Электронный Учебник. Тригонометрия. Тригонометрические уравнения с параметром

Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем с параметрами

Уравнения, неравенства, сводящиеся к квадратным.
Многие задачи сводятся к решению квадратных уравнений, неравенств с рассмотрением необходимых и достаточных условий по расположению параболы относительно заданных или получаемых условий для корней квадратного трехчлена. В тригонометрических задачах большое значение имеет ограниченность функций у = sinх и у = cosх, т.к. Е(у) = [ -1; 1], что необходимо учитывать в каждой задаче, содержащей эти функции.
Примеры.
1. При каких значениях параметра а уравнение (а2 +1) sin 2х-2а sin х + Ѕ = 0 имеет хотя бы одно решение. Найти эти решения.

Пусть sin х = t , \ t \
· 1.
Получим (а2 +1) t 2-2а t + Ѕ = 0. 2(а2 +1) t 2-4а t + 1 = 0. Данное уравнение должно решаться при условии - 1
· t
· 1. Возможны три варианта.

1 2 3



- 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 2.
f(-1 = 2а2 +4а + 3 . f( 1) = 2а2 - 4а + 3. Заметим, что f(1) и f( -1) больше нуля при любом а, следовательно 2 и 3 вариант не имеют решений.
13 EMBED Equation.3 1415.
Первый вариант реализуется при следующих условиях.
13 EMBED Equation.3 1415
Найдем корни уравнения 2 (а2 +1) t 2 +4а t + 1 = 0.
13 EMBED Equation.3 1415
sin х = t 1,2.
х = ( - 1)narcsin 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, n13 EMBED Equation.3 1415.
x = arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415.
x = - arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415.
Ответ: при а
· - 1, а
· 1 x = arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415.
x = - arcsin 13 EMBED Equation.3 1415 + 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415.

2) При каких значениях параметра т неравенство sin6х + cos6х + тsinхcosх
· 0 выполняется при всех значениях х?
Произведем преобразование выражения sin6х + cos6х. Разложим как сумму кубов.
sin6х + cos6х = (sin2х + cos2х)( sin4х - sin2х cos2х + cos4х) = sin4х - sin2х cos2х + cos4х =
(sin2х + cos2х)2 - 2sin 2х cos 2х - sin2х cos2х = 1 - 3 sin2х cos2х.
Получим: 1 -3 sin2х cos2х + тsinхcosх
· 0
Степени разнятся в два раза – неравенство сводится к квадратному.
sinхcosх = t , Ѕ sin2х = t , sin2х =2 t, т.к.
· sin2х
·
· 1, то
·2 t
·
· 1, - Ѕ
· t
· Ѕ .
- 3 t2 + mt + 1
· 0.
Необходимые и достаточные условия для решения формируются исходя из следующего:
13 EMBED Equation.3 1415
Проиллюстрируем данную систему:
f(t) = -3t2 + m t + 1 - функция квадратичная, график – парабола, ветви направлены вниз и f(t)
· 0.
При этом все значения t принадлежат только отрезку [- Ѕ ; Ѕ] , т.к. неравенство должно выполняться при всех значениях х.



Следовательно, система реализуется при условии:



13 EMBED Equation.3 1415
D = т2 + 12 D > 0 при х 13 EMBED Equation.3 1415
f(- Ѕ ) = - 3/4 - т /2 + 1 , f( Ѕ ) =- 3/4 - т /2 + 1 , хв = 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: - Ѕ
· т
· Ѕ.


3) Найти все значения параметра т, при каждом из которых неравенство
- 5 + 5т + sin2х + т(3 – cos х)2 > 0 выполняется для всех значений х.

- 5 + 5т + sin2х + т(9 –6 cos х + cos2 х ) > 0
(т – 1)cos 2х – 6т cos х +14т – 4 > 0.
Пусть cos х = t ,
·t
·
· 1. Тогда
(т – 1) t 2 – 6т t +14т – 4 > 0. Неравенство должно быть решено для всех - 1
· t
· 1.
Возможны следующие варианты:

1. 2. 3.



° °
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·. т – 1 = 0

Сначала найдем все элементы систем.
D = 9т2 – 14 т2 + 18т - 4 = - 5т2 + 18т – 4.
f(-1) = 21т – 5
f(1) = 9т – 5
хв = 13 EMBED Equation.3 1415
Найдем теперь промежутки знакопостоянства D .
D = 0, т1,2 = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415. D 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415
· т
· 13 EMBED Equation.3 1415
D < 0 при т < 13 EMBED Equation.3 1415 или т > 13 EMBED Equation.3 1415
f(-1) > 0 при т > 5/21.
f(1) > 0 при т > 5/9.
Теперь составим и решим системы.
1. 13 EMBED Equation.3 1415 2. 13 EMBED Equation.3 1415




3. 13 EMBED Equation.3 1415 4. 13 EMBED Equation.3 1415


5. m – 1 = 0, т = 1 – 6 t + 10 > 0, t < 5/3, что включает промежуток [ -1; 1].

Объединяя все множества решений получим ответ: т > 5/9.

Уравнения, неравенства с отбором корней

Примеры.
При каком значении а уравнение 1 + sin2 ах = cosх имеет одно решение на промежутке [0;
· ]?
1 + sin2 ах = cosх. Т.к
·cos х
·
· 1,а 0
· sin2ах
· 1, то уравнение будет равносильно системе:
13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Т.к. х13 EMBED Equation.3 1415 , то n = 0,1, k = 0,1, k
· 0, т.к. деление на нуль неопределенно. Получим:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
а = 0 а = Ѕ
Ответ: а = 0 , а = Ѕ.

2) Определить число корней уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 на отрезке
[20
·;29
·].
Сначала решим уравнение, приведя его к целому виду.
а – 2 cosх
· 0, а – 2 sinх
· 0 .
а2 sinх – 2а – 2а sin2х + 4 sinх = а2 cosх – 2а – 2а cos2х + 4 cosх,
а2(sinх – cosх) – 2а(sin2х – cos2х) + 4(sinх – cosх) =0
(sinх – cosх)( а2 – 2а(sinх + cosх) + 4) = 0,
sinх – cosх = 0 или а2 – 2а(sinх + cosх) + 4 = 0
tgx – 1 = 0 2а(sinх + cosх) = 4 + a2
x =
·/4 +
·n, n13 EMBED Equation.3 1415 sinх + cosх = 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим уравнение sinх + cosх = 13 EMBED Equation.3 1415, а
· 0, т.к. при а = 0 решений нет.

Оценим правую и левую части.

f(x) = sinх + cosх Е(f) = [ - 1; 1]
g(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 g(x) =2/a + a/2
Но
·2/a + a/2
·
· 2, как сумма двух взаимно обратных выражений .
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Найдем корни, при которых знаменатели обращаются в нуль.
13 E
·MBED Equation.3 1415
Это легко сделать, если решения x =
·/4 +
·n разбить на два:
х =
·/4 + 2
·m или х =5
·/4 + 2
·k , где m,k 13 EMBED Equation.3 1415
Получим:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
а = 13 EMBED Equation.3 1415 или а = - 13 EMBED Equation.3 1415 или а = 13 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, при а = 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение не имеет решений; при
а = - 13 EMBED Equation.3 1415 , х =
·/4 + 2
·m
Найдем корни, принадлежащие отрезку [20
·;29
·].
а = - 13 EMBED Equation.3 1415, х =
·/4 + 2
·m
20
·
·
·/4 +2
·m
· 29
·
79/8
· m
· 115/8. T.к. m13 EMBED Equation.3 1415,то m = 10, 11, 12, 13, 14.
5 корней
2) а 13 EMBED Equation.3 1415
20
·
·
·/4 +
·n
· 29
·
79/4
· n
· 115/4. T.к. n13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415то 20
· n
· 28.
9 корней.
Ответ: при а 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение имеет 9 корней;
при а = - 13 EMBED Equation.3 1415уравнение имеет 5 корней;
при а = 13 EMBED Equation.3 1415 уравнение не имеет решений.

Графические способы решения

Графические способы решения предполагают:
- разбиение заданного уравнения, неравенства на две функции;
- построение графика соответствующей функции при заданных или получаемых параметрах( область определения, промежуток действия аргумента);
- рассмотрение возможных решений .
Особенно удобно пользоваться этим способом, если можно создать функцию, не содержащую параметра и функцию, содержащую параметр.
Примеры.
1) При каком значении k уравнение 5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 = 3k имеет решения? Найти эти решения.
5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 = 3k
5 – 4 sin2х – 8 13 EMBED Equation.3 1415 = 3k,
5 – 4 + 4cos2х – 4 – 4 cosх = 3k,
4cos2х – 4 cosх – 3 = 3k
cosх = t ,
·t
·
· 1.
4 t 2 – 4 t – 3 = 3k.
f(t) = 4 t 2 – 4 t – 3 - функция квадратичная, график парабола.
t в = Ѕ , ув = - 4
Пусть 3k = a
g(t ) = а . Произведем сечение прямой g(t ) = а. При этом
решения будут находиться только на отрезке [- 1; 1]
а < - 4 решений нет;
а = - 4 t = Ѕ ;
- 4 < a < - 3 t = t 1, t = t 2;
a = - 3 t = 0 , t = 1;
- 3< a
· 5 t = t 1


Осталось найти k из условия 3k = a, t1,2 и х из условия cosх = t
k = a/3.
4 t 2 – 4 t – 3 - 3k = 0
13 EMBED Equation.3 1415
соsx = 13 EMBED Equation.3 1415 x = ± arccos 13 EMBED Equation.3 1415+ 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415
Решение будет следующим:
k = - 4/3 x = ±
·/3 + 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415;
- 4/3 < k < - 1 x = ± arccos 13 EMBED Equation.3 1415+ 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415
k = - 1 x =
·/2 +
·m , x = 2
·l, m,l 13 EMBED Equation.3 1415
- 1 < k
· 5/3 x = ± arccos 13 EMBED Equation.3 1415+ 2
·n, n13 EMBED Equation.3 1415
Это и будет являться ответом.

Рассмотрим решение неравенств этим способом.
Решить неравенство 5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 > 3k .
Решить неравенство 5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 < 3k .
Схема всех операций, включая построение графика и сечения его прямой параллельной оси абсцисс, остается такой же как и при решении уравнения. См. пример 1)

Меняются лишь выводы, делающиеся из сечения.



g(t ) = а . Произведем сечение прямой g(t ) = а. При этом
решения будут находиться только на отрезке [- 1; 1]
а < - 4 решений нет;
а = - 4 t = Ѕ ;
- 4 < a < - 3 t = t 1, t = t 2;
a = - 3 t = 0 , t = 1;
- 3< a
· 5 t = t 1


Рассмотрим решения первого и второго неравенства.
4 t 2 – 4 t – 3 > a 4 t 2 – 4 t – 3 < a
13 EMBED Equation.3 1415
a < - 4, k < - 4/3 t 13 EMBED Equation.3 1415 решений нет
а = - 4, k = - 4/3 t 13 EMBED Equation.3 1415, но t
· Ѕ решений нет
- 4 < a < - 3, - 4/3 < k < - 1

4 t 2 – 4 t – 3 > a 4 t 2 – 4 t – 3 < a

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
- 1
· t < t1 или t2 < t
· 1 t1 < t < t2
a = - 3
- 1
· t <0 0< t
· 1
- 3 < a < 5

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 141513 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415

- 1
· t < t1 t1 < t
· 1

a = 5

решений нет - 1 < t < 1









13PAGE 15


13PAGE 14815



f(-1) f(1) f(1) f(-1)


f(-1) f(1)

- Ѕ Ѕ

-1 1 х -1 1 х -1 1 х

5 у



- 1 1 t

- 3
-4


у



--1 1 t

- 3
-4






-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4




-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4


5




-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4


5




-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 7.parametritrig
    Тригонометрические уравнения с параметром
    Размер файла: 218 kB Загрузок: 6