Проект Замечательные кривые

Государственная общеобразовательная учреждение
Средняя общеобразовательная школа № 443



Тема: «Замечательные кривые.»



Руководитель : Потемина Н.А.
Участники ученики 8 класса.




В школьном курсе математики не изучаются свойства замечательных кривых, которые широко используются в жизни.
С некоторыми поистине замечательными кривыми, населяющими удивительный мир геометрии, которые встречаются в нашей жизни гораздо чаще, чем кажется. Они не так уж редки в природе, имеют практическое приложение в жизни человека. Знание их замечательных свойств используется в различных механизмах, используемых человеком в жизни.
В школьном курсе математики рассматриваются кривые – Элипс, Кардиоида и Улитка Паскаля, Циклоида, Спираль Архимеда, Парабола.
Но нигде не говорится о замечательных свойствах данных кривых, а тем более об их практическом применении. Считают, что очень важно учащимся знать замечательные свойства данных кривых, которые широко применяются в жизни. Изучая и даже просто знакомясь с этими свойствами, учащиеся видят действительно практическое применение математики.
Спираль Архимеда . Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий всё на своём пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик все они имеют форму спиралей .
Одну из первых спиралей, описанную Архимедом, нам продемонстрирует светлячок. Отправим его в путешествие вдоль секундной стрелки часов, полагая, что он будет перемещаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Если вообразить бесконечно длинную стрелку, то жучок высветит нам спираль Архимеда .
Другое свойство спирали Архимеда пропорциональность приращений радиальных расстояний и углов. Показана схема кулачкового механизма, преобразующего равномерное вращение диска в равномерное движение поршня попеременно в одну и другую сторону. Конец осевого стержня поршня скользит по шайбе, края которой представляют собой две дуги спирали Архимеда.
Элипс. Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, сумма расстояний от которых до двух данных точек (фокусов) есть величина постоянная, большая расстояния между фокусами.
О свойствах эллипсов во всех подробностях рассказать специалисты, изучающие движение небесных тел. Согласно закону, открытому в XVII в. немецким астрономом Кеплером, все планеты движутся вокруг Солнца по орбитам, имеющим форму эллипса.
У эллипса есть несколько замечательных свойств ,одно из которых можно принять за его определение. Начнём с того, что эллипс это “сплюснутая”, а точнее, равномерно сжатая к своему диаметру окружность. Другими словами, из окружности получается эллипс, если все её точки приблизить к выбранному диаметру, сократив расстояния в одно и то же число раз. У эллипса есть замечательное оптическое свойство: прямые, соединяющие любую его точку с фокусами, составляют с касательной к эллипсу в этой точке равные углы. Если представить себе, что эллипс, подобно зеркалу, может отражать световые лучи, и поместить в один из его фокусов источник света, то лучи, отражаясь от эллипса, соберутся в другом его фокусе .
Так же распространяются и акустические волны, что используют архитекторы для создания поразительных звуковых эффектов: «говорящих» бюстов, «магического» шёпота, «потусторонних» звуков .
Это свойство лежит в основе интересного акустического эффекта, наблюдаемого в некоторых пещерах и искусственных сооружений, своды которых имеют эллиптическую форму: если находиться в одном из фокусов, то речь человека, стоящего в другом фокусе, слышна так хорошо, как будто он находится рядом, хотя на самом деле расстояние велико .
Парабола. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).
Эта замечательная кривая не так уж редка в природе. Например, камень, брошенный человеком под углом к поверхности Земли, описывает параболу.
Как и другие конические сечения, парабола обладает оптическим свойством: все лучи, исходящие из источника света, находящегося в фокусе параболы, после отражения оказываются направленными параллельно её оси. Это свойство параболы используется при изготовлении прожекторов, автомобильных фар, карманных фонариков, зеркала которых имеют вид параболоидов вращения .
Кардиоида и Улитка Паскаля. Такое название она получила из-за сходства с сердцем (греческое слово «кардио» означает «сердце»). Если, точку, описывающую кривую, взять не на самой окружности, а несколько сбоку, то получим кривую, называемую улиткой Паскаля.
Улитка Паскаля применяется для вычерчивания профиля эксцентрика, если требуется, чтобы скользящий по профилю стержень совершал гармонические колебания . Такие механизмы отличаются плавностью возвратно-поступательного движения стержня (например, в механике автомашин).
Синусоида .Синусоида – волнообразная плоская кривая, которая является графиком тригонометрической функции y = sin x в прямоугольной системе координат. Изменение какой-либо величины по закону синуса называется гармоническим колебанием.
Примеры таких колебаний: колебания маятника, колебания напряжения в электрической сети, изменение тока и напряжения в колебательном контуре и др. гармонические колебания воздуха – звук. В медицине – гармонические колебания работы сердца – синусоидальный ритм.
Циклоида. Что общего между словами “цирк”, “циркуль”, “мотоцикл”?.. Оказывается, в них прячется одно и то же греческое слово “киклос” “круг”, “окружность”. Слово “циклоида” также принадлежит этому ряду, и не случайно. Циклоидой именуют кривую, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по неподвижной прямой .Название кривой дал Галилео Галилей, впервые обративший на неё внимание. Сравнивая вес двух металлических пластинок равной толщины, одна из которых была вырезана по циклоиде, а другая по окружности, порождающей эту циклоиду, Галилей обнаружил, что площадь сегмента циклоиды в три раза больше площади соответствующего круга.
Опыты Галилея дали толчок строгим математическим исследованиям циклоиды. Сначала его ученик Торричелли, а затем Роберваль, Декарт и Ферма не только обосновали зависимость, открытую Галилеем, но и установили рад других свойств циклоиды. Простота и изящество определения циклоиды привлекали к ней многих математиков XVlIXVni вв. Ею занимались Паскаль, Лейбниц, Гюйгенс, Даниил Бернулли. Причём вначале циклоида сама была предметом пристального изучения, а впоследствии на ней проверялись мощные методы зарождающегося математического анализа.
Перевернём циклоиду выпуклостью вниз и представим, что по ней скатывается тяжелая| частица. Из какой бы точки циклоиды ни начинала движение частица, она скатится вниз за одно и то же время. Замечательное свойство изохронности циклоиды (от греч. “изос”-“равный” и “хронос” “время”) навело Гюйгенса на мысль использовать её в часовом маятнике. Скатывающийся по циклоидальному жёлобу шарик слишком много энергии тратит на трение, поэтому Гюйгенс предложил подвесить шарик на нити и ограничить свободу во перемещения доской, край которой имеет форму циклоиды (рис. 20). Оказывается, в таком случае движение шарика также происходит по циклоиде, и, следовательно, на период его колебаний не влияет величина отклонения Шарика от вертикали.
В 1696 г. Даниил Бернулли открыл другое замечательное свойство этой кривой. По циклоиде при отсутствии трения частица под действием силы тяжести скатывается из одной заданной точки в другую за наименьшее время. Брахистохронное свойство циклоиды (от греч. “брахистос” -- “кратчайший” и ”хронос” “время”) доказать отнюдь не просто, оно стало отправной вехой нового направления в -вариационного исчисления.











HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

  • doc doc
    Размер файла: 42 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий