Презентация:Элементы теории вероятности


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Элементы теории вероятности Общекультурный уровень стохастических знанийумение составлять и подсчитывать всевозможные комбинации изнебольшого числа элементов;ощущение "меры случайности" реальных явлений;представление о том, как найти вероятность случайногособытия с очевидными и равновозможными исходами (на основеклассического определения вероятности);знание о том, что в случае затруднения установленияравновозможности исходов испытания, вероятность события можно определить с помощью относительной частоты события, проведябольшое число испытаний;умение выявлять "справедливые" и "несправедливые" игры,лотереи, страховки и т.п.;представление о репрезентативной выборке в статистическихисследованиях;представление о том, какие явления природы, техники,производства имеют нормальное распределение;ощущение количественных соотношений значений случайной величины при их нормальном распределении (на основе применения "правила трех сигм"). Цели изучения элементов теории вероятностей и статистикиФормирование представлений школьников о законах, существующих в мире случайных величин;ознакомление учащихся с применением вероятностно-статистических знаний в науке, технике, повседневной жизни;обучение решению задач с применением законов теории вероятностей и статистических знаний. Случайные события и вероятность (основное содержание)Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)Проводить случайные эксперименты, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты. Вычислять частоту случайного события; оценивать вероятность с помощью частоты, полученной опытным путем.Приводить примеры достоверных и невозможных событий. Объяснять значимость маловероятных событий в зависимости от их последствий.Решать задачи на нахождение вероятностей событий.Приводить примеры противоположных событий. Использовать при решении задач свойство вероятностей противоположных событий СобытияНевозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдет.Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.
СуммаСуммой (объединением) событий А и В называется событие, которое состоит в том, что происходит хотя бы одно из данных событий. Сумму событий А и В обозначают А+В (или AUВ). Рассмотрим примеры с конкретными событиями А и В.Пусть в опыте с бросанием игральной кости события А и В определяются так: А — выпало число очков, кратное 2, В - выпало число очков, кратное 3. Тогда событие А + В означает,что выпало хотя бы одно из чисел 2, 3, 4, 6; событие АВ —выпало число 6. ПроизведениеПроизведением (пересечением) событий А и В называется событие, которое считается наступившим тогда и только тогда, когда наступают оба события А и В. Произведение событий А и В обозначают АВ (или А В). Рассмотрим примеры с конкретными событиями А и В.Пусть опыт заключается в том, что из колоды вынимается наудачу одна карта, и пусть рассматриваются следующиесобытия: А — вынут король, В — вынута карта пиковой масти. Тогда событие А + В — вынут король или карта пиковой масти,АВ — из колоды вынут король пик. Пусть событие А, связанное с опытом c n равновозможными исходами, наступает тогда, когда осуществляется один из каких-то т исходов, и не наступает, когда осуществляется любой из оставшихся n-т исходов. Тогда говорят, что исходы, приводящие к наступлению события А, благоприятствуют событию А. Вероятностью Р (А) события А в опыте с равновозможными элементарными исходами называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к числу всех исходов. Сложение вероятностейТеорема 1.Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий, т.е. P(A+B) = P(A) +P(B)/ Теорема 2. Вероятность суммы двух произвольных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их произведения, т. е. P(A+B) = P(A)+P(B)- P(AB). Задача. Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна карта. Какова вероятность того, что будет вынута карта бубновой масти или туз бубновой масти?Решение. Пусть А – вынута карта бубновой масти, В – появился туз бубновой масти. Найдем вероятность события А+В. Так как Р(А)= 1/4, Р(В)=1/9, Р(АВ)=1/36, то Р(А+В)= Р(А)+Р(В)-Р(АВ)= ¼ + 1/9 -1/36 =1/3 Студент, которому предстояло сдать зачет, знал ответы на 70 вопросов из 90. Какова вероятность того, что он ответит на второй вопрос при условии, что он не знал ответа на первый вопрос? ПустьСобытие А – не знал ответ на первый вопрос;Событие В – на второй вопрос ответ знал;Событие АВ – не знал ответ на первый вопрос и на второй вопрос ответ знал.Событие В/А – на второй вопрос ответ знал при условии, что не знал ответ на первый вопрос.Р(А) = Р(АВ)= , где m= 20·70 по правилу произведения, n = = 90·89, т.е. Р(АВ)= Р(В/А)= ОпределениеСобытия А и В называют независимыми, если Р(АВ) = Р(А) ∙ Р(В). Если это равенство не выполняется, то события А и В называют зависимыми.Действительно, событие А является независимым от события В тогда и только тогда, когда наступление события В не влияет на наступление события А, т.е. когда Р(А/В)=Р(А). Задача Из колоды в 36 карт наудачу вынимается одна карта. Выяснить, являются ли независимыми события A и B, если А — появился король, В — вынута карта червовой или пиковой масти.Общее число элементарных исходов равно 36, событию А благоприятствуют 4 исхода, поэтому Р(А) = 4/36=1/9. Если произошло событие В, то осуществилось одно из 18 элементарных событий, среди которых событию А благоприятствуют 2 и поэтому Р (А/В) = 2/18 =1/9. Итак, Р(А/В) = Р(А), т. е. события А и В независимы. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторикиЗадача 2. Брошены две игральные кости: одна белого, другая красного цвета. Какова вероятность того, что: 1)на белой кости выпадет 6 очков, а на красной – нечетное число очков; 2) на одной кости выпадет 6 очков, а на другой – нечетное число очков?
■Таблица возможных исходов бросания Белая кость Красная кость 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66

Задача 6. В коробке лежат 2 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают одновременно 2 шара. Найти вероятность события: 1) А – вынуты 2 белых шара; 2) В – вынуты 2 черных шара; 3) С- вынуты белый и черный шары.
Решение задачи:Из 5 шаров можно составить ((5-1)5):2=10 различных пар. Таким образом, n=10.1)Событию А благоприятствует 1 пара белых шаров : Р(А) = 1\10.2)Событию В благоприятствуют 3 исхода : Р(В)= 3\10.3) Событию С благоприятствуют 6 исходов: Р(С)= 6\10=3\5. Решение задачи с помощью графов
















Противоположные события и их вероятности.Событие Ậ называют событием, противоположным событию А, если оно происходит , когда не происходит событие А.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Задача 3. В школьном научном обществе 10 человек: 7 мальчиков и 3 девочки. Случайным образом из членов этого общества выбирают двух учащихся на городскую конференцию.Какова вероятность того, что среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка?
РешениеА- среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка.Ậ – среди выбранных двух человек нет ни одной девочки (все мальчики).Число всевозможных пар из 10 школьников N= ((10-1)10)\2=45Благоприятствуют событию Ậ : m=((7-1)7)\2=21P(Ậ) = m\n = 21\45 = 7\15P(A) = 1- P(B) = 1- 7\15 = 8\15. Относительной частотой события A в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом число М называют частотой события A. Исследование 1. Два друга проводили испытания с подбрасыванием монеты и наблюдали за появлением орла. Один из мальчиков подбрасывал монету и сообщал о том, что выпало – орел (О) или решка (Р). Второй мальчик вносил результаты испытаний во второй столбец таблицы
Таблица испытаний N O или Р МW= M \ N 1 О 1 1 2 О 2 1 3 Р 2 0,6667………… 35 О 18 0,5143 36 Р 18 0,5….……… 49 О 25 0,5102 50 Р 25 0,5 Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.
Закон больших чиселМожно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается от его вероятности Р(А), т.е. Р(А)  W(А) при большом числе испытаний
Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры.Задача 2. Доказать, что выбор преимущества между двумя играющими с помощью игры «Камень-ножницы-бумага» является справедливым. Вероятность появления любой пары равна 1/31 игрок 11 игрок к н б к к н к б н н к н б б б к б н
Вероятность выигрыша каждой из фигур равна 1/3 1 игрок 11 игрок к н б к к б н к н б б н
Задача 3. Бросаются две игральные кости. Игроки делают ставки на выпавшую сумму очков на двух костях. Есть ли сумма, на которую выгодно делать ставку?
Таблица сумм очков1кость 2-ая кость 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
СобытияДостоверные Случайные Невозможные(Р(А)=1) (0<P(A)<1) (P(A)=0)Совместные ЗависимыеР(А+В)= Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)==Р(А)+Р(В)-Р(АВ) =Р(В)Р(А\В) Несовместные Независимые Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Р(АВ)=Р(А)Р(В) Противоположные Р(А)+Р(А)=1

Приложенные файлы

  • pptx fail6
    Размер файла: 894 kB Загрузок: 1