Исследовательская работа: Загадки Арбелоса


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Загадки арбелоса Актуальность нашей работы заключается в том, что арбелос не рассматривается в школьной программе, хотя эта фигура обладает множеством удивительных свойств, которые помогают в решении различных задач, особенно в задачах, включающих окружность. Конечно, можно решить их и не прибегая к свойствам арбелоса, но полученные знания позволяют решать эти задачи гораздо легче и быстрее. Цель нашей работы: узнать, как можно больше об арбелосе, рассмотреть его свойства и их доказательства, в том числе и с использованием инверсии, познакомиться с учеными, занимавшимися его изучением, научиться решать задачи. При написании данной работы были использованы литературные и интернет-ресурсы, материал был анализирован и систематизирован. В ходе данной работы были изучены:основные свойства арбелосапостроение арбелосазадачи Архимедазадачи Паппаинверсияприменение свойств арбелоса в решении задач Арбелос — так назвал Архимед криволинейный треугольник, ограниченный тремя полуокружностями, из-за его сходства с очертаниями сапожного ножа, использовавшегося для разделки кож. Архимед Папп Александрийский Статья ПаппаТитульный лист Mathematicae Collectiones Паппа в переводе Федерико Коммандино (1589). Задачи Архимеда Задача 1. «Возьмем три касающиеся друг друга полуокружности ADB, AEC, CFB и в заключенную между их окружностями фигуру, которую называют арбелон, впишем несколько кругов, касающихся друг друга и основных полукругов; пусть центры этих кругов будут О1, О2, О3, О4. Требуется показать, что опущенный из центра О1 на АВ перпендикуляр равен диаметру круга, описанного около О1, далее, что перпендикуляр, опущенный из О2, будет вдвое больше диаметра круга около О2, а перпендикуляр из О3 втрое больше соответствующего диаметра, и вообще последующие перпендикуляры будут кратными соответствующих диаметров в прогрессии натурального ряда чисел, причем вписывание кругов может продолжаться до бесконечности.» Задача 2. «Пусть ADB и AEC будут полукруги, опишем касательные к их окружностям круги с центрами О1, О2, О3, а также следующие за ними вплоть до точки А. Теперь то, что опущенный из О1 на АВ перпендикуляр будет равен радиусу круга О1, является очевидным; еще я утверждаю, что перпендикуляр, опущенный из О2 будет втрое больше радиуса круга О2, опущенный из О3 – в пять раз больше радиуса круга О3, и все следующие перпендикуляры будут больше соответствующих радиусов в кратностях последовательных нечетных чисел.» Инверсия На этих рисунках, выполненных учащимися ФМШ при МГУ, показано, как инверсия преобразует цветные картинки Окружность инверсии охватывает букву А Окружность инверсии – край солнца На отрезке AB взята точка C. На отрезках AC, BC и AB, как на диаметрах, в одной полуплоскости построены полуокружности s1, s2 и s соответственно. Из точки C восстановлен перпендикуляр к прямой AB, пересекающий окружность s в точке D. В два образовавшихся криволинейных треугольника вписаны окружности α и β: первая касается отрезка CD, полуокружности s1 и дуги AD, вторая — отрезка CD, полуокружности s2 и дуги BD. Докажите, что две эти вписанные окружности равны. Первый способ Даны две касающиеся окружности ω и ω1 и прямая CD, касающаяся одной из них и пересекающая другую . Пусть B — точка касания окружностей, A — точка касания прямой и окружности, E — вторая точка пересечения прямой AB и окружности ω. Докажите, что E — середина дуги CD. Лемма A B C D O E O1 E1 Пусть M — точка касания α и s, N — точка касания α и CD, K — точка касания α и s1. Применим лемму к нашей конструкции; тогда прямая MN проходит через точку B и прямая NK проходит через точку A. P — вторая точка пересечения NK и s, R — точка пересечения CD и BP. N — точка пересечения высот в треугольнике ARB Второй способ Третий способИнверсия Площадь арбелоса равна площади круга, построенного на перпендикуляре CD как на диаметре. Доказать, что r=2a/3 PQYR – прямоугольник. Доказать, что BD=AC. r1/rn=(k2+k+hn2)/(k2+k+1), где k=a/b и hn – перпендикуляр от центра окружности прямой l. Доказывали мы данную теорему без помощи инверсии, использую только знания доступные древним ученым: формулу нахождения площади треугольника и формулу Герона.Найдем площадь треугольника AO2O через высоту и по формуле Герона:S=1/2bh=√(a+b)(b-r2)r2a. Отсюда 1/4b2h2=(a+b)(b-r2)r2a (1)Также найдем двумя способами площадь треугольника AOO1:S=1/2b*2r1=√(a+b)(b-r1)r1aПолучаем b2 r12=(a+b)(b- r1) r1a b2 r1=(a+b)(b- r1)a (2)Поделив выражение (1) на выражение (2), получаем h2/ r1=4r2(b-r2)/(b- r1). (3)Теперь найдем площадь треугольника AO1B: S=1/2(a+b)*2 r1=(a+b) r1=√(a+b+ r1)abr1Возводим в квадрат и упрощаем: (a+b)2 r1=(a+b+ r1)ab=>(a+b)2 r1=(a+b)ab+abr1Выражаем r1=(a+b)ab/((a+b)2-ab).(4)Из выражения (3) после упрощений h2(b-r1)=4r2r1(b-r2) выражаем r1=h2b/(4r2b+h2-4r22)Из выражения (1) : 4b2 r22+a2 r22+abr22-a2br2-b2ar2=0, так как h=4r2.Выражаем r2=ab(a+b)/(4b2+a2+ab). Из выражения (4) получаем r1=(a+b)ab/(a2+b2+ab).r1/r2=(4b2+a2+ab)/(a2+b2+ab). Разделим на b2 и заменим a/b=k: r1/r2=(k2+k+4)/(k2+k+1).Проделав аналогичные действия для третьей и четвертой окружности выводим: r1/r3=(k2+k+9)/(k2+k+1) и r1/r4=(k2+k+16)/(k2+k+1).Для n-ой окружности производим те же действия. Высота hn=n2rn. Получаем, r1=(a+b)ab/(a2+b2+ab) и rn=ab(a+b)/(1/4b2n4+a2+ab). Так как hn2=1/4n4, то получаем rn=ab(a+b)/(1/4b2n4+a2+ab).Таким образом, разделив на b2 и заменив a/b на k, для n-ой окружности получаем формулу r1/rn=(k2+k+hn2)/(k2+k+1). Круги Архимеда Круги Томаса Шоха Круги Питера Ву Салинон- круги Флура ван Ламоена Круги Леона Банкофа Список используемой литературыВестник опытной физики и элементарной математики, выпуск №508 от 1910 года/журнал/ Инверсия /Учеб.пособие/ И.И.Жижилкин, Москва: : Издательство Московского центра непрерывного математического образования, 2009Квант, выпуск №1/физико-математический журнал/ Москва: издательство «Бюро Квантум», 2000Internet-ресурс: http://ru.wikipedia.org/Internet-ресурс: http://members.ozemail.com.au/ ~ Ллан / arbelos.htmlInternet-ресурс: http://www.math.tamu.edu/ ~ harold.boas / препринты / arbelos.pdf . Internet-ресурс: http://kvant.mccme.ru

Приложенные файлы

  • ppt fail11
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 2