Электронный учебник. Функции. Элементарные функции и их графики

Элементарные функции и их график
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588332" HYPER141. Линейная функция. HYPER13 PAGEREF _Toc108588332 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588337" HYPER14Функция вида y = kx + b. HYPER13 PAGEREF _Toc108588337 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588341" HYPER14Функция вида у = b. HYPER13 PAGEREF _Toc108588341 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588343" HYPER14Уравнение прямой х = с. HYPER13 PAGEREF _Toc108588343 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588344" HYPER142. Квадратичная функция HYPER13 PAGEREF _Toc108588344 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588345" HYPER14Функция вида у = ах2 HYPER13 PAGEREF _Toc108588345 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588352" HYPER14Функция вида у = а х2 + m HYPER13 PAGEREF _Toc108588352 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588361" HYPER14Функция вида у = а(х + n)2 HYPER13 PAGEREF _Toc108588361 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588368" HYPER14Функция вида у = а(х + n)2 + m HYPER13 PAGEREF _Toc108588368 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588372" HYPER14Функция вида у = ax2 + bx + c HYPER13 PAGEREF _Toc108588372 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588381" HYPER143. Обратная пропорциональная зависимость HYPER13 PAGEREF _Toc108588381 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc108588388" HYPER144. Функции вида у = х3; у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. HYPER13 PAGEREF _Toc108588388 \h HYPER1411HYPER15HYPER15
5. Показательная функция(((((((((((((((((((((((((((((((( 11
6. Логарифмическая функция ((((((((((((((((((((((((((((((12

HYPER15Предметный указательHYPER13 INDEX \e " " \c "1" \z "1049" HYPER14
Абсцисса вершины параболы хв = - b/2a ; 7
Вершина параболы (В) 4
Ветви параболы 4
Ветви параболы направлены вверх 4
Гипербола 8
Координаты вершины параболы - В( - n; 0). 6
Координаты вершины параболы - В(0;m) 5
Координаты вершины параболы В((n; m) 7
Ордината вершины параболы ув = - D/4a; 7
Ось параболы 4
Построение путем выделения полного квадрата. 8
Прямая 1
Прямая пропорциональная зависимость 2
HYPER15
1. Линейная функция.
Функция вида y = kx + b называется линейной. Графиком линейной функции является прямаяHYPER13 XE "прямая" HYPER15HYPER13 XE "прямая" HYPER15. Для построения прямой необходимо и достаточно две точки.

Функция вида y = kx
Функция вида y = kx называется прямой пропорциональностью.
Графиком является прямая, проходящая через начало координат и располагающаяся в 1 и 3 четвертях, если k > 0, во 2 и 4 четвертях, если k < 0.
k – называется коэффициентом пропорциональности и определяет угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ. k = tg
·
Прямая у = х является биссектрисой 1 и 3 координатных углов, а прямая у = (х является биссектрисой 1 и 4 координатных углов.
Пример. Построить графики функций у = 2х, у = х, у = (2х.
Функция прямая пропорциональная зависимостьHYPER13 XE "прямая пропорциональная зависимость" HYPER15 , графикам являются прямые.
Так как графики проходят через начало координат, то одна из точек имеет координаты (0; 0), поэтому можно взять еще одну точку.
у = х, у = 2х, у = (2х,
х = 1, у = 1; х = 1, у = 2; х = 1, у = (2. HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15







































































у
=
х






































0
1
2













-2






































у
=







у
=
-2
х















































Функция вида y = kx + b.
Графиком функции является прямая, у = kx, смещенная параллельным переносом по оси У на b единиц, в сторону согласно знаку b.
Построение можно вести по двум точкам или параллельным смещением.
Пример. Построить график функции у = 3х ( 4.
Функция линейная, графиком является прямая.
X
0
1

Y
(4
-1


HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

































































































1














0

1






































у
=



у
=

-
4
































































Построение можно вести параллельным переносом прямой у = 3х на 2 единицы вниз по оси У.
Функция вида у = b.
Графиком функции является прямая, параллельная оси Х , проходящая через точку с координатами (0; b).
Построить график функции у = 3.
Функция линейная, графиком является прямая, параллельная оси ОХ, проходящая через точку (0;3)





















































у
=
3





























































0























































Уравнение прямой х = с
Прямая х = с не является функцией. Однако, графиком является прямая, параллельная оси О У и проходящая через точку с координатами ( с; 0).

2. Квадратичная функция

Функция, содержащая высшую вторую степень аргумента будет квадратичной. Графиком является парабола.
Ветви параболыHYPER13 XE "Ветви параболы" HYPER15
Ось параболыHYPER13 XE "Ось параболы" HYPER15
Вершина параболы (В)HYPER13 XE "Вершина параболы (В)" HYPER15
Ветви параболы симметричны относительно оси параболы.

Функция вида у = ах2

Графиком является парабола, с вершиной, расположенной в начале координат. В (0;0). При a > 0 ветви параболы направлены вверхHYPER13 XE "ветви параболы направлены вверх" HYPER15HYPER13 XE "ветви параболы направлены вверх" HYPER15, при a < 0 – вниз.
Построение можно вести по пяти точкам.

Пример. Построить график функции у = х2, у = - х2.
Функция квадратичная, графиком является парабола.



а
>
0











Х
-2
-1
0
1
2















У
4
1
0
1
4






































1

У
=
х
2








0

1






a
<
0






у
=

2































Х
-2
-1
0
1
2















У
-4
-1
0
-1
-4



Функция вида у = а х2 + n
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = а х2, смещенная параллельным переносом по оси У на m единиц согласно знаку m. Координаты вершины параболы - В(0;n)HYPER13 XE "Координаты вершины параболы - В(0\;m)" HYPER15
Построение можно вести по точкам.
Пример. Построить графики функций у = 2х2 – 1, у = ( 2х2 – 2
Функции квадратичные, графиком являются параболы.
у = 2х2 – 1
у = ( 2х2 – 2
В(0; - 1) В(0; - 2)



Х
-2
-1
0
1
2

У
7
1
-1
1
7














































у
=

2
-11

0
















1













-1







у
=
-2х
х
2-
2






































Х
-2
-1
0
1
2















У
-10
-4
-2
-3
-10



Построение можно вести через построение параболы у = 2х2 или у = - 2х2 и параллельным переносом ее по оси У на одну единицу вниз. При этом вводится запись: «Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = 2х2 ( - 2х2), смещенная параллельным переносом по оси У на 1 единицу вниз.” В(0; - 1)


































































































у
=
2
х2











у
=
2
х2
-1









-1






















































Функция вида у = а(х + m)2
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = ах2, смещенная параллельным переносом по оси Х на n единиц в сторону, противоположную знаку n. Координаты вершины параболы - В( - m; 0).HYPER13 XE "Координаты вершины параболы - В( - n\; 0)." HYPER15
Построение можно вести по точкам, выбирая х от оси параболы х = ( n.
Пример. Построить график функции у = ( х – 2 )2.
Функция квадратичная, графиком является парабола с вершиной в точке В( 2;0).
От х = 2 в обе стороны взять по две точки, например: х = 1; х = 0; х = 3; х = 4.



Х
0
1
2
3
4

У
4
1
0
1
4





























































































у
=

-1
)2
1














0


2




















Построение можно вести путем параллельного смещения параболы по оси Х, для чего: построить график у = х2 и сместить его по оси Х на две единицы вправо, при этом вводится запись: «Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = х2, смещенная параллельным переносом по оси Х на 2 единицы вправо. Координаты вершины параболы В( 2;0)”.

Функция вида у = а(х + m)2 + n
Функция квадратичная, графиком является парабола вида у = ах2, смещенная параллельным переносом по оси Х на минус n единиц и на m единиц по оси У. Координаты вершины параболы В((m; n)HYPER13 XE "Координаты вершины параболы В((n\; m)" HYPER15
Построение можно вести путем параллельного переноса, определив координаты вершины параболы, с использованием шаблона или по точкам вблизи оси параболы х = (n.
Пример. Построить график функции у = 2(х + 1)2 – 3.
Функция квадратичная, графиком является парабола у = 2х2, смещенная параллельным переносом по оси Х на 1 единицу влево и по оси У на 3 единицы вниз. Координаты вершины параболы В( - 1; - 3).















































-1
0






















-3






























Функция вида у = ax2 + bx + c
Функция квадратичная, графиком является парабола.
Абсцисса вершины параболы хв = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ;HYPER13 XE "Абсцисса вершины параболы хв = \;" HYPER15
Ордината вершины параболы ув = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;HYPER13 XE "Ордината вершины параболы ув = \;" HYPER15
Построение графиков по точкам.
Пункт 1. Определить координаты вершины параболы;
Пункт 2. Определить нули функции, т. е. значения х, при которых у = 0;
Пункт 3. Определить дополнительные точки: х = 0, у = с и точка симметричная.
Пример. Построить график функции у = х2 – 2х – 3.
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 1.HYPER15 хв = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; ув = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 В(1; - 4) .
ув – можно вычислить, подставляя значение хв в выражение, задающее функцию: ув = 1 – 2 – 3 = ( 4.
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 2.HYPER15 у = 0; х2 – 2х – 3 = 0;
х1 = - 1; х2 = 3. По теореме обратной теореме Виета.
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 3.HYPER15 х = 0, у = - 3














































































































-1
0



3

























-3














-4






















































Построение путем выделения полного квадрата.HYPER13 XE "Построение путем выделения полного квадрата." HYPER15
у = х2 – 2х – 3 = х2 – 2х + 1 – 1 – 3 = (х – 1)2 – 4 .
Далее строить как функцию , у = а(х + m)2 + n.
Помни! а > 0 – ветви параболы направлены вверх, a < 0 ветви параболы направлены вниз
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15







3. Обратная пропорциональность
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . Графиком является гиперболаHYPER13 XE "гипербола" HYPER15.

Гипербола имеет две ветви.


Если k > 0, то ветви гиперболы расположены в первой и третьей четвертях.
Если k < 0, то ветви гиперболы расположены во второй и четвертой четвертях.
Ветви гиперболы симметричны относительно начала координат.
Так как х ( 0, деление на нуль неопределенно, то график функции будет приближаться к оси У, но не будет ее пересекать.
Так как у (0, числитель не равен нулю, то график функции будет приближаться к оси Х, но не будет ее пересекать.
Построение ведется по точкам.
Пример. Построить график функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . D(y) = R, но х ( 0. у = 0 – корней нет.
х
-4
-2
-1
1/2
1/2
1
2
4

у
-1/2
-1
-2
-4
4
2
1
1/2


































































































1














0
1


































































































Так как ветви гиперболы симметричны относительно начала координат, то можно построить одну ветвь, а вторую построить симметрично относительно началу координат.



х
1/2
1
2
4

у
4
2
1
1/2


































































































1














0
1



































































HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
4. Функции вида у = х3; у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Графики этих функций строятся по точкам.






































































у
=
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х





































0























































у
=
х3









































HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
5. Показательная функция у = ах
Функция у = ах, где а ( 0, а ( 1, называется показательной.
D(у) = R; Е(у) = R+, (0; (). у = 0 – горизонтальная ассимптота.
Все графики пересекают ось У в точке (0; 1), т.к. а0 = 1




а ( 1 0 ( а( 1
У У

1 1
Х Х



Построение вести по точкам.

6. Логарифмическая функция у = logax
Функция у = logax, где а ( 0, а ( 1, называется логарифмической.
D(у) = R+, (0; (); Е(у) = R; у = 0 – вертикальная ассимптота.
Все графики пересекают ось Х в точке (1; 0).





а ( 0 0 ( а( 1
У У



1 Х 1 Х



Построение вести по точкам.










HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1411HYPER15



у

(

х

у

(

х

у

(
3

х


х

х

(


у

х

(

у







у

(

х

у

(

х

у

(

х

у

(

х

х





Root EntryCurrent UserPowerPoint DocumentПротасенко Мария Сергеевнаew RomanTimes New Romanew RomanCurrent UserPowerPoint Documentew RomanTimes New Romanew RomanM -2.77778E-6 -3.38422E-6 L 0.03143 0.00532 0,0; 0.14,0.36; 0.43,0.73; 0.71,0.91; 1.0,1.00.0,0.0; 0.25,0.07; 0.50,0.2; 0.75,0.467; 1.0,1.00, 0; 0.125,0.2665; 0.25,0.4; 0.375,0.465; 0.5,0.5; 0.625,0.535; 0.75,0.6; 0.875,0.7335; 1,10, 0; 0.125,0.2665; 0.25,0.4; 0.375,0.465; 0.5,0.5; 0.625,0.535; 0.75,0.6; 0.875,0.7335; 1,10, 0; 0.125,0.2665; 0.25,0.4; 0.375,0.465; 0.5,0.5; 0.625,0.535; 0.75,0.6; 0.875,0.7335; 1,1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 1.Elementarniefunkcii
    Элементарные функции и их графики
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 4