Урок в режиме модульной технологии по теме: «Иррациональные уравнения»


Урок разработан
Черновой Ириной Николаевной,
преподавателем математики
КОГПОАУ «Техникум промышленности
и народных промыслов г. Советска», 2010 год
МОДЕЛЬ УРОКА ПО ТЕМЕ
«ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ»
Тема: Иррациональные уравнения
Дидактическая цель: создать условия для осознания и осмысления блока новой учебной информации, применяя их в знакомой и новой учебной ситуациях, проверки уровня усвоения системы знаний и умений средствами технологии модульного обучения.
Тип урока: комбинированный
Цели по содержанию:
Образовательные –
создать условия для понятия иррационального уравнения; выработки умения решать иррациональные уравнения методом возведения обеих частей в одну и ту же степень; методом введения новых переменных; решать иррациональные уравнения, самостоятельно выбирая методом решения и применения знаний в нестандартной ситуации;
Развивающие –
способствовать развитию подсознательной активности учащихся, формированию учебно-познавательных действий при работе с текстом путеводителя;
способствовать развитию умения анализировать и оценивать свое владение системой знаний по теме;
Воспитательные –
способствовать формированию у учащихся понятий о научной организации труда;
способствовать воспитанию трудолюбия, аккуратности; формированию математической культуры личности.
Уровневые цели для учащихся:
I уровень: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
II уровень: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень неоднократно
III уровень: решать иррациональные уравнения методом введения новой переменной, и применяя знания в нестандартной ситуации
Методы: репродуктивный, частично-поисковый
Формы организации учебной деятельности: фронтальная, индивидуальная
Технология: модульного обучения
Средства обучения: путеводитель для учащихся, учебник А.Н. Колмогорова Алгебра и начала анализа 10-11кл., М., Просвещение, 1993г.; Ивлев Б.М., Саакян С.М., Шварцбурд С.И. Дидактические материалы по алгебре и началам анализа для 11кл., М., Просвещение, 2000, справочники учащихся
Ход урока
Этапы Деятельность учителя Деятельность учащихся
1. ОргмоментПриветствует учащихся, проверяет готовность к уроку, наличие на столах оценочных листов и путеводителей. Приветствуют учителя, сообщают о наличии оценочных листов и путеводителей.
2. Целеполагание и мотивация Объявляет тему. Предлагает сформулировать цели урока, прочитав цели учебных блоков. Записывает на доске цели по уровням. Работают с путеводителем, формулируют цели, определяют для себя объем работы на уроке и записывают цели в тетрадь.
3. Актуализация Задает учащимся вопросы учебного блока № 1. Обобщает ответы учащихся:
Итак, шесть равенств, представленных на доске, называются уравнениями. Уравнения а и б – квадратные, в – линейное, г – тригонометрическое, а сегодня мы познакомимся с новым типом уравнений – иррациональными, научитесь их решать. Примеры иррациональных уравнений под буквами д и е. Работают устно с учителем, отвечают на вопросы путеводителя (блок № 1)
4. Первичное усвоение и осмысление учебного материала, систематизация и применение знаний и умений, проверка уровня усвоения (см.путеводитель) 1.Напоминает суть работы с путеводителем. Объясняет, что оценка за урок (т.е. за весь модуль) зависит от суммы набранных балов по всем учебным блокам.
Если n≥13, то ученик получает «5»
при 8≤n≤12 – оценка «4»
при 5≤n≤7 – оценка «3» и
при n<5 – оценка «2»
2.Консультирует учащихся, координирует их деятельность, по завершении самостоятельных работ демонстрирует ученику эталон ответа (решение).
Слушают.
Работают с путеводителем, решают задания для самостоятельной работы, заполняют оценочные листы.
5. Рефлексия Предлагает оценить свою деятельность на уроке, оценку поставить в оценочный лист.
Предлагает дополнить предложения блока №5. 6. Домашнее задание Предлагает записать домашнее задание в зависимости от достигнутых результатов на уроке. Учащиеся записывают уровневое домашнее задание.
Приложение № 1
Оформление записей на доске
На обратной стороне: n≥13 - «5»
8≤n≤12 – «4»
5≤n≤7 – «3»
n<5 – «2»
Иррациональные уравнения
Цели:
I уровень: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень
II уровень: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень неоднократно
III уровень: решать иррациональные уравнения методом введения новой переменной, и применяя знания в нестандартной ситуации
3. Вычислить:
а) 3√8
б) 3√27
в) 4√81
г) 5√1/32
д) 4√16*625
е) 3√8*343
4.
а) х2 + 2х – 3 = 0
б) 4х2 + 2х – 6 = 0
в) –5х + 6 = 0
г) 2соs2х – соsх – 1 = 0
д) √х2 – 5 = 2
е) 3√х2 – 28 = 2
Приложение № 2
Оценочный лист учащихся
Фамилия
Имя
Учебный блоки Кол-во баллов за основные задания Кол-во баллов за корректирующие задания Общее кол-во баллов за этап
№1
№2
№3
№4 Итоговое количество баллов Оценка П У Т Е В О Д И Т Е Л Ь
Учебный блок № 1
Цель: повторить понятие корня n-ой степени и его основные свойства; повторить определение уравнения, корня уравнения.
Указания учителя: поработайте устно с учителем; за каждый верно данный ответ поставь в свой оценочный лист 1 балл.
Вопросы:
Дайте определение корня n-ой степени. Приведите пример.
При каких а существует n√а, если n – четно? Если n – нечетно?
Вычислить:
а) 3√8
б) 3√27
в) 4√81
г) 5√1/32
д) 4√16*625
е) 3√8*343
4. Как называются равенства, записанные ниже?
а) х2 + 2х – 3 = 0
б) 4х2 + 2х – 6 = 0
в) –5х + 6 = 0
г) 2соs2х – соsх – 1 = 0
д) √х2 – 5 = 2
е) 3√х2 – 28 = 2
Учебный блок № 2
Цель: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень.
Указания учителя:
Уравнение, в котором переменная содержится под знаком корня, называется иррациональным. Например, √х + 6 = 2, 5√1 - 3х = 3 – иррациональные уравнения.
Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в ту степень обеих частей уравнения, каков показатель корня.
Но при возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат) получается уравнение неравносильное исходному. Кроме корней исходного уравнения могут появиться посторонние корни, т.е. числа, являющиеся решениями возведенного в четную степень уравнения, но не являющиеся корнями исходного уравнения.
Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном равнении, т.е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верное ли получается числовое равенство.
Иногда определить посторонние кони помогает область допустимых значений неизвестного (ОДЗ).
Рассмотрим примеры.
Пример 1. Решить уравнение х + √3х + 7 = 7
Решение: Перенесем х из левой части в правую, чтобы √3х + 7 оказался уединенным. Получим:
√3х + 7 = 7
(√3х + 7)2 = (7 – х)2
3х + 7 = 49-14х+ х23х + 7-49+14х- х2 = 0
-х2+17х-42=0
х2-17х+42=0
Д=b2 –4ас; Д=( -17)2-4*1*42=289-168=121
- b±√Д 17+11 17-11
Х=-----------; х1= ----------= 14; х2= ----------= 3;
2а 2 2Проверка:
Если х =14, то √3*14+7 = 7-14
√49 = -7
7= -7 – равенство не верно, значит х=14 не является корнем уравнения.
Если х=3, то √3*3+7 = 7-3
√16 = 4
4=4 – равенство верно, значит х=3 является корнем уравнения.
Ответ: х=3
Пример 2. Решить уравнение √х-2 = х-8
Решение: Найдем ОДЗ неизвестного в данном уравнении. Т.е. уравнение содержит квадратный корень, а квадратный корень существует из неотрицательных чисел, результат извлечения квадратного корня также есть число неотрицательное, то ОДЗ этого уравнения будет задаваться системой неравенств:
х-2 ≥ 0
х-8 ≥ 0
Решим эту систему:
х-2 ≥ 0 х ≥ 2
х-8 ≥ 0 х ≥ 8


ОДЗ: х [8; +∞)√х-2 = х-8
(√х-2)2 = (х-8)2
х-2 = х2 –16х+64
х-2 - х2 +16х+64=0
-х2+17х-66=0
х2-17х+66=0
Д=b2 –4ас; Д=( -17)2-4*1*66=289-264=25
- b±√Д 17+5 17-5
Х=-----------; х1= ----------= 11; х2= ----------= 6;
2а 2 2Выясним, оба ли корня принадлежат ОДЗ
11 [8; +∞); 6 [8; +∞) Ответ: х=11
Задания для самостоятельной работы
1 вариант 2 вариант
а) √3х-5 = √х+2 (1 балл) а) √2х-1 = √х+3 (1 балл)
б) √х2 – 2 = √х (2 балла) б) √х = √х2 –х-3 (2 балла)
в) √х+1 + 5=х (2 балла) в) 2+ √2х-1 = х (2 балла)
Подсказки:
а) Найдите ОДЗ неизвестного, решив систему неравенств (выражение, стоящее под знаком квадратного корня неотрицательно, т.е. ≥ 0).
б) Возведите обе части уравнения в квадрат, перенесите все слагаемые в левую часть, решив квадратное уравнение, выполните проверку.
в) Уедините квадратный корень в левой части (перенеся число в правую часть), найдите ОДЗ, возведите обе части уравнения в квадрат, помня, что (а-b)2 = а2 – 2аb + b2
Указания учителя: Поднимите руку и возьмите правильные ответы у учителя. Если вы набрали 5 баллов, то переходите к следующему блоку, если же меньше, то прорешайте соответствующее задание другого варианта.
Учебный блок № 3
Цель: решать иррациональные уравнения, применяя метод возведения обеих частей уравнения в одну и ту же степень неоднократно.
Указания учителя: Встречаются такие типы иррациональных уравнений, когда переход от иррационального уравнения к рациональному осуществляется путем неоднократного возведения в степень обеих частей уравнения.
Разберем это на конкретных примерах.
Пример 1. Решить уравнение √18 - 3√х+10 = 4
Решение: Т.к. внешний корень – квадратный, то возведем обе части уравнения в квадрат.
(√18 - 3√х+10)2 = 42
18 - 3√х+10 = 16
3√х+10 = 16-18
3√х+10 = -2
3√х+10 = 2
(3√х+10)3 = 23
х+10 = 8
х = 8-10
х = -2
Проверка: Если х=-2, то
√18 - 3√-2+10 = 4
√18 - 3√8 = 4
√18-2 = 4
√16 = 4
4=4 – равенство верно, значит х = -2 является корнем уравнения.
Ответ: х = -2
Пример 2. Решит уравнение √2х – 3 + √4х+1 = 4
Решение: При решении этого уравнения уединить корни не удастся, т.к. при переносе одного из корней в правую часть там все равно будет разность. Значит, решая данное уравнение, возводить в степень придется дважды.
√2х – 3 + √4х+1 = 4
(√2х – 3 + √4х+1)2 = 42
Левая часть представляет собой сумму, и при возведении в квадрат воспользуемся формулой квадрата суммы:
(а+b)2 = а2 + 2аb + b2
(√2х – 3)2 + 2* √2х – 3 * √4х+1 + (√4х+1)2 =16
2х – 3 + 2* √(2х – 3) * (4х+1) + 4х+1 =16
2* √(2х – 3) * (4х+1) =16 – 2х + 3 – 4х - 1
2* √(2х – 3) * (4х+1) = 18 – 6х
√(2х – 3) * (4х+1) = 9 – 3х
(√(2х – 3) * (4х+1))2 = (9 – 3х)2
(2х – 3) * (4х+1) = 81 – 54х + 9х2
8х2 – 12х +2х – 3 = 81 – 54х + 9х2
8х2 – 10х –3 – 81 + 54х - 9х2 = 0
-х2 + 44х – 84 = 0
х2 - 44х + 84 = 0
Д=b2 –4ас; Д=( -4)2-4*1*84=1936 - 336=1600
- b±√Д 44+40 44-40
Х=-----------; х1= ----------= 42; х2= ----------= 2;
2а 2 2Проверка:
Если х=42, то √2*42 – 3 + √4*42+1 = 4
√81 + √169 = 4
9 + 13 = 4
22 = 4 – равенство неверно, значит х=42 не является корнем уравнения
Если х=2, то √2*2 – 3 + √4*2+1 = 4
√1 + √9 = 4
1 + 3 = 4
4 = 4 – равенство верно, значит х=2 является корнем уравнения.
Ответ: х = 2
Задания для самостоятельной работы
1 вариант 2 вариант
а) √5 + √х - 1 = 3 (1 балл) а) √7- √х+1 = 2 (1 балл)
б) √х-3 - √х - 4 = 1 (2 балла) б) √х+2 - √х - 6 = 2 (2 балла)
Если вы выполнили задание, то поднимите рук и возьмите правильные ответы у учителя. Проверьте свою работу. Если вы заработали 3 балла, то переходите к следующему блоку, если нет, то выполните задание из другого варианта.
Учебный блок № 4
Молодцы! Вы освоили решение заданий 2 уровня сложности.
Цель: решать иррациональные уравнения методом введения новой переменной и, применяя знания в нестандартной ситуации.
Указания учителя: существуют иррациональные уравнения, решаемые способом замены, введения новой переменной. Разберем этот метод решения на примерах.
Пример 1. Решить уравнение √3х2 – 2х + 15 +√3х2 – 2х + 8 = 7
Решение: Пусть 3х2 – 2х = t, тогда уравнение примет вид:
√t + 15 + √t + 8 = 7
(√t + 15)2+ 2√t + 15* √t + 8 + (√t + 8)2 = 72
t + 15 + 2√(t + 15)* (t + 8) + t + 8 = 49
2√(t + 15)* (t + 8) = 49- t –15 - t –8
2√(t + 15)* (t + 8) = - 2 t + 26
√(t + 15)* (t + 8) = - t + 13
(√(t + 15)* (t + 8))2 = (13- t)2
(t + 15)* (t + 8) = 169-26 t
t2+ 15t +8t + 120 = 169-26 t + t2
t2+ 15t +8t + 26 t - t2 = 169-120
49t= 49
t = 1
Если t = 1, то 3х2 – 2х = 1
3х2 – 2х - 1 =0
Д=16
х1 = 1, х2 = -1/3
Проверка: Если х=1, то √3*12 – 2*1 + 15 +√3*12 – 2*1 + 8 = 7
√16 + √9 = 7
4 + 3 = 7
7 = 7 – равенство верно, значит х=1 является корнем уравнения.
Если х = -1/3, то √3*(-1/3)2 – 2*(-1/3) + 15 +√3*(-1/3)2 – 2*(-1/3)х + 8 = 7
√16 + √9 = 7
4 + 3 = 7
7 = 7 – равенство верно, значит х=-1/3 является корнем уравнения.
Ответ: х = 1, х = -1/3
Пример 2. Решить уравнение √х3 + 8 + 4√х3 + 8 = 6
Решение: Т.к. 4√х3 + 8= (х3 + 8)1/4, а √х3 + 8 = (х3 + 8)1/2, то пусть 4√х3 + 8 = t, тогда √х3 + 8 = t2.
Уравнение примет вид:
t2 + t = 6
t2 + t –6 =0
Д=b2 –4ас; Д=1+24 = 25
- b±√Д -1+5 -1-5
Х=-----------; х1= ----------= 2; х2= ----------= 3;
2а 2 2Если t = 2, то 4√х3 + 8 =2
(4√х3 + 8)4 =24
х3 + 8 = 16
х3 = 8
х=2
Если t = 3, то 4√х3 + 8 =-3
Корней нет, т.к. показатель корня четное число
Проверка: Если х=2, то √23 + 8 + 4√23 + 8 = 6
√16 + 4√16 = 6
4 + 2 = 6
6 = 6 – равенство верно, значит х=2 является корнем уравнения.
Ответ: х=2
Задания для самостоятельной работы
1 вариант 2 вариант
а) √3х2 + 5х + 8 - √3х2 + 5х + 1 = 1 (2 балла) а) √ 3х2 - 3х + 3 + √х2 - 3х + 6 = 3 (2 балла)
б) √3 - 2х + 3 4√3-2х = 10 (2 балла) б) √х + 1 - 4√х + 1 = 20 (2 балла)
в) 7√5-х / х+3 + 7√х+3 / 5-х = 2 (3 балла) в) 7√2-х / 3+х + 7√3+х / 2-х = 2 (3 балла)
Указания учителя: Проверьте и оцените свои работы. Исправьте ошибки, если они есть, подсчитайте количество баллов. Проставьте баллы в оценочный лист. Оцените свои работы.
Учебный блок № 5
Цель: Оцените результаты своей деятельности.
Указания учителя:
Закончите фразы:
Сегодня я узнал (а)…
Сегодня я научился (ась)…
На уроке испытал (а) затруднения…
Чтобы повысить результаты, мне нужно…
Запишите домашнее задание:
Если вы заработали на уроке оценку «5», то выполните дома № 425 (а, б) и № 422 (а) на с.209
Если вы заработали на уроке оценку «4», то выполните дома № 423 (б) и № 424 (г) на с.209
Если вы заработали на уроке оценку «3» или «2», то выполните дома № 417 и № 418 (б, г) на с.208

Приложенные файлы

  • docx file3.doc
    Чернова Ирина Николаевна, преподаватель математики КОГПОАУ "техникум промышленности и народных промыслов г. Советска"
    Размер файла: 37 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий