Вариант № 7319087
1. Задание 1 № 7. Каждый день во время конференции расходуется 70 пакетиков чая. Конференция длится 6 дней. Чай продается в пачках по 50 пакетиков. Сколько пачек нужно купить на все дни конференции?
Решение.
На 6 дней конференции расходуется 70 6 = 420 пакетиков чая. Разделим 420 на 50:
.
Значит, на все дни конференции нужно купить 9 пачек чая.
Ответ: 9.
Ответ: 9
77339
9
2. Задание 2 № 26866. На графике показан процесс разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, прошедшее от запуска двигателя, на оси ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, сколько минут двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C.
Решение.
Из графика видно, что двигатель нагревался от температуры 60 °C до температуры 90 °C с 5-й по 8-ю минуту, таким образом, он нагревался 3 минуты.
Ответ: 3.
Ответ: 3
26866
3
3. Задание 3 № 509 В магазине одежды объявлена акция: если покупатель приобретает товар на сумму свыше 10 000 руб., он получает сертификат на 1000 руб., который можно обменять в том же магазине на любой товар ценой не выше 1000 руб. Если покупатель участвует в акции, он теряет право возвратить товар в магазин. Покупатель И. хочет приобрести пиджак ценой 9600 руб., жилет ценой 720 руб. и перчатки ценой 820 руб. В каком случае И. заплатит за покупку меньше всего?
1) И. купит все три товара сразу.
2) И. купит сначала пиджак и жилет, а перчатки получит за сертификат.
3) И. купит сначала пиджак и перчатки, а жилет получит за сертификат.
В ответе запишите, сколько рублей заплатит И. за покупку в этом случае.
Решение.
Рассмотрим все случаи.
1) При покупке всех трёх товаров покупатель И. потратит 9600 + 720 + 820 = 11 140 руб.
2) При покупке пиджака и жилета покупатель И. потратит 9600 + 720 = 10 320 руб. Поскольку эта сумма больше 10 000, перчатки будет приобретены за сертификат. В этом случае покупатель потратит 10 320 руб.
3) При покупке пиджака и перчаток покупатель И. потратит 9600 + 820 руб. = 10 420 руб. Поскольку эта сумма больше 10 000 рублей, жилет будет приобретён за сертификат. В этом случае покупатель потратит 10 420 руб.
Во втором случае покупатель потратит меньше всего — 10 320 рублей.
Ответ: 10 320.
Ответ: 10320
509146
10320
Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 13.02.2015 вариант МА00410.
4. Задание 4 № 2. right0Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.
Решение.
Площадь четырёхугольника равна разности площади прямоугольника и четырёх прямоугольных треугольников, гипотенузы которых являются сторонами исходного четырёъугольника. Поэтому
.
Ответ: 18,5.
Ответ: 18,5
257705
18,5
5. Задание 5 № 320192. В классе 26 человек, среди них два близнеца — Андрей и Сергей. Класс случайным образом делят на две группы по 13 человек в каждой. Найдите вероятность того, что Андрей и Сергей окажутся в одной группе.
Решение.
Пусть один из близнецов находится в некоторой группе. Вместе с ним в группе окажутся 12 человек из 25 оставшихся одноклассников. Вероятность того, что второй близнец окажется среди этих 12 человек, равна 12 : 25 = 0,48.
Ответ: 0,48
320192
0,48
6. Задание 6 № 7. Решите уравнение .
Решение.
Возведем в квадрат:
Ответ: −2,5.
Ответ: -2,5
77373
-2,5
7. Задание 3. Радиус окружности, описанной около правильного треугольника, равен . Найдите сторону этого треугольника.
right137795
Решение.
Треугольник правильный, значит, все углы равны по .
Ответ: 3.
Ответ: 3
27893
3
8. Задание 8 № 3. На рисунке изображен график функции и отмечены точки −2, −1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наибольшее? В ответе укажите эту точку.
Решение.
Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −2, 4, равна нулю в точке −1, положительна в точке 3. Тем самым значение производной наибольшее в точке 3.
Ответ: 3.
Примечание: По графику трудно определить точно, как ведет себя функция в точке х = −1. Если считать, что это точка максимума, то производная в ней равна нулю. Если же считать, что эта точка чуть левее точки максимума, то в ней функция возрастает, а производная "чуть-чуть" больше нуля. На ответ это не влияет, так как в точке х = 3, функция "растёт более круто", а значит производная в этой точке больше.
Ответ: 3
318039
3
9. Задание 9 № 2 Найдите площадь поверхности прямой призмы, в основании которой лежит ромб с диагоналями, равными 6 и 8, и боковым ребром, равным 10.
Решение.
Сторона ромба выражается через его диагонали и формулой
.
Найдем площадь ромба
Тогда площадь поверхности призмы равна
Ответ: 248.
Ответ: 248
27062
248
10. Задание 10 № . Найдите значение выражения .
Решение.
Выполним преобразования:
.
Ответ: 7.
Ответ: 7
26861
7
11. Задание 11 № 508 Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры от времени работы: где — время в минутах, Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор? Ответ выразите в минутах.
Решение.
Найдем, в какой момент времени после начала работы температура станет равной К. Задача сводится к решению уравнения при заданных значениях параметров a и b:
Через 1 минуту после включения прибор нагреется до 1600 К, и при дальнейшем нагревании может испортиться. Таким образом, прибор нужно выключить через 1 минуту
Ответ: 1.
Ответ: 1
508996
1
Источник: СтатГрад: Диагностическая работа по математике 05.03.2015 вариант МА10310.
12. Задание 12 №5. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 4.
Решение.
Сторона правильного треугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой
Ответ: 360.
Ответ: 360
73015
360
13. Задание 13 № . Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого на 12 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 90 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым автомобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 50 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
Решение.
Пусть км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на первой половине пути равна км/ч. Примем расстояние между пунктами за 2. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:
Таким образом, скорость первого автомобилиста была равна 72 км/ч.
Ответ: 72.
Ответ: 72
39099
72
14. Задание 14 № 77431. Найдите точку максимума функции
Решение.
Найдем производную заданной функции:
Найдем нули производной:
Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:
Искомая точка максимума
Ответ: 1.
Ответ: 1
77431
1
15. Задание 15 № 500592. а) Решите уравнение
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
Решение.
а) Запишем уравнение в виде:
В результате получим:
Значит
.
б) Отметим решения на тригонометрической окружности.
Отрезку принадлежат корни , и
Ответ:
А)
Б) , и
16. Задание 16 № 501125. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA'B'C'D'E'F' все ребра равны 1. Найдите угол между прямой AC' и плоскостью ACD'.
Решение.
Введем прямоугольную систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат:
откуда
Плоскость проходит через начало координат, ее уравнение имеет вид Для координат точек и имеем систему уравнений:
Не теряя общности, положим тогда Уравнение плоскости : вектор нормали к ней Тогда искомый угол между прямой и плоскостью равен
Ответ:
Приведем другое решение.
— искомый, так как это угол между прямой и ее проекцией так как в силу того, что и
Рассмотрим
(т. к. — диагональ квадрата )
Ответ:
17. Задание 17 № 5 Решите неравенство:
Решение.
Решение неравенства ищем при условии Так как при этом условии то получаем
Ответ:
18. Задание 18 № 5 Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину М, касается окружности с центром К радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.
Решение.
Пусть точка лежит между и (рис.1), - точка касания прямой с данной окружностью. Обозначим .
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора находим
.
Прямоугольные треугольники и подобны, поэтому , откуда .
, , .
Если точка лежит на продолжении стороны за точку (рис.2), то, рассуждая аналогично, получим уравнение , из которого .
Ответ: или .
19. Задание 19 № 50831 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке 4 290 000 рублей в кредит под 14,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая — 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5%), затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?
Решение.
Пусть сумма кредита равна S, а годовые составляют а%. Тогда 31 декабря каждого года оставшаяся сумма долга умножается на коэффициент b = 1 + 0,01а. После первой выплаты сумма долга составит S1 = Sb − X. После второй выплаты сумма долга составит
По условию двумя выплатами Дмитрий должен погасить кредит полностью, поэтому откуда
При S = 4 290 000 и а = 14,5, получаем: b = 1,145 и
(рублей).
Ответ: 2 622 050.
Источник: Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2015 г.
20. Задание 20 № 4. Найдите все значения параметра при каждом из которых система уравнений имеет ровно четыре решения.
Решение.
Преобразуем данную систему:
Сделав замену переменной , получаем систему
Заметим, что количество решений полученной системы совпадает с количеством решений исходной системы. Построим графики уравнений (1) и (2) в системе координат
График первого уравнения — ромб, диагонали которого, равные 8 и 6, лежат соответственно на осях и а графиком второго уравнения является окружность с центром в начале координат и радиусом (см. рисунок).
Графики уравнений системы имеют ровно четыре общих точки, и, следовательно, система имеет ровно четыре решения, тогда и только тогда, когда окружность либо вписана в ромб, либо ее радиус удовлетворяет условию
.
В первом случае радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника с катетами, равными 3 и 4, откуда
, .
Во втором случае получаем , откуда
или .
Ответ:
Приложенные файлы
