Электронный Учебник. Тригонометрия. Преобразование тригонометрических выражений

Преобразования тригонометрических выражений
13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc109275475" 14Преобразования тригонометрических выражений 13 PAGEREF _Toc109275475 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc109275476" 141. Алгебраические преобразования. 13 PAGEREF _Toc109275476 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc109275477" 142. Тригонометрические преобразования. 13 PAGEREF _Toc109275477 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc109275478" 143. Алгебраические и тригонометрические преобразования. 13 PAGEREF _Toc109275478 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc109275479" 144. Общий алгоритм преобразования тригонометрических выражений. 13 PAGEREF _Toc109275479 \h 1431515
15
1. Алгебраические преобразования.
К алгебраическим преобразованиям относятся приведение подобных, выполнение алгебраических действий (сложение, умножение, возведение в степень и т. д.), сокращение дробей, применение формул сокращенного умножения, разложение на множители и другие.
Примеры. Упростить выражения:
13 EMBED Equation.3 1415( произведено сокращение.
13 EMBED Equation.3 1415 (произведено сложение дробей и умножение (сокращение) или можно произвести умножение скобки с сокращением.
Разложить на множители:
2sin (cos ( (cos ( = cos ( (2sin ( (1) ( вынесен cos ( за скобку.
сos2 ( ( sin2 ( = (cos ( ( sin ( )( cos ( + sin () применена формула разности квадратов.
сos3 ( ( sin3 ( = (cos ( ( sin ( )(cos2 ( + cos (sin ( + sin2 () применена формула разности кубов.

2. Тригонометрические преобразования.
Тригонометрические преобразования ( это преобразования с использованием свойств и тригонометрических формул.
Примеры. Упростить выражения:
sin2 ( + cos ( + cos2 ( = 1 + cos (.( использовано основное тригонометрическое тождество.
1 ( cos2( = sin2 ( + cos2 ( ( cos2 ( + sin2 ( = 2sin2 ( ( использовано основное тригонометрическое тождество и формула двойного угла для косинуса.
3. Алгебраические и тригонометрические преобразования.
Сначала необходимо выполнять алгебраические, а потом тригонометрические преобразования. Алгебраические и тригонометрические преобразования чередуются после завершения каждого комплекса тригонометрических и алгебраических преобразований.

Примеры. Упростить:
13 EMBED Equation.3 14151 (13 EMBED Equation.3 1415выполнено сложение,(алгебраическое преобразование).
13 EMBED Equation.3 1415(1 представлена через основное тригонометрическое тождество (тригонометрическое преобразование), далее приведены подобные и применена формула котангенса. Можно сразу воспользоваться преобразованием: 1 – sin2 x
2) 1 ((sin2 ( (cos2 () = Раскрыть скобки, (алгебраическое преобразование),
1 представить через основное тригонометрическое тождество (тригонометрическое преобразование), привести подобные (алгебраические преобразование).
1 ((sin2 ( (cos2 () = sin2 ( + cos2 ( ( sin2 ( + cos2 ( = 2cos2 (.

3) sin4 ( (cos4 ( = Разложить на множители как разность квадратов и представить сумму через единицу и использовать формулу двойного угла для косинуса.
sin4 ( (cos4 ( = (sin2 ( ( cos2 ()(sin2 ( + cos2 () = sin2 ( ( cos2 ( = ( cos 2(.
4) 13 EMBED Equation.3 1415
а) Выполним сложение (алгебраическое преобразование): 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
б) В знаменателе применим формулу (тригонометрическое преобразование) .
13 EMBED Equation.3 1415
в) Сократим дробь (алгебраическое преобразование):
13 EMBED Equation.3 1415

4. Общий алгоритм преобразования тригонометрических выражений.
Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, для чего использовать свойства четности, нечетности, периодичности, формулы приведения (при наличии);
Пункт 2. Применить тригонометрическую формулу для всего выражения (при наличии);
Пункт 3. При наличии в выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;
Пункт 4. Выполнить алгебраические преобразования;
Пункт 5. Выполнить тригонометрические преобразования:
1) Применить формулы во всем выражении( при наличии);
Прео
·бразования по углу:
а) Углы одинаковые ( применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;
б) Углы разнятся в два раза ( применить формулы двойного или половинного угла;
в) Углы разные ( рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;
Преобразование по функции:
а) Использовать формулы приведения для получения кофункции;
б) Использовать формулы для приведения к необходимой функции .
Примечание: Алгебраические и тригонометрические преобразования чередуются по мере выполнения комплекса каждого алгебраического или тригонометрического преобразований.

Целесообразно перед выполнением примера провести анализ по алгоритму.
Пример 1. Упростить:
13 EMBED Equation.3 1415
Анализ: Сначала выполнить алгебраические преобразования (сложить), затем ( тригонометрические преобразования (углы разняться в два раза).
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 1. Нет. Пункт 2. Нет. Пункт 3. Нет.15
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 4.15 13 EMBED Equation.3 1415 Выполнили сложение.
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 5.15 13 EMBED Equation.3 1415; Углы разнятся в два раза ( применили формулу двойного угла для синуса.
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 4.15 13 EMBED Equation.3 1415 = 1 ( sin2 х; Вынесли 2cosх за скобку и сократили.(алгебраич. преобразования)
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 5.15 1 ( sin2 х = cos2х. Применили основное тригонометрическое тождество.
Пример 2. Доказать тождество:
(tg ( + ctg () sin 2( = 2
Анализ: Выразить tg ( и ctg ( через синус и косинус, углы разнятся в два раза.
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пунктов 1, 2 ( нет.15 Пункт 3. 13 EMBED Equation.3 1415;
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 4.15 Сложить дроби: 13 EMBED Equation.3 1415;
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 5.15 Применить основное тригонометрическое тождество и формулу двойного угла для синуса:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 4.15 Сократить: 13 EMBED Equation.3 1415



Пример 3. Упростить: 13 EMBED Equation.3 1415
Анализ: Угол привести в стандартный вид (формула приведения), алгебраические преобразования не целесообразны, тригонометрические преобразования (углы разные) ( использовать формулы перевода суммы в произведение.
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 1.15 13 EMBED Equation.3 1415;
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пунктов 2,3,4 нет.15
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 5.15 Применим формулу перевода суммы в произведение для sinх и sin3х:
13 EMBED Equation.3 1415;
13 LINK \l "Алгоритм" 14Пункт 4.15 Вынесем в числителе sin2х за скобку, сократим, приведем подобные:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 4. 13 EMBED Equation.3 1415. См. алгоритм.
Анализ: Можно числитель разложить как разность квадратов и потом осуществить перевод суммы в произведение.
Можно выполнить13 LINK \l "Алгоритм" 14 пункт 5. 2. б15, т.е. привести по формулам приведения sin2 26( к cos264 (, т. к. sin 26( = sin (90((64 () = cos 64 (.
13 EMBED Equation.3 1415;
Используя формулы двойного угла получаем:
13 EMBED Equation.3 1415;
Далее преобразуем по формулам приведения получаем:
13 EMBED Equation.3 1415

Пример 5. Вычислить: См. алгоритм.
sin 10 (sin 50 (sin 70 (
По алгоритму можно осуществить переводы из произведения в сумму. Используем специальные приемы: будем приводить к синусу двойного угла, заметив, что sin 70 (= cos 20 (, а для того чтобы получить sin 20 ( необходимо sin 10 ( домножить на cos 10 ( и, чтобы не изменилось все выражениее разделить на cos 10 (.
sin 10 (sin 50 (sin 70 ( = 13 EMBED Equation.3 1415;
Далее т. к. sin 20 (cos 20 (= 13 EMBED Equation.3 1415 , а sin 50 ( = cos 40 ( получаем:
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 4.preobrazovanie
    Преобразование тригонометрических выражений
    Размер файла: 193 kB Загрузок: 3