Электронный Учебник. Тригонометрия. Формулы

Тригонометрические формулы
13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc109274741" 14Оглавление 13 PAGEREF _Toc109274741 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc109274742" 141. Тригонометрические формулы. 13 PAGEREF _Toc109274742 \h 1411515
1) 13 LINK \l "_Toc109274743" 14Формулы одного аргумента. 13 PAGEREF _Toc109274743 \h 1411515
2) 13 LINK \l "_Toc109274744" 14Формулы сложения. 13 PAGEREF _Toc109274744 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc109274745" 143) Формулы двойного угла. 13 PAGEREF _Toc109274745 \h 1421515
4) 13 LINK \l "_Toc109274746" 14Формулы половинного угла. Понижения степени. 13 PAGEREF _Toc109274746 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc109274747" 145) Формулы преобразования суммы в произведение. 13 PAGEREF _Toc109274747 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc109274748" 146) Формулы перевода произведения в сумму. 13 PAGEREF _Toc109274748 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc109274749" 147) Формулы, выражения тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Формулы универсальной замены. 13 PAGEREF _Toc109274749 \h 1441515
15
1. Тригонометрические формулы.
Все формулы для синуса и косинуса и тангенса следует запоминать как слева направо, так справа налево.
1) Формулы одного аргумента.
sin2 ( + cos2 ( = 1. Основное тригонометрическое тождество.
1 = sin2 ( + cos2 (
sin2 ( = 1 ( cos2 (
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Под ( подразумевается любой угол.
sin2 2 ( + cos2 2 ( = 1
Типовые преобразования.
Единицу можно представить через sin и cos любого угла.
Представить 1 через синус и косинус угла 3(.
1 = sin2 3( + cos2 3(
Представить число 2 через sin и cos угла х.
2 = 2 (sin2 х + cos2 х) = 2sin2 х + 2cos2 х
Любое число можно представить через sin и cos, tg и ctg по любому углу.
2) Формулы сложения.
sin ( ( ( () = sin ( cos ( ( sin ( cos (;
cos ( ( ( () = cos ( cos ( 13 EMBED Equation.3 1415 sin ( sin (;
tg ( ( ( () =13 EMBED Equation.3 1415;
Запоминание!
Для sin ( синус на косинус, знак тот же;
Для cos ( косинус на косинус, синус на синус, знак противоположный.
Типовые преобразования.
Необходимо уметь применять формулу как слева направо, так и справа
налево.
Вычислить: sin 27(cos 63( + sin 63(cos 27( = sin (27( + 63() =
sin 90( = 1.
Вычислить cos 75( = cos ( 30( + 45() = cos 30( cos 45(( sin 30( sin 45( =
13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Выражения 13 EMBED Equation.3 1415cos х ( 13 EMBED Equation.3 1415sin х = sin ( (/4 ( х ), т. к. 13 EMBED Equation.3 1415 = sin (/4 и
13 EMBED Equation.3 1415 = cos (/4.
Аналогично возможно представить выражение, содержащее коэффициенты
13 EMBED Equation.3 1415 .

3) Формулы двойного угла.
sin 2 ( = 2sin ( cos (; cos 2 ( = cos2 ( ( sin2 (,
где 2 ( - двойной угол, а ( его половина.
tg 2( = 13 EMBED Equation.3 1415.
Запоминание!
Запоминать формулы следует запоминать сразу для sin и cos, повторяя у sin – два синус, умноженный на косинус, для cos – косину
·с квадрат минус синус квадрат.
Для tg нужно помнить формулу сложения и по ней составить формулу двойного угла: 13 EMBED Equation.3 1415.
Типовые преобразования.
а) Следует пользоваться понятиями двойной угол и половина: 2( (двойной угол и (( половина, 4 ( (двойной угол и 2(( его половина, х (двойной угол и его половина х/2 и т. д.
sin 2 ( = 2sin ( cos (; cos 2 ( = cos2 ( ( sin2 (;
sin 4х = 2sin 2х cos 2х cos ( = cos2 13 EMBED Equation.3 1415 ( sin2 13 EMBED Equation.3 1415.
б) Следует помнить, что:
(sin ( ( cos ()2 = sin2 ( ( 2sin ( cos ( + cos2 ( = 1 ( 2sin ( cos ( = 1 ( sin 2(; верно и обратное преобразование: 1 ( sin 2 ( = (sin ( ( cos ()2
cos2 ( ( sin2 ( = (cos ( ( sin () (cos ( + sin () (можно представить как разность квадратов.
в) sin ( cos ( = 13 EMBED Equation.3 1415; Произведение sin на cos дает sin двойного угла, деленный на 2.
sin2 ( ( cos2 ( = ( cos 2 (.
4) Формулы половинного угла. Понижения степени.
sin2 ( =13 EMBED Equation.3 1415; cos2 ( =13 EMBED Equation.3 1415;
tg2 ( = 13 EMBED Equation.3 1415.
Запоминание!
В числителе угол в два раза больше.
Для sin – единица минус косинус, для косинуса ( единица плюс косинус
Типовые преобразования.
2sin2 ( = 1 ( cos2 (; 2cos2 ( = 1 + cos 2 (;
Понижение степени. sin4 ( =13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415.
5) Формулы преобразования суммы в произведение.
sin ( ( sin ( = 2 sin 13 EMBED Equation.3 1415cos13 EMBED Equation.3 1415;
cos ( + cos ( = 2cos 13 EMBED Equation.3 1415 cos 13 EMBED Equation.3 1415;
cos ( ( cos ( = (2sin 13 EMBED Equation.3 1415 sin 13 EMBED Equation.3 1415;
tg ( ( tg ( =13 EMBED Equation.3 1415.
Запоминание!
1) Использовать формулы сложения. Для sin – синус на косиус; для cos – при сложении косинус на косинус, при вычитании – синус на синус.
2) Коэффициент 2 и ( 2.
Углы – полу- сумма, полу- разность.
6) Формулы перевода произведения в сумму.
sin ( cos ( = 1/2( sin ( ( (() + sin ( ( +() );
cos ( cos ( = 1/2( cos ( ( (() + cos ( ( +() );
sin ( sin ( = 1/2( cos ( ( (() - cos ( ( +() );
Запоминание!
Использовать формулы сложения: sin умножить на cos дают дает сложение sin ( ( (() и sin ((+ (); cos умножить на cos дает сложение cos(( (() и cos( (+ () ; sin умножить на sin дает вычитание cos( ( (() и cos((+ ().
Коэффициент 1/2.
Первое слагаемое всегда с разностью углов.
7) Формулы, выражения тригонометрических функций через тангенс половинного угла. Формулы универсальной замены.
sin ( =13 EMBED Equation.3 1415; cos ( =13 EMBED Equation.3 1415; tg ( = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415

Во всех формулах, содержащих тангенс, следует иметь в виду, что он не определен при углах равных (/2 + (n.


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы