Электронный учебник. Производная

Производная
Оглавление
13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc115444954" 14Таблица и правила нахождения производной. 13 PAGEREF _Toc115444954 \h 1411515
13 LINK \l "_Toc115444955" 14Техника дифференцирования 13 PAGEREF _Toc115444955 \h 1421515
13 LINK \l "_Toc115444956" 14Касательная к графику функции. Геометрический смысл касательной 13 PAGEREF _Toc115444956 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc115444957" 14Нахождение угла наклона касательной. Нахождение х0 по углу 13 PAGEREF _Toc115444957 \h 1441515
13 LINK \l "_Toc115444958" 14Параллельность касательной оси Х, какой либо прямой 13 PAGEREF _Toc115444958 \h 1441515
Составление 13 LINK \l "_Toc115444959" 14уравнения касательной 13 PAGEREF _Toc115444959 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc115444960" 14Составление уравнения касательной, если известна абсцисса точки касания х0 13 PAGEREF _Toc115444960 \h 1451515
13 LINK \l "_Toc115444961" 14Составление уравнения касательной, если неизвестна абсцисса точки касания х0 13 PAGEREF _Toc115444961 \h 1451515
15
1. Таблица и правила нахождения производной.

Таблица производных
f(x) с
kx
xn
13 EMBED Equation.3 1415
sinx
cosx
tqx
ctqx
ex
ax
lnx
x>0
loqax
x>0

f(x) 0
k
nxn-1
13 EMBED Equation.3 1415
cosx
-sinx
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
ex
ax lna
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415


Правила нахождения производной
Постоянный коэффициент можно вынести за знак производной.
(СU) = C(U)
Пример:.
(2х2) = 2(х2)= 4х. ( -3 sinх) = -3cosx.
Производная суммы равна сумме производных.
(U + V)= U + V
При наличии суммы производную брать от каждого слагаемого.
у = х3 + Ѕх2 – 2х, у = 3х2+ х – 2.
3) Производная произведения равна производной первого множителя, умноженного на второй множитель, плюс производная второго множителя, умноженная на первый.
(UV) = UV + VU.
Примеры:
f(x) = xsinx, f(x) = sinx + xcosx.
y = 2x2tqx, y = 2(2xtqx + x2/cos2x)
4) Производная частного равна дроби в числителе - производная числителя, умноженная на знаменатель, минус производная знаменателя, умноженная на числитель, в знаменателе – знаменатель в квадрате.
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры:
13 EMBED Equation.3 14155) Производная сложной функции
Сложная функция – это функция от другой функции.
Пусть f(x) = 2х2 – 1, пусть нужно найти корень квадратный из этой функции. Получим:
q(x) = 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. q(f(x)).
Введем понятия: 2х2 – 1 = f(x) – простая функция, 13 EMBED Equation.3 1415 - сложная функция.
Рассмотрим функцию у = sin(2х –
·/3). 2х –
·/3 – простая функция, sin от нее – сложная.
Производная сложной функции равна производной от простой, умноженной на производную от сложной.
q(f(x)) = f(x)q(f(x)).
Примеры:
У = (2х – 3)3, у = (2х – 3)((2х – 3)3) , у = 2.3(2х – 3)2 , у = 6(2х – 3)2.
У = sin2х, у = (2х) (sin2х) , у = 2 cos2х .



у = 13 EMBED Equation.3 1415 .
Помнить! Если х с минусом, не забыть взять производную от него. (-х) = -1.

2. Техника дифференцирования
Многочлен
Привести функцию в стандартный вид: преобразовать выражение так, чтобы каждое слагаемое представляло степень с соответствующим показателем, упростить при возможности выражение;
Определить коэффициент каждого слагаемого;
Найти производную каждого слагаемого, умноженную на коэффициент;
Привести выражение к стандартному виду.

Нахождение производной от многочлена.
Примеры:
у = 2х4 – 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 у = 2х4 – 13 EMBED Equation.3 1415,
у = 8х3 – х2 + Ѕ х + 10х-1 – + х5/213 EMBED Equation.3 1415 у = 8х3 – х2 + Ѕ х + 10/х + х5/213 EMBED Equation.3 1415-
Помнить! 13 EMBED Equation.3 1415. 13 EMBED Equation.3 1415

Общий алгоритм.

Привести функцию в стандартный вид: преобразовать выражение так, чтобы каждое слагаемое представляло степень с соответствующим показателем, упростить при возможности выражение;
Определить коэффициент каждого слагаемого;
Определить вид производной каждого слагаемого;
Определить простую и сложную функции;
Найти производную каждого слагаемого, умноженную на коэффициент;
Привести выражение к стандартному виду.
Примеры:
1) f(x) = 2х2tqx, П. 1 – нет; п.2 – коэффициент -2; п.3 – производная произведения;
п.4 – простые функции.
П. 5 – f (x) = 2(2хtqx + 13 EMBED Equation.3 1415).
2) у = 13 EMBED Equation.3 1415 п.1 – переведем в степень: у = 3(2х – 1) – 4 + 13 EMBED Equation.3 1415.
П.2,п.3, п.4 – первое слагаемое – коэфф. – 3, производная степени, 2х – 1 – простая функция, степень – сложная.
П.3,п.4 – второе слагаемое – производная корня квадратного, х2 – 5 – простая функция, корень – сложная.
П.5: у = 2.(-4)(2х – 1) – 3 + 13 EMBED Equation.3 1415 у = - 8(2х – 1) – 3 + 13 EMBED Equation.3 1415


3) у = 13 EMBED Equation.3 1415 Производная частного, 13 EMBED Equation.3 1415 простая функция, синус – сложная. 13 EMBED Equation.3 1415 = - 1.
у =13 EMBED Equation.3 1415
4) f(x) = sin2х. Способ 1. Синус – простая функция , степень 2 сложная.
f(x) = 2 sinхcosx. f(x) = sin2х
Способ 2. Преобразуем функцию по формуле половинного угла:
f(x)= 13 EMBED Equation.3 1415 f (x) = Ѕ .(-2)(-sin2х), f (x) = sin2х
5) у = х е2х у = е2х +2 хе2х.
6) у = ln(3x – 4) , при x> 4/3 получим: у = 13 EMBED Equation.3 1415
7) 13 EMBED Equatio
·n.3 1415

При х>0.
13 EMBED PowerPoint.Show.8 1415

3. Касательная к графику функции. Геометрический смысл касательной
Касательная к графику функции, дифференцируемой в точке хо – это прямая, проходящая через точку (хо; f(xо)) и имеющая угловой коэффициент f (xо).
f (xо) = k. k = tq
· , где
· – угол наклона касательной с положительным направлением оси Х.
f (xо) = tq
·
Уравнение касательной имеет вид: у = f (xо) + f (xо)(х - xо).
3.1 Нахождение угла наклона касательной. Нахождение х0 по углу
Т.к. f (xо) = tq
·, то для нахождения угла наклона касательной нужно:
1. Найти производную функции;
2. Найти значение производной в точке с абсциссой хо, f (xо);
3. Найти угол.
Примеры:
Найти угол наклона касательной к оси Х в точке графика функции f(x) = х2 – 4х + 3 с абсциссой хо= 2,5; хо= 3; хо= - 1.
f (xо) = tq
·.
f (x) = 2х – 4, хо= 2,5 f (2,5) = 2. 2,5 – 4 = 1, tq
· = 1,
· = 45
·
хо= 3 f (3) = 2. 3 – 4 = 2, tq
· = 2,
· = arctq2.
х0 = - 1 f (-1) = 2.(-1) – 4 = - 6, tq
· = - 6
· =
·- arctq6.
Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415, в которых касательная к графику составляет с осью Х угол 45
·.
Представим дробь в виде многочлена:
f(x) = 2х2 + х +5 – 1/х, f(x) = 2х2 + х +5 – х-1.
f (xо) = tq
·, f (xо) = 1
f (x) = 4х + 1 + х – 2
4х0+ 1 + 1/х 02 = 1, 4х03 + 1 = 0, х0 = 13 EMBED Equation.3 1415
3.2 Параллельность касательной оси Х, какой либо прямой
Условия параллельности оси Х:
Угол прямой, параллельной оси Х с осью Х равен нулю, следовательно,
tq0 = 0, f (xо) = 0.
Запомнить! Условие параллельности касательной оси Х:: f (xо) = 0.
Пример:
Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = 12х – 9 tqх + 1, в каждой из которых касательная параллельна оси Х.
Условие параллельности: f (xо) = 0.
f (x) = 12 – 9/cos 2х ,
12 – 9/cos 2х = 0, 12 cos 2х – 9 = 0, cos 2х = ѕ , cos х = ± 13 EMBED Equation.3 1415,
х = ±
·/6 + 2
·n или х = ± 5
·/6 + 2
·n, где n = Z.
Условие параллельности какой либо прямой:
Прямые у = k1x + b1 и y = k2x + b2 – параллельны, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415
Касательная параллельна прямой у = kx + b при условии:
f (xо) = k, свободные члены (b) при этом не равны.
Запомнить! Условие параллельности касательной оси Х: f (xо) = k.

Примеры:
Найти абсциссы всех точек графика функции f(x) = х3 + 3х2 + 9х - 9 , в каждой из которых касательная параллельна прямой у = 6х.
f (x) = 3х2 + 6х + 9 . Так как k = 6, то 3х02 + 6х0 + 9 = 6, 3х02 + 6х0 + 3 = 0,
х02 + 2х0 + 1 = 0, (х0 + 1)2 = 0, х0 = - 1 .
Проверка: уравнение касательной примет вид:
У = - 1 + 3 – 9 – 9 + 6 (х + 1), устанавливаем, что b
· о.
Ответ: - 1

3. 3 Составление уравнения касательной
Уравнение касательной имеет вид: у = f (xо) + f (xо)(х - xо).
Составление уравнения касательной, если известна абсцисса точки касания х0
Найти f (x);
Найти f(x0);
Найти f (x0) ;
Подставить полученные значения в уравнение касательной;
Привести к виду у = kx + b.
Пример:
Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415 в точке этого графика с абсциссой 7/3.
Уравнение касательной у = f (xо) + f (xо)(х - xо), х0 = 7/3

f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 , f (7/3) = 13 EMBED Equation.3 1415,
f(7/3) = 13 EMBED Equation.3 1415
У = 48 – 35(х – 7/3), у = - 35х + 389/3.

Составление уравнения касательной, если неизвестна абсцисса точки касания х0
1. По условию найти абсциссу точки касания х0;
Найти f (x);
Найти f(x0);
Подставить полученные значения в уравнение касательной;
Привести к виду у = kx + b.

Примеры:
Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 5х2 + 3х – 8 , если угловой коэффициент касательной равен – 17.
Абсциссу точки касания найдем из условия f (x0) = - 17
f (x) = 10х + 3
10х0 + 3 = - 17 , х0 = - 2,
Уравнение касательной у = f (xо) + f (xо)(х - xо), х0 = - 2
f(x0) = 20 – 6 – 8 = 6,
у = 6 – 17(х + 2), у = - 17х – 28.

2) Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 5х2 + 20, проходящей через начало координат.
Точка М(0;0) принадлежит только графику касательной , т.к. f(0) = 20
· 0.
Составим уравнение касательной.
у = f (xо) + f (xо)(х - xо)
у = 5х02 + 20 + 10х0(х – х0), т.к. М(0;0) принадлежит графику касательной, то у = 0, х = 0. Получим:
0 = 5х02 + 20 + 10х0(0 – х0),
- 5х02 + 20 = 0, х 0 = ± 2,
Составим уравнение касательной, х 0 = 2
у = 40 + 20(х – 2), у = 20х.
х 0 = - 2
у = 40 – 20(х + 2), у = - 20х.
3) Написать уравнение касательной к графику функции f(x) = 13 EMBED Equation.3 1415в точке пересечения этого графика с прямой у = 3.
Абсциссу точки касания найдем из условия 13 EMBED Equation.3 1415= 3
х = - 3, х0 = - 3.
f (x) = 13 EMBED Equation.3 1415 f (-3) = 23,
f(-3) = 3,
у = 3 + 23(х + 3), у = 23х + 72.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCurrent UserPowerPoint DocumentMicrosoft Equation 3.0

Приложенные файлы

  • doc proizvodnaa
    Производная и ее применение
    Размер файла: 704 kB Загрузок: 3