Электронный учебник. Виды и способы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравнений13 EMBED Equation.3 1415
Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc162006123" 14Стандартные виды уравнений и способы их решения 13 PAGEREF _Toc162006123 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc162006124" 141. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415= b 13 PAGEREF _Toc162006124 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc162006125" 142. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 13 PAGEREF _Toc162006125 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc162006126" 143. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 13 PAGEREF _Toc162006126 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc162006127" 144. Уравнения, сводящиеся к квадратным 13 PAGEREF _Toc162006127 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc162006128" 145. Уравнения, содержащие более одного корня в виде слагаемых 13 PAGEREF _Toc162006128 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc162006129" 146. Уравнения, решаемые способом замены переменных. 13 PAGEREF _Toc162006129 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc162006130" 147. Уравнения вида произведение равно нулю. 13 PAGEREF _Toc162006130 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc162006131" 148. Уравнения, содержащие квадратный и кубический корни. 13 PAGEREF _Toc162006131 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc162006132" 149. Уравнение, содержащее сумму (разность) двух корней третьей степени. 13 PAGEREF _Toc162006132 \h 1471515
13 LINK \l "_Toc162006133" 1410.Уравнения, содержащие сложные радикалы. 13 PAGEREF _Toc162006133 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc162006134" 1411.Использование свойств монотонности функций. 13 PAGEREF _Toc162006134 \h 1491515
13 LINK \l "_Toc162006135" 1412. Использование области значений функции, наибольшие, наименьшие значения, оценки 13 PAGEREF _Toc162006135 \h 14101515
13 LINK \l "_Toc162006136" 1413.Использование ОДЗ 13 PAGEREF _Toc162006136 \h 14121515
13 LINK \l "_Toc162006137" 1416. Использование сопряженных выражений 13 PAGEREF _Toc162006137 \h 14131515
13 LINK \l "_Toc162006138" 14Алгоритм поиска решений иррациональных уравнений 13 PAGEREF _Toc162006138 \h 14141515
15
Стандартные виды уравнений и способы их решения
1. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415= b f(x) = b2, при b
· 0; не имеет решений при b < 0.
Золотые правила. Для решения корень нужно уединить. Обе части возвести в квадрат.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
3) 13 EMBED Equation.3 1415. Решений нет, т. к. 13 EMBED Equation.3 1415< 0.
2. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = - 1
2)В примерах, сводящихся к данному виду уравнений, при применении равносильных переходов необходимо найти область допустимых значений.
Пример. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ 13 EMBED Equation.3 1415
3. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 либо
13 EMBED Equation.3 1415
Выбрать неравенство, которое проще.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, sinх = t, |t|
· 1, t
· 0 , 0
· t
· 1
2t2 + t – 1 = 0
t = -1 , t = Ѕ С учетом ограничений t = Ѕ
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза (13 EMBED Equation.3 1415). Решаются путем замены корня 13 EMBED Equation.3 1415, с учетом ограничений.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = t, где t
· 0
t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, учитывая, что t
· 0, t = 3
13 EMBED Equation.3 1415= 313 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = ± 7
2)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = t , тогда
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = 2 или 13 EMBED Equation.3 1415 = Ѕ
13 EMBED Equation.3 1415 = 32 13 EMBED Equation.3 1415 = 1/32
16z =32 16·32z – z = - 1
z = 2 z = - 1/511

5. Уравнения, содержащие более одного корня в виде слагаемых
В уравнениях данного вида необходимо избавиться от корней. Чаще всего это происходит путем возведения обеих частей в квадрат. Необходимо отметить, что при возведении в квадрат ОДЗ неизвестного расширяется, что может привести к посторонним корням уравнения. Возведение в квадрат не обеспечивает равносильного перехода, поэтому полученные значения неизвестного нужно проверять.
При решении нужно соблюдать следующие правила:
Корни разнести по разные стороны, т. к. преобразования в этом случае проще;
Найти множество значений, при которых корни существуют;
Возвести обе части в квадрат;
Привести уравнение к стандартному виду;
Решить согласно видам 1 – 3;
Исключить посторонние корни;
Проверить оставшиеся корни.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 решаем, выполняя п.5 (уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415)
13 EMBED Equation.3 1415
Проверка х = 3
13 EMBED Equation.3 1415 Равенство верно.
Ответ: х = 3.

2) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3х – 4 - 213 EMBED Equation.3 1415= х – 2
2х – 2 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (1) х – 1 = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что, исходя из равносильности, решаем только уравнение (1), а не первоначальное, поэтому нужно произвести проверку.
Можно решать без учета ОДЗ и не использовать равносильность, но в этом случае все полученные значения х необходимо проверить. В некоторых уравнениях это достаточно сложно.
Проверка. х = 3
13 EMBED Equation.3 1415 Равенство верно.
Ответ: х = 3

6. Уравнения, решаемые способом замены переменных.
6.1 Очевидные замены.
Если в примере есть члены с повторяющимися выражениями, то целесообразно провести замену переменных, что по сути не является непосредственным решением, но значительно упрощает преобразование выражений и приведение уравнения к стандартному виду.
Золотое правило. Сделал замену – определи область изменения новой переменной. (нанеси ограничения на новую переменную)
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 = t, где t
· 0, т. к. корень арифметический.
Получим: t2 – 2t – 3 = 0
t = - 1, t = 3
Т. к. t
· 0, t = 3
Перейдем к х
13 EMBED Equation.3 1415= 3 х2 + 32 = 81, х = ± 7.
Ответ: х = ± 7.
Найти наибольший корень уравнения 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Т. к. 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 взаимно обратные выражения, то если 13 EMBED Equation.3 1415 = t,
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, где t > 0.
Получим t + 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415, 2t2 – 5t + 2 = 0,
t = Ѕ, t = 2,
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 2

8х = 1+2х, 2х = 4 + 8х
х = 1/6. х = - 2/3
Наибольший корень х = 1/6.
3) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = t, t
· 0 Заменить корень и выразить через t правую часть.
13 EMBED Equation.3 1415= t2, 13 EMBED Equation.3 1415t2 – 20
t = - (t2 – 20) , t2 + t – 20 = 0. t = - 5 или t = 4.
Т.к. t
· 0 , то t = 4
13 EMBED Equation.3 1415 = 4,
х2 + 2х + 8 = 16,
х2 + 2х - 8 = 0, х = - 4 или х = 2.
Ответ: х = - 4 , х = 2.
4) 13 EMBED Equation.3 1415. Произведем двойную замену:
t = 13 EMBED Equation.3 1415, где t
· 0, d = 13 EMBED Equation.3 1415, где d
· 0.
Выразим х из каждого: х = 5 - t 2 или х = d2 + 3. Получим систему:
13 EMBED Equation.3 1415. t = 0 или d = 0
13 EMBED Equation.3 1415 = 0 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
х = 5 или х = 3
Ответ: х = 5; х = 3.
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
6.2 Неочевидная замена
Замена переменной может возникнуть не сразу, а после проведенных преобразований.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
ОДЗ: - 1
· х
· 3
Перенесем 13 EMBED Equation.3 1415 вправо, чтобы более сложное выражение 13 EMBED Equation.3 1415 осталось одно.
13 EMBED Equation.3 1415 Возведем в квадрат обе части, ожидая получение одинаковых выражений:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ожидания оправдались.
13 EMBED Equation.3 1415 = t, t
·0 13 EMBED Equation.3 1415= t2 + 4
4t = t2 + 4, t2 – 4t + 4 = 0, (t – 2)2 = 0, t = 2
13 EMBED Equation.3 1415= 2, 13 EMBED Equation.3 1415= 4, 13 EMBED Equation.3 1415
х = 1 корень уравнения, т. к. сумма коэффициентов и свободного члена равна нулю.
разделим 13 EMBED Equation.3 1415 на х – 1 . Получим х2 – 2х + 1 = 0. х = 1 ±13 EMBED Equation.3 1415 .
Все три корня являются решениями, т. к. удовлетворяют условию - 1
· х
· 3.
Ответ: х = 1, х = 1 ±13 EMBED Equation.3 1415

7. Уравнения вида произведение равно нулю.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.
f(x) · g(x) = 0 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 0
решений нет х = - 1, х = 2.
Ответ: х = - 1, х = 2.
Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.
2)13 EMBED Equation.3 1415 Необходимо разложить на множители.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= 4
решений нет х = 0, х = 5.
Ответ: х = 0, х = 5.


Уравнения, содержащие квадратный и кубический корни.
Данные уравнения следует решать путем замены каждого корня, выражения неизвестного через замененные переменные и составления системы уравнений.
Примеры.
1)13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 = t, 13 EMBED Equation.3 1415 = d, где d
· 0
x = 2 - t3 , x = d2 + 1. Составим систему:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Т.к. при всех найденных значениях t d
· 0, то d из системы можно не находить, а х найти из условия x = 2 - t3.
х = 2, х = 10, х = 1
Ответ: х = 2, х = 10, х = 1
2) 13 EMBED Equation.3 1415.
1 способ. Решить как предыдущее уравнение.
2 способ. Заметим, что левая часть уравнения представляет возрастающую функцию, т. к. состоит из суммы двух возрастающих функций на области определения: х
· - 1. Правая часть – константа. Графики этих функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой будет решением данного уравнения, т. е. уравнение имеет одно решение. Попробуем его подобрать.
Очевидно, подбор надо вести в ОДЗ уравнения. Надо полагать, что корни должны извлекаться, т.к. сумма равна 3.
Убеждаемся, что х = 3 корень уравнения.
Ответ: х = 3.
3) 13 EMBED Equation.3 1415.
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 приведем корни к одной степени.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415, х = - 1
13 EMBED Equation.3 1415(х + 1)(х2 – 4х + 4)
х2 – 4х + 4 =0 х = 2.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: х = - 1, х = 2
Уравнение, содержащее сумму (разность) двух корней третьей степени.
Для решения таких уравнений удобно пользоваться формулой:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b),
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) .
При этом заметим, что скобка (a ± b) = 13 EMBED Equation.3 1415
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415. Возведем обе части в куб:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Но 13 EMBED Equation.3 1415 = 2, поэтому заменим последнюю скобку на 2.
Получим 13 EMBED Equation.3 1415
х = 0
ответ: х = 0.
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Заметим, что выражения 2 – х и 7 + х повторяются. Сделаем замену:
t = 13 EMBED Equation.3 1415 , d = 13 EMBED Equation.3 1415. Откуда х = 2 - t3 или х = d3 – 7
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Можно не находить t и d, а воспользоваться тем, что td = 2
13 EMBED Equation.3 1415 = 2
- х2 – 5х + 14 = 8, х2 + 5х - 6 = 0, х = - 6 , х = 1.
Ответ: х = - 6 , х = 1.
Уравнения, содержащие сложные радикалы.
При наличии сложных радикалов, например, корень под корнем, использовать следующую программу действий:
Определить, не является ли подкоренное выражение полным квадратом;
Выделить полный квадрат;
При отсутствии п. 1 применить формулы сложных радикалов;
При отсутствии п.п.1–3 применить стандартные преобразования (замена, разложение на множители, возведение в степень и т.д.)
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Попробуем найти полный квадрат. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Рассуждать при этом должны следующим образом:
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- удвоенное произведение, 2ab.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - первое число а.
Тогда второе число b = 1. Следовательно, сумма квадратов первого и второго чисел равна х – 3 . Подкоренное выражение полный квадрат. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- удвоенное произведение.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 - первое число а.
Тогда второе число b = 2. Следовательно, сумма квадратов первого и второго чисел равна х . Подкоренное выражение полный квадрат. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415= 1
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
·а
·, то получим уравнение:


·13 EMBED Equation.3 1415
· +
·13 EMBED Equation.3 1415
· = 1
Теперь сделаем замену 13 EMBED Equation.3 1415 = t , 13 EMBED Equation.3 1415 = t – 1

·t
· +
·t – 1
· = 1
Найдем нули модулей: t = 0, t = 1

·t
·
-
· +
· +

·t – 1
·- 0 - 1 + х
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
решений нет 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет
0
· 13 EMBED Equation.3 1415
· 1
1
· 13 EMBED Equation.3 1415
· 2 Т.к. все части неравенства положительны, возведем в квадрат.
1
· х – 4
· 4, 5
· х
· 8.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Методы решения иррациональных уравнений
Использование свойств монотонности функций.
11.1 Если f(x) = g(x) , а f(x) - возрастает (убывает) и g(x) – убывает (возрастает) или одна из функций константа, то графики этих функций пересекаются в одной точке. Решением уравнения является абсцисса точки пересечения. Уравнение имеет одно решение, которое можно определить подбором.
При этом надо иметь в виду следующее:
Сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).
Возрастание, убывание функции можно определить по производной.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415. f(x) – убывает на D(f) = (-
·; 3]
g(x) = 6 – константа. Графики функций пересекаются в одной точке. Уравнение имеет одно решение.
Подбор ведем из D(f) = (-
·; 3], учитывая, что корни должны извлекаться.
х = - 1.
Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415, 4 + 2 = 6, равенство верно.
Ответ: х = - 1.
2)13 EMBED Equation.3 1415
Пусть f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415. Функция убывающая.
Докажем это. D(f) = [0;
·)
f (х) = 13 EMBED Equation.3 1415
f (х) = 0 13 EMBED Equation.3 1415= 0
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Очевидно, что f (х) < 0 при D(f ) = (0;
·). Следовательно, функция убывает.
g(x) = 2 – константа. Уравнение имеет одно решение.
Подбором определяем, х = 0.
Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415 2 = 2 равенство верно.
Ответ: х = 0.
Если уравнение можно представить в виде f(x) = х и если f(x) – возрастающая функция, то уравнение f(f(x)) = х равносильно уравнению f(x) = х.
Для решения необходимо:
- в правой части выделить х;
- установить f(x);
- определить возрастание функции f(x);
- установить f(f(x));
- заменить уравнение f(f(x)) = х на уравнение f(x) = х.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
1 + 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415, тогда f(f(x)) = 1 + 13 EMBED Equation.3 1415= х.
f(x) это корень из аргумента плюс 1, в f(f(x)) аргументом будет 13 EMBED Equation.3 1415, чтобы получить функцию нужно из аргумента извлечь корень и прибавить 1.
Что и наблюдаем в f(f(x)).
f(x) – функция возрастающая, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415 = х, х = 13 EMBED Equation.3 1415
2) 13 EMBED Equation.3 1415
Возведем в куб обе части:
(х3 + 6)3 = х – 6 , 6 + (х3 + 6)3 = х
f(x) = х3 + 6, f(f(x)) = 6 + (х3 + 6)3
f(x) – функция возрастающая, следовательно, f(x) = х.
х3 +6 = х, х3 - х + 6 = 0
х = - 2 (определили подбором)
(х + 2)(х2 – 2х + 3) = 0
х2 – 2х + 3 = 0, решений нет.
Ответ: х = - 2.
12. Использование области значений функции, наибольшие, наименьшие значения, оценки
Если f(x) = g(x) , то решения уравнения будут абсциссы точек пересечения или касания графиков. Можно выделить следующие случаи: если при одних и тех же значениях аргумента
- E(f)
· E(g) = М;
- maxf = ming или minf = max g;
то эти значения аргумента являются решением уравнения f(x) = g(x).
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Будем рассуждать следующим образом.
Возводить в квадрат – громоздко.
Замена не идет.
Монотонность функции использовать нельзя.
Будем определять множество значений функции.
Пусть f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415, D(f) = [1; 3]
f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415
f (x) = 0, 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, x = 213 EMBED Equation.3 1415 D(f)
f(1) = 13 EMBED Equation.3 1415 , f(2) = 3, f(3) = 13 EMBED Equation.3 1415
E(f) = [13 EMBED Equation.3 1415; 3]
g(x) = 13 EMBED Equation.3 1415, D(g) = [0; 2]
g (x) = 13 EMBED Equation.3 1415
g (x) = 0 13 EMBED Equation.3 1415 = 0, x = 1 13 EMBED Equation.3 1415 D(g)
g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3
E(g) = [3; 4]
Заметим, что одинаковое значение функций получаем только при х = 2
Можно рассуждать и следующим образом: наибольшее значение одной функции равно наименьшему значению другой функции при одних и тех же значениях х. Следовательно, решением уравнения f(x) = g(x) являются эти значения х.
max f = 3, ming = 3 , max f = ming = 3 при х = 2
Ответ: х = 2


2) 13 EMBED Equation.3 1415
1 способ.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415, D(f) = R.
f (x) = 4х3 + 12х2 + 12х + 4
f (x) = 0 4х3 + 12х2 + 12х + 4 = 0,
х3 + 3х2 + 3х + 1 = 0, (х + 1)3 = 0
х = - 1

f (x) -
· +
f(x) - 1

fmin = f( -1) = - 1 E(f) = [ - 1;
·)

g(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 D(g) = R.
g (x) = 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415 g (x) = 0 x = - 1
g (x) + -
g (x)
·- 1

gmax = g( -1) = - 1 E(g) =( -
·; - 1]

min f = max g = - 1 при х = -1.
Ответ: х = - 1.
2 способ.
13 EMBED Equation.3 1415
Выделить полный квадрат у многочлена:
(х2 + 2х)2 + 2х2 + 4х. Получим:
(х2 + 2х)2 + 2(х2 + 2х) + 13 EMBED Equation.3 1415.
Теперь можно сделать замену:
х2 + 2х = t
t 2 + 2 t + 13 EMBED Equation.3 1415= 2
Далее стандартные преобразования.
Возможно, что в данном уравнении 2 способ предпочтительней. Но способом оценки необходимо хорошо овладеть, т. к. многие уравнения, системы, неравенства решаются именно этим способом.
Использование ОДЗ
Иногда бывает полезно найти ОДЗ неизвестного, что может привести к сужению поиска решения и самому решению уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
Анализ показывает, что применение любых способов затруднительно. Попробуем найти ОДЗ.


13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом х = 4 – единственно возможное значение.
Проверка.
13 EMBED Equation.3 1415 , 0 = 0 равенство верно.
Ответ: х = 4.

14. Использование очевидных неравенств
Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415 (средне арифметическое больше или равно средне геометрическому). При этом равенство соблюдается, если a = b.
При наличии в уравнении произведения под корнем целесообразно применить данное свойство.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Разложим подкоренное выражение на множители.
13 EMBED Equation.3 1415
Пусть а = х + 1, b = 2x + 3, тогда a + b = 3х + 4.
В левой части – средне геометрическое, в правой части – средне арифметическое.
Равенство будет, если a = b.
х + 1 = 2х + 3, х = - 2.
Ответ: х = - 2.
15. Использование скалярного произведения
Пусть вектор 13 EMBED Equation.3 1415имеет координаты (а1; а2), вектор 13 EMBED Equation.3 1415 (b1; b2).
Тогда скалярное произведение 13 EMBED Equation.3 1415· 13 EMBED Equation.3 1415 = а1 b1 + а2 b2. Т. к. а1 b1 + а2 b2 =
·13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415
·· cos
·, следовательно, а1 b1 + а2 b2
·
·13 EMBED Equation.3 1415
·
·
·13 EMBED Equation.3 1415
·

·13 EMBED Equation.3 1415
· = 13 EMBED Equation.3 1415
·13 EMBED Equation.3 1415
·= 13 EMBED Equation.3 1415
а1 b1 + а2 b2
· 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. Равенство достигается, если векторы коллинеарны (cos
· = 1). У коллинеарных векторов – коэффициенты пропорциональны. 13 EMBED Equation.3 1415
В иррациональных уравнениях, содержащих в одной части произведение корней, а в другой – сумму, целесообразно рассмотреть возможность применения теории скалярного произведения.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
В левой части сумма, в правой – произведение.
13 EMBED Equation.3 1415
По сумме определим координаты векторов: 13 EMBED Equation.3 1415(1; х), 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415; 2) Необходимо за а2 взять х, т.к.
·13 EMBED Equation.3 1415
· = 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, если же взять 2
·13 EMBED Equation.3 1415
·= 13 EMBED Equation.3 1415, чего нет в правой части.


·13 EMBED Equation.3 1415
·= 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. левая часть равна правой, то векторы коллинеарны, следовательно, координаты пропорциональны. Получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = 2.
16. Использование сопряженных выражений
Выражения a + b и a – b или a – b и a + b , будут сопряженными. Заметим, что
(a – b)( a + b) = a2 –b2 (разность квадратов). Этим удобно пользоваться для избавления от квадратных корней.
13 EMBED Equation.3 1415 Например: 13 EMBED Equation.3 1415 т.е.
13 EMBED Equation.3 1415 . Это очевидно, т.к. умножение и деление выражения на одно и тоже выражение (число), отличное от нуля не изменяет этого выражения.
13 EMBED Equation.3 1415
Иногда при наличии суммы или разности корней целесообразно выполнить такие преобразования.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
Вынесем общий множитель за скобку:
13 EMBED Equation.3 1415
Преобразуем 13 EMBED Equation.3 1415 =
13 EMBED Equation.3 1415.
Подставим в уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Но дробь равна 1, если числитель равен знаменателю и они не равны нулю.
13 EMBED Equation.3 1415
Возведем в квадрат: 13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415
х = 3, х = 7
Проверка. х =3
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415равенство неверно
х = 3 – посторонний корень.
х = 7 . (3 + 13 EMBED Equation.3 1415. Равенство верно.
Ответ: х =7.
Уравнение можно решить, доказав, что функция, стоящая слева возрастающая, и использовать метод подбора корня.
17. замена на sin или cos

Алгоритм поиска решений иррациональных уравнений
Использовать стандартные приемы;
Рассмотреть возможность замены или осуществить преобразования, приводящие к замене;
Рассмотреть возможность разложения на множители;
Рассмотреть возможность использования ОДЗ;
Рассмотреть возможность использования монотонности функции;
Рассмотреть возможность использования свойств функции (область значений, наибольшее, наименьшее), т.е. применить оценки;
Рассмотреть возможность использования сопряженных выражений;
Рассмотреть возможность использования очевидных неравенств, скалярного произведения.
Заметим, что одно и тоже уравнение можно решить различными способами. Нужно выбирать тот способ, который лучше усвоен, который более рационален для данного уравнения.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 1.Rechenieirracionalnichuravnenii
    Виды испособы решения иррациональных уравнений
    Размер файла: 696 kB Загрузок: 5