Электронный Учебник. Показательная функция. Показательные уравнения

Решение показательных уравнений
Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-1" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc320440867" HYPER141. Уравнение вида а f(x) = а g(x) HYPER13 PAGEREF _Toc320440867 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc320440868" HYPER142. Уравнения вида а f(x) = b f(x) , а f(x)
· b f(x) = 1 HYPER13 PAGEREF _Toc320440868 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc320440869" HYPER143. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + HYPER13 PAGEREF _Toc320440869 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc320440870" HYPER14Уравнения, сводящиеся к квадратным HYPER13 PAGEREF _Toc320440870 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc320440871" HYPER14Уравнения, решаемые заменой HYPER13 PAGEREF _Toc320440871 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc320440872" HYPER14Однородные уравнения HYPER13 PAGEREF _Toc320440872 \h HYPER148HYPER15HYPER15
HYPER15

1. Уравнение вида а f(x) = а g(x)
В силу монотонности показательной функции данное уравнение равносильно
f(x) = g(x)


Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х2 + 6 = 5х, х2 – 5х + 6 = 0
х1 = 2, х 2 = 3

2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т.к. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 получим: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2х – 1 = х + 2
х = 3

3) 2х(х + 2) – Ѕ = 4HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
· 4х
Приведем все к основанию 2
2х(х + 2) – Ѕ = 22
· 21/2
· 2 2х Показатели сложить!
2х(х + 2) – Ѕ = 25/2 + 2х
х(х + 2) – Ѕ = 5/2 + 2х
2х2 – 1 = 5
х = ± HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание.
0,125 = 1/8 = 2- 3
0,25 = ј = 2-2
2- 3 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 24х – 9 = 2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4х – 9 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 8х – 18 = 5х, х = 6.
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Приведем к основанию 3.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 35 , HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 9х2 – 16х - 35
·12 = 0
9х2 – 16х - 35
·12 = 0
D = 64 + 35
·12 = 4(16 + 35
·3
·9) = 4
·961.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 х = 70/9, т.к х
· 0.
Ответ: х = 70/9.

Для приведения основания к простому необходимо запомнить таблицу основных степеней, которая в значительной степени позволяет быстро осуществить перевод.
Таблица
22 = 4 32 = 9
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Таблицу нужно знать как таблицу умножения, как слева направо, так и справа налево.

2. Уравнения, приводимые к уравнению с одним основанием

2.1. Уравнения вида а f(x) = b f(x) , а f(x)
· b f(x) = 1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 а f(x) = b f(x)
Решение: Разделить а f(x) на b f(x)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
а f(x)
· b f(x) = 1 , (ab) f(x) = (ab)0, f(x) = 0
Примеры.
1) 25х – 1 = 32х – 2 ,т.к 25 = 52, то 52х – 2 = 32х – 2 ,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) 12х – 2 = 33х
· 26х
зх – 2
· 22х – 4 = 33х
· 26х .

Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 33х, а правую на 22х – 4 , т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4 2х + 2
· 32х +2 = 1, 122х+2 = 120
2х + 2 = 0, х = - 1 .


2. 2. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n +

Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к виду k a m
· а f(x) + h a n
· а f(x) + Далее - приведение подобных слагаемых.
Примеры.
2
·3х + 1 – 6
·3х – 1 – 3х = 9.
2
·3
·3х – 6
·1/3
·3х – 3х = 9, 6
·3х – 2
·3х – 3х = 9 ,
Приведем подобные: легко подсчитать «штучки».
Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки.
3
·3х = 9, 3х = 3, х = 1.
Обратим внимание, что член, не содержащий аf(x) (9), преобразовывать не нужно.
2х – 1 + 2х – 2 + 2х – 3 = 448
Очистим показатель и приведем к целому виду.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , 4
·2х + 2
·2х + 2х = 8
·448, 7
·2х = 8
·448,
Было бы лишним действием умножать 8
·448, т.к. потом все равно сокращать на 7.
2х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, 2х =8
· 64, 2х = 29 , х = 9.
Золотое правило. При решении никогда заранее не нужно умножать числа. Это можно делать, когда ничего другого не остается.
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , двойки к двойкам, тройки к тройкам.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
· х 2 = 3, х HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Приведем к основаниям 2 и 3.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: х = 2.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену:
а f(x) = t , где t > 0 , т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел.
Примеры.
22х+1 + 2 х +2 – 16 = 0.
Сначала очистим показатель:
2
·22х +4
· 2 х – 16 = 0.
Сделаем замену 2х = t , t > 0,


2t2 + 4t – 16 = 0, t2 + 2t – 8 = 0, t = - 4, t = 2.
t = - 4 - посторонний корень.
2х = 2, х = 1.
Ответ: х = 1.
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Сначала приведем к основанию 2 и очистим показатель.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 2х = t , t > 0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = - 0,5 или х = 1,5
Ответ: х = - 0,5; х = 1,5.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Уравнения, решаемые заменой

Общие принципы решения таких уравнений такие же, как и в прочих уравнениях.
При этом помним, что при замене а f(x) на t , t > 0, т. к. множество значений показательной функции больше нуля.
Примеры.
1) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
х
· 0.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Сделаем замену: t = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, t > 0.
t – 2/t – 1 = 0, t 2 – t – 2 = 0, t = 2, t = - 1 - посторонний корень.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 2, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: х = 1.
2)
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: х = 3.
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Рассмотрим основания. Это 4 и 5. Если числитель и знаменатель дроби разделить на 4х , то значение дроби не изменится, при этом получим степень с основанием 5/4.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Теперь можно сделать замену.
3
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= t , t > 0, t
· 1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 t, t = ± ѕ, t = ѕ
3
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Уравнение вида а f(x) = b, решается путем логарифмирования по удобному основанию, при положительных обеих частях уравнения.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Наиболее часто встречаются замены в смешанных уравнениях. При этом при решении приходится применять как практику решения показательных уравнений, так и практику решения тех видов, которые даны в задаче.
Примеры.
4) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Т.к. основания одинаковые постараемся получить схожие показатели.
sin2х = 1 – cos2х . Получим:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Сделаем замену HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= t , t > 0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Откуда: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 1 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = 2
cosх = 0 или cosх = ± 1
х =
·/2 +
·n, х =
· n
Получим при объединении решений x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Однородные уравнения

Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы:
- функций две;
- степень одинаковая;
- свободный член равен нулю.
Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени.
Примеры.
1) 2
· 4х – 3 · 10х + 5 · 25х = 0
Приведем степени к простым основаниям:
2
· 2 2х – 3 · 2х
·5х + 5 · 5 2х = 0
Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 52х
· 0 почленно.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Сделаем замену HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2t2 – 3t +5 = 0,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 t =5/2, t = 1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 или HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = - 1 x = 0
Ответ: х = - 1, x = 0

3
· 16х +36х = 2
· 81х

Приведем степени к нужным основаниям:
4 2х +4х · 9х - 2
· 9 2х = 0
Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 92х
· 0 почленно.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
t2 + t - 2 = 0,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 t = - 2, t = 1 t = - 2 посторонний корень
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
х = 0
Ответ: х = 0









HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER149HYPER15



4

2

1

8

При замене не забывайте нанести ограничения!

3

6

2

6



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 1.pokazatelnieuravnenia
    Показательная функция. Показательные уравнения
    Размер файла: 242 kB Загрузок: 4