Электронный курс теории вероятностей


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Теория вероятностейУчимся вместе Теория вероятностейОглавление1. Теория вероятностей. События2. Тренинг по разделу3. Эксперимент4. Элементарные события5. Тренинг по разделу6. Классификация случайных событий7. Определение элементарных событий8. Вероятность. Классическое определение9. Свойства вероятностей10. Тренинг по разделу11. Действия над вероятностями. Объединение, пересечение Оглавление13. Тренинг по разделу 14. Геометрическая вероятность15. Тренинг по разделу16. Испытания Бернулли17. Случайные величины12. Алгоритм нахождения вероятности - Возврат в оглавление- Возврат в начало раздела Теория вероятностей, зародившаяся в 17 веке на базе азартных игр в 20 веке стала разделом математики. В современном мире применяется как для научных обоснований, так и широко используется в различных отраслях. Теория вероятностей – это наука о вычислении вероятностей случайных событий, позволяющая делать прогнозы и различные стратегии В теории вероятностей всякий результат, полученный в процессе испытаний, проведении того или иного опыта называется событием.Р (А) = N(A)/N

ppt_yppt_yppt_y

Эксперемент Событие Вероятность
Типы событийДОСТОВЕРНОЕНЕВОЗМОЖНОЕСЛУЧАЙНОЕСОБЫТИЕ

ppt_y
ppt_y
ppt_y Типы событий Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания. Случайным называют событие которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. ДОСТОВЕРНОЕСЛУЧАЙНОЕНЕВОЗМОЖНОЕ Примеры событийдосто-верныеслу-чайныеневоз-можные1. ПОСЛЕ ЗИМЫ НАСТУПАЕТ ВЕСНА.2. ПОСЛЕ НОЧИ ПРИХОДИТ УТРО.3. КАМЕНЬ ПАДАЕТ ВНИЗ.4. ВОДА СТАНОВИТСЯ ТЕПЛЕЕ ПРИ НАГРЕВАНИИ. 1. НАЙТИ КЛАД.2. БУТЕРБРОД ПАДАЕТ МАСЛОМ ВНИЗ.3. В ШКОЛЕ ОТМЕНИЛИ ЗАНЯТИЯ.4. ПОЭТ ПОЛЬЗУЕТСЯ ВЕЛОСИПЕДОМ.5. В ДОМЕ ЖИВЕТ КОШКА. З0 ФЕВРАЛЯ ДЕНЬ РОЖДЕНИЯ.2. ПРИ ПОДБРАСЫВАНИИ КУБИКА ВЫПАДАЕТ 7 ОЧКОВ.3. ЧЕЛОВЕК РОЖДАЕТСЯ СТАРЫМ И СТАНОВИТСЯ МОЛОЖЕ.



Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные. Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:а) задумано четное число;б) задумано нечетное число;в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; г) задумано число, являющееся четным или нечетным.Задание 1 ДостоверноеСлучайноеНевозможноеНажмите соответствующую кнопку для каждого а,б,в,г.



Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные.Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:а) задумано четное число;б) задумано нечетное число;в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; г) задумано число, являющееся четным или нечетным.Задание 1 ДостоверноеСлучайноеНевозможноеСлучайное
ppt_yppt_yppt_y Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные.Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:а) задумано четное число;б) задумано нечетное число;в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; г) задумано число, являющееся четным или нечетным.Задание 1 ДостоверноеСлучайноеНевозможноеСлучайноеСлучайное
ppt_yppt_yppt_y Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные.Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:а) задумано четное число;б) задумано нечетное число;в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; г) задумано число, являющееся четным или нечетным.Задание 1 ДостоверноеСлучайноеНевозможноеСлучайноеСлучайноеНевозможное Охарактеризуйте события, о которых идет речь в приведенных заданиях как достоверные, невозможные или случайные.Петя задумал натуральное число. Событие состоит в следующем:а) задумано четное число;б) задумано нечетное число;в) задумано число, не являющееся ни четным, ни нечетным; г) задумано число, являющееся четным или нечетным.Задание 1 ДостоверноеСлучайноеСлучайноеНевозможное
ppt_yppt_yppt_y Задание 2 В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие:а) из мешка вынули 4 шара и они все синие;б) из мешка вынули 4 шара и они все красные;в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.Проверь себя



Задание 2 В мешках лежит 10 шаров: 3 синих, 3 белых и 4 красных. Охарактеризуйте следующее событие:а) из мешка вынули 4 шара и они все синие;б) из мешка вынули 4 шара и они все красные;в) из мешка вынули 4 шара, и все они оказались разного цвета;г) из мешка вынули 4 шара, и среди них не оказалось шара черного цвета.Проверь себяСлучайноеСлучайноеНевозможноеДостоверное
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y Рассмотрим несколько примеров случайных экспериментов (испытаний, опытов).
Опыт 1: Подбрасывание монеты. Испытание – подбрасывание монеты; события – монета упала «орлом» или «решкой». «решка» - лицевая сторона монеты (аверс) «орел» - обратная сторона монеты (реверс) Число возможных исходов: 2 исхода: «орел» (О), «решка» (Р).


style.rotation
style.rotation
Опыт 2: Подбрасывание кубика. Это следующий по популярности после монеты случайный эксперимент. Испытание – подбрасывание кубика; события – выпало 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков (и другие).Число возможных исходов: 6 – 1,2,3,4,5,6; 2 – четное, нечетное, другие.

style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y
Опыт 3: Выбор перчаток. В коробке лежат 3 пары одинаковых перчаток. Из нее, не глядя, вынимаются две перчатки. «Завтра днем – ясная погода». Здесь наступление дня – испытание, ясная погода – событие. Опыт 4: Число возможных исходов: 3 обе перчатки - на правую руку; на левую руку; на разные руки.




Элементарное событие Элементарное событие (или исход) называется один из взаимоисключающих друг друга вариантов, которым может завершиться случайный эксперимент. Количество всех элементарных событий - N
style.rotation
ppt_yppt_yppt_y Монету бросают трижды. Сколько всего событий может произойти?Р Р РР Р ОР О ОР О РО О ОО О РО Р РО Р ОВсего 8 событий
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y



Задание 4 Найдите количество возможных исходов. а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.12345


ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y Задание 4 Найдите количество возможных исходов. а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.123453
ppt_yppt_yppt_y Задание 4 Найдите количество возможных исходов. а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.3212345
ppt_yppt_yppt_y Задание 4 Найдите количество возможных исходов. а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.32112345
ppt_yppt_yppt_y Задание 4 Найдите количество возможных исходов. а) За городом N железнодорожные станции расположены в следующем порядке: Луговая, Сосновая, Озёрная, Дачная, Пустырь. Событие А – пассажир купил билет не далее станции Озёрная. б) Один ученик записал целое число от 1 до 5, а другой ученик пытается отгадать это число. Событие В – записано чётное число. в) Вини Пух думает, к кому бы пойти в гости: к Кролику, Пяточку, ослику Иа-Иа или Сове? Событие А – Вини Пух пойдёт к Пяточку; событие В – Вини Пух не пойдёт к Кролику.3213
ppt_yppt_yppt_y Задание 5 В каждом из следующих опытов найдите количество возможных исходов:а) подбрасывание двух монет;б) Из трех разных цифр составить двухзначные числа;в) подбрасывание двух кубиков;Проверь себя


Задание 5 В каждом из следующих опытов найдите количество возможных исходов:а) подбрасывание двух монет;б) Из трех разных цифр составить двухзначные числа;в) подбрасывание одного кубика;О Р Р О Р РО ОВсего 4Обозначим цифры П; В; ТП В П ТП П В П В ТВ В Т П Т ВТ Т Всего 9На кубике шесть граней. Может выпасть любаяВсего 6




Случайное СОБЫТИЕРавновозможныеСОБЫТИЯПротивоположные СОБЫТИЯРавновозможными называются элементарные события, имеющие одинаковые шансыПротивоположное событие – это событие, которое не происходит при событии А ААКлассификация случайных событий


style.rotation

style.rotation
Пример.1. Событие А «выпало четное число очков» и Ā «выпало нечётное число очков» при бросании игрального кубика.Пример.1. При бросании одной игральной кости на верхней грани может выпасть от 1 , 2,3,4,5,6 очков .2. При бросании двух игральных костей может быть 36 равновозможных элементарных событийРавновозможныеСОБЫТИЯПротивоположные СОБЫТИЯ2. Событие А: при подбрасывании монеты выпадет орел. Противоположное событие А: не выпадет орел., или выпадет решка



Случайное СОБЫТИЕСовместные СОБЫТИЯНесовместные СОБЫТИЯСовместные события – это события, которые могут произойти в результате одного эксперимента Несовместные события – это события, которые не могут произойти в результате одного эксперимента Классификация случайных событий

style.rotation

style.rotation Пример.1. При бросании одной игральной кости на верхней грани оказалась 6 очков , 5 очков. Пример.1. При бросании одной игральной кости на верхней грани оказалась 6 очков , четное число.2. Событие А: Задумано четное двухзначное, событие В : задумано число, оканчивающее на 4 Совместные СОБЫТИЯНесовместные СОБЫТИЯ2. Событие А: Задумано четное двухзначное, событие В : задумано число, оканчивающее на 3



Случайное СОБЫТИЕЗависимые СОБЫТИЯНезависимые СОБЫТИЯдве случайные величины называют зависимыми, если значение одной из них влияет на вероятность значений другой.два случайных события называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого.Классификация случайных событий

style.rotation

style.rotation Пример.1. Событие А: первый раз выпал орел. Событие В: второй раз выпала решка. (события независимы) Пример.1. Зависимые события объединены одним технологическим циклом. Например, принтер и компьютер, холодильник и мороженное, Зависимое СОБЫТИЯНезависимые СОБЫТИЯ

Благоприятствующие элементарные СОБЫТИЯЭлементарные события, при которых наступает событие А, называются благоприятствующими элементарными событиями.
style.rotation Определение элементарных событийЭлементарные события можно определить с помощью:- таблицы (например, бросание двух костей)- дерева вариантов- формул комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания)Р = n!Аm n Сm n - аналитического подсчета




1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1- 62-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2- 63-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3- 64-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4- 65-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5- 66-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6- 6Бросают две кости. Найдите элементарные и благоприятствующие события, если в сумме выпало не более 5 очков.Составим таблицу вариантов (N)Выделим благоприятствующие события N(A)Элементарных событий N = 36Благоприятных событий N(A) = 10Таблица
ppt_yppt_yppt_y






В ящике 4 красных и 2 синих шара. Наудачу достают 2 шара. Найдите элементарные события и благоприятные события, если а) вынуты два красных шара; б) два синих шара.3·4а) Благоприятных событий N(A) = C2 4 б) Благоприятных событий N(Б) = C2 2 Элементарных событий N = C2 6 5·6
ppt_yppt_yppt_y

ВЕРОЯТНОСТЬ– ЭТО ЧИСЛЕННАЯ МЕРА ОБЪЕКТИВНОЙ ВОЗМОЖНОСТИ ПОЯВЛЕНИЯ СЛУЧАЙНОГО СОБЫТИЯ.ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ДАЕТ СПОСОБ НАХОЖДЕНИЯ ЧИСЛЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ СОБЫТИЯ:А – некоторое событие,m, N(A) – количество исходов (благоприятных событий), при которых событие А появляется,n, N – конечное число равновозможных исходов (элементарных событий). P – обозначение происходит от первой буквы французского слова probabilite – вероятность.
style.rotation
style.rotation

style.rotation
Вероятностью Р наступления случайного события А называется отношение , где n – число всех возможных элементарных событий, а m – число всех благоприятных событий:КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ.

ppt_yppt_yppt_y
Пьер-Симо́н Лапла́с Классическое определение вероятности было впервые дано в работах французского математика Лапласа. ЭКСПЕРИМЕНТЧИСЛО ВОЗМОЖНЫХ элементарных событий (n)СОБЫТИЕ АЧИСЛО ИСХОДОВ, БЛАГОПРИЯТ- НЫХ ДЛЯ ЭТОГО СОБЫТИЯ (m)ВЕРОЯТНОСТЬ НАСТУПЛЕНИЯ СОБЫТИЯ АР(А)=m/nБросаем монетку2Выпал «орел»1Вытягиваем экзаменаци- онный билетВытянули билет №5241Бросаем кубикНа кубике выпало четное число63Играем в лотереюВыиграли, купив один билет25010









Пример 1 В школе 1300 человек, из них 5 человек нарушители дисциплины. Какова вероятность того, что один из них попадётся директору на глаза? Решите задачи



Вероятность:N = 1300; N(A) = 5 P(A) = 5/1300 = 1/250.Решение


Пример 2. При игре в нарды бросают 2 игральных кубика. Какова вероятность того, что на обоих кубиках выпадут одинаковые числа?
ppt_yppt_yppt_y
style.rotation РешениеСоставим таблицу возможных исходов и выделим благоприятныеВероятность: P(A)=6/36= =1/6.1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1- 62-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2- 63-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3- 64-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4- 65-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5- 66-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6- 6Элементарных событий N = 36Благоприятных событий N(A) = 6








Пример 3.Из карточек составили слово «статистика». Затем наугад выбирают из него по карточке. Найдите вероятности выбора каждой буквы. Какую карточку с буквой вероятнее всего вытащить? Какие события равновероятные?статистика

style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation Всего 10 букв.Буква «с» встречается 2 раза – P(с) = 2/10 = 1/5;буква «т» встречается 3 раза – P(т) = 3/10;буква «а» встречается 2 раза – P(а) = 2/10 = 1/5;буква «и» встречается 2 раза – P(и) = 2/10 = 1/5;буква «к» встречается 1 раз – P(к) = 1/10. РешениеВероятней всего вытащить букву Т равновероятные








Вероятность достоверного события равна Вероятность невозможного события равна Вероятность события А не меньше , но не большеСумма вероятностей события и ему противоположного равна 1010Свойства вероятностей1
ppt_y
ppt_y
ppt_y

ppt_y
P(u) = 1 (u – достоверное событие);P(v) = 0 (v – невозможное событие);0  P(A)  1.4. Р(А) = 1 – Р(А)
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
Задача 1. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой. Задача 2. В коробке лежат 10 одинаковых шаров, на каждом из которых написан его номер от 1 до 10. Найдите вероятность следующих событий: а) извлекли шар № 7; б) номер извлеченного шара – четное число; в) номер извлеченного шара кратен 3. Задача 3. Мальчики играли в “Орлянку”. Но монетка куда-то закатилась. Предложите, как заменить ее игральным кубиком?Задача 4. В настольной игре сломалась вертушка с тремя разными секторами: красным, белым и синим, но есть кубик. Как заменить вертушку? ПодсказкаПодсказкаПодсказкаПодсказкаЗадача 5. На каждые 490 изготовленных сумок 10 сумок бракованные. Найдите вероятность того, что наугад выбранная сумка будет а) качественная; б) бракованная.ПодсказкаДалее Задача 1. В коробке 4 синих, 3 белых и 2 желтых фишки. Они тщательно перемешиваются, и наудачу извлекается одна из них. Найдите вероятность того, что она окажется: а) белой; б) желтой; в) не желтой. Найдите общее число фишек Это NНайдите благоприятные события для а), б)Это N(А)Это N(Б)Найдите благоприятные события для в), Это N(В)Найдите вероятности а, б, вОтвет: а) 1/3, б) 2/9, в) 7/9








Задача 2. В коробке лежат 10 одинаковых шаров, на каждом из которых написан его номер от 1 до 10. Найдите вероятность следующих событий: а) извлекли шар № 7; б) номер извлеченного шара – четное число; в) номер извлеченного шара кратен 3. Найдите Nа) Найдите N(A) Шар с № 7 - одинб) Найдите N(A) Шаров с четными числами - в) Найдите N(A) Шаров с числами кратными 3 - Найдите вероятности а, б, вОтвет: а) 1/10, б) 1/2, в) 3/10



Задача 3. Мальчики играли в “Орлянку”. Но монетка куда-то закатилась. Предложите, как заменить ее игральным кубиком? Событий два: орел, решкаПредложите как можно разбить числа на гранях кубика на две несовместные позиции.
Задача 4. В настольной игре сломалась вертушка с тремя разными секторами: красным, белым и синим, но есть кубик. Как заменить вертушку? Смотри предыдущую задачу. Задача 5.На каждые 490 качественно изготовленных сумок приходится 10 сумок бракованные. Найдите вероятность того, что наугад выбранная сумка будет а) качественная; б) бракованная.Найдите Nа) Найдите N(A) б) Найдите N(A) Найдите вероятности а, б.Ответ: а) 0,94, б) 0,01.





ОпределениеПримерСуммой(объединением) событий А и В называется новое событие С=А+В, которое заключается в наступлении хотя бы одного из событий: или А или В или А и В Действия над событиямиА – {награждение победителя призом}В – {награждение победителя денежной премией}А+В – {награждение победителя или призом, или премией}Произведением(пересечением) событийА и В называется новое событие С=А∙В, которое заключается в наступлении событийА и В одновременноА – {награждение победителя призом}В – {награждение победителя премией}А∙В – {награждение победителя одновременно и призом и премией}
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation ОпределениеПримерОтрицаниемсобытия А называется событие А (не А), заключающееся в не наступлении события АА – {награждение победителя призом}А – {не награждение победителя призом}Разностьюсобытий А и В называетсясобытие А/В, которое Заключается в наступлениисобытия А и не наступлениисобытия В А – {награждение победителя призом}В – {награждение победителя денежной премией}А\В – {награждение победителя призом без выдачи премии}Действия над событиями
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation ОпределениеПримерСуммой(объединением) вероятностей Р(А U В) называется сумма вероятностей Р(А)+Р(В), где события А и В несовместные или А или В Р(А U В) = Р(А)+Р(В)Действия над вероятостямиПроизведением(пересечением) вероятностей Р(А ∩ В) называется произведение вероятностей Р(А)∙Р(В), где события А и В независимы А и В Р(А ∩ В) = Р(А)·Р(В)Р(А) – {вероятность награждения победителя призом}Р(В) – {вероятность награждения победителя денежной премией}Р(АUВ) – {вероятность награждения победителя или призом, или премией}Р(А) – {вероятность награждения победителя призом}Р(В) – {вероятность награждения победителя премией}Р(А∙В) – {вероятность награждения победителя одновременно и призом и премией} ОпределениеПримерР(А U В) = Р(А)+Р(В) – Р(А∩В)Вероятность объединения двух любых событий равна сумме их вероятностей минус вероятность пересечения этих вероятностей.Р(А) – {вероятность награждения победителя призом}Р(В) – {вероятность награждения победителя денежной премией}Р(А∩В) {вероятность награждения победителя призом и денежной премией}Р(АUВ) – {вероятность награждения победителя или призом, или премией без награждения и призом и денежной премией} ВыводыВА1. События А и В несовместныПри нахождении вероятности события, состоящего из события А или В применять правило сложения. Объединение вероятностей Р(АUB) – это сумма Р(А) + Р(В) В задачах предусматривается или2. События А и В независимыПри нахождении вероятности события, состоящего из события А и В применять правило умножения. Пересечение вероятностей Р(А∩B) – это произведение Р(А) · Р(В) В задачах предусматривается иилисумма ипроизведение Бросают игральную кость. Событие А- выпало четное число очков. Событие В – выпало число очков меньше 4 Найти объединение вероятностей.Бросают игральную кость. Событие А- выпало четное число очков. Событие В – выпало число очков меньше 4 Найти пересечение вероятностей.
ppt_yppt_yppt_y





илисумма ипроизведение Клавиатура телефона содержит цифры от 0 до 10. Какова вероятность, что случайно нажатая цифра окажется 5 или 6Клавиатура телефона содержит цифры от 0 до 10. Какова вероятность, что случайно нажатые цифры окажутся 5 и 6Объединение событий А и В равно сумме вероятностей Р(А) и Р(В) Событие А - цифра 5Событие В – цифра 6Р(А) = 1/10 Р(В) = 1/10 Р(АUВ) = Р(А) + Р(В)Р(АUВ) = 1/10 + 1/10 = 0,2или Пересечение событий А и В равно произведению вероятностей Р(А) и Р(В) События несовместныСобытия независимыР(А∩В) = Р(А) · Р(В)Р(А∩В) = 1/10 · 1/10 = 0,01и


ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y





ВА1. События А и В совместныПри нахождении вероятности события, состоящего из события А или В применять правило сложения с вычитанием вероятности совместной части. Объединение вероятностей Р(АUB) – это сумма Р(А) + Р(В) - Р(А∩В)ВыводыВАВ задачах предусматривается, что события А и В имеют пересечение, т. е. имеют общую часть. А∩В


ppt_yppt_yppt_y

Бросают игральную кость. Событие А- выпало четное число очков. Событие В – выпало число очков меньше 5 Найдите вероятность наступления события А или В.Объединение событий А и В равно сумме вероятностей Р(А) и Р(В) с вычетом Р(А∩В) Событие АСобытие ВР(А) = 3/6 = 1/2Р(В) = 4/6 = 2/3Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А∩В)Р(АUВ) = 1/2 + 2/3 – 1/3 = 5/6События А и В имеют общую часть (пересечение). События совместныСобытие АСобытие ВР(А∩В) = Р(А1) · Р(В1)Р(А∩В) = 2/3 · 2/4 = 2/6=1/3{3{4













Алгоритм нахождения вероятности случайного события.Найти число N всех возможных исходов данного испытания (элементарные события); Найти количество N(A) всех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие элементарные события)Найти вероятность события А (отношение N(A) к N)2.1.3. 2.1.3.Найти число N всех возможных исходов данного испытания (элементарные события);Алгоритм нахождения вероятности случайного события. Найти количество N(A) всех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие элементарные события)Найти вероятность события А (отношение N(A) к N)
ppt_y 2.1.3.Найти число N всех возможных исходов данного испытания (элементарные события);Алгоритм нахождения вероятности случайного события. Найти количество N(A) всех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие элементарные события)Найти вероятность события А (отношение N(A) к N)
ppt_y 3.1.Найти число N всех возможных исходов данного испытания (элементарные события);Алгоритм нахождения вероятности случайного события.2. Найти количество N(A) всех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие элементарные события)Найти вероятность события А (отношение N(A) к N)
ppt_y 1.Найти число N всех возможных исходов данного испытания (элементарные события);Алгоритм нахождения вероятности случайного события.2. Найти количество N(A) всех исходов, при которых наступает событие А (благоприятствующие элементарные события)3.Найти вероятность события А (отношение N(A) к N)

Алгоритм решения задачОпределить число возможных элементарных событий(исходов) NОпределить число благоприятствующих событий(исходов) N(А)Вычислить вероятность. Р(А)N(A) и P(A) находятся по выше перечисленным правилам и теоремам

Буквы Т, Е, И, Я, Р, О написаны на отдельных карточках. Ребенок берет 3 карточки в случайном порядке и раскладывает одну к другой. Какова вероятность того, что получится слово ТОР?Определить число благоприятствующих событий (исходов) N(А) Событие благоприятствующее получению слова ТОР - одно Вычислить вероятность Р(А)Определить число возможных элементарных событий (исходов) N Так как испытание состоит в выборе 3 букв из 6 с учетом их порядка, то N = А63Р(А) = Вероятность взятия карточки Т Вероятность взятия карточки О Вероятность взятия карточки Р Вероятность слова Т О Р 1 способ2 способ
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y *Группа учащихся, находящаяся на сельскохозяйственных работах, выбирает по жребию кухонный наряд в составе 3 человек. Какова вероятность того, что среди них окажутся 2 девушки и 1 юноша, если в группе 15 девушек и 12 юношейОпределить число благоприятствующих событий (исходов) N(А) В наряде 2 девушки из 15 – С152 ; 1 юноша из 12 – С121 Т.к. в наряде 2 девушки И 1 юноша, применим произведение. Вычислить вероятность Р(А)Определить число возможных элементарных событий (исходов) N Так как испытание состоит в выборе 3 человек из 27, то N = С273. Порядок не существенен.Р(А) =
ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y
В классе 25 учащихся, из которых 5 – отличники; 10 – хорошисты; 10 имеют удовлетворительные оценки. Какова вероятность, что наугад вызванный ученик отличник или хорошист?N = 25РешениеА – отличники; В - хорошистыТак как по условию ученик или отличник или хорошист, то необходимо найти объединение вероятности события А и события В. Это сумма вероятностей. Р(АUВ) = Р(А) + Р(В)Р(А) = 5/25; Р(В) = 10/25Р(АUВ) = 1/5 + 2/5 = 3/5 = 0,6



style.rotation



*В партии из 70 изделий 10% бракованных. С целью контроля из этой партии отбирают наугад 5 изделий. Если среди них окажется более 1 бракованного, то бракуется вся партия. Какова вероятность того, что партия изделий не будет забракована?N = C705 – число элементарных событийВ партии 63 качественных изделий и 7 бракованныхПартия не бракуется, если в 5 отобранных изделиях либо 5 качественных А1, либо 4 качественных и одна бракованная А2.N(А1) = С635 N(А2) = С634 КачественныеНекачественныеРешениеТак как может быть либо А1 либо А2









ТренингЗадание 1 Назовите событие противоположное данному:1. При бросании монеты выпала решка;2. Алеша вытащил выигрышный билет в розыгрыше лотереи;3. Мою соседку по парте зовут или Таня, или Аня;4. Выбранная деталь качественная;5. Вероятность того, что автомат работает равна 0,92. Найдите вероятность того, что автомат не работает;При бросании монеты выпал орелАлеша вытащил проигрышный билетМою соседку не зовут ни Таней, ни АнейВыбранная деталь некачественнаяР(А) = 1 – 0,92 = 0,08Справка

ppt_y

ppt_y

ppt_y

ppt_y

ppt_y
ТренингЗадание 2 Укажите совместные и несовместные случайные события: 1. Катя со Славой играли в шахматы) А – «Катя выиграла», В – «Слава проиграл»;2. (бросили кубик) А – «выпала шестерка», В – «выпала пятерка»;3. (бросили кубик) А – «выпала шестерка», В – «выпало четное число очков»;4. А – «квадратное уравнение имеет два корня», В – «дискриминант больше нуля»;5. А - задумано четное двухзначное; В - задумано число, оканчивающее на 3 Несовместные НесовместныеСовместныеСовместныеНесовместныеСправка

ppt_y

ppt_y

ppt_y

ppt_y

ppt_y
N = N(A) = ТренингЗадание 3 благоприятных событий: 1. Игральную кость бросают единожды. Событие А – выпадет не более 5 очков.2. Кость бросают дважды. Событие – сумма выпавших очков более 83. Из карточек с буквами Т, Е, И, Я, Р, О в случайном порядке выбирают 3 карточки. Событие А – получилось слово ТИР;4. Код, состоит из набора четырех цифр из 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Найдите количество элементарных событий;5. В ящике 6 красных и 4 синих шара. Из него вынимают 4 шара. Событие А – вынутые шары красные.СправкаN = N(A) = N = 36 N(A) = 10N = N(A) = N = N = N(A) =N = 6 N(A) = 4N = 120 N(A) = 1N = 6480 N = 210 N(A) = 15ПодсказкаНайдите число элементарных

ppt_y

ppt_y

ppt_y

ppt_y

ppt_y
ТренингЗадание 3 благоприятных событий: 1. Игральную кость бросают единожды. Событие А – выпадет не более 5 очков.2. Кость бросают дважды. Событие – сумма выпавших очков более 83. Из карточек с буквами Т, Е, И, Я, Р, О в случайном порядке выбирают 3 карточки. Событие А – получилось слово ТИР;4. Код, состоит из набора четырех цифр из 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9. Найдите количество элементарных событий;5. В ящике 6 красных и 4 синих шара. Из него вынимают 4 шара. Событие А – вынутые шары красные.СправкаN = N(A) = N = 36 N(A) = 10N = 6 N(A) = 4N = 720 N(A) = 1N = 6480 Найдите число элементарныхСм.здесьN = Р = 6! = 1·2·3·4·5·6 = 720N = А104 = N = С104 = N(A) = С64 = Далее

1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1- 62-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2- 63-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3- 64-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4- 65-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5- 66-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6- 6Бросают две кости. Найдите вероятность того, что сумма выпавших очков более 8.Составим таблицу вариантов (N)Выделим благоприятствующие события N(A)Элементарных событий N = 36Благоприятных событий N(A) = 10Таблица
ppt_yppt_yppt_y






ТренингЗадание 4 Определите действия над событиями: 1. Учитель вызовет к доске : А - ученицу, В – ученика. Опишите А + В, А· В;2. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?3. Два почтальона должны разнести 5 писем по 5 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? 4. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта? СправкаПодсказкаПодсказкаПодсказкаПодсказка

ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y ТренингЗадание 4 Определите действия над событиями: 1. Учитель вызовет к доске : А - ученицу, В – ученика. Опишите А + В, А· В;2. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту, заместителя старосты и профорга. Сколько существует способов это сделать?3. Два почтальона должны разнести 5 писем по 5 адресам. Сколькими способами они могут распределить работу? 4. В ящике 100 деталей, из них 30 – деталей 1-го сорта, 50 – 2-го, остальные – 3-го. Сколько существует способов извлечения из ящика одной детали 1-го или 2-го сорта? СправкаА + В – это или; А · В – это иСтарост выбираем из 30 , заместителя из - 29, профорга – из 28.События независимы (и) 1-ое письмо разносится либо 1-ым, либо 2-м. N1 = 2 Разнести надо 5 писем. (и). N = N1 ·N2·N3·N4·N5. N = 25 N1 = 30, N2 = 50 События – несовместны (или). N = N1 + N2

ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
style.rotation ТренингЗадание 5 Вычислите вероятности: 1. В классе 10 учениц и 15 учеников. Найдите вероятность того, что учитель вызовет к доске ученицу и ученика 2. В урне 10 красных, 5 синих, 15 белых шаров. Найдите вероятность того, что вынут красный или синий шар; 3.На 6 –ти карточках заданий по алгебре 2-е – решить уравнения, 1-а – решить задачу , 3 - функции. Вытаскивают одну карточку. Найдите вероятность того , что достанется либо уравнения, либо задача; СправкаПодсказка4. В ящике лежат 2 красных шара и три синих шара. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 синих шара; 2) красный и синий шары?

ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y ТренингЗадание 5 Вычислите вероятности: 1. В классе 10 учениц и 15 учеников. Найдите вероятность того, что учитель вызовет к доске ученицу и ученика 2. В урне 10 красных, 5 синих, 15 белых шаров. Найдите вероятность того, что вынут красный или синий шар; 3.На 6 –ти карточках заданий по алгебре 2-е – решить уравнения, 1-а – решить задачу , 3 - функции. Вытаскивают одну карточку. Найдите вероятность того , что достанется либо уравнения, либо задача; Справка это и Р(А∩B) = Р(А) · Р(B) = 6/25 = 0,24. Р(А) = 10/25, Р(В) = 15/25 это или Р(АUB) = Р(А) + Р(B) = 1/2 = 0,5. Р(А) = 10/30, Р(В) = 5/30 это или Р(АUB) = Р(А) + Р(B) = 1/2 = 0,5. Р(А) = 2/6, Р(В) = 1/6См.здесь4. В ящике лежат 2 красных шара и три синих шара. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 синих шара; 2) красный и синий шары?

ppt_y
ppt_y
ppt_y
style.rotation
style.rotation
style.rotation
ppt_y 4. В ящике лежат 2 красных шара и три синих шара. Наугад вынимают два шара. Какова вероятность того, что вынуты: 1) 2 синих шара; 2) красный и синий шары? Всего элементарных событий N = C521) Событие 1 – вынуты два синих шара2) Событие 2 – вынуты красный и синий шарКрасный – А Синий – В Всего элементарных событий N = C52N(A) = C21 N(B) = C31Всего благоприятных N(A∩B) = N(A)·N(B) независимые (и) Всего благоприятных событий Было бы ошибкой считать N= 5, т. к. выборка идет из 5 по 2



ppt_yppt_yppt_y



ТренингЗадание 5 Вычислите вероятности: 5. В одном ящике лежат 5черных и 3 белых шара, а в другом – 6 белых и 4 черных. Найдите вероятность того, что хотя бы из одного ящика вынут один белый шар.6. Вы забыли последнюю цифру в номере телефона. Найдите вероятность того, что 1) случайно набранная цифра окажется правильной; 2) Вам придется звонить не более трех раз.7. Случайным образом из букв русского алфавита выбирают две буквы. Найдите вероятность того, что 1) они обе согласные; 2) среди них есть Ъ; 3) среди них нет Ъ; 4) одна гласная, другая согласнаяСправкаПодсказка8. Абонент помнит, что три последние цифры 1,5,9, но забыл порядок. Найдите вероятность того, что абонент набрал правильный номер с первого раза.ПодсказкаПодсказкаПодсказкаДалее

ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y ТренингЗадание 5 Вычислите вероятности: 5. В одном ящике лежат 5черных и 3 белых шара, а в другом – 6 белых и 4 черных. Найдите вероятность того, что хотя бы из одного ящика вынут один белый шар.СправкаПервый ящик N1 = 5 + 3 = 8; Второй ящик N2= 6 + 4 = 10; Вероятность вынуть белый шар из первого ящика Р(А1) = /8Вероятность вынуть белый шар из второго ящика Р(А2) = /10Пусть из первого извлекли белый шар, тогда из второго могут извлечь либо белый, либо черный. Извлечение белого шара из ящиков – событие совместное, следовательно используем Формулу сложения для любых событий Р(АUВ) = Р(А) + Р(В) – Р(А∩B) Р(А1UА2) = Р(А1) + Р(А2) – Р(А1∩А2)



первый звонок: -верно2-а звонка : неверно, верно3 – и звонка : неверно, неверно, верно2) Возможные варианты:Верно 1 из 10 Р =1/10Верно 1 из 9 Р = 1/9Верно 1 из 8 Р = 1/8 Вероятность верноВероятность неверноВероятность приОдин звонок1/101 – 1/10 = 9/10 одном звонке 1/10Два звонка1/91 – 1/9 = 8/9двух звонках1/9 · 9/10Три звонка1/8Трех звонках 9/10·8/9·1/8Противоположные события: Р(А) = 1 – Р(А) }Независимые события (И)Так как не более , то имеется в виду ИЛИ, Следовательно, - сумма Р(А) = Р(А1) + Р(А2) + Р(А3)Р(А1) Р(А2) Р(А3)Р(А) = 1/10 + 1/10 + 1/10 6. Вы забыли последнюю цифру в номере телефона. Найдите вероятность того, что 1) случайно набранная цифра окажется правильной; 2) Вам придется звонить не более трех раз.








7. Случайным образом из букв русского алфавита выбирают две буквы. Найдите вероятность того, что 1) они обе согласные; 2) среди них есть Ъ; 3) среди них нет Ъ; 4) одна гласная, другая согласная1) N = C332N (A) = C212 т. к. количество согласных - 21Р(А) = 2) N = 528. N(A) = 32 (33-1) Можно найти и так: Первая карточка - Ъ (1) Вторая – НЕТ ( С321) N(A) = 1· 32 Р(А) = 3) N = 528 N(A) = C322Р(А) = 4) Согласных - 21, гласных – 10 N = 528 N(A) = C211· С101Р(А) = Количество букв без ъ - 32

ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y 8. Абонент помнит, что три последние цифры 1,5,9, но забыл порядок. Найдите вероятность того, что абонент набрал правильный номер с первого раза. N = Р = 1 · 2 · 3 = 6Перестановки из 3N(A) = 1 Верно с первого разаР(А) =


Геометрическая вероятностьВероятностью события называется отношение меры множества благоприятных элементарных событий (исходов) к мере множества всех элементарных событий.В качестве меры, как правило, выступают длина, площадь и объем. Ω – область всех заданных событийА – область всех благоприятных событий


style.rotation
style.rotation
Геометрическая вероятностьЗаметим, что все события равновозможны и число исходов бесконечноΩ – область всех заданных событийА – область всех благоприятных событий


style.rotation
style.rotation
Например. 1. Вне шара находится точечный источник тока. Изучаем освещенность различных точек на поверхности шара. Исходы испытания: точка освещена или точка не освещена. Число исходов бесконечно.Как определить вероятность, что наугад взятая точка будет освещена, если площадь поверхности шара равна S см2 , а площадь освещенной части составляет ¾ от всей поверхности?Решение:

style.rotation

2. В круг радиусом R вписан квадрат. Найдите вероятность, что наугад взятая точка внутри круга окажется внутри квадрата.S(A) = Sкв = а2, а = R√2S(Ω) = πR23. Отрезок АВ, равный 12 разделен точкой С в отношении 5/6, считая от точки А. Найдите вероятность того , что наугад взятая точка, будет находится между С и В. А С ВСВ = 1/6АВ = 2Решение:Решение:







ppt_yppt_yppt_y
4. Два друга должны встретиться в промежутке времени от 15 ч. до 15 ч. 30мин. Какова вероятность встречи с 15ч 10мин до 15ч 20мин?Решение:15 15-10 15-20 15-30Распределим время на отрезкеВстреча произойдет с 15-10 до 15-20 5. Внутри параллелепипеда с измерениями 5, 6, 10 см расположен по центру куб с ребром 4. Какова вероятность, что случайная точка, взятая внутри параллелепипеда попадет а) в куб; б) окажется вне кубаа) б) Сумма а) и б) равна 1



ppt_yppt_yppt_y


ppt_yppt_yppt_y

ppt_yppt_yppt_y
0 1 6. Какова вероятность , что точка, взятая на отрезке [0;1] будет находится в пределах от 1/3 до 1/2 включительно?1/3 1/2 хВозьмем отрезок [0;1] и нанесем на него отрезок [1/3;1/2]Точка х выбирается из отрезка [1/3;1/2]. 1/3≤ x ≤ 1/2Длина отрезка [0;1] равна модулю |1 – 0| = 1Длина отрезка [1/3;1/2] равна модулю |1/2 – 1/3| = 1/6Вероятность Р(1/3≤ x ≤ ½) = = 1/6 1/61Вероятность события, при котором точка х выбирается из отрезка [a;b], содержащимся в отрезке [m;n] равна

ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y






После бури на участке между 40-м и 70-м километрами телефонной линии произошел обрыв провода. Какова вероятность того, что разрыв произошел между 45-м и 50-м километрами линииРасстояние от 45 до 50 будет |50 - 45| = 5Расстояние от 40 до 70 будет |70 - 40| = 30В окружность вписан правильный треугольник АВС стороной 1. На окружности случайным образом выбирают две тоски M и N. Найдите вероятность того, что отрезок MN: 1) не пересекает ни одну сторону; 2) пересекает хотя бы одну сторону; 3) пересекает ровно две стороны; 4) пересекает стороны АВ и ВС.

В окружность вписан правильный треугольник АВС стороной 1. На окружности случайным образом выбирают две тоски M и N. Найдите вероятность того, что отрезок MN: 1) не пересекает ни одну сторону; 2) пересекает хотя бы одну сторону; 3) пересекает ровно две стороны; 4) пересекает стороны АВ и ВС.АВСMN1. Прямая должна находиться в одном из сегментовАВС АВ = 120°Окружность содержит 360°2. Прямая должна исходить из вершиныNMАВС = 240°3. Прямая должна проходить внутри дуги 240°4. Прямая пересекает две стороны и не пересекает третью

ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y




ppt_yppt_yppt_y
ppt_yppt_yppt_y





ТренингЗадание 1 Вычислите вероятности: 1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС; 3)МС; 4) МВ; 5) АВ?2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?3. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на голубом секторе?СправкаПодсказкаПодсказкаПодсказкаДалее

ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y ТренингЗадание 1 Вычислите вероятности: 1. Дано: АВ=12см, АМ=2см, МС=4см. На отрезке АВ случайным образом отмечается точка Х. Какова вероятность того, что точка Х попадет на отрезок: 1) АМ; 2) АС; 3)МС; 4) МВ; 5) АВ?Справка А М С ВРасставьте точки на отрезке. Найдите вероятность по формуле:Ответ: 1) 1/6; 2) ½ ; 3) 1/3; 4) 5/6; 5) 1. 2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10см, б) 5см?Ответ: 1) ≈ 0,79; 2) 0,2. Где Sмяча – площадь диаметрального сечения (πR2)

ppt_y


ppt_y
ТренингЗадание 1 Вычислите вероятности: 3. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на голубом секторе?СправкаДалееВычислите площадь голубых секторов и разделите ее на площадь всего круга:Ответ: 1/4Sсекторов = Sкруга/4

ppt_y



r ТренингЗадание 1 5. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.6. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на голубом или красном секторах?СправкаПодсказкаПодсказкаПодсказкаДалее4. Какова вероятность, что случайно брошенная точка окажется удалена меньше чем на 1см от ближайшей стороны квадрата со стороной 4см?
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y
ppt_y ТренингЗадание 1 Справка4. Какова вероятность, что случайно брошенная точка окажется удалена меньше чем на 1см от ближайшей стороны квадрата со стороной 4 см?Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см.Площадь закрашенной части квадрата (рамки) 16см2 – 4см2 = 12см2.Сторона внутреннего квадрата 4 – 2 = 2 1Ответ: 0,751

ppt_yppt_yppt_y


ТренингЗадание 1 5. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. В решетку 100 раз бросили наугад один и тот же мяч. В 50 случаях он пролетел через решетку не задев ее. Оцените приближенно радиус мяча.6. В центре вертушки закреплена стрелка, которая раскручивается и останавливается в случайном положении. С какой вероятностью стрелка вертушки остановится на голубом или красном секторах?СправкаВероятность попадания Вероятность попадания Далее найти RОтвет: Так как по условию ИЛИ, то найдем сумму вероятностей Р(С) + Р(К) = Ответ: ½




Испытания БернуллиИспытаниями Бернулли называется последовательность независимых испытаний, в каждом из которых возможны лишь два исхода —«успех» и «неудача», при этом «успех» в одном испытании происходит с вероятностью p, «неудача» — с вероятностью q =1- p.Несколько одинаковых и независимых испытаний называется серия или последовательность испытаний БернуллиПримеры. 1)Пусть выпадение «орла» - удача, тогда выпадение «решки» - неудача; 2) В коробке лежат красные и синие карандаши. Пусть надо взять красный – это удача, синий неудача.


Формула БернуллиПусть производится серия из n испытаний Бернулли, в каждом из которых происходит (удача) или не происходит (неудача) событие А. Числа испытаний, в которых происходит событие А, обозначим т.Вероятность появления события А в n испытаниях ровно т раз вычисляется по формуле Бернулли:где р – вероятность успеха; q = 1- р – вероятность противоположная (неуспеха); п – число испытаний; т – число испытаний, в которых появилось событие А


Примеры.1. Вероятность выигрыша по одному лотерейному билету равна 1/7. У Вас 7 билетов. Какова вероятность выигрыша а) по 2 билетам; б) по трем билетам. а) n = 7; m = 2; р = 1/7; q = 1 – 1/7 = 6/7б) n = 7; m = 3; р = 1/7; q = 1 – 1/7 = 6/7


2. Монету бросают 5 раз. Какова вероятность события: а) орел выпадает три раза; б) орел выпадает не менее 2 , но не более 4 раз; в) решка выпадет не менее 3 раз.а) n = 5; m = 3; р = 1/2; q = 1/2б) n = 5; т = 2; m = 3; р = 1/2; q = 1/2Так как или 2, или 3 броска, то суммав) n = 5; т = 1; т = 2; m = 3; р = 1/2; q = 1/2





3. У дикорастущей земляники красный окрас доминирует над розовым. Вероятность появления растений с красным окрасом равна 0,7. Какова вероятность, что среди отобранных 8-ми растений красные ягоды будут иметь: а) 6 растений; б) не менее 3-х растений (можно не считать)? а) n = 8; m = 6; р = 0,7; q = 0,3б) n = 8; т = 1; т = 2; m = 3; р = 0,7; q = 0,3




Случайные величиныСлучайная величина – это величина, значение которой зависит от того каким элементарным событием закончился опыт.В ходе некого случайного опыта случайная величина принимает то или иное числовое значение.Примеры. 1) Кидаем игральную кость. Случайной величиной считается число выпавших очков; 2) Берем партию из n деталей. Случайная величина – число бракованных или число деталей с определенными свойствами; 3) напряжение в бытовой электросети (колеблется около 220в); 4) изготовленный шоколадный батончик для покупателя массой 50г может иметь больший или меньший вес,Величину, которую можно точно вычислить, не является случайной.


ppt_yppt_yppt_y
Примеры.1. В моментальной лотерее имеются три типа билетов: без выигрыша, с выигрышем в 10 рублей, с выигрышем в 50 рублей. Играющий берет билеты. Какие значения может принимать выигрыш при покупке: а) одного билета; б) двух билетов?а) Очевидно: 0, 10, 50; б) 0, 10, 50, 20, 60, 100Х = {0;10;50}Х = {0;10;50;20;60;100}2. Бросаем игральный кубик. Какие значения может принимать случайная величина Х: а) Х – сумма очков при бросании двух костей; б) Х – сумма очков при бросании трех костей; а) Х = {2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12}; б) X ={3;4;5;6;…18}
Распределение вероятностей случайных величинХарактеристикой случайной величины является соответствие значения величины с вероятностью ее возникновения.Указать вероятность значения можно с помощью таблиц, диаграммы, графика, формулы.Соответствие позволяет проанализировать процесс, выбрать благоприятные условия для необходимых параметров.


Примеры.1. Игральную кость бросают один раз. Случайная величина – число выпавших очков - ХХ - очки123456Вероятность1/61/61/61/61/61/6Вероятность одинаковая. Все выпадения равнозначны.Заметим, что сумма всех полученных вероятностей РАВНА 12. Игральную кость бросают дважды. Случайная величина –сумма выпавших очков - Х1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1- 62-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2- 63-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3- 64-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4- 65-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5- 66-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6- 6




Х - сумма23456789101112Вероятность1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/362. Игральную кость бросают дважды. Случайная величина –сумма выпавших очков - Х1-1 1-2 1-3 1-4 1-5 1- 62-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2- 63-1 3-2 3-3 3-4 3-5 3- 64-1 4-2 4-3 4-4 4-5 4- 65-1 5-2 5-3 5-4 5-5 5- 66-1 6-2 6-3 6-4 6-5 6- 6Р(Х) = А(Х)/NN = 36A(X) для суммы 2 равно 1; для 3 – 2 и так далее.Анализ удобно делать по диаграмме.Сумма всех вероятностей равна 1
ppt_yppt_yppt_y


ppt_yppt_yppt_y Х - сумма23456789101112Вероятность1/362/363/364/365/366/365/364/363/362/361/362. Игральную кость бросают дважды. Случайная величина –сумма выпавших очков - ХАнализ удобно делать по диаграмме.Видим, что наиболее часто должно выпадать сумма 7, наиболее редко 2 или 12Симметричное распределение

Х - сумма00,511,522,533,5Вероятность0,050,040,20,180,050,150,110,12. Распределение вероятностей случайной величины задано таблицей. Найдите вероятность а) Р(1<X<2,5); б) Вероятность величин больше 2,5. Анализ сделаем по графику. а) Р(1<X<2,5) = Р(1,5) + Р(2) 40,07= 0,18 + 0,05 = 0,23 б) Р(X>2,5) = Р(3) + Р(3,5) + P(4) = 0,11 + 0,1 + 0,07 = 0,28




Теория вероятностейКалькулятор ВероятностьПерейдите в режим слайда;Щелкните по таблице два раза;Введите требуемые число n.Р(А) ПерестановкиP n = n !Перейдите в режим слайда;Щелкните по таблице два раза;Введите требуемое число n. Размещенияmn AПерейдите в режим слайда;Щелкните по таблице два раза;Введите требуемые n и m. Сочетанияmn СПерейдите в режим слайда; 2. Щелкните по таблице два раза;3. Введите требуемые n и m.

Приложенные файлы

  • pptx veroatnost
    Курс по теории вероятностей
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 2