Электронный учебник. Виды и способы решения иррациональных уравнений

Методы решения иррациональных уравненийHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006123" HYPER14Стандартные виды уравнений и способы их решения HYPER13 PAGEREF _Toc162006123 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006124" HYPER141. Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= b HYPER13 PAGEREF _Toc162006124 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006125" HYPER142. Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 PAGEREF _Toc162006125 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006126" HYPER143. Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 PAGEREF _Toc162006126 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006127" HYPER144. Уравнения, сводящиеся к квадратным HYPER13 PAGEREF _Toc162006127 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006128" HYPER145. Уравнения, содержащие более одного корня в виде слагаемых HYPER13 PAGEREF _Toc162006128 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006129" HYPER146. Уравнения, решаемые способом замены переменных. HYPER13 PAGEREF _Toc162006129 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006130" HYPER147. Уравнения вида произведение равно нулю. HYPER13 PAGEREF _Toc162006130 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006131" HYPER148. Уравнения, содержащие квадратный и кубический корни. HYPER13 PAGEREF _Toc162006131 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006132" HYPER149. Уравнение, содержащее сумму (разность) двух корней третьей степени. HYPER13 PAGEREF _Toc162006132 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006133" HYPER1410.Уравнения, содержащие сложные радикалы. HYPER13 PAGEREF _Toc162006133 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006134" HYPER1411.Использование свойств монотонности функций. HYPER13 PAGEREF _Toc162006134 \h HYPER149HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006135" HYPER1412. Использование области значений функции, наибольшие, наименьшие значения, оценки HYPER13 PAGEREF _Toc162006135 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006136" HYPER1413.Использование ОДЗ HYPER13 PAGEREF _Toc162006136 \h HYPER1412HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006137" HYPER1416. Использование сопряженных выражений HYPER13 PAGEREF _Toc162006137 \h HYPER1413HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc162006138" HYPER14Алгоритм поиска решений иррациональных уравнений HYPER13 PAGEREF _Toc162006138 \h HYPER1414HYPER15HYPER15
HYPER15
Стандартные виды уравнений и способы их решения
1. Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= b f(x) = b2, при b
· 0; не имеет решений при b < 0.
Золотые правила. Для решения корень нужно уединить. Обе части возвести в квадрат.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Решений нет, т. к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15< 0.
2. Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: х = - 1
2)В примерах, сводящихся к данному виду уравнений, при применении равносильных переходов необходимо найти область допустимых значений.
Пример. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3. Уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 либо
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Выбрать неравенство, которое проще.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, sinх = t, |t|
· 1, t
· 0 , 0
· t
· 1
2t2 + t – 1 = 0
t = -1 , t = Ѕ С учетом ограничений t = Ѕ
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4. Уравнения, сводящиеся к квадратным
Такие уравнения содержат корни с одинаковыми подкоренными выражениями, степени которых разняться в два раза (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15). Решаются путем замены корня HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, с учетом ограничений.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t, где t
· 0
t 2 – 2 t – 3 = 0, t = - 1 , t = 3, учитывая, что t
· 0, t = 3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 3HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: х = ± 7
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t , тогда
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 2 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = Ѕ
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 32 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 1/32
16z =32 16·32z – z = - 1
z = 2 z = - 1/511

5. Уравнения, содержащие более одного корня в виде слагаемых
В уравнениях данного вида необходимо избавиться от корней. Чаще всего это происходит путем возведения обеих частей в квадрат. Необходимо отметить, что при возведении в квадрат ОДЗ неизвестного расширяется, что может привести к посторонним корням уравнения. Возведение в квадрат не обеспечивает равносильного перехода, поэтому полученные значения неизвестного нужно проверять.
При решении нужно соблюдать следующие правила:
Корни разнести по разные стороны, т. к. преобразования в этом случае проще;
Найти множество значений, при которых корни существуют;
Возвести обе части в квадрат;
Привести уравнение к стандартному виду;
Решить согласно видам 1 – 3;
Исключить посторонние корни;
Проверить оставшиеся корни.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 решаем, выполняя п.5 (уравнение вида HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Проверка х = 3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Равенство верно.
Ответ: х = 3.

2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3х – 4 - 2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= х – 2
2х – 2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (1) х – 1 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Заметим, что, исходя из равносильности, решаем только уравнение (1), а не первоначальное, поэтому нужно произвести проверку.
Можно решать без учета ОДЗ и не использовать равносильность, но в этом случае все полученные значения х необходимо проверить. В некоторых уравнениях это достаточно сложно.
Проверка. х = 3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Равенство верно.
Ответ: х = 3

6. Уравнения, решаемые способом замены переменных.
6.1 Очевидные замены.
Если в примере есть члены с повторяющимися выражениями, то целесообразно провести замену переменных, что по сути не является непосредственным решением, но значительно упрощает преобразование выражений и приведение уравнения к стандартному виду.
Золотое правило. Сделал замену – определи область изменения новой переменной. (нанеси ограничения на новую переменную)
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t, где t
· 0, т. к. корень арифметический.
Получим: t2 – 2t – 3 = 0
t = - 1, t = 3
Т. к. t
· 0, t = 3
Перейдем к х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 3 х2 + 32 = 81, х = ± 7.
Ответ: х = ± 7.
Найти наибольший корень уравнения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т. к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 взаимно обратные выражения, то если HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где t > 0.
Получим t + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 2t2 – 5t + 2 = 0,
t = Ѕ, t = 2,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 2

8х = 1+2х, 2х = 4 + 8х
х = 1/6. х = - 2/3
Наибольший корень х = 1/6.
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t, t
· 0 Заменить корень и выразить через t правую часть.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= t2, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15t2 – 20
t = - (t2 – 20) , t2 + t – 20 = 0. t = - 5 или t = 4.
Т.к. t
· 0 , то t = 4
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 4,
х2 + 2х + 8 = 16,
х2 + 2х - 8 = 0, х = - 4 или х = 2.
Ответ: х = - 4 , х = 2.
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Произведем двойную замену:
t = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где t
· 0, d = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где d
· 0.
Выразим х из каждого: х = 5 - t 2 или х = d2 + 3. Получим систему:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. t = 0 или d = 0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 0 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 0
х = 5 или х = 3
Ответ: х = 5; х = 3.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
6.2 Неочевидная замена
Замена переменной может возникнуть не сразу, а после проведенных преобразований.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
ОДЗ: - 1
· х
· 3
Перенесем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 вправо, чтобы более сложное выражение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 осталось одно.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Возведем в квадрат обе части, ожидая получение одинаковых выражений:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ожидания оправдались.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t, t
·0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= t2 + 4
4t = t2 + 4, t2 – 4t + 4 = 0, (t – 2)2 = 0, t = 2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 4, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 1 корень уравнения, т. к. сумма коэффициентов и свободного члена равна нулю.
разделим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на х – 1 . Получим х2 – 2х + 1 = 0. х = 1 ±HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
Все три корня являются решениями, т. к. удовлетворяют условию - 1
· х
· 3.
Ответ: х = 1, х = 1 ±HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

7. Уравнения вида произведение равно нулю.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысла.
f(x) · g(x) = 0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 0
решений нет х = - 1, х = 2.
Ответ: х = - 1, х = 2.
Неравенства, входящие в систему можно сразу не решать, а подставить полученный корень в неравенство.
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Необходимо разложить на множители.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 4
решений нет х = 0, х = 5.
Ответ: х = 0, х = 5.


Уравнения, содержащие квадратный и кубический корни.
Данные уравнения следует решать путем замены каждого корня, выражения неизвестного через замененные переменные и составления системы уравнений.
Примеры.
1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = d, где d
· 0
x = 2 - t3 , x = d2 + 1. Составим систему:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Т.к. при всех найденных значениях t d
· 0, то d из системы можно не находить, а х найти из условия x = 2 - t3.
х = 2, х = 10, х = 1
Ответ: х = 2, х = 10, х = 1
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
1 способ. Решить как предыдущее уравнение.
2 способ. Заметим, что левая часть уравнения представляет возрастающую функцию, т. к. состоит из суммы двух возрастающих функций на области определения: х
· - 1. Правая часть – константа. Графики этих функций пересекаются в одной точке, абсцисса которой будет решением данного уравнения, т. е. уравнение имеет одно решение. Попробуем его подобрать.
Очевидно, подбор надо вести в ОДЗ уравнения. Надо полагать, что корни должны извлекаться, т.к. сумма равна 3.
Убеждаемся, что х = 3 корень уравнения.
Ответ: х = 3.
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 приведем корни к одной степени.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, х = - 1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(х + 1)(х2 – 4х + 4)
х2 – 4х + 4 =0 х = 2.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ.
Ответ: х = - 1, х = 2
Уравнение, содержащее сумму (разность) двух корней третьей степени.
Для решения таких уравнений удобно пользоваться формулой:
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b),
(a - b)3 = a3 - b3 - 3ab(a - b) .
При этом заметим, что скобка (a ± b) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Возведем обе части в куб:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Но HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 2, поэтому заменим последнюю скобку на 2.
Получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 0
ответ: х = 0.
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Заметим, что выражения 2 – х и 7 + х повторяются. Сделаем замену:
t = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , d = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Откуда х = 2 - t3 или х = d3 – 7
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Можно не находить t и d, а воспользоваться тем, что td = 2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 2
- х2 – 5х + 14 = 8, х2 + 5х - 6 = 0, х = - 6 , х = 1.
Ответ: х = - 6 , х = 1.
Уравнения, содержащие сложные радикалы.
При наличии сложных радикалов, например, корень под корнем, использовать следующую программу действий:
Определить, не является ли подкоренное выражение полным квадратом;
Выделить полный квадрат;
При отсутствии п. 1 применить формулы сложных радикалов;
При отсутствии п.п.1–3 применить стандартные преобразования (замена, разложение на множители, возведение в степень и т.д.)
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Попробуем найти полный квадрат. (a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2. Рассуждать при этом должны следующим образом:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- удвоенное произведение, 2ab.
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - первое число а.
Тогда второе число b = 1. Следовательно, сумма квадратов первого и второго чисел равна х – 3 . Подкоренное выражение полный квадрат. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- удвоенное произведение.
Пусть HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - первое число а.
Тогда второе число b = 2. Следовательно, сумма квадратов первого и второго чисел равна х . Подкоренное выражение полный квадрат. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1
Т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·а
·, то получим уравнение:


·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· +
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· = 1
Теперь сделаем замену HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t , HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = t – 1

·t
· +
·t – 1
· = 1
Найдем нули модулей: t = 0, t = 1

·t
·
-
· +
· +

·t – 1
·- 0 - 1 + х
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
решений нет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 решений нет
0
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· 1
1
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· 2 Т.к. все части неравенства положительны, возведем в квадрат.
1
· х – 4
· 4, 5
· х
· 8.
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Методы решения иррациональных уравнений
Использование свойств монотонности функций.
11.1 Если f(x) = g(x) , а f(x) - возрастает (убывает) и g(x) – убывает (возрастает) или одна из функций константа, то графики этих функций пересекаются в одной точке. Решением уравнения является абсцисса точки пересечения. Уравнение имеет одно решение, которое можно определить подбором.
При этом надо иметь в виду следующее:
Сумма двух возрастающих (убывающих) функций есть функция возрастающая (убывающая).
Возрастание, убывание функции можно определить по производной.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Пусть f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. f(x) – убывает на D(f) = (-
·; 3]
g(x) = 6 – константа. Графики функций пересекаются в одной точке. Уравнение имеет одно решение.
Подбор ведем из D(f) = (-
·; 3], учитывая, что корни должны извлекаться.
х = - 1.
Проверка.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 4 + 2 = 6, равенство верно.
Ответ: х = - 1.
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Функция убывающая.
Докажем это. D(f) = [0;
·)
f (х) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
f (х) = 0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Очевидно, что f (х) < 0 при D(f ) = (0;
·). Следовательно, функция убывает.
g(x) = 2 – константа. Уравнение имеет одно решение.
Подбором определяем, х = 0.
Проверка.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 2 = 2 равенство верно.
Ответ: х = 0.
Если уравнение можно представить в виде f(x) = х и если f(x) – возрастающая функция, то уравнение f(f(x)) = х равносильно уравнению f(x) = х.
Для решения необходимо:
- в правой части выделить х;
- установить f(x);
- определить возрастание функции f(x);
- установить f(f(x));
- заменить уравнение f(f(x)) = х на уравнение f(x) = х.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, тогда f(f(x)) = 1 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= х.
f(x) это корень из аргумента плюс 1, в f(f(x)) аргументом будет HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, чтобы получить функцию нужно из аргумента извлечь корень и прибавить 1.
Что и наблюдаем в f(f(x)).
f(x) – функция возрастающая, следовательно,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = х, х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Возведем в куб обе части:
(х3 + 6)3 = х – 6 , 6 + (х3 + 6)3 = х
f(x) = х3 + 6, f(f(x)) = 6 + (х3 + 6)3
f(x) – функция возрастающая, следовательно, f(x) = х.
х3 +6 = х, х3 - х + 6 = 0
х = - 2 (определили подбором)
(х + 2)(х2 – 2х + 3) = 0
х2 – 2х + 3 = 0, решений нет.
Ответ: х = - 2.
12. Использование области значений функции, наибольшие, наименьшие значения, оценки
Если f(x) = g(x) , то решения уравнения будут абсциссы точек пересечения или касания графиков. Можно выделить следующие случаи: если при одних и тех же значениях аргумента
- E(f)
· E(g) = М;
- maxf = ming или minf = max g;
то эти значения аргумента являются решением уравнения f(x) = g(x).
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Будем рассуждать следующим образом.
Возводить в квадрат – громоздко.
Замена не идет.
Монотонность функции использовать нельзя.
Будем определять множество значений функции.
Пусть f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, D(f) = [1; 3]
f (x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
f (x) = 0, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 0, x = 2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 D(f)
f(1) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , f(2) = 3, f(3) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
E(f) = [HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 3]
g(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, D(g) = [0; 2]
g (x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
g (x) = 0 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 0, x = 1 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 D(g)
g(0) = 3, g(1) = 4, g(2) = 3
E(g) = [3; 4]
Заметим, что одинаковое значение функций получаем только при х = 2
Можно рассуждать и следующим образом: наибольшее значение одной функции равно наименьшему значению другой функции при одних и тех же значениях х. Следовательно, решением уравнения f(x) = g(x) являются эти значения х.
max f = 3, ming = 3 , max f = ming = 3 при х = 2
Ответ: х = 2


2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
1 способ.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, D(f) = R.
f (x) = 4х3 + 12х2 + 12х + 4
f (x) = 0 4х3 + 12х2 + 12х + 4 = 0,
х3 + 3х2 + 3х + 1 = 0, (х + 1)3 = 0
х = - 1

f (x) -
· +
f(x) - 1

fmin = f( -1) = - 1 E(f) = [ - 1;
·)

g(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 D(g) = R.
g (x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 g (x) = 0 x = - 1
g (x) + -
g (x)
·- 1

gmax = g( -1) = - 1 E(g) =( -
·; - 1]

min f = max g = - 1 при х = -1.
Ответ: х = - 1.
2 способ.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Выделить полный квадрат у многочлена:
(х2 + 2х)2 + 2х2 + 4х. Получим:
(х2 + 2х)2 + 2(х2 + 2х) + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Теперь можно сделать замену:
х2 + 2х = t
t 2 + 2 t + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2
Далее стандартные преобразования.
Возможно, что в данном уравнении 2 способ предпочтительней. Но способом оценки необходимо хорошо овладеть, т. к. многие уравнения, системы, неравенства решаются именно этим способом.
Использование ОДЗ
Иногда бывает полезно найти ОДЗ неизвестного, что может привести к сужению поиска решения и самому решению уравнения.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Анализ показывает, что применение любых способов затруднительно. Попробуем найти ОДЗ.


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Таким образом х = 4 – единственно возможное значение.
Проверка.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , 0 = 0 равенство верно.
Ответ: х = 4.

14. Использование очевидных неравенств
Известно, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (средне арифметическое больше или равно средне геометрическому). При этом равенство соблюдается, если a = b.
При наличии в уравнении произведения под корнем целесообразно применить данное свойство.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Разложим подкоренное выражение на множители.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пусть а = х + 1, b = 2x + 3, тогда a + b = 3х + 4.
В левой части – средне геометрическое, в правой части – средне арифметическое.
Равенство будет, если a = b.
х + 1 = 2х + 3, х = - 2.
Ответ: х = - 2.
15. Использование скалярного произведения
Пусть вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15имеет координаты (а1; а2), вектор HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (b1; b2).
Тогда скалярное произведение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = а1 b1 + а2 b2. Т. к. а1 b1 + а2 b2 =
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·
·
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·· cos
·, следовательно, а1 b1 + а2 b2
·
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·
·
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·

·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а1 b1 + а2 b2
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Равенство достигается, если векторы коллинеарны (cos
· = 1). У коллинеарных векторов – коэффициенты пропорциональны. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
В иррациональных уравнениях, содержащих в одной части произведение корней, а в другой – сумму, целесообразно рассмотреть возможность применения теории скалярного произведения.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
В левой части сумма, в правой – произведение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
По сумме определим координаты векторов: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(1; х), HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; 2) Необходимо за а2 взять х, т.к.
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, если же взять 2
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, чего нет в правой части.


·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
·= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т.к. левая часть равна правой, то векторы коллинеарны, следовательно, координаты пропорциональны. Получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: х = 2.
16. Использование сопряженных выражений
Выражения a + b и a – b или a – b и a + b , будут сопряженными. Заметим, что
(a – b)( a + b) = a2 –b2 (разность квадратов). Этим удобно пользоваться для избавления от квадратных корней.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Например: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 т.е.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 . Это очевидно, т.к. умножение и деление выражения на одно и тоже выражение (число), отличное от нуля не изменяет этого выражения.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Иногда при наличии суммы или разности корней целесообразно выполнить такие преобразования.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вынесем общий множитель за скобку:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Преобразуем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 =
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Подставим в уравнение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Но дробь равна 1, если числитель равен знаменателю и они не равны нулю.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Возведем в квадрат: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 3, х = 7
Проверка. х =3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15равенство неверно
х = 3 – посторонний корень.
х = 7 . (3 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Равенство верно.
Ответ: х =7.
Уравнение можно решить, доказав, что функция, стоящая слева возрастающая, и использовать метод подбора корня.
17. замена на sin или cos

Алгоритм поиска решений иррациональных уравнений
Использовать стандартные приемы;
Рассмотреть возможность замены или осуществить преобразования, приводящие к замене;
Рассмотреть возможность разложения на множители;
Рассмотреть возможность использования ОДЗ;
Рассмотреть возможность использования монотонности функции;
Рассмотреть возможность использования свойств функции (область значений, наибольшее, наименьшее), т.е. применить оценки;
Рассмотреть возможность использования сопряженных выражений;
Рассмотреть возможность использования очевидных неравенств, скалярного произведения.
Заметим, что одно и тоже уравнение можно решить различными способами. Нужно выбирать тот способ, который лучше усвоен, который более рационален для данного уравнения.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 1.Rechenieirracionalnichuravnenii
    Виды испособы решения иррациональных уравнений
    Размер файла: 696 kB Загрузок: 5