Презентация: Изучение основ теории многочленов.


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Изучение основ теории многочленов Многочлены Если взять бесконечно малую окрестность некоторой точки из области определения непрерывной функции, то приближение функции многочленом в этой окрестности позволяет выяснить характер поведения функции в этой точке. Многочлены Чебышева Многочлены, которые имеют наименьший возможный максимум на отрезке [-1;1] среди многочленов вида .Проблема создания механизмов, которые движутся по тем или иным кривым, привела П.Л. Чебышева к изучению проблемы наилучшего приближения произвольных кривых кривыми того или иного класса (задача о приближении произвольной функции многочленами). Многочлены от одного переменного Цели изучения темы Обобщить и систематизировать понятие многочлена и операций над многочленами;Систематизировать знания учащихся о решении уравнений с одной переменной, известные из курса алгебры основной школы путем формирования понятия алгебраического уравнения. Методические задачи Ознакомить с понятиями многочлена от одной переменной и от нескольких переменных;Научить раскладывать на множители многочлен с целыми коэффициентами;Научить решать алгебраические уравнения;Обобщить и систематизировать знания учащихся о формулах сокращенного умножения. Определение многочлена Многочленом от одной переменной называется выражение вида P(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, Где а0,а1,…,an – числовые коэффициенты, а0≠ 0.Число n называется степенью многочлена P(x) (часто обозначается degP) Равенство многочленов Многочлены равны , если равны степени многочленов и коэффициенты при одинаковых степенях переменной Умножение многочленов При умножении многочленов Р(х) = а0 хn + а1 хп-1+…+an и S(х) = bоxm+ b1хт-1 + ... + bт часто бывает удобным подсчитывать коэффициенты одночленов, входящих в произведение Р(х) ∙ Q(x) = сохп+т + c1 xn+m-1 + ... + ckxn+m-k + ... + сп+т формуле если считать аi = 0 при i > n, bj = 0 при j > т. Таким образом, чтобы найти коэффициент cj, при xn+m-k в произведении, нужно сложить все возможные произведения коэффициентов при хi из Р(х) и хj из Q(x), таких, что i + j = k. Задача Найти произведение многочленовР(х)=x4 +2x3 -3x+1 иQ(x)=x4 -3x2+2x-1.Решение. Найдем ck при x8-k,0k 8 в произведении P(x)∙Q(x). продолжение Р(х)=x4 +2x3 -3x+1 и Q(x)=x4 -3x2+2x-1.При х8 с0=1∙1=1, При х7 с1=2 ∙1=2,При х6 с2=1 ∙(-3)=-3,При х5 с3= 1 ∙2+2 ∙(-3)+(-3) ∙1= -7,При х4 с4=1 ∙(-1)+2 ∙2+1 ∙1= 4,При х3 с5=2 ∙(-1)+(-3) ∙(-3)=7,При х2 с6=(-3) ∙2+1 ∙(-3)= -9,При х1 с7=(-3) ∙(-1)+1 ∙2=5,При х0 с8 =1 ∙(-1)= -1.Р(х) ∙Q(x)=x8+2x7-3x6-7x5+4x4+7x3-9x2+5x-1. задача Разделить многочлен P(x)=x5-1 на T(x)=x2+2x-1c остатком методом неопределенных коэффициентов.Решение. X5-1=(c0x3+c1x2+c2x+c3)(x2+2x-1)+d0x+d1Приравнивая коэффициенты при степенях х получаем: Х5: 1=с0;Х4: 0=2с0+с1, с1=-2;Х3: 0=-с0+2с1+с2, с2= 5;Х2: 0=-с1+2с2+с3, с3=-12;Х1: 0=-с2+2с3+d0, d0= 39;X0: -1=-c3+d1, d1=-13.X5-1=(x3 -2 x2+5x-12)(x2+2x-1)+39x-13. Задача При каких значениях a и b многочлен x3+ax2-x+b делится на многочлен х2+2х+5 без остатка?Решение. x3+ax2-x+b= (х2+2х+5)(cx+d).Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях: Отсюда с=1, d=-3, b=-15, a=-1. Деление многочленов Выделение целой части Схема Горнера Многочлен P(x) и его корень. Теорема Безу Алгебраическое уравнение. Следствия из теоремы Безу Решение алгебраических уравнений разложением на множители Решить уравнение 3х4+2х3-3х2+16х+12=0 По теореме находим корень х1=-2, Р(х)=(х+2)(3х3-4х2+5х-6).Корень многочлена Q1(x)= 3х3-4х2+5х-6 может быть среди чисел ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/3, ±2/3. Получаем х2=-2/3 - корень Q1(x) и Q1(x)= (х+2/3)(3x2-6x+9)=(2x+3)(x2-2x+3). Корни уравнения x2-2x+3=0: х3=1- i√2, x=1+ i√2.Ответ: х1=-2, х2=-2/3, х3=1- i√2, x=1+ i√2. Формула Кордано Приведем уравнение третьей степени к виду х3+а1х2+а2х+а3=0, а затем с помощью замены у=х+а1/3 к виду у3+py+q=0. Корни этого уравнения находим по формуле Кордано: Продолжение Для каждого из трех комплексных значений корня берется то значение корня ,для которого выполняется условие p/3.Тогда корни исходного уравнения выражаются через корни приведенного так:X1=y1-b1/3, x2=y2-b1/3, x3=y3-b1/3. Замечание. Если в уравнении х3 + рх + q = 0 с действительными коэффициентами верно неравенство (q/2)2+ (p/3)3 ≥ 0, то уравнение имеет ровно одно действительное решение. Найти действительные корни уравнения 3х3 + 18х2 + 45х +50 =0 Разделим уравнение на 3: х3 +6х2 +9х +50/3=0. Делаем замену у=х+2, получаем у3 +3у +8/3 =0. Здесь p=3, q = 8/3, (q/2)2+ (p/3)3 = 25/9 ≥ 0. Следовательно, действительное решение одно и равно Доказать, что число иррационально. Преобразуем число Подберем числа p и q так, чтобы данное число было решением уравнения х3 +px+q=0.По формуле Кордано получаем: -q/2=-1/6, q= 1/3, (q/2)2 + (p/3)3 = 77 / 2916, (p/3)3=77 / 2916 – 1/ 62 = 77/ (93∙4) –1 / (9 ∙4) = (77-81)/ 93∙4 = - 1/93, p = - 1/3.Итак, данное число- решение уравнения х3-1/3 х+1/3=0, 3x3 – x -1 =0. Возможные рациональные решения ±1,±1/3 не подходят. Значит исходное число – иррационально. Обобщенная теорема Виета Если старший коэффициент а0 многочлена Pn(x) = a0 xn + a1 xn-1 +…+ak xn-k +…+an-1x+an, отличен от 0, числа x1 ,x2,…,xn – его корни, то справедливы равенства: Pn(x) = a0 xn + a1 xn-1 +…+ak xn-k +…+an-1x+an = =a0(x-x1)(x-x2)…(x-xn) Многочлены от нескольких переменных Формулы сокращенного умножения для старших степеней. Бином Ньютона СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Приложенные файлы

  • ppt fail3
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 2