Электронный Учебник. Тригонометрия. Преобразование тригонометрических выражений

Преобразования тригонометрических выражений
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109275475" HYPER14Преобразования тригонометрических выражений HYPER13 PAGEREF _Toc109275475 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109275476" HYPER141. Алгебраические преобразования. HYPER13 PAGEREF _Toc109275476 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109275477" HYPER142. Тригонометрические преобразования. HYPER13 PAGEREF _Toc109275477 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109275478" HYPER143. Алгебраические и тригонометрические преобразования. HYPER13 PAGEREF _Toc109275478 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc109275479" HYPER144. Общий алгоритм преобразования тригонометрических выражений. HYPER13 PAGEREF _Toc109275479 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER15
1. Алгебраические преобразования.
К алгебраическим преобразованиям относятся приведение подобных, выполнение алгебраических действий (сложение, умножение, возведение в степень и т. д.), сокращение дробей, применение формул сокращенного умножения, разложение на множители и другие.
Примеры. Упростить выражения:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15( произведено сокращение.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (произведено сложение дробей и умножение (сокращение) или можно произвести умножение скобки с сокращением.
Разложить на множители:
2sin (cos ( (cos ( = cos ( (2sin ( (1) ( вынесен cos ( за скобку.
сos2 ( ( sin2 ( = (cos ( ( sin ( )( cos ( + sin () применена формула разности квадратов.
сos3 ( ( sin3 ( = (cos ( ( sin ( )(cos2 ( + cos (sin ( + sin2 () применена формула разности кубов.

2. Тригонометрические преобразования.
Тригонометрические преобразования ( это преобразования с использованием свойств и тригонометрических формул.
Примеры. Упростить выражения:
sin2 ( + cos ( + cos2 ( = 1 + cos (.( использовано основное тригонометрическое тождество.
1 ( cos2( = sin2 ( + cos2 ( ( cos2 ( + sin2 ( = 2sin2 ( ( использовано основное тригонометрическое тождество и формула двойного угла для косинуса.
3. Алгебраические и тригонометрические преобразования.
Сначала необходимо выполнять алгебраические, а потом тригонометрические преобразования. Алгебраические и тригонометрические преобразования чередуются после завершения каждого комплекса тригонометрических и алгебраических преобразований.

Примеры. Упростить:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER151 (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15выполнено сложение,(алгебраическое преобразование).
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(1 представлена через основное тригонометрическое тождество (тригонометрическое преобразование), далее приведены подобные и применена формула котангенса. Можно сразу воспользоваться преобразованием: 1 – sin2 x
2) 1 ((sin2 ( (cos2 () = Раскрыть скобки, (алгебраическое преобразование),
1 представить через основное тригонометрическое тождество (тригонометрическое преобразование), привести подобные (алгебраические преобразование).
1 ((sin2 ( (cos2 () = sin2 ( + cos2 ( ( sin2 ( + cos2 ( = 2cos2 (.

3) sin4 ( (cos4 ( = Разложить на множители как разность квадратов и представить сумму через единицу и использовать формулу двойного угла для косинуса.
sin4 ( (cos4 ( = (sin2 ( ( cos2 ()(sin2 ( + cos2 () = sin2 ( ( cos2 ( = ( cos 2(.
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а) Выполним сложение (алгебраическое преобразование): HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
б) В знаменателе применим формулу (тригонометрическое преобразование) .
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в) Сократим дробь (алгебраическое преобразование):
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4. Общий алгоритм преобразования тригонометрических выражений.
Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, для чего использовать свойства четности, нечетности, периодичности, формулы приведения (при наличии);
Пункт 2. Применить тригонометрическую формулу для всего выражения (при наличии);
Пункт 3. При наличии в выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;
Пункт 4. Выполнить алгебраические преобразования;
Пункт 5. Выполнить тригонометрические преобразования:
1) Применить формулы во всем выражении( при наличии);
Прео
·бразования по углу:
а) Углы одинаковые ( применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;
б) Углы разнятся в два раза ( применить формулы двойного или половинного угла;
в) Углы разные ( рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;
Преобразование по функции:
а) Использовать формулы приведения для получения кофункции;
б) Использовать формулы для приведения к необходимой функции .
Примечание: Алгебраические и тригонометрические преобразования чередуются по мере выполнения комплекса каждого алгебраического или тригонометрического преобразований.

Целесообразно перед выполнением примера провести анализ по алгоритму.
Пример 1. Упростить:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Анализ: Сначала выполнить алгебраические преобразования (сложить), затем ( тригонометрические преобразования (углы разняться в два раза).
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 1. Нет. Пункт 2. Нет. Пункт 3. Нет.HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 4.HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Выполнили сложение.
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 5.HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; Углы разнятся в два раза ( применили формулу двойного угла для синуса.
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 4.HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 1 ( sin2 х; Вынесли 2cosх за скобку и сократили.(алгебраич. преобразования)
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 5.HYPER15 1 ( sin2 х = cos2х. Применили основное тригонометрическое тождество.
Пример 2. Доказать тождество:
(tg ( + ctg () sin 2( = 2
Анализ: Выразить tg ( и ctg ( через синус и косинус, углы разнятся в два раза.
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пунктов 1, 2 ( нет.HYPER15 Пункт 3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 4.HYPER15 Сложить дроби: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 5.HYPER15 Применить основное тригонометрическое тождество и формулу двойного угла для синуса:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 4.HYPER15 Сократить: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



Пример 3. Упростить: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Анализ: Угол привести в стандартный вид (формула приведения), алгебраические преобразования не целесообразны, тригонометрические преобразования (углы разные) ( использовать формулы перевода суммы в произведение.
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 1.HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пунктов 2,3,4 нет.HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 5.HYPER15 Применим формулу перевода суммы в произведение для sinх и sin3х:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14Пункт 4.HYPER15 Вынесем в числителе sin2х за скобку, сократим, приведем подобные:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. См. алгоритм.
Анализ: Можно числитель разложить как разность квадратов и потом осуществить перевод суммы в произведение.
Можно выполнитьHYPER13 HYPERLINK \l "Алгоритм" HYPER14 пункт 5. 2. бHYPER15, т.е. привести по формулам приведения sin2 26( к cos264 (, т. к. sin 26( = sin (90((64 () = cos 64 (.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
Используя формулы двойного угла получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
Далее преобразуем по формулам приведения получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример 5. Вычислить: См. алгоритм.
sin 10 (sin 50 (sin 70 (
По алгоритму можно осуществить переводы из произведения в сумму. Используем специальные приемы: будем приводить к синусу двойного угла, заметив, что sin 70 (= cos 20 (, а для того чтобы получить sin 20 ( необходимо sin 10 ( домножить на cos 10 ( и, чтобы не изменилось все выражениее разделить на cos 10 (.
sin 10 (sin 50 (sin 70 ( = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
Далее т. к. sin 20 (cos 20 (= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , а sin 50 ( = cos 40 ( получаем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 4.preobrazovanie
    Преобразование тригонометрических выражений
    Размер файла: 193 kB Загрузок: 2