Электронный Учебник. Тригонометрия. Тригонометрические уравнения с параметром

Решение тригонометрических уравнений, неравенств, систем с параметрами

Уравнения, неравенства, сводящиеся к квадратным.
Многие задачи сводятся к решению квадратных уравнений, неравенств с рассмотрением необходимых и достаточных условий по расположению параболы относительно заданных или получаемых условий для корней квадратного трехчлена. В тригонометрических задачах большое значение имеет ограниченность функций у = sinх и у = cosх, т.к. Е(у) = [ -1; 1], что необходимо учитывать в каждой задаче, содержащей эти функции.
Примеры.
1. При каких значениях параметра а уравнение (а2 +1) sin 2х-2а sin х + Ѕ = 0 имеет хотя бы одно решение. Найти эти решения.

Пусть sin х = t , \ t \
· 1.
Получим (а2 +1) t 2-2а t + Ѕ = 0. 2(а2 +1) t 2-4а t + 1 = 0. Данное уравнение должно решаться при условии - 1
· t
· 1. Возможны три варианта.

1 2 3



- 1
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· 2.
f(-1 = 2а2 +4а + 3 . f( 1) = 2а2 - 4а + 3. Заметим, что f(1) и f( -1) больше нуля при любом а, следовательно 2 и 3 вариант не имеют решений.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Первый вариант реализуется при следующих условиях.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Найдем корни уравнения 2 (а2 +1) t 2 +4а t + 1 = 0.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
sin х = t 1,2.
х = ( - 1)narcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 +
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
x = arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
x = - arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Ответ: при а
· - 1, а
· 1 x = arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
x = - arcsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

2) При каких значениях параметра т неравенство sin6х + cos6х + тsinхcosх
· 0 выполняется при всех значениях х?
Произведем преобразование выражения sin6х + cos6х. Разложим как сумму кубов.
sin6х + cos6х = (sin2х + cos2х)( sin4х - sin2х cos2х + cos4х) = sin4х - sin2х cos2х + cos4х =
(sin2х + cos2х)2 - 2sin 2х cos 2х - sin2х cos2х = 1 - 3 sin2х cos2х.
Получим: 1 -3 sin2х cos2х + тsinхcosх
· 0
Степени разнятся в два раза – неравенство сводится к квадратному.
sinхcosх = t , Ѕ sin2х = t , sin2х =2 t, т.к.
· sin2х
·
· 1, то
·2 t
·
· 1, - Ѕ
· t
· Ѕ .
- 3 t2 + mt + 1
· 0.
Необходимые и достаточные условия для решения формируются исходя из следующего:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Проиллюстрируем данную систему:
f(t) = -3t2 + m t + 1 - функция квадратичная, график – парабола, ветви направлены вниз и f(t)
· 0.
При этом все значения t принадлежат только отрезку [- Ѕ ; Ѕ] , т.к. неравенство должно выполняться при всех значениях х.



Следовательно, система реализуется при условии:



HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
D = т2 + 12 D > 0 при х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
f(- Ѕ ) = - 3/4 - т /2 + 1 , f( Ѕ ) =- 3/4 - т /2 + 1 , хв = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: - Ѕ
· т
· Ѕ.


3) Найти все значения параметра т, при каждом из которых неравенство
- 5 + 5т + sin2х + т(3 – cos х)2 > 0 выполняется для всех значений х.

- 5 + 5т + sin2х + т(9 –6 cos х + cos2 х ) > 0
(т – 1)cos 2х – 6т cos х +14т – 4 > 0.
Пусть cos х = t ,
·t
·
· 1. Тогда
(т – 1) t 2 – 6т t +14т – 4 > 0. Неравенство должно быть решено для всех - 1
· t
· 1.
Возможны следующие варианты:

1. 2. 3.



° °
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·. т – 1 = 0

Сначала найдем все элементы систем.
D = 9т2 – 14 т2 + 18т - 4 = - 5т2 + 18т – 4.
f(-1) = 21т – 5
f(1) = 9т – 5
хв = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Найдем теперь промежутки знакопостоянства D .
D = 0, т1,2 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. D HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 при HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· т
· HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
D < 0 при т < HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или т > HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
f(-1) > 0 при т > 5/21.
f(1) > 0 при т > 5/9.
Теперь составим и решим системы.
1. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 2. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




3. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 4. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


5. m – 1 = 0, т = 1 – 6 t + 10 > 0, t < 5/3, что включает промежуток [ -1; 1].

Объединяя все множества решений получим ответ: т > 5/9.

Уравнения, неравенства с отбором корней

Примеры.
При каком значении а уравнение 1 + sin2 ах = cosх имеет одно решение на промежутке [0;
· ]?
1 + sin2 ах = cosх. Т.к
·cos х
·
· 1,а 0
· sin2ах
· 1, то уравнение будет равносильно системе:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 где HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т.к. хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , то n = 0,1, k = 0,1, k
· 0, т.к. деление на нуль неопределенно. Получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а = 0 а = Ѕ
Ответ: а = 0 , а = Ѕ.

2) Определить число корней уравнения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 на отрезке
[20
·;29
·].
Сначала решим уравнение, приведя его к целому виду.
а – 2 cosх
· 0, а – 2 sinх
· 0 .
а2 sinх – 2а – 2а sin2х + 4 sinх = а2 cosх – 2а – 2а cos2х + 4 cosх,
а2(sinх – cosх) – 2а(sin2х – cos2х) + 4(sinх – cosх) =0
(sinх – cosх)( а2 – 2а(sinх + cosх) + 4) = 0,
sinх – cosх = 0 или а2 – 2а(sinх + cosх) + 4 = 0
tgx – 1 = 0 2а(sinх + cosх) = 4 + a2
x =
·/4 +
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 sinх + cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Рассмотрим уравнение sinх + cosх = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а
· 0, т.к. при а = 0 решений нет.

Оценим правую и левую части.

f(x) = sinх + cosх Е(f) = [ - 1; 1]
g(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 g(x) =2/a + a/2
Но
·2/a + a/2
·
· 2, как сумма двух взаимно обратных выражений .
Следовательно, уравнение не имеет решений.
Найдем корни, при которых знаменатели обращаются в нуль.
HYPER13 E
·MBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Это легко сделать, если решения x =
·/4 +
·n разбить на два:
х =
·/4 + 2
·m или х =5
·/4 + 2
·k , где m,k HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или а = - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или а = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Следовательно, при а = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 уравнение не имеет решений; при
а = - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , х =
·/4 + 2
·m
Найдем корни, принадлежащие отрезку [20
·;29
·].
а = - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, х =
·/4 + 2
·m
20
·
·
·/4 +2
·m
· 29
·
79/8
· m
· 115/8. T.к. mHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,то m = 10, 11, 12, 13, 14.
5 корней
2) а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
20
·
·
·/4 +
·n
· 29
·
79/4
· n
· 115/4. T.к. nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15то 20
· n
· 28.
9 корней.
Ответ: при а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 уравнение имеет 9 корней;
при а = - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15уравнение имеет 5 корней;
при а = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 уравнение не имеет решений.

Графические способы решения

Графические способы решения предполагают:
- разбиение заданного уравнения, неравенства на две функции;
- построение графика соответствующей функции при заданных или получаемых параметрах( область определения, промежуток действия аргумента);
- рассмотрение возможных решений .
Особенно удобно пользоваться этим способом, если можно создать функцию, не содержащую параметра и функцию, содержащую параметр.
Примеры.
1) При каком значении k уравнение 5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 = 3k имеет решения? Найти эти решения.
5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 = 3k
5 – 4 sin2х – 8 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 3k,
5 – 4 + 4cos2х – 4 – 4 cosх = 3k,
4cos2х – 4 cosх – 3 = 3k
cosх = t ,
·t
·
· 1.
4 t 2 – 4 t – 3 = 3k.
f(t) = 4 t 2 – 4 t – 3 - функция квадратичная, график парабола.
t в = Ѕ , ув = - 4
Пусть 3k = a
g(t ) = а . Произведем сечение прямой g(t ) = а. При этом
решения будут находиться только на отрезке [- 1; 1]
а < - 4 решений нет;
а = - 4 t = Ѕ ;
- 4 < a < - 3 t = t 1, t = t 2;
a = - 3 t = 0 , t = 1;
- 3< a
· 5 t = t 1


Осталось найти k из условия 3k = a, t1,2 и х из условия cosх = t
k = a/3.
4 t 2 – 4 t – 3 - 3k = 0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
соsx = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x = ± arccos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение будет следующим:
k = - 4/3 x = ±
·/3 + 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
- 4/3 < k < - 1 x = ± arccos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
k = - 1 x =
·/2 +
·m , x = 2
·l, m,l HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
- 1 < k
· 5/3 x = ± arccos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ 2
·n, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Это и будет являться ответом.

Рассмотрим решение неравенств этим способом.
Решить неравенство 5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 > 3k .
Решить неравенство 5 – 4 sin2х – 8 cos2 х/2 < 3k .
Схема всех операций, включая построение графика и сечения его прямой параллельной оси абсцисс, остается такой же как и при решении уравнения. См. пример 1)

Меняются лишь выводы, делающиеся из сечения.



g(t ) = а . Произведем сечение прямой g(t ) = а. При этом
решения будут находиться только на отрезке [- 1; 1]
а < - 4 решений нет;
а = - 4 t = Ѕ ;
- 4 < a < - 3 t = t 1, t = t 2;
a = - 3 t = 0 , t = 1;
- 3< a
· 5 t = t 1


Рассмотрим решения первого и второго неравенства.
4 t 2 – 4 t – 3 > a 4 t 2 – 4 t – 3 < a
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
a < - 4, k < - 4/3 t HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 решений нет
а = - 4, k = - 4/3 t HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, но t
· Ѕ решений нет
- 4 < a < - 3, - 4/3 < k < - 1

4 t 2 – 4 t – 3 > a 4 t 2 – 4 t – 3 < a

HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15
- 1
· t < t1 или t2 < t
· 1 t1 < t < t2
a = - 3
- 1
· t <0 0< t
· 1
- 3 < a < 5

HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15HYPER13 SHAPE \* MERGEFORMAT HYPER14HYPER15

- 1
· t < t1 t1 < t
· 1

a = 5

решений нет - 1 < t < 1









HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER148HYPER15



f(-1) f(1) f(1) f(-1)


f(-1) f(1)

- Ѕ Ѕ

-1 1 х -1 1 х -1 1 х

5 у



- 1 1 t

- 3
-4


у



--1 1 t

- 3
-4






-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4




-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4


5




-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4


5




-1 Ѕ 1 t

- 3

- 4




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 7.parametritrig
    Тригонометрические уравнения с параметром
    Размер файла: 218 kB Загрузок: 6