Электронный Учебник. Показательная функция. Показательные уравнения

Решение показательных уравнений
Оглавление
13 TOC \o "1-1" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc320440867" 141. Уравнение вида а f(x) = а g(x) 13 PAGEREF _Toc320440867 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc320440868" 142. Уравнения вида а f(x) = b f(x) , а f(x)
· b f(x) = 1 13 PAGEREF _Toc320440868 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc320440869" 143. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n + 13 PAGEREF _Toc320440869 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc320440870" 14Уравнения, сводящиеся к квадратным 13 PAGEREF _Toc320440870 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc320440871" 14Уравнения, решаемые заменой 13 PAGEREF _Toc320440871 \h 1461515
13 LINK \l "_Toc320440872" 14Однородные уравнения 13 PAGEREF _Toc320440872 \h 1481515
15

1. Уравнение вида а f(x) = а g(x)
В силу монотонности показательной функции данное уравнение равносильно
f(x) = g(x)


Отсюда следует, что, решая уравнение, необходимо привести функции к одному основанию, используя разложение чисел на простые множители и свойства степеней.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415
х2 + 6 = 5х, х2 – 5х + 6 = 0
х1 = 2, х 2 = 3

2) 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. 13 EMBED Equation.3 1415 получим: 13 EMBED Equation.3 1415
2х – 1 = х + 2
х = 3

3) 2х(х + 2) – Ѕ = 413 EMBED Equation.3 1415
· 4х
Приведем все к основанию 2
2х(х + 2) – Ѕ = 22
· 21/2
· 2 2х Показатели сложить!
2х(х + 2) – Ѕ = 25/2 + 2х
х(х + 2) – Ѕ = 5/2 + 2х
2х2 – 1 = 5
х = ± 13 EMBED Equation.3 1415


4) 13 EMBED Equation.3 1415
Золотое правило. Уравнение, содержащее десятичные дроби, надо привести к обыкновенным дробям. Это позволяет проще определить основание.
0,125 = 1/8 = 2- 3
0,25 = ј = 2-2
2- 3 13 EMBED Equation.3 1415, 24х – 9 = 213 EMBED Equation.3 1415
4х – 9 = 13 EMBED Equation.3 1415, 8х – 18 = 5х, х = 6.
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Приведем к основанию 3.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415 = 35 , 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 9х2 – 16х - 35
·12 = 0
9х2 – 16х - 35
·12 = 0
D = 64 + 35
·12 = 4(16 + 35
·3
·9) = 4
·961.
13 EMBED Equation.3 1415 х = 70/9, т.к х
· 0.
Ответ: х = 70/9.

Для приведения основания к простому необходимо запомнить таблицу основных степеней, которая в значительной степени позволяет быстро осуществить перевод.
Таблица
22 = 4 32 = 9
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Таблицу нужно знать как таблицу умножения, как слева направо, так и справа налево.

2. Уравнения, приводимые к уравнению с одним основанием

2.1. Уравнения вида а f(x) = b f(x) , а f(x)
· b f(x) = 1
13 EMBED Equation.3 1415 а f(x) = b f(x)
Решение: Разделить а f(x) на b f(x)

13 EMBED Equation.3 1415
а f(x)
· b f(x) = 1 , (ab) f(x) = (ab)0, f(x) = 0
Примеры.
1) 25х – 1 = 32х – 2 ,т.к 25 = 52, то 52х – 2 = 32х – 2 ,
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
2) 12х – 2 = 33х
· 26х
зх – 2
· 22х – 4 = 33х
· 26х .

Теперь выполним действие, при котором левую часть разделим на 33х, а правую на 22х – 4 , т. е. крест на крест, чтобы тройки собрать с тройками, а двойки с двойками.
13 EMBED Equation.3 1415 Получим: 3 – 2х – 2 = 2 4х + 4 или 3 –( 2х + 2) = 4 2х + 2 или 13 EMBED Equation.3 1415
4 2х + 2
· 32х +2 = 1, 122х+2 = 120
2х + 2 = 0, х = - 1 .


2. 2. Уравнения, содержащие k а f(x) + m + h а f(x) + n +

Данные уравнения решаются путем «очищения показателя», т.е. приведения каждого слагаемого к виду k a m
· а f(x) + h a n
· а f(x) + Далее - приведение подобных слагаемых.
Примеры.
2
·3х + 1 – 6
·3х – 1 – 3х = 9.
2
·3
·3х – 6
·1/3
·3х – 3х = 9, 6
·3х – 2
·3х – 3х = 9 ,
Приведем подобные: легко подсчитать «штучки».
Шесть штучек, минус две штучки, минус одна штучка, будет три штучки.
3
·3х = 9, 3х = 3, х = 1.
Обратим внимание, что член, не содержащий аf(x) (9), преобразовывать не нужно.
2х – 1 + 2х – 2 + 2х – 3 = 448
Очистим показатель и приведем к целому виду.

13 EMBED Equation.3 1415 , 4
·2х + 2
·2х + 2х = 8
·448, 7
·2х = 8
·448,
Было бы лишним действием умножать 8
·448, т.к. потом все равно сокращать на 7.
2х = 13 EMBED Equation.3 1415, 2х =8
· 64, 2х = 29 , х = 9.
Золотое правило. При решении никогда заранее не нужно умножать числа. Это можно делать, когда ничего другого не остается.
3) 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 , двойки к двойкам, тройки к тройкам.
13 EMBED Equation.3 1415,
· х 2 = 3, х 13 EMBED Equation.3 1415.
4) 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415Приведем к основаниям 2 и 3.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = 2.

Уравнения, сводящиеся к квадратным

Если степени разнятся в два раза (а f(x) и а 2f(x) ), то необходимо сделать замену:
а f(x) = t , где t > 0 , т.к. множество значений показательной функции – это множество положительных чисел.
Примеры.
22х+1 + 2 х +2 – 16 = 0.
Сначала очистим показатель:
2
·22х +4
· 2 х – 16 = 0.
Сделаем замену 2х = t , t > 0,


2t2 + 4t – 16 = 0, t2 + 2t – 8 = 0, t = - 4, t = 2.
t = - 4 - посторонний корень.
2х = 2, х = 1.
Ответ: х = 1.
2) 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Сначала приведем к основанию 2 и очистим показатель.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 2х = t , t > 0
13 EMBED Equation.3 1415

2х = 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
х = - 0,5 или х = 1,5
Ответ: х = - 0,5; х = 1,5.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


Уравнения, решаемые заменой

Общие принципы решения таких уравнений такие же, как и в прочих уравнениях.
При этом помним, что при замене а f(x) на t , t > 0, т. к. множество значений показательной функции больше нуля.
Примеры.
1) 13 EMBED Equation.3 1415,
х
· 0.
13 EMBED Equation.3 1415 Сделаем замену: t = 13 EMBED Equation.3 1415, t > 0.
t – 2/t – 1 = 0, t 2 – t – 2 = 0, t = 2, t = - 1 - посторонний корень.
13 EMBED Equation.3 1415= 2, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = 1.
2)
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х = 3.
3) 13 EMBED Equation.3 1415
Рассмотрим основания. Это 4 и 5. Если числитель и знаменатель дроби разделить на 4х , то значение дроби не изменится, при этом получим степень с основанием 5/4.
13 EMBED Equation.3 1415 Теперь можно сделать замену.
3
·13 EMBED Equation.3 1415= t , t > 0, t
· 1
13 EMBED Equation.3 1415 t, t = ± ѕ, t = ѕ
3
·13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Уравнение вида а f(x) = b, решается путем логарифмирования по удобному основанию, при положительных обеих частях уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
Наиболее часто встречаются замены в смешанных уравнениях. При этом при решении приходится применять как практику решения показательных уравнений, так и практику решения тех видов, которые даны в задаче.
Примеры.
4) 13 EMBED Equation.3 1415
Т.к. основания одинаковые постараемся получить схожие показатели.
sin2х = 1 – cos2х . Получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Сделаем замену 13 EMBED Equation.3 1415= t , t > 0
13 EMBED Equation.3 1415
Откуда: 13 EMBED Equation.3 1415= 1 или 13 EMBED Equation.3 1415 = 2
cosх = 0 или cosх = ± 1
х =
·/2 +
·n, х =
· n
Получим при объединении решений x = 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415
Однородные уравнения

Однородные уравнения 2-го порядка должны содержать следующие обязательные элементы:
- функций две;
- степень одинаковая;
- свободный член равен нулю.
Решаются путем деления всех членов уравнения на одну из функций в большей степени.
Примеры.
1) 2
· 4х – 3 · 10х + 5 · 25х = 0
Приведем степени к простым основаниям:
2
· 2 2х – 3 · 2х
·5х + 5 · 5 2х = 0
Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 52х
· 0 почленно.
13 EMBED Equation.3 1415
Сделаем замену 13 EMBED Equation.3 1415
2t2 – 3t +5 = 0,
13 EMBED Equation.3 1415 t =5/2, t = 1
13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415
х = - 1 x = 0
Ответ: х = - 1, x = 0

3
· 16х +36х = 2
· 81х

Приведем степени к нужным основаниям:
4 2х +4х · 9х - 2
· 9 2х = 0
Видим: функций две; степень вторая; свободный член равен нулю. Разделим на 92х
· 0 почленно.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
t2 + t - 2 = 0,
13 EMBED Equation.3 1415 t = - 2, t = 1 t = - 2 посторонний корень
13 EMBED Equation.3 1415
х = 0
Ответ: х = 0









13PAGE 15


13PAGE 14915



4

2

1

8

При замене не забывайте нанести ограничения!

3

6

2

6



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 1.pokazatelnieuravnenia
    Показательная функция. Показательные уравнения
    Размер файла: 242 kB Загрузок: 7