Электронный Учебник. Тригонометрия. Тригонометрические уравнения

Решение тригонометрических уравнений
Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-7" \h \z HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365502" HYPER14Решение тригонометрических уравнений HYPER13 PAGEREF _Toc111365502 \h HYPER141HYPER15HYPER15
1. HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365503" HYPER14Решение простейших уравнений. HYPER13 PAGEREF _Toc111365503 \h HYPER141HYPER15HYPER15
2. HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365504" HYPER14Общий вид решения тригонометрических уравнений. HYPER13 PAGEREF _Toc111365504 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365505" HYPER143. Виды уравнений. HYPER13 PAGEREF _Toc111365505 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365506" HYPER143.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным. HYPER13 PAGEREF _Toc111365506 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365507" HYPER143.2 Однородные уравнения. HYPER13 PAGEREF _Toc111365507 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365508" HYPER143.3 Уравнение вида: аsinх ( bcosх = с. HYPER13 PAGEREF _Toc111365508 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365509" HYPER143.4 Уравнения вида sinх ( cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 PAGEREF _Toc111365509 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365510" HYPER143.5 Уравнения, сводящеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители . HYPER13 PAGEREF _Toc111365510 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365511" HYPER144. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений. HYPER13 PAGEREF _Toc111365511 \h HYPER147HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc111365513" HYPER145. Отбор корней. HYPER13 PAGEREF _Toc111365513 \h HYPER1410HYPER15HYPER15
HYPER15
1. Решение простейших уравнений.
Уравнения типа sinх (cosх) = 0, sinх (cosх) = ( 1, tgх (ctgх) = 0, решаются с помощью тригонометрического круга.

Алгоритм
Пункт 1. Привести угол в стандартный вид. Выделить чистую функцию;
Пункт 2. Определить, при каком значении диаметрального угла весь угол равен данному значению (0; ( 1);
Пункт 3. Определить через оборот или пол оборота это значение повторится;
Пункт 4. Записать весь угол равен значению, определенному в пункте 2 плюс 2(n, если значение повторяется через целый оборот, или (n, если повторяется через пол – оборота;
Пункт 5. Найти х.
Под стандартным углом понимается угол с положительным неизвестным.
Примеры. Решить уравнения:
1) sin2х = 0
2х = (n, где n (Z;
х = (n/2

2х = (n т. к. синус равен 0 в нуле и через пол – оборота при (, т. е. получаем
0 + (n = (n.
2) sin((/3 ( х) = 1
Чтобы привести угол в стандартный вид, надо вынести минус за знак синуса.
( sin(х ((/3) = 1;
sin(х ((/3) = ( 1;
Весь угол х ((/3. Синус равен ( 1 при угле равном 3(/2 или ( (/2 и повторяется через целый оборот. Принято использовать ( (/2.
х ( (/3 = ((/2 + 2(n , где n ( Z .
х = ((/2 +(/3 + 2(n;
х = ((/6 + 2(n .
Ответ: ((/6 + 2(n, где n (Z .
3) cos ((/4 (2х) ( 1 = 0. Т. к. у = cos х ( функция четная, то
cos ((/4 (2х) = cos (2х ( (/4) .
cos (2х ( (/4) = 1, 2х ( (/4 = 2(n, n (Z ,
2х = (/4 + 2(n, х = (/8 + (n .
Ответ: (/8 + (n, где n (Z .
Ключевые слова.
Если уравнение простейшее, то решение смотреть по окружности.

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

2. Общий вид решения тригонометрических уравнений.
sinх = а sinх = а
Для а > 0 Для а < 0
х = ( - 1)n arcsina + (n , где n (Z . х = ( - 1)к +1 arcsin(a( + (к , где к (Z .
cosх = а cosх = а
Для а > 0 Для а < 0
x = ( arccosa +2(n, где n (Z . х = ((( ( arccos(a( ) + 2(n , где n (Z .
tgх = а tgх = а
Для а > 0 Для а < 0
х = arctgа + (n, где n (Z . х = ( arctg(а( + (n, где n (Z .
сtgх = а сtgх = а
Для а > 0 Для а < 0
х = arcсtgа + (n, где n (Z . х = ( ( arсctg(а( + (n, где n (Z .

Запоминание. Ключевые слова.
У косинуса прибавляем 2(n , у остальных (n;
У синуса ( - 1)n ; у косинуса (, у тангенса, котангенса arc.
Для а отрицательных: у синуса k +1; у косинуса плюс, минус ( ( ( arc...), у тангенса минус arc... , у котангенса ( ( arc...
Алгоритм.
Пункт 1. Привести угол в стандартный вид;
Пункт 2. Выразить sin, cos, tg, ctg;
Пункт 3. Записать соответствующую формулу решения для всего угла, проговаривая: «Уравнение вида ... , весь угол равен...»;
Пункт 4. Найти неизвестное.
Примеры. Решить уравнения:
sin2х = 1/2 , (уравнение синуса, весь угол 2х равен ( - 1)n
2х = ( - 1)n arcsin1/2 + (n , где n (Z .
2х = ( - 1)n (/6 + (n ,
х = ( - 1)n (/12 + (n/2. Ответ: ( - 1)n (/12 + (n/2 , где n (Z .
3tg((/3 ( х) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
Выполняем пункты 1, 2: (3tg(х ( (/3) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, tg(х ( (/3) = (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
Выполняем пункт 3: х ( (/3 = arctg((HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) + (n , где n (Z .
х ( (/3 = ( arctgHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + (n, х ( (/3 = ((/6 + (n ,
х = (/3 ( (/6 + (n , х = (/6 + (n
Ответ: (/6 + (n , где n (Z .
2cosх/2 ( 1 = 0,
cosх/2 = 1/2,
х/2 = ( arccos1/2 +2(n , где n (Z, х/2 = ( (/3 + 2(n ,
х = ( 2(/3 + 4(n . ( на 2 надо умножить, крест на крест)
Ответ: ( 2(/3 + 4(n, где n (Z .

3. Виды уравнений.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
3.1 Уравнения, сводящиеся к квадратным.
Основные элементы:
( функция одна или можно привести к одной функции;
( степени разнятся в два раза.
Решается путем замены переменной. При замене переменной, указать область ее значений.
Пример.
а) 2sin2х ( 5sinх + 3 = 0.
Пусть sinх = t, (t( ( 1,т. к. (sinх( ( 1 2t2 ( 5t + 3 = 0,
D = 25 ( 24 = 1
t1,2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ( посторонний корень.
sinх = 1, х = (/2 + 2(n , где n ( Z .
б) 4(cos2х + cos 2х) + 3sin(270( + х) = 2.
Необходимо привести выражение к одной функции, применив формулу двойного угла для косинуса и формулы приведения.
4(2cos2х ( sin2 х) (3cosх = 2,
8cos2х (4 sin2 х (3cosх = 2,
Т. к. sin2х = 1 ( cos2х , получим: 8cos2х (4 + 4 cos2х (3cosх = 2,
12cos2х ( 3cosх ( 6 = 0, 4cos2х ( cosх ( 2 = 0,
Пусть cosх = t, (t( ( 1,т. к. (cosх( ( 1 4t2 ( t ( 2 = 0,
D = 1 + 32 = 33,
t1,2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х = ( arccos(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2(n , где n ( Z .
cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х = ( arccos(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2(n , где n ( Z .
Ответ: ((( - arccos(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2(n ; ( arccos(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2(n , где n ( Z .
3.2 Однородные уравнения.
Основные элементы:
( углы одинаковые;
( функций ( две;
( степень одинаковая;
( свободный член равен нулю.
Решаются путем почленного деления на одну из функций, отличную от нуля, в большей степени, далее - замена.
Примеры.
а) 3cos2х ( 2sinхcosх ( sin2х = 0.
Анализ: углы одинаковые; функций две (sinх и cosх); степень вторая, т. к. степень произведения считается как сумма степеней множителей ( 1 + 1 = 2);
свободный член равен нулю ( уравнение однородное.
Разделим почлено на cos2х, доказав, что cosх ( 0.
Пусть cosх = 0, тогда sin 2х = 1, следовательно, уравнение не имеет решения.
3cos2х ( 2sinхcosх ( sin2х = 0. (: cos2х ( 0.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
( tg2х ( 2tgх + 3 = 0, tg2х + 2tgх ( 3 = 0,
Пусть tgх = t, тогда t2 + 2t ( 3 = 0,
t 1 = ( 3; t2 =1 по теореме обратной теореме Виета.
tgх = (3, х = arctg((3) + (n , где n (Z . х = ( arctg3 + (n .
tgх = 1, х = arctg1 + (n , где n (Z х = (/4 + (n .
Ответ: ( arctg3 + (n, (/4 + (n, где n (Z .
б) 10sin2 2х ( 6sin4х ( 11cos22х = 1
Так как в однородном уравнении свободный член равен нулю, нужно представить 1 в виде sin2 2х + cos22х.
Используя формулу двойного угла для синуса, получим:
10sin2 2х ( 12sin2хcos2х ( 11cos22х = sin2 2х + cos22х,
9sin2 2х ( 12sin2хcos2х ( 12cos22х = 0,
3sin2 2х ( 4sin2хcos2х ( 4cos22х = 0 (: cos2х ( 0,
Пусть cosх = 0, тогда sinх = 1 или sinх = ( 1, следовательно уравнение не имеет решения.
3tg2 2х ( 4tg2х ( 4 = 0,
Пусть tg2х = t, тогда 3 t2 ( 4t ( 4 = 0,
D = 4 + 12 = 16,

t1,2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 t1= ( 2/3, t2= 2.
tg2х = ( 2/3, tg2х = 2
2х = arctg((2/3) +(n , где n (Z. 2х = arctg((2/3) +(n , где n (Z.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 где n (Z.
3.3 Уравнение вида: аsinх ( bcosх = с.
Первый способ.
Уравнение вида аsinх ( bcosх = с можно привести к однородному, применив формулы двойного угла и представить с через основное тригонометрическое тождество.
2аsinх/2 cosх/2 ( b(cos2x/2 ( sin2x/2) = c(cos2x/2 ( sin2x/2).
Второй способ.
Уравнение вида аsinх ( bcosх = с можно решить методом введения вспомогательного аргумента, для чего обе части уравнения разделить на
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и привести полученное уравнение к виду
sinх cos ( ( sin ( cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sin(х ( () = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Где ( = arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или ( = arccos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
Третий способ.
Уравнение вида аsinх ( bcosх = с можно решить способом универсальной замены, т. е. используя формулы выражения sinх, cosх через tgх/2:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
При этом необходимо установить, является ли х = ( + 2(n корнем уравнения,
т. к. tg(х/2) неопределен при этих значениях.
Пример. Решить уравнение 5cosх + 2sinх = 3.
Первый способ.
5cos2 х/2 ( 5sin2 х/2 + 4sin х/2 cos х/2 = 3cos2 х/2 + 3sin2 х/2,
4sin2 х/2 ( 2sin х/2 cos х/2 ( cos2 х/2 = 0,
Поделив на cos2 х/2 , т. к. cos2 х/2 ( 0, получим:
4tg2 х/2 ( 2tgх/2 ( 1 = 0, откуда tgх/2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , т. е. х = 2 arctg HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2(n .
Второй способ.
Поделим обе части уравнения на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Деление производим почленно.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 cosх + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sinх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 т. к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , то положим, что
sin ( = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а cos ( = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,
sin ( cosх + sinх cos ( = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, sin(( + х) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где
( = arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или ( = arccos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
, х = ( - 1)n arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ( ( + (n ,
х = ( - 1)n arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ( arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + (n.
3.4 Уравнения вида sinх ( cosх = 1 , уравнения, содержащие коэффициенты HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Уравнения вида sinх ( cosх = 1 целесообразно решать путем умножения обеих частей на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sinх ( HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, используя принцип решения по второму способу, получаем: sin(х ( (/4) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= cos (/4 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= sin (/4. Далее ( стандартное решение.
Тоже получаем в случае коэффициентов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15sin х/3 ( cosх/3 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Разделим обе части на 2для получения коэффициентов HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, sin(х/3 ((/6) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Эти коэффициенты можно получить, используя и метод введения вспомогательного аргумента.
3.5 Уравнения, сводящиеся к произведению, равному нулю. Метод разложения на множители .
Так как произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл, то, разложив на множители соответствующее уравнение, можно представить его как совокупность нескольких уравнений.
Примеры.
sin2х sinх ( 0,5sinх ( sin2х = ( 0,5,
Перенесем ( 0,5 влево и сгруппируем, т. е. применим алгебраическое разложение на множители. Получим:
sin2х sinх ( 0,5sinх ( sin2х + 0,5 = 0,
sin2х(sinх ( 1) ( 0,5(sinх ( 1) =0,
(sinх ( 1)(sin2х ( 0.5) = 0,
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
sinх ( 1 =0 или sin2х ( 0.5 = 0,
х = (/2 + (n 2х = ( - 1)n (/6 + (n, где n (Z ,
х = ( - 1)n (/12 + (n/2.
Ответ: (/2 + (n, ( - 1)n (/12 + (n/2, где n (Z .

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
sin2х = sinх,
Перенесем sinх влево и применим формулу двойного угла для синуса. Получим:
2sinх cosх ( sinх = 0,
sinх (2cosх ( 1) = 0,
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
sinх = 0 или 2cosх ( 1 = 0,
х = (n , где n (Z cosх = 1/2,
х = ( (/3
·+ 2(n , где n (Z .
Ответ: (n , ( (/3 + 2(n , где n (Z .

sinх + sin5х = 0,
Используем формулы перевода суммы в произведение, т. е. применим тригонометрическое разложение на множители. Получим:
2sin3х cos 2х = 0,
sin3х = 0 или cos2х = 0,
3х = (n , где n (Z 2х = (/2 + (n , где n (Z ,
х = (n/3 , х = (/4 + (n/2 ,
Ответ: (n/3 , (/4 + (n/2 , где n (Z .
sin3 х ( cos3х = sin2х ( cos2х,
Применим алгебраическое разложение на множители с использованием формул разности кубов и разности квадратов. Получим:
(sinх ( cosх)(sin2х + sinх cosх + cos2х) = (sinх ( cosх) (sinх + cosх),
(sinх ( cosх)(sin2х + sinх cosх + cos2х) ( (sinх ( cosх) (sinх + cosх) = 0.
(sinх ( cosх)(1 + sinх cosх ( sinх ( cosх) = 0,
(sinх ( cosх)(sinх (cosх ( 1) ( (cosх ( 1)) = 0,
(sinх ( cosх)( cosх ( 1)(sinх ( 1) = 0,
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряет смысл.
sinх ( cosх = 0 или cosх ( 1 = 0 или sinх ( 1 = 0,
sin(х ( (/4) = 0 cosх = 1 sinх = 1
х ( (/4 = (n х = 2(n х = (/2 + 2(n , где n (Z ,
х = (/4 + (n.
Ответ: (/4 + (n, 2(n, (/2 + 2(n , где n (Z .
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
4. Общий алгоритм поиска решения тригонометрических уравнений.
Пункт 1. Привести углы в стандартный вид, используя четность, нечетность функций, формулы приведения;
Пункт 2. Определить есть ли тригонометрическая формула во всем выражении, если есть, то применить;
Пункт 3. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;
Пункт 4. При наличии в выражении sin, cos и tg или ctg выразить tg, ctg через sin и cos;
Пункт 5. Выполнить алгебраические преобразования;
Пункт 6. Установить при возможности вид уравнения, если уравнение установленного вида, то решить его;
Пункт 7. Выполнить тригонометрические преобразования:
Преобразования по углу:
а) Углы одинаковые ( применить формулы одного аргумента во всем выражении или его части;
б) Углы разнятся в два раза ( применить формулы двойного или половинного угла;
в) Углы разные ( рассмотреть возможность применения формул перевода суммы в произведение или наоборот;
Преобразование по функции:
а) При одинаковых углах, если степени разнятся в два (и более раз), рассмотреть возможность приведения уравнения к квадратному (высших степеней) уравнению, используя формулы одного аргумента или формулы, приводящие к одной функции (половинного аргумента, универсальной замены);
б) При наличии степеней применить формулы понижения степени;
в) При необходимости приведения к одной функции использовать формулы одного аргумента, формулы половинного угла, формулы выражения синуса, косинуса, тангенса через тангенс половинного угла и другие;
г) При необходимости приведения к кофункции использовать формулы приведения;
Пункт 8. Определить вид уравнения и решать согласно решению установленного вида.
Примечание:
Алгебраические преобразования и тригонометрические преобразования чередуются после каждого законченного цикла преобразований.
Установление вида уравнения производить после каждой законченной операции пунктов 5 и 7.
При наличии тригонометрических функций в знаменателе, при наличии тангенса и котангенса найти область определения уравнения и произвести отбор корней (исключить посторонние).

Примеры. Решить уравнения:
cos2х ( sin2х = 2cos22х,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 1 ( отсутствует; пункт 2:HYPER15 т. к. cos2х ( sin2х = cos2х
сos2х = 2cos22х,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 5 ( осуществим перенос и разложение на множители:HYPER15 2cos22х ( cos2х = 0,
cos2х (2cos2х (1) = 0,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 6 ( Уравнение вида ( произведение равно нулю:HYPER15
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
cos2х = 0 или 2cos2х (1 = 0,
2х = (/2 + (n, где n (Z cos2х = 1/2,
х = (/4 + (n/2 2х = ( (/3 + 2(n, где n (Z
х = ( (/6 + (n
Ответ: (/4 + (n/2, ( (/6 + (n, где n (Z .
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункты 1 ( 4 отсутствуют .HYPER15HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования»HYPER15 ( приведем уравнение к целому виду, учитывая, что sin х/2 ( 0,
т. е. х/2 ((n , х ( 2(n.
сosх + 1 = 2 sin х/2,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 1. б, заметив, что углы разнятся в два раза.HYPER15 Применим формулу половинного аргумента для косинуса:
2 cos2х/2 = 2 sin х/2,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Перейдем к пункту 5, перенесем 2 sinх/2 влево, сократим на два:HYPER15
cos2х/2 ( sin х/2 =0, sin 2х/2 +sin х/2 – 1 =0, sinx/2 = t, (t(( 1
t2 + t – 1 = 0, t1 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 посторонний корень, t2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х/2 = ( - 1)n arcsinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 +( n , где n (Z . х = ( - 1)n 2 arcsinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 +2( n
Ответ: ( - 1)n 2 arcsinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 +2( n, где n (Z .

1 + sin2х = (cos3х + sin3х)2.
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Выполним пункт 5 «Алгебраические преобразования»HYPER15 ( возведем скобку в квадрат:
1 + sin2х = 1 + 2 sin3х cos3х,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Выполним пункт «Тригонометрические преобразования» 7. 2.б , применив формулу двойного угла для синуса:HYPER15
1 + sin2х = 1 + sin6х,
sin2х ( sin6х = 0,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Так как углы разные, выполним пункт 7. 1. в, применив формулу перевода суммы в произведение:HYPER15 2 sin(( 2х) cos4х = 0,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Выполним пункт 1, вынесем минус за знак синуса и сократим на - 2 (пункт 5):HYPER15
sin2х cos4х = 0,
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пункт 8. Уравнение вида - произведение равно нулю:HYPER15
sin2х = 0 или cos4х = 0,
2х = (n, где n (Z , 4х = (/2 + (n, где n (Z ,
х = (n/2, х = (/8 + (n/4,
Ответ: (n/2, (/8 + (n/4, где n (Z .
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
4) 2cos2х ( cos2х = 2sin2х ( sin2х.
С приобретением навыка целесообразно перед решением делать анализ:
HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14Пунктов 1 ( 6 нет; углы разняться в два раза (пункт 7), применяем формулу половинного аргумента для синуса и косинуса (можно использовать формулы двойного угла):HYPER151 + cos2х ( cos2х = 1 ( cos2х ( sin2х
Далее алгебраические преобразования :
сos2х + sin2х = 0,
Уравнение однородное первой степени, решаем путем деления обеих частей на cos2х .
cos2х (0, т. к. в противном случае уравнение не будет иметь решения.
1 + tg2х = 0, tg2х = ( 1, 2х = ( (/4 + (n, где n (Z ,
х = ( (/8 + (n/2.
Ответ: ( (/8 + (n/2, где n (Z .

5) 1 + cosх = ( tg((/2 + х/2).
Анализ: привести угол в стандартный вид; выразить котангенс через косинус, деленный на синус HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14(пункт 3)HYPER15, выполнить алгебраические преобразования HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14(пункт 5)HYPER15, т. е. привести уравнение к целому виду:
1 + cosх = сtg х/2, 1 + cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
Т. к. деление на нуль не определено, то sinх/2 ( 0, х ( 2(n .
sinх/2(1 + cosх) = cosх/2,
Перейдем к тригонометрическим преобразованиям. Углы разнятся в два раза, целесообразно применить формулу половинного аргумент для косинуса:
2sinх/2 cos2х/2 = cosх/2,
Далее алгебраические преобразования ( перенесем cosх/2 и вынести за скобку:
cosх/2(2sinх/2 cosх/2 ( 1) = 0,
Далее тригонометрические преобразования ( используем формулу двойного угла для синуса:
cosх/2(sinх ( 1) = 0,
Уравнение вида ( произведение равно нулю:
cosх/2 = 0 или sinх ( 1 = 0,
х = ( + 2(n, х = (/2 + 2(n, где n (Z .
Ответ: ( + 2(n, (/2 + 2(n, где n (Z .
6) sin3х ( cos3х = sin2х ( cos2х.
Анализ: алгебраические преобразования ( осуществим разложение на множители с помощью формул разности кубов и разности квадратов:
Учитывая, что sin2х + cos2х = 1, получим:
(sinх ( cosх)(1 + sinх cosх ( sinх ( cosх) = 0,
(sinх ( cosх)(1 ( cosх)(1 ( sinх) = 0,
Далее решаем:
sinх ( cosх = 0 или 1 ( cosх = 0 или 1 ( sinх = 0,
х =(/4 + (n , х = 2(n , х = (/2 + 2(n ,где n (Z .
7) sin22х + sin23х + sin24х + sin25х = 2
Анализ: углы разные, степень вторая, необходимо понизить ее, используя формулы понижения степени:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2,
4 ( cos 4х ( cos 6х ( cos 8х ( cos 10х = 4,
cos 4х + cos 6х + cos 8х + cos 10х = 0,
Углы разные, осуществим перевод суммы в произведение HYPER13 HYPERLINK \l "алгоритм" HYPER14(п. 7. 1.в)HYPER15, группируя по два члена:
2cos5х cosх + 2cos9х cosх = 0,
cosх (cos5х + cos9х) = 0,
2 cosх (cos7х cosх) = 0, cos 2х cos7х = 0,
cos 2х = 0 или cos7х = 0
х = (/2 + (n 7х = (/2 + (n , х = (/14 + (n /7, где n (Z .
Ответ: (/2 + (n, (/14 + (n /7, где n (Z .
Ключевые слова.
Сначала алгебраические преобразования, потом тригонометрические .
Тригонометрические преобразования сначала по углу потом по функции.

5. Отбор корней.
Отбор корней производится:
- в уравнениях, имеющих ограничения по области определения;
( в уравнениях с дополнительным условием, например: «найти все решения, принадлежащие отрезку [ ( (/2; (/2]» и тому подобным;
( в смешанных уравнениях в соответствии с областью определения, например,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т. е. решив данное уравнение необходимо отобрать корни при которых cosх ( 0.

Способ 1. Способ неравенства.

Пункт 1. Записать двойное неравенство для неизвестного (х), соответственное данному промежутку или условию; решить уравнение;
Пункт 2. Для синуса и косинуса разбить решения на два;
Пункт 3. Подставить в неравенство вместо неизвестного (х) найденные решения и решить его относительно n;
Пункт 4. Учитывая, что n принадлежит Z, найти соответствующие неравенству значения n;
Пункт 5. Подставить полученные значения n в формулу корней (при необходимости).
Пример. Решить уравнение 2cos2х ( cos2х = 2 sin2х ( sin 2х. Найти корни, принадлежащие промежутку [ ( (/2; ( 2/].
((/2 ( х ( (/2,
2cos2х +cos2х ( 2sin2х + sin2х =0,
cos2х + sin2х = 0 (: cos2х (0, т. к. при cos2х = 0 уравнение не имеет решения.
1 + tg2х = 0, tg2х = - 1, х = - (/8 + (n /2, где n (Z .
Т. к. ((/2 ( х ( (/2, то ((/2 ( - (/8 + (n /2 ( (/2 ,
((/2 + (/8 ( (n /2 ( (/2 + (/8,
(6/8 ( n ( 10/8, т. к. n (Z, то n = 0, 1
х = - (/8, х = - (/8 + ( /2 х = 3(/8
Ответ: (/8 + (n /2, где n (Z. (/8; 3(/8.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15
Способ 2. Отбор на окружности.
Пункт 1. Решить уравнение;
Пункт 2. Обвести дугу, соответствующую данному промежутку на круге;

Пункт 3. Отметить решения на круге, для чего:
- разделить виды решения для синуса и косинуса;
- подсчитать значения х при n равных минимальным значениям до тех пор пока значения не выйдут за пределы данного промежутка (при необходимости);
Пункт 4. Выбрать решения, попавшие на обведенную дугу.

Пример. Решить уравнение cos3х + sin3х = cos2х. Найти корни, принадлежащие промежутку ( ( (/2; (/2).
(cosх + sinх)(1 ( cosх sinх )= cos2х,
(cosх + sinх)(1 ( cosх sinх ) ( (cosх ( sinх)( cosх + sinх ) = 0,
(cosх + sinх)(1 ( cosх sinх ( cosх + sinх ) = 0,
(cosх + sinх)(1 + sinх )(1 ( cosх) = 0
cosх + sinх = 0 или 1 + sinх = 0 или 1 ( cosх = 0
х = ( (/4 + (n х = ( (/2 + 2(n х = 2(n, где n (Z.

n =0, х = - ( /4 n =0, х = - ( /2 n =0, х = 0
n =1, х = 3( /4 n =1, х = 3( /2 n =1, х = 2(

Ответ: ( (/4; 0.

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

Отбор корней можно вести по координатной прямой.

Решить уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом не теряет смысл.
sinх = 0 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = (n , Решим уравнение sinх = 1/2 и отберем корни, удовлетворяющие
х = ( - 1)n (/6 + (n условию sinх ( 0.
х1 = ( (/6 + 2(n ,
х2 = 5 (/6 + 2(n .
+
- ( /6( 0( 5( /6 (( х

Корень, удовлетворяющий условию 5(/6 + 2(n .
Ответ: (n ; 5(/6 + 2(n , где n (Z.

HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15






(/2

( 0


3(/2

(/2
3(/4

( 0 0

((/4
((/2

( + х = ( - 1)n arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + (n , где n (Z




Root EntryCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc 6.trigonometricheskieuravnenia
    Тригонометрические уравнения. Виды. Способы решения. Алгоритм поиска решения
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 5