Электронный учебник. Производная

Производная
Оглавление
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444954" HYPER14Таблица и правила нахождения производной. HYPER13 PAGEREF _Toc115444954 \h HYPER141HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444955" HYPER14Техника дифференцирования HYPER13 PAGEREF _Toc115444955 \h HYPER142HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444956" HYPER14Касательная к графику функции. Геометрический смысл касательной HYPER13 PAGEREF _Toc115444956 \h HYPER143HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444957" HYPER14Нахождение угла наклона касательной. Нахождение х0 по углу HYPER13 PAGEREF _Toc115444957 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444958" HYPER14Параллельность касательной оси Х, какой либо прямой HYPER13 PAGEREF _Toc115444958 \h HYPER144HYPER15HYPER15
Составление HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444959" HYPER14уравнения касательной HYPER13 PAGEREF _Toc115444959 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444960" HYPER14Составление уравнения касательной, если известна абсцисса точки касания х0 HYPER13 PAGEREF _Toc115444960 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13 HYPERLINK \l "_Toc115444961" HYPER14Составление уравнения касательной, если неизвестна абсцисса точки касания х0 HYPER13 PAGEREF _Toc115444961 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER15
1. Таблица и правила нахождения производной.

Таблица производных
f(x) с
kx
xn
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
sinx
cosx
tqx
ctqx
ex
ax
lnx
x>0
loqax
x>0

f(x) 0
k
nxn-1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
cosx
-sinx
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
ex
ax lna
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Правила нахождения производной
Постоянный коэффициент можно вынести за знак производной.
(СU) = C(U)
Пример:.
(2х2) = 2(х2)= 4х. ( -3 sinх) = -3cosx.
Производная суммы равна сумме производных.
(U + V)= U + V
При наличии суммы производную брать от каждого слагаемого.
у = х3 + Ѕх2 – 2х, у = 3х2+ х – 2.
3) Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя, умноженная на первый.
(UV) = UV + VU.
Примеры:
f(x) = xsinx, f(x) = sinx + xcosx.
y = 2x2tqx, y = 2(2xtqx + x2/cos2x)
4) Производная частного равна дроби в числителе - производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, в знаменателе – знаменатель в квадрате.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Примеры:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER155) Производная сложной функции
Сложная функция – это функция от другой функции.
Пусть f(x) = 2х2 – 1, пусть нужно найти корень квадратный из этой функции. Получим:
q(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, т.е. q(f(x)).
Введем понятия: 2х2 – 1 = f(x) – простая функция, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - сложная функция.
Рассмотрим функцию у = sin(2х –
·/3). 2х –
·/3 – простая функция, sin от нее – сложная.
Производная сложной функции равна производной от простой, умноженной на производную от сложной.
q(f(x)) = f(x)q(f(x)).
Примеры:
У = (2х – 3)3, у = (2х – 3)((2х – 3)3) , у = 2.3(2х – 3)2 , у = 6(2х – 3)2.
У = sin2х, у = (2х) (sin2х) , у = 2 cos2х .



у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
Помнить! Если х с минусом, не забыть взять производную от него. (-х) = -1.

2. Техника дифференцирования
Многочлен
Привести функцию в стандартный вид: преобразовать выражение так, чтобы каждое слагаемое представляло степень с соответствующим показателем, упростить при возможности выражение;
Определить коэффициент каждого слагаемого;
Найти производную каждого слагаемого, умноженную на коэффициент;
Привести выражение к стандартному виду.

Нахождение производной от многочлена.
Примеры:
у = 2х4 – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 у = 2х4 – HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
у = 8х3 – х2 + Ѕ х + 10х-1 – + х5/2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 у = 8х3 – х2 + Ѕ х + 10/х + х5/2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-
Помнить! HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Общий алгоритм.

Привести функцию в стандартный вид: преобразовать выражение так, чтобы каждое слагаемое представляло степень с соответствующим показателем, упростить при возможности выражение;
Определить коэффициент каждого слагаемого;
Определить вид производной каждого слагаемого;
Определить простую и сложную функции;
Найти производную каждого слагаемого, умноженную на коэффициент;
Привести выражение к стандартному виду.
Примеры:
1) f(x) = 2х2tqx, П. 1 – нет; п.2 – коэффициент -2; п.3 – производная произведения;
п.4 – простые функции.
П. 5 – f (x) = 2(2хtqx + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15).
2) у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 п.1 – переведем в степень: у = 3(2х – 1) – 4 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
П.2,п.3, п.4 – первое слагаемое – коэфф. – 3, производная степени, 2х – 1 – простая функция, степень – сложная.
П.3,п.4 – второе слагаемое – производная корня квадратного, х2 – 5 – простая функция, корень – сложная.
П.5: у = 2.(-4)(2х – 1) – 3 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 у = - 8(2х – 1) – 3 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


3) у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Производная частного, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 простая функция, синус – сложная. HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 = - 1.
у =HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4) f(x) = sin2х. Способ 1. Синус – простая функция , степень 2 сложная.
f(x) = 2 sinхcosx. f(x) = sin2х
Способ 2. Преобразуем функцию по формуле половинного угла:
f(x)= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f (x) = Ѕ .(-2)(-sin2х), f (x) = sin2х
5) у = х е2х у = е2х +2 хе2х.
6) у = ln(3x – 4) , при x> 4/3 получим: у = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7) HYPER13 EMBED Equatio
·n.3 HYPER14HYPER15

При х>0.
HYPER13 EMBED PowerPoint.Show.8 HYPER14HYPER15

3. Касательная к графику функции. Геометрический смысл касательной
Касательная к графику функции, дифференцируемой в точке хо – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f (xо).
f (xо) = k. k = tq
· , где
· – угол наклона касательной с положительным направлением оси Х.
f (xо) = tq
·
Уравнение касательной имеет вид: у = f (xо) + f (xо)(х - xо).
3.1 Нахождение угла наклона касательной. Нахождение х0 по углу
Т.к. f (xо) = tq
·, то для нахождения угла наклона касательной нужно:
1. Найти производную функции;
2. Найти значение производной в точке с абсциссой хо, f (xо);
3. Найти угол.
Примеры:
Найти угол наклона касательной к оси Х в точке графика функции f(x) = х2 – 4х + 3 с абсциссой хо= 2,5; хо= 3; хо= - 1.
f (xо) = tq
·.
f (x) = 2х – 4, хо= 2,5 f (2,5) = 2. 2,5 – 4 = 1, tq
· = 1,
· = 45
·
хо= 3 f (3) = 2. 3 – 4 = 2, tq
· = 2,
· = arctq2.
х0 = - 1 f (-1) = 2.(-1) – 4 = - 6, tq
· = - 6
· =
·- arctq6.
Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, в которых касательная к графику составляет с осью Х угол 45
·.
Представим дробь в виде многочлена:
f(x) = 2х2 + х +5 – 1/х, f(x) = 2х2 + х +5 – х-1.
f (xо) = tq
·, f (xо) = 1
f (x) = 4х + 1 + х – 2
4х0+ 1 + 1/х 02 = 1, 4х03 + 1 = 0, х0 = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3.2 Параллельность касательной оси Х, какой либо прямой
Условия параллельности оси Х:
Угол прямой, параллельной оси Х с осью Х равен нулю, следовательно,
tq0 = 0, f (xо) = 0.
Запомнить! Условие параллельности касательной оси Х:: f (xо) = 0.
Пример:
Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = 12х – 9 tqх + 1, в каждой из которых касательная параллельна оси Х.
Условие параллельности: f (xо) = 0.
f (x) = 12 – 9/cos 2х ,
12 – 9/cos 2х = 0, 12 cos 2х – 9 = 0, cos 2х = ѕ , cos х = ± HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
х = ±
·/6 + 2
·n или х = ± 5
·/6 + 2
·n, где n = Z.
Условие параллельности какой либо прямой:
Прямые у = k1x + b1 и y = k2x + b2 – параллельны, следовательно,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Касательная параллельна прямой у = kx + b при условии:
f (xо) = k, свободные члены (b) при этом не равны.
Запомнить! Условие параллельности касательной оси Х: f (xо) = k.

Примеры:
Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = х3 + 3х2 + 9х - 9 , в каждой из которых касательная параллельна прямой у = 6х.
f (x) = 3х2 + 6х + 9 . Так как k = 6, то 3х02 + 6х0 + 9 = 6, 3х02 + 6х0 + 3 = 0,
х02 + 2х0 + 1 = 0, (х0 + 1)2 = 0, х0 = - 1 .
Проверка: уравнение касательной примет вид:
У = - 1 + 3 – 9 – 9 + 6 (х + 1), устанавливаем, что b
· о.
Ответ: - 1

3. 3 Составление уравнения касательной
Уравнение касательной имеет вид: у = f (xо) + f (xо)(х - xо).
Составление уравнения касательной, если известна абсцисса точки касания х0
Найти f (x);
Найти f(x0);
Найти f (x0) ;
Подставить полученные значения в уравнение касательной;
Привести к виду у = kx + b.
Пример:
Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке этого графика с абсциссой 7/3.
Уравнение касательной у = f (xо) + f (xо)(х - xо), х0 = 7/3

f (x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , f (7/3) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
f(7/3) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
У = 48 – 35(х – 7/3), у = - 35х + 389/3.

Составление уравнения касательной, если неизвестна абсцисса точки касания х0
1. По условию найти абсциссу точки касания х0;
Найти f (x);
Найти f(x0);
Подставить полученные значения в уравнение касательной;
Привести к виду у = kx + b.

Примеры:
Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 5х2 + 3х – 8 , если угловой коэффициент касательной равен – 17.
Абсциссу точки касания найдем из условия f (x0) = - 17
f (x) = 10х + 3
10х0 + 3 = - 17 , х0 = - 2,
Уравнение касательной у = f (xо) + f (xо)(х - xо), х0 = - 2
f(x0) = 20 – 6 – 8 = 6,
у = 6 – 17(х + 2), у = - 17х – 28.

2) Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 5х2 + 20, проходящей через начало координат.
Точка М(0;0) принадлежит только графику касательной , т.к. f(0) = 20
· 0.
Составим уравнение касательной.
у = f (xо) + f (xо)(х - xо)
у = 5х02 + 20 + 10х0(х – х0), т.к. М(0;0) принадлежит графику касательной, то у = 0, х = 0. Получим:
0 = 5х02 + 20 + 10х0(0 – х0),
- 5х02 + 20 = 0, х 0 = ± 2,
Составим уравнение касательной, х 0 = 2
у = 40 + 20(х – 2), у = 20х.
х 0 = - 2
у = 40 – 20(х + 2), у = - 20х.
3) Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15в точке пересечения этого графика с прямой у = 3.
Абсциссу точки касания найдем из условия HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= 3
х = - 3, х0 = - 3.
f (x) = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 f (-3) = 23,
f(-3) = 3,
у = 3 + 23(х + 3), у = 23х + 72.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc proizvodnaa
    Производная и ее применение
    Размер файла: 704 kB Загрузок: 3