Электронный Учебник. Тригонометрия. Тригонометрические функции и их графики

Тригонометрические функции, их свойства и графики
1. 13 TOC \o "1-3" \h \z 1413 LINK \l "_Toc109276793" 14Функции у = sin х, у = cos х. 13 PAGEREF _Toc109276793 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc109276794" 141.1 Построение. 13 PAGEREF _Toc109276794 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc109276795" 14.2 Графики функций у = tg х, у = ctg х. 13 PAGEREF _Toc109276795 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc109276796" 143. Основные свойства тригонометрических функций. 13 PAGEREF _Toc109276796 \h 1441515
3.1 13 LINK \l "_Toc109276797" 14Область определения. 13 PAGEREF _Toc109276797 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc109276798" 143.2 Периодичность, четность, нечетность. 13 PAGEREF _Toc109276798 \h 1441515
3.3 13 LINK \l "_Toc109276799" 14Нули функции. 13 PAGEREF _Toc109276799 \h 1451515
3.4 13 LINK \l "_Toc109276800" 14Промежутки знакопостоянства. 13 PAGEREF _Toc109276800 \h 1451515
3.5 13 LINK \l "_Toc109276801" 14Промежутки возрастания, убывания. 13 PAGEREF _Toc109276801 \h 1451515
3.6 13 LINK \l "_Toc109276802" 14Экстремумы. 13 PAGEREF _Toc109276802 \h 1451515
3.7 13 LINK \l "_Toc109276803" 14Множество значений функции. 13 PAGEREF _Toc109276803 \h 1451515
15
1. Функции у = sin х, у = cos х.
у = sin х ( графиком является синусоида.












































1












·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·у = cos х ( графиком является косинусоида.















1




































































































































































































































































1














1.1 Построение.
Пункт 1. Определить нули функции;
Пункт 2. Определить экстремумы, учитывая, что (sin х( ( 1 и(cos х( ( 1;
Пункт 3. Нанести полученные точки и соединить их плавной кривой.
у = sin х у = cos х
Пункт 1.
sin х = 0 cos х = 0
x = (n, где n(Z. x = (/2 + (n, где n (Z
Найдем конкретные точки:
n = 0, x = 0; n = 0, x = (/2;
n = 1, x = (; n = 1, x = (/2 + ( = 3(/2;
n = 2, x = 2(; n = 2, x = (/2 + (;
n = (1, x = ( (; n = (1, x = (/2 ( ( = ((/2;
Достаточно найти две соседние точки и дальше их повторить через полученный промежуток.
Нули функции повторяются через (. 13 EMBED Equation.3 1415
Пункт 2.
sin х = 1 cos х = 1
x = (/2 + 2(n, где n(Z. x = 2 (n, где n (Z
n = 0, x = (/2 ; n = 0, x = 0;
n = 1, x = (/2 + 2(; n = 1, x = 2(;
n = (1, x = ( 3(/2; n = (1, x = ( 2(;
sin х = (1 cos х = (1
x = 3(/2 + 2(n, где n(Z. x = ( + 2 (n, где n (Z
n = 0, x = 3(/2 ; n = 0, x = (;
n = 1, x = (/2 + 2(; n = 1, x = ( + 2(;
n = (1, x = ( (/2; n = (1, x = ( (;
Все вышеуказанные точки целесообразно определять на тригонометрическом круге, использовать при этом понятия: синус – это
ордината, косинус – это абсцисса.




Например (см. на круг): sin х = 0 при х = 0 и повторится через пол ( оборота, т.е. через (;
сos х = 0 при х = (/2 и повторится через пол – оборота, т. е. через (;
sin х = 1 при х = (/2 и повторится через целый оборот, т. е. через 2(;
сos х = 1 при х = 0 и повторится через целый оборот, т. е. через 2(;
sin х = (1 при х = 3(/2 и повторится через целый оборот, т. е. через 2(;
сos х = (1 при х = ( и повторится через целый оборот, т. е. через 2(.
Для построения графиков удобно принимать 3 клеточки за (/2, тогда одна клеточка будет (/6, ( будет содержать 6 клеточек.

Пример. Построить график функции у = sin 2х.
sin 2х = 0 2х = (n; x = (n/2.
n = 0 x = 0; n = 1 x = (/2, т. е . точки повторятся через (/2, через 3 клеточки.
sin 2x = 1
2x = (/2 + 2(n (целый оборот);
x = (/4 + (n. Точки повторяются через (, т. е. через 6 клеточек.
sin 2x = ( 1
2x = 3(/2 + 2(n (целый оборот);
x = 3(/4 + (n. Точки повторяются через (, т. е. через 6 клеточек.
1

( х (
· - -3(/2 -( -(/2 0 ( /2 ( 3(/2 2(
- 1
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
2. Графики функций у = tg х, у = ctg х.
Построение.
Пункт 1. Найти область определения функции, найти асимптоты;
Пункт 2. Нанести полученные асимптоты;
Пункт 3. Найти нули функции и нанести их ;
Пункт 4. Провести тангенсоиду, котангенсоиду.
у = tg х
D(у) = R, но х ((/2 + (n , где n (Z .
х = (/2 + (n ( вертикальная асимптота. n = 0, x = (/2; далее повторяется через (
У = 0; tg х = 0
x = (n n = 0, x = 0; n = 1, x = (; далее повторяется через (
y = tgx













































































































































































































2(


3(


(


(/




(/2


(


3(/2


2(


















































































































































































у = ctg х.
D(у) = R, но х ((n , где n (Z .
x = (n ( вертикальная асимптота. n = 0, x = 0; далее повторяется через (.
y = 0, ctg x = 0
x = (/2 + (n. n = 0, x = (/2; далее повторяется










































































































































































































































2(


3(


(


(/




(/2


(


3(/2


2(

















































































































































































13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415
3. Основные свойства тригонометрических функций.
3.1 Область определения.

у = sinx у = cosx у = tgx у = ctgx
D(y) = R D(y) = R D(y) = R, x( ( /2 + (n D(y) = R, x( (n


3.2 Периодичность, четность, нечетность.
у = sinx у = cosx у = tgx у = ctgx
Т = 2( Т = 2( Т = ( Т = (
Функции у = sinx , у = tgx, у = ctgx – нечетные.
Функция у = cosx – четная.
3.3 Нули функции.
у = sinx у = cosx у = tgx у = ctgx
sinx = 0 cosx = 0 tgx = 0 ctgx = 0
х = (n x = (/2 + (n х = (n х = (/2 + (n
3.4 Промежутки знакопостоянства.
sinx > 0 cosx > 0 tgx > 0 ctgx > 0
x((0;2() x((- (/2 ;(/2) x((0;(/2)
1-ая, 2-ая 1-ая, 4-ая 1-ая, 3-ая
четверти четверти четверти

sinx < 0 cosx < 0 tgx < 0 ctgx < 0
x((( ;2() x(( (/2 ;3(/2) x(((/2;( )

3-ая, 4-ая 2-ая, 3-ья 2-ая, 4-ая
четверти четверти четверти
Чтобы получить все множество значений нужно к каждому значению интервала прибавить: для синуса, косинуса - 2(n, где n(Z, для тангенса, котангенса - (n, где n(Z.
3.5 Промежутки возрастания, убывания.
у = sinx у = cosx у = tgx у = ctgx
возрастает возрастает возрастает
x((- (/2 ;(/2) x(( -(;0) x((-(/2;(/2)
убывает убывает убывает
x(( (/2 ;3(/2) x(( 0; () x((0;()
Чтобы получить все множество значений нужно к каждому значению интервала прибавить: для синуса, косинуса - 2(n, где n(Z, для тангенса, котангенса - (n, где n(Z.
3.6 Экстремумы.
Максимум. (max).
sinx = 1 cosx = 1
x = (/2 + 2(n х = 2(n
Минимум (min).
sinx = - 1 cosx = - 1
x = - (/2 + 2(n х = ( + 2(n

3.7 Множество значений функции.
у = sinx у = cosx у = tgx у = ctgx
Е(у) = [- 1;1] E(y) = R
(sinx (( 1 (cosx (( 1
- 1( sinx ( 1 - 1( cosx ( 1


(/2


( 0


3(/2




0 ( /2 ( 3( /2 2(

0 ( /2 ( 3( /2 2(







Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 5.trigonometricheskiefunkcii
    Тригонометрические функции и их графики
    Размер файла: 939 kB Загрузок: 5