 .
Далее строить как функцию , у = а(х + m)2 + n.
Помни! а > 0 – ветви параболы направлены вверх, a < 0 ветви параболы направлены вниз
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415







3. Обратная пропорциональность
13 EMBED Equation.3 1415 . Графиком является гипербола13 XE "гипербола" 15.

Гипербола имеет две ветви.


Если k > 0, то ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях.
Если k < 0, то ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях.
Ветви гиперболы симметричны относительно начала координат.
Так как х ( 0, деление на нуль неопределенно, то график функции будет приближаться к оси У, но не будет ее пересекать.
Так как у (0, числитель не равен нулю, то график функции будет приближаться к оси Х, но не будет ее пересекать.
Построение ведется по точкам.
Пример. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415 . D(y) = R, но х ( 0. у = 0 – корней нет.
х
-4
-2
-1
1/2
1/2
1
2
4

у
-1/2
-1
-2
-4
4
2
1
1/2


































































































1














0
1


































































































Так как ветви гиперболы симметричны относительно начала координат, то можно построить одну ветвь, а вторую построить симметрично относительно началу координат.



х
1/2
1
2
4

у
4
2
1
1/2


































































































1














0
1



































































13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
4. Функции вида у = х3; у = 13 EMBED Equation.3 1415.
Графики этих функций строятся по точкам.






































































у
=
13 EMBED Equation.3 1415
х





































0























































у
=
х3









































13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
5. Показательная функция у = ах
Функция у = ах, где а ( 0, а ( 1, называется показательной.
D(у) = R; Е(у) = R+, (0; (). у = 0 – горизонтальная ассимптота.
Все графики пересекают ось У в точке (0; 1), т.к. а0 = 1




а ( 1 0 ( а( 1
У У

1 1
Х Х



Построение вести по точкам.

6. Логарифмическая функция у = logax
Функция у = logax, где а ( 0, а ( 1, называется логарифмической.
D(у) = R+, (0; (); Е(у) = R; у = 0 – вертикальная ассимптота.
Все графики пересекают ось Х в точке (1; 0).





а ( 0 0 ( а( 1
У У



1 Х 1 Х



Построение вести по точкам.










13PAGE 15


13PAGE 141115



у

(

х

у

(

х

у

(
3

х


х

х

(


у

х

(

у







у

(

х

у

(

х

у

(

х

у

(

х

х





Root EntryCurrent UserPowerPoint DocumentПротасенко Мария Сергеевнаew RomanTimes New Romanew RomanCurrent UserPowerPoint Documentew RomanTimes New Romanew RomanM -2.77778E-6 -3.38422E-6 L 0.03143 0.00532 0,0; 0.14,0.36; 0.43,0.73; 0.71,0.91; 1.0,1.00.0,0.0; 0.25,0.07; 0.50,0.2; 0.75,0.467; 1.0,1.00, 0; 0.125,0.2665; 0.25,0.4; 0.375,0.465; 0.5,0.5; 0.625,0.535; 0.75,0.6; 0.875,0.7335; 1,10, 0; 0.125,0.2665; 0.25,0.4; 0.375,0.465; 0.5,0.5; 0.625,0.535; 0.75,0.6; 0.875,0.7335; 1,10, 0; 0.125,0.2665; 0.25,0.4; 0.375,0.465; 0.5,0.5; 0.625,0.535; 0.75,0.6; 0.875,0.7335; 1,1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 1.Elementarniefunkcii
    Элементарные функции и их графики
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 8