Презентация: Введение в теорию вероятности и статистики


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Введение в теорию вероятности и статистика Общекультурный уровень стохастических знанийумение составлять и подсчитывать всевозможные комбинации изнебольшого числа элементов;ощущение "меры случайности" реальных явлений;представление о том, как найти вероятность случайногособытия с очевидными и равновозможными исходами (на основеклассического определения вероятности);знание о том, что в случае затруднения установленияравновозможности исходов испытания, вероятность события можно определить с помощью относительной частоты события, проведябольшое число испытаний;умение выявлять "справедливые" и "несправедливые" игры,лотереи, страховки и т.п.;представление о репрезентативной выборке в статистическихисследованиях;представление о том, какие явления природы, техники,производства имеют нормальное распределение;ощущение количественных соотношений значений случайной величины при их нормальном распределении (на основе применения "правила трех сигм"). Цели изучения элементов теории вероятностей и статистикиФормирование представлений школьников о законах, существующих в мире случайных величин;ознакомление учащихся с применением вероятностно-статистических знаний в науке, технике, повседневной жизни;обучение решению задач с применением законов теории вероятностей и статистических знаний. Описательная статистика основное содержание Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков. Случайная изменчивость. Статистические характеристики набора данных: среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения, размах, дисперсия. Репрезентативные и нерепрезентативные выборки Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)Извлекать информацию из таблиц и диаграмм, вы-полнять вычисления по табличным данным. Определять по диаграммам наибольшие и наименьшие данные, сравнивать величины.Организовывать информацию в виде таблиц, столбчатых и круговых диаграмм, в том числе с помощью компьютерных программ.Приводить примеры числовых данных (цена, рост, время на дорогу и т. д.), находить среднее арифметическое, размах, дисперсию числовых наборов.Приводить содержательные примеры использования средних и дисперсии для описания данных (уровень воды в водоеме, спортивные показатели, определение границ климатических зон. Случайные события и вероятность (основное содержание)Понятие о случайном опыте и случайном событии. Элементарные события. Частота случайного события. Статистический подход к понятию вероятности. Несовместные события. Формула сложения вероятностей. Вероятности противоположных событий. Независимые события. Умножение вероятностей. Достоверные и невозможные события. Равновозможность событий. Классическое определение вероятности Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)Проводить случайные эксперименты, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты. Вычислять частоту случайного события; оценивать вероятность с помощью частоты, полученной опытным путем.Приводить примеры достоверных и невозможных событий. Объяснять значимость маловероятных событий в зависимости от их последствий.Решать задачи на нахождение вероятностей событий.Приводить примеры противоположных событий. Использовать при решении задач свойство вероятностей противоположных событий СобытияНевозможным называют событие, которое в данных условиях произойти не может.Достоверным называют событие, которое в данных условиях обязательно произойдет.Случайным называют событие, которое в данных условиях может произойти, а может и не произойти.

Два события, которые в данных условиях могут происходить одновременно, называют совместными, а те, которые не могут происходить одновременно, - несовместными.
Если в некотором испытании существует n равновозможных попарно несовместных исходов и m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью наступления события А называют отношение m\n и записывают P (A) = m\ n.
Решение вероятностных задач с помощью комбинаторикиЗадача 2. Брошены две игральные кости: одна белого, другая красного цвета. Какова вероятность того, что: 1)на белой кости выпадет 6 очков, а на красной – нечетное число очков; 2) на одной кости выпадет 6 очков, а на другой – нечетное число очков?
■Таблица возможных исходов бросания Белая кость Красная кость 1 2 3 4 5 6 1 11 12 13 14 15 16 2 21 22 23 24 25 26 3 31 32 33 34 35 36 4 41 42 43 44 45 46 5 51 52 53 54 55 56 6 61 62 63 64 65 66

Задача 6. В коробке лежат 2 белых и 3 черных шара. Наугад вынимают одновременно 2 шара. Найти вероятность события: 1) А – вынуты 2 белых шара; 2) В – вынуты 2 черных шара; 3) С- вынуты белый и черный шары.
Решение задачи:Из 5 шаров можно составить ((5-1)5):2=10 различных пар. Таким образом, n=10.1)Событию А благоприятствует 1 пара белых шаров : Р(А) = 1\10.2)Событию В благоприятствуют 3 исхода : Р(В)= 3\10.3) Событию С благоприятствуют 6 исходов: Р(С)= 6\10=3\5. Решение задачи с помощью графов
















Противоположные события и их вероятности.Событие Ậ называют событием, противоположным событию А, если оно происходит , когда не происходит событие А.Сумма вероятностей противоположных событий равна 1

Задача 3. В школьном научном обществе 10 человек: 7 мальчиков и 3 девочки. Случайным образом из членов этого общества выбирают двух учащихся на городскую конференцию.Какова вероятность того, что среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка?
РешениеА- среди выбранных двух человек окажется хотя бы одна девочка.Ậ – среди выбранных двух человек нет ни одной девочки (все мальчики).Число всевозможных пар из 10 школьников N= ((10-1)10)\2=45Благоприятствуют событию Ậ : m=((7-1)7)\2=21P(Ậ) = m\n = 21\45 = 7\15P(A) = 1- P(B) = 1- 7\15 = 8\15. Относительной частотой события A в данной серии испытаний называют отношение числа испытаний М, в которых это событие произошло, к числу всех проведенных испытаний N. При этом число М называют частотой события A. Исследование 1. Два друга проводили испытания с подбрасыванием монеты и наблюдали за появлением орла. Один из мальчиков подбрасывал монету и сообщал о том, что выпало – орел (О) или решка (Р). Второй мальчик вносил результаты испытаний во второй столбец таблицы
Таблица испытаний N O или Р МW= M \ N 1 О 1 1 2 О 2 1 3 Р 2 0,6667………… 35 О 18 0,5143 36 Р 18 0,5….……… 49 О 25 0,5102 50 Р 25 0,5 Под статистической вероятностью понимают число, около которого колеблется относительная частота события при большом числе испытаний.
Закон больших чиселМожно считать достоверным тот факт, что при большом числе испытаний относительная частота события W(A) практически не отличается от его вероятности Р(А), т.е. Р(А)  W(А) при большом числе испытаний
Тактика игр. Справедливые и несправедливые игры.Задача 2. Доказать, что выбор преимущества между двумя играющими с помощью игры «Камень-ножницы-бумага» является справедливым. Вероятность появления любой пары равна 1/31 игрок 11 игрок к н б к к н к б н н к н б б б к б н
Вероятность выигрыша каждой из фигур равна 1/3 1 игрок 11 игрок к н б к к б н к н б б н
Задача 3. Бросаются две игральные кости. Игроки делают ставки на выпавшую сумму очков на двух костях. Есть ли сумма, на которую выгодно делать ставку?
Таблица сумм очков1кость 2-ая кость 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12
СобытияДостоверные Случайные Невозможные(Р(А)=1) (0<P(A)<1) (P(A)=0)Совместные ЗависимыеР(А+В)= Р(АВ)=Р(А)Р(В\А)==Р(А)+Р(В)-Р(АВ) =Р(В)Р(А\В) Несовместные Независимые Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Р(АВ)=Р(А)Р(В) Противоположные Р(А)+Р(А)=1 Случайные величины
Таблица распределения значений случайной величины Х по ее вероятностямХ 2 3 4 5 6 7 8 91011 12Р136118 112 1 9 536 1 6 5 36 1 9 112 118 136
Случайные величины, для которых невозможно записать распределение их значений по вероятностям, исходя только из теоретических соображений.Пример 1. Падение некоторой кнопки «на острие» или «на плоскость».Пример 2. Оценка за контрольную работу может принимать значения 1, 2,3,4,5 .Распределение значений случайной величины по частотам (или относительным частотам) в примере 1 можно записать лишь после проведения серии опытов; в примере 2 – лишь после реального подсчета каждого значения. Пример 2. Пусть время горения Т (в часах) электрической лампочки некоторого вида Т[0;1000].Этот промежуток разделили на 5 одинаковых по длине частей и результаты горения каждой из 100 экспериментальных лампочек занесли в частотную таблицу распределения. Т[0;200)[200;400)[400;600)[600;800)[800;1000]М 1 3 10 18 68 Распределение по частотам значений случайной величины Х размера обуви мальчиков 9 классаХ 38 39 40 4142 43 4445М 2 2 5 7 6 4 3 1
xПолигон частот распределения случайной величины38 39 40 41 42 43 44 45
Разбиение на классы значений случайной величины, представляющей заработную плату 100 рабочих одного предприятияКлассы1001-20002001-30003001-40004001-50005001-60006001-70007001-8000№ класса Х 1 2 3 4 5 6 7Частота М 4 6 18 36 22 10 4
Представление распределения зарплат по классам с помощью полигона частот и столбчатой диаграммы

Графическое изображение распределения значений непрерывной случайной величины (гистограммы частот и относительных частот к примеру 2 ) Гистограмма частотЕсли основанием каждой ступени служит промежуток значений случайной величины h, то высоту столбца берут равной M/h, где М – частота значений величины Х на соответствующем промежутке. Тогда площадь такого столбца будет равной М/h =M, а площадь фигуры под гистограммой равна ∑ М = N (число всех испытаний).Если по данным таблицы к примеру 2 заполнить таблицу относительных частот, то построенную на ее основе фигуру называют гистограммой относительных частот. Т[0;200)[200;400)[400;600)[600;800)[800;1000]М 0,01 0,03 0,1 0,18 0,68 Гистограмму относительных частот строят обычно таким образом, чтобы площадь каждого столбца под ступенькой была равна соответствующему значению относительной частоты W. Тогда площадь фигуры под гистограммой будет равна 1. (∑ W=1). Генеральная совокупность и выборкаСовокупность, в которую входят все ее элементы, называют генеральной совокупностью.Значительную часть генеральной совокупности, выбранную случайным образом, называют выборкойЕсли в выборке присутствуют все значения случайной величины в тех же пропорциях, что и в генеральной совокупности, то эту выборку называют репрезентативной ( от фр. Representatif – представительный)

Объем генеральной совокупности Сколько противогазов каждого размера будет изготавливать фабрика? Решение Размах и центральные тенденцииРазмах(R) – разность между наибольшим и наименьшим значениями случайной величины.Мода (Mо) – наиболее часто встречающееся значение случайной величины.Медиана (Me) –серединное значение упорядоченного ряда значений случайной величины.Среднее значение случайной величины -среднее арифметическое всех ее значений.


Читательские способности мальчиков и девочек Х 3 4 5 8 12 М 3 2 3 1 1 девочки N = M = 10 Y 3 4 5 6 7 M 2 4 1 1 1мальчики N = M = 9
Нахождение размаха, моды, медианыХ : 3, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 8, 12Y: 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7R(X) = 12 – 3 = 9; R(Y) = 7 – 3 = 4Mo(X) = 3 и Mo(X) = 5; Mo(Y) = 4Me(X) = (4+5)\2=4,5; Me(Y) = 4



Задача 2На соревнованиях по фигурному катанию две фигуристки получили (по шестибалльной шкале) оценки судей, представленные в таблице. Какая из фигуристок выступила лучше?
Таблица оценок сф 1 2 3 4 5 6 7 8 9 14,85,64,95,24,74,94,94,84,7 25,14,25,04,95,95,15,05,15,0

Таблицы распределения оценок по частотам Х 4,7 4,8 4,9 5,2 5,6 М 2 2 3 1 1 N = M = 9 Y 4,2 4,9 5,0 5,1 M 1 1 4 3 N= M = 9
Средние значения оценок фигуристок 1. (4,7·2+4,8·2+4,9·3+5,2+5,6) : 9 = = 44,5 : 9  4,94 2. (4,2 + 4,9 + 5,0 · 4+ 5,1 · 3) : 9 = 44,4 : 9  4,93 Средние после отбрасывания наибольшего и наименьшего значений: 1. 4,89 2. 5,01


Нормальное распределение Распределения значений размеров одежды(Х) и обуви (У) тысячи девочек по частотам Х 38 40 42 44 46 48 50 М 18 79 215 375 213 81 19 N =M = 1000 Y 33 34 35 36 37 38 39 40 M 6 48 139 309 305141 46 6 N =M = 1000
Кривые нормального распределения
Кривые нормального распределенияМногие признаки различных явлений природы и техники имеют схожее с представленными на рисунках красным цветом распределение своих значений по частотам. Эти распределения называют нормальными распределениями.Плавные черные кривые – кривые нормального распределения. Они симметричны относительно вертикальных прямых, проходящих через средние значения рассматриваемых совокупностей. Опыт Гальтона – пример реального получения кривой нормального распределенияВ доску вбиваются в «шахматном порядке» гвозди. Доска устанавливается с небольшим наклоном к горизонтальной поверхности. В верхней части доски делается воронка, через которую пропускаются одинаковые шарики. Расстояние между соседними гвоздями везде одинаково и чуть больше диаметра шарика.Пройдя через воронку, шарик отталкивается от первого верхнего гвоздя и случайным образом огибает его либо слева, либо справа. Аналогично он поступает с каждым нижним гвоздем, встречающимся на его пути (с вероятностью, близкой к 1\2, огибает его либо слева, либо справа). Пройдя все ряды гвоздей, шарик попадает в один из вертикальных пеналов-накопителей. Если число рядов гвоздей значительно увеличить и запустить много шариков, можно заметить, что кривая, огибающая верхний ряд шариков в пеналах, имеет вертикальную ось симметрии и напоминает кривую нормального распределения Опыт Гальтона Отклонение от среднего и дисперсия
Отклонением от среднего называют разность между рассматриваемым значением случайной величины и средним значением всей совокупности
Задача На место токаря претендуют двое рабочих. Для каждого из них установили испытательный срок, в течение которого они должны были изготовить одинаковые детали. Результаты работы претендентов представлены в таблице:
Средняя производительность труда рабочих одинаковая 50 дет. \ деньДень неделиДневная выработка1 рабочего (Х)11рабочего (У)Понедельник 52 61Вторник 54 40Среда 50 55Четверг 48 50Пятница 46 44
Отклонение от среднего может быть как положительным, так и отрицательным числом. Сумма отклонений всех значений совокупности от среднего значения равна нулю.Характеристикой стабильности элементов совокупности может служить сумма квадратов отклонений от среднего. Сумма квадратов отклонений от среднего у первого рабочего меньше чем у второго, значит первый рабочий имеет более стабильную производительность трудаДень неделиЗначеслуча велиние йной чины Отклонение от среднегоКвадраты отклоненийПонедельник 52 61 2 11 4 121Вторник 54 40 4 -10 16 100Среда 50 55 0 5 0 25Четверг 48 50 -2 0 4 0Пятница 46 44 -4 - 6 16 36Сумма250 250 0 0 40 282
Если бы рабочие работали разное количество дней, производя за день в среднем одинаковое число деталей, то стабильность работы каждого можно было бы оценить по величине среднего арифметического суммы квадратов отклонений. Такая величина называется дисперсией (от лат. dispersus — рассеянный, рассыпанный) и обозначается буквой D. ДисперсияСреднее арифметическое суммы квадратов отклонений от среднего называется дисперсией (dispersus)
Пусть величина X имеет некоторую размерность (например, сантиметры). Тогда ее среднее значение и отклонение от среднего Х- имеют ту же размерность, что и сама величина (см). Квадрат же отклонения (Х- )2 и дисперсия D имеют размерности квадрата этой величины (см2).Для оценки степени отклонения от среднего значения удобно иметь дело с величиной той же размерности, что и сама величина X. С этой целью используют значения корня квадратного из дисперсии Корень квадратный из дисперсии называют средним квадратичным отклонением и обозначают  D
ЗадачаПродавец обуви имеет возможность выбрать, в каком из двух мест (в точке А или точке В) поставить торговую палатку. В первую очередь его интересует объем продаж, а во вторую — стабильность ежедневных продаж. Продавец провел исследование: по рабочим дням в январе он торговал в точке А, а в феврале — в точке В. Результаты продаж фиксировались, после чего были составлены две таблицы распределения величины ХА и величины ХВ — количества проданных за день пар обуви в точках А и В соответственно.Какой торговой точке следует отдать предпочтение? Сравнение средних квадратичных отклонений совокупностей значений ХА и ХВ Сравнение средних квадратичных отклонений совокупностей значений ХА и ХВ Сравнение средних квадратичных отклонений совокупностей значений ХА и ХВ Правило трех сигмРис. 72103 
Правило трех сигм~68% (2\3) всех значений нормально распределенной случайной величины имеют отклонения от среднего по абсолютной величине не превосходящие ;~96% всех значений – не превосходящие 2;~99,7% всех значений – не превосходящие 3.

ЗадачаВ некоторых международных играх по разным видам спорта должны участвовать N = 600 спортсменов. Известно, что размеры одежды V участников игр от 40-го (у гимнасток) до 62-го (у тяжелоатлетов). Оргкомитет игр решил подарить участникам майки с эмблемой игр. Швейной фабрике был сделан заказ на пошив маек свободного покроя трех условных размеров: I, II и III. Какие стандартные размеры (от 40-го до 62-го) разумно объединить в условные размеры I, II и III и сколько маек каждого из этих трех размеров следует сшить? Применение правила трех сигмЗАДАЧА.N=600 спортсменовV от 40 до 62 размераУсловные I, II, III размерыСколько маек каждого из трех условных размеров следует шить? VV404244464850525456586062σσσσσσIIIIII Решение задачиII: N*2/3 = 600*2/3 = 400I и III: (600-400)/2 = 100

Приложенные файлы

  • pptx fail8
    Размер файла: 568 kB Загрузок: 1