Электронный учебник. Тригонометрия. Определение и свойства тригонометрических функций

Оглавление
1. HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273178" HYPER14Тригонометрический круг. HYPER13 PAGEREF _Toc109273178 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273179" HYPER141.1 Перевод углов. HYPER13 PAGEREF _Toc109273179 \h HYPER141HYPER15HYPER15
2. HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273180" HYPER14Определение тригонометрических функций. HYPER13 PAGEREF _Toc109273180 \h HYPER142HYPER15HYPER15
3. HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273181" HYPER14Значения тригонометрических функций для некоторых углов. HYPER13 PAGEREF _Toc109273181 \h HYPER144HYPER15HYPER15
4. HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273182" HYPER14Некоторые свойства тригонометрических функций. HYPER13 PAGEREF _Toc109273182 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273183" HYPER144.1Знаки по четвертям. HYPER13 PAGEREF _Toc109273183 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273184" HYPER144.2 Четность, нечетность. HYPER13 PAGEREF _Toc109273184 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109273185" HYPER144.3 Периодичность. HYPER13 PAGEREF _Toc109273185 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER15
1.Тригонометрический круг.
Тригонометрический круг – это круг с радиусом равным единице и с центром в начале координат.
За нулевое положение радиуса принято его положение на положительном направлении оси Х. Угол поворота радиуса отсчитывается от положительного направления оси Х: с плюсом - против часовой стрелки, с минусом - по часовой стрелке.








1.1 Перевод углов.
В 180( содержится ( радиан или 3,14 радиан.
Для перевода в радианы удобно пользоваться пропорцией.
Примеры. Перевести 120( в радианы.
180((((((((((((( ( х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
120( (((((((((((( х
Перевести 2 радиана в градусы с точностью до градуса.
180((((((((((((( 3,14 х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( 115(.
х (((((((((((( 2

Для перевода в градусы радиан, выраженных через ( удобно вместо ( подставить 180(и вычислить.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Отрезки, отсекаемые кругом на осях.
При 0(: х = 1, у = 0.
При 90(((/2): х = 0, у = 1.
При 180(((): х = (1, у = 0.
При 270((3(/2): х = 0, у = (1.
При 360((2(): х = 1, у = 0.

Термины.
Ось У – «вертикальный диаметр», ось Х – «горизонтальный диаметр».
Углы на диаметрах – «диаметральные углы».
Четверти при положительном отсчете углов.




2. Определение тригонометрических функций.

1) Синусом угла ( является ордината точки М на тригонометрическом круге, получающаяся при повороте радиуса на угол (.






2) Косинусом угла ( является абсцисса точки М на тригонометрическом круге, получающаяся при повороте радиуса на угол (.








Запомнить кратко! sin ( - это ордината, cos ( - это абсцисса.
3) Тангенсом угла ( является ордината точки В на оси тангенсов ( х = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью тангенсов при повороте радиуса на угол (.






4) Котангенсом угла ( является абсцисса точки В на оси котангенсов
( у = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью котангенсов при повороте радиуса на угол (.








Запомнить кратко! tg ( - это ордината на оси тангенсов, ctg ( - это абсцисса на оси котангенсов.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
2. Значения тригонометрических функций для некоторых углов
Табличные значения
Табличные значения даются для углов 30(((/6), 45(((/4), 60(((/3),


30(((/6)
45(((/4)
60(((/3)

sin (
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

cos (
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

tg (
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

ctg (
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Запоминание!
Расположение углов в таблице (30, 45, 60) или ((/6, (/4, (/3);
Ряд синуса: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. В знаменателях везде двойки. В числителе корень и последовательность 1, 2, 3;
Для косинуса: значения для (/6, и (/3, (30( и 60() меняются местами, т. е. последовательность 3,2,1;
Ряд для тангенса: запомнить :HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 1, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ;
Для котангенса значения для (/6, и (/3, (30( и 60() меняются местами.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
Значения для диаметральных углов.

0
(/2
(
3(/2
2(

sin (
0
1
0
(1
0

сos (
1
0
(1
0
1

tg (
0
(
0
(
0

сtg (
(
0
(
0
(


Запоминание!
Смотреть по тригонометрическому кругу.

1) Так как sin ( - это ордината (у), то при (( 0 - у = 0, при (( (/2 - у = 1, при (( ( - у = 0, при ((3(/2- у = (1.
Так как cos ( - это абсцисса, то при ((0 х = 1; при (( (/2 х = 0; при (( ( х = (1; при (( 3(/2 х = 0.
Так как tg ( - это ордината на оси тангенсов, то при (( 0, (, 2( у = 0; при (( (/2 у( (, при (( 3(/2 у( ( (, ось У и ось тангенсов параллельны, т. е. тангенс не существует.
Так как сtg ( - это абсцисса на оси котангенсов, то при (( (/2, (( 3(/2 х = 0; при ((0, (( 2( х ( (, при ( х ( ( (, ось Х и ось котангенсов параллельны, т. е. котангенс не существует.
у При 0(: х = 1, у = 0.
(0;1) При 90(((/2): х = 0, у = 1.
(-1;0) (1;0) х При 180(((): х = (1, у = 0.
При 270((3(/2): х = 0, у = (1.
(0;-1) При 360((2(): х = 1, у = 0.

Синус и косинус изменяются от минус единиц до единицы включительно.
(sin х (( 1, (1 ( sin x (1. (cos х (( 1, (1 ( cos x (1
Тангенс и котангенс изменяются изменяются от минус бесконечности до плюс бесконечности.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
4. Некоторые свойства тригонометрических функций
4.1Знаки по четвертям

sin ( cos ( tg ( ctg (



Для sin ( - у положительный в 1 и 2 четвертях, отрицательный в 3 и 4.
Для cos ( - х положительный в 1 и 4 четвертях, отрицательный во 2 и 3.
Для tg ( и ctg ( знаки чередуются, начиная с плюса.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
4.2 Четность, нечетность.
Функции синус, тангенс, котангенс – нечетные.
Знак минус у аргумента (угла ) можно вынести за знак функции.
Примеры.
sin ( (() = ( sin (. tg ( (60() = ( tg 60(= (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
ctg ( (/4 ( () = (ctg ( ( ( (/4).
Функция косинус – четная.
Знак минус у аргумента ( угла ) можно опустить.
Примеры.
сos (( () = cos (. сos (( () = cos ( = (1.

4.3 Периодичность.
Функции синус и косинус – периодические с периодом 2( (360(), т. е. повторяют свои значения через 2(n (360(n), Т = 2(.
Функции тангенс и котангенс – периодические с периодом ( (180(), т. е. повторяют свои значения через (n (180(n). Т = (
Значение функции не изменится, если период вычесть из данного угла или опустить, при этом не изменяя знака дополнительного угла.
Примеры.
Вычислить: sin 450( = sin ( 360(+ 90() = sin 90( = 1
сos 3( = cos ( 2( + () = cos ( = (1.
tg 780(= tg (180((4 + 60() = tg 60( = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
sin ( ( + 2() = sin (
Для функций sin kx, cos kx период Т1 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а для функций tg kx, ctg kx период Т1 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.



(/2

90(

(


3(/2

0
2(

270(

180(

0(
360(

Отсчет углов в градусах Отсчет углов в радианах

У
(0;1)

(-1;0) (1;0)

Х

(0;-1)


1

3 4

2
2 122

У



Х

М
Sin (


М



Cos (


В

У

Tg (

Х

У
Ctg (
В


Х

+
+ (

( +
+ (

( +

( +

+ +
_ _
( (



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeПротасенко Мария СергеевнаCurrent UserPowerPoint Documentew RomanTimes New Romanew RomangradientSize: 0.1У




ХМ
Sin
·
Sin
·
MЗапомни! Синус – это ординатаgradientSize: 0.1gradientSize: 0.1У




Х М

cos
·
cos
·

MЗапомни! косинус – это абсциссаgradientSize: 0.13) Тангенсом угла
· является ордината точки В на оси тангенсов ( х = 1 ), получающаяся при пересечении продолжения радиуса с осью тангенсов при повороте радиуса на угол
·.У




ХОсь тангенсов, х = 1gradientSize: 0.1gradientSize: 0.1Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 1.trigonometricheskiikrug.
    Тригонометрические функции: определение, свойства, значения
    Размер файла: 430 kB Загрузок: 3