Научно-исследовательская работа на тему: «Математические софизмы». 7 класс


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Математические софизмыНе мыслям учим, а учим мыслить. Э. КантРаботу выполнилученик 7 «Б» классаМБОУ СОШ № 49Лёвочкин ДанилаИсследование на тему:Руководитель: Усенко О. Н.учитель математики высшей категории Введение:«Дважды два равно пяти», «Два равно трём»-каждый из нас слышал хоть раз в жизни. На самом деле, таких примеров можно привести очень много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логические объяснения или же это вымысел? Именно эти вопросы я хочу рассмотреть в своей работе, название которой – математические софизмы. Неслучайно я выбрал именно математические софизмы (хотя бывают и логические и словесные). Они, как мне кажется, более интересны, имеют чёткое логическое объяснение, кроме того, с математическими софизмами мы встречаемся намного чаще, чем с обычными.Это тема сейчас актуальна, потому что софизм- это обман, а так как не каждый может его распознать, то с помощью софизмов люди обманывают друг друга в наше время, как и тысячелетия назад. Объект исследования:Логика в математикеПредмет исследования:Софизмы Что такое софизм?Преднамеренная ошибка совершаемая с цельюзапутать противника и выдать ложное суждение за истинное Цель исследования:Установить связь между софистикой и математикой, проанализировать их влияние на развитие логики.Задачи исследования:Всесторонний анализ понятия «софизма».Как найти ошибку во внешне безошибочных рассуждениях.Классификация софизмов.Попробовать составитьсвои софизмы. Математический софизм – удивительное утверждение,в доказательстве которого кроются незаметные, а подчас и довольно тонкие ошибки. Мартин ГарднерСофизм всегда содержит одну или несколько замаскированных ошибок.Понимание ошибок в софизме помогает развивать логику и навыки правильного мышления История софизмаСофизмы существуют и обсуждаются более двух тысячелетий, причём острота их обсуждения не снижается с годами.Возникновение софизмов обычно связывается с философией софистов, которая их обосновалаи оправдывала.Термин «софизм» впервые ввёл Аристотель,охарактеризовавший софистику как мнимую,а не действительную мудрость. Софистика – это искусство ведения спораОна вошла в моду в Греции в V веке до нашей эры.В математических вопросах нельзя пренебрегать даже с самыми малыми ошибками. И. НьютонПредмет математики столь серьезен, что не следует упускать ни одной возможности сделать его более занимательным.Б. ПаскальПравильно понятая ошибка-это путь к открытию. И.П.Павлов Именно математика дает надежнейшие правила: кто им следует – тому не опасен обман чувств. Л. Эйлер




Арифметические софизмы - это числовые выражения имеющие неточность или ошибку,не заметную с первого взгляда. 1=2. Никто не станет возражать, что 3-1=6-4. Умножим обе части равенства на (-1): 1-3=4-6, прибавим к обеим частям равенства одно и тоже число, (9/4):1-3+9/4=4-6 +9/4, И замечаем что обе части равенства представляют собой квадраты разностей: (1-3/2)2=(2-3/2)2 . Извлечем из обеих частей квадратный корень: 1-3/2=2-3/2, и теперь к каждой части прибавим 3/2, имеем 1=2. Один рубль не равен ста копейкам. 1 р.= 100 коп. 10 р.= 1000 коп. Умножим обе части этих верных равенств, получим: 10 р.= 100000 коп., откуда следует: 1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп. 1=2. Никто не станет возражать, что 3-1=6-4. Умножим обе части равенства на (-1): 1-3=4-6, прибавим к обеим частям равенства одно и тоже число, (9/4):1-3+9/4=4-6 +9/4, И замечаем что обе части равенства представляют собой квадраты разностей: (1-3/2)2=(2-3/2)2 . Извлечем из обеих частей квадратный корень: 1-3/2=2-3/2, и теперь к каждой части прибавим 3/2, имеем 1=2. Один рубль не равен ста копейкам.1 р.= 100 коп.10 р.= 1000 коп.Умножим обе части этих верных равенств, получим:10 р.= 100000 коп., откуда следует:1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп Логические софизмы Алгебраические софизмы - это намеренно скрытые ошибки в уравнениях и числовых выражениях. 4:4=5:5-верное равенствоПосле вынесения за скобки общего множителяиз каждой части равенства будем иметь:4*(1:1)=5*(1:1) или (2*2)*(1:1)=5*(1:1)Наконец, зная, что 1:1=1, мы из соотношения4*(1:1)=5*(1:1)устанавливаем: 2*2= 5Где ошибка? Моим одноклассникам были предложены следующие задания:1.10-10=0; 15-15-0 следовательно 10-10=15-15, 2*(5-5)=3*(5-5), 2=32. Что ты не терял, то имеешь. Рога ты не терял. Значит, у тебя рога есть.З. Дважды два-пять!4. Полупустое есть тоже, что полу полное. Если равны половины, значит, равны и целые. Следовательно, пустое есть тоже, что и полное.На эти софизмы надо было ответить:Ошибка в том, что на нуль делить нельзя.Если у тебя нет рогов , ты не сможешь их потерять.В преобразования, разумеется закралась ошибка. А именно, при переходе из (4) в (5) совсем забыли, что равенство квадратов вовсе не означает равенство значений, возведённых в квадрат: они могут быть противоположны друг другу. А квадраты этих значений одинаковы.Ясно, что приведённое рассуждение неверно, т.к. в нём применяется неправомерное действие: увеличение вдвое. В данной ситуации его применение бессмысленно. В анкетирование приняло участие 27 учеников.Первый софизм: правильно ответил один ученик, неправильно ответило 26 учеников.Второй софизм: правильно ответили 11 учеников, неправильно ответило 16 учеников.Третий софизм: правильно ответило 2 ученика, неправильно ответило 25 учеников.Четвёртый софизм: правильно ответили 4 ученика, неправильно ответило 23 ученика. Основные ошибки в софизмах• деление на 0; • неправильные выводы из равенства дробей; •неправильное извлечение квадратного корня из квадрата выражения; • нарушения правил действия с именованными величинами; • путаница с понятиями “равенства” и “эквивалентность” в отношении множеств; • проведение преобразований над математическими объектами, не имеющими смысла; • неравносильный переход от одного неравенства к другому; • выводы и вычисления по неверно построенным чертежам; • ошибки, возникающие при операциях с бесконечными рядами и предельным переходом. ВыводЦенным является то, что в ходе такой работы обогащается культура мышления ученика, общая культура, развивается интеллект. Оценка деятельности ученика и самооценка сближаются на основе тезиса: не то ценно, что ошибок не совершил, а то, что нашел причину ошибки и устранил ее. Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, то есть прививает навыки правильного мышления.Что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Наконец, разбор софизмов увлекателен. Чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.







спасибозавнимание Ахманов А. С. «Логическое учение Аристотеля», Москва - 1960 2. «Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия» -2004 3. Брадис В. М., Минковский В. Л., Еленев Л. К. «Ошибки в математических рассуждениях», Москва - 19674. Брутян Г. «Паралогизм, софизм и парадокс. Вопросы философии» - 1959Мадера А. Г., Мадера Д. А. «Математические софизмы», Москва,Просвещение-20036. Нагибин Ф.Ф, Канин Е.С. «Математическая шкатулка» Москва, Просвещение - 1988Список литературы



Математические софизмы
Математику уже затем учить
следует, что она ум в порядок приводит
М.В.Ломоносов
Наверняка, каждый человек хоть раз в жизни слышал подобную фразу: «Дважды два равно пяти» или хотя бы: «Два равно трем». На самом деле, таких примеров можно привести много, но что все они обозначают? Кто их выдумал? Имеют ли они какое-нибудь логическое объяснение или же это лишь вымысел?
Именно эти вопросы мы хотим рассмотреть в своей работе, название которой –софизмы в математике. Неслучайно мы выбрали именно эту тему - она очень интересна и занимательна, дает возможность логически мыслить и находить объяснения порой самым невероятным умозаключениям!
Так что же такое софизм?
Софизмом называется умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Обнаружить ошибку – это значит осознать её, а осознание ошибки предупреждает от повторения её в других математических рассуждениях.
Данная работа открывает перед учащимися уникальную возможность проследить как математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперёд, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений.
Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применяемости теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности». Встречаются софизмы, содержащие и другие ошибки.
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики. Роль софизмов в развитии математики сходна с той ролью, какую играют непреднамеренные ошибки в математических исследованиях, допускаемые даже выдающимися математиками. Знаменитый русский физиолог И.П.Павлов говорил, что «правильно понятая ошибка – это путь к открытию».
Действительно, уяснение ошибок в математических рассуждениях часто содействовало развитию математики.
Чем же полезны софизмы для изучающих математику? Что они могут дать?
1)Разбор софизмов, прежде всего, развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях. Когда ребенок раз притронется к горячему предмету, то впоследствии он постарается этого не делать. Он будет много осторожнее. Так изучающий математику впоследствии проявит больше осторожности.
2)Далее, что особенно важно, разбор софизмов помогает сознательному усвоению изучаемого математического материала, развивает наблюдательность, вдумчивость и критическое отношение к тому, что изучается. Математические софизмы приучают внимательно и настороженно продвигаться вперед, тщательно следить за точностью формулировок, правильностью записей и чертежей, за допустимостью обобщений, за законностью выполняемых операций. Нет необходимости убеждать, насколько это важно и нужно.
3)Наконец, разбор софизмов увлекателен – изящная гимнастика для ума. Только очень безразличного человека не может увлечь интересный софизм. Как приятно бывает обнаружить ошибку в математическом софизме и тем как бы восстановить истину в ее правах. И чем труднее софизм, тем большее удовлетворение доставляет его анализ.

Различают несколько видов софизмов (на слайд указать), а именно: - логические, алгебраические, геометрические.


Начал я своё исследование с арифметических софизмов. Арифметика - наука о числах, в первую очередь о натуральных (целых положительных) числах и (рациональных) дробях, и действиях над ними. Так что же такое арифметические софизмы?
Приведу примеры арифметических софизмов.

1=2.
Никто не станет возражать, что 3-1=6-4.
Умножим обе части равенства на (-1): 1-3=4-6, прибавим к обеим частям равенства одно и тоже число, (9/4):1-3+9/4=4-6 +9/4, И замечаем что обе части равенства представляют собой квадраты разностей: (1-3/2)2=(2-3/2)2 . Извлечем из обеих частей квадратный корень: 1-3/2=2-3/2, и теперь к каждой части прибавим 3/2, имеем 1=2.
Один рубль не равен ста копейкам.
1 р.= 100 коп. 10 р.= 1000 коп.
Умножим обе части этих верных равенств, получим: 10 р.= 100000 коп., откуда следует: 1 р.= 10000 коп., т.е. 1 р. не равен 100 коп.



Кроме математических софизмов, существует множество других. Понять абсурдность таких утверждений проще, но от этого они не становятся менее интересными. Очень многие софизмы выглядят как лишенная смысла и цели игра с языком; игра, опирающаяся на многозначность языковых выражений, их неполноту, недосказанность, зависимость их значений от контекста и т.д. Эти софизмы кажутся особенно наивными и несерьезными.
Примерами логических софизмов могут быть: «Лекарства», «Вор», «Девушка – не человек» и т. д.
Процедура разбора софизма, его тщательное и скрупулезное «препарирование», заставляет убедиться в том, какое большое значение имеют софизмы для формирования критического мышления. Критичность мышления – одна из компетенций современного молодого человека. Прошли времена, когда можно было позволить себе верить каждому услышанному или прочитанному слову. Развелось много морально нечистоплотных людей, желающих манипулировать сознанием масс. Борьба за умы молодежи идет жесткая, если не сказать жестокая. Противостоять колоссальному напору может только человек, обладающий навыками самостоятельного, независимого и критического мышления.
Алгебра один из больших разделов математики, принадлежащий наряду с арифметикой и геометрией к числу старейших ветвей этой науки. Задачи, а также методы, отличающие её от других отраслей математики, создавались постепенно, начиная с древности. Алгебра возникла под влиянием нужд общественной практики, в результате поисков общих приёмов для решения однотипных арифметических задач. Приёмы эти заключаются обычно в составлении и решении уравнений.
Примером алгебраического софизма может быть утверждение, что:
Дважды два – пять! Очевидно что: 4:4=5:5 вынесем общий множитель 4(1:1)=5(1:1) сократим общие множители 4=5 или 2х2=5.
Где же ошибка?



И вот я решил провести эксперимент, своим одноклассникам предложил выполнить следующие задания (на слайд показать)




В анкетирование приняло участие 27 учеников. И вот какие я получил результаты (показать на слайд)
Исходя из данных, которые я получил во время анкетирования, я понял, что для ребят моего класса легче решать логические софизмы, нежели алгебраические.


О математических софизмах можно говорить бесконечно много, как и о математике в целом. Изо дня в день рождаются новые парадоксы, некоторые из них останутся в истории, а некоторые просуществуют один день. Софизмы есть смесь философии и математики, которая не только помогает развивать логику и искать ошибку в рассуждениях. Буквально вспомнив, кто же такие были софисты, можно понять, что основной задачей было постижение философии. Но тем не менее, в нашем современном мире, если и находятся люди, которым интересны софизмы, в особенности математические, то они изучают их как явление только со стороны математики, чтобы улучшить навыки правильности и логичности рассуждений. Понять софизм как таковой (решить его и найти ошибку) получается не сразу. Требуются определенный навык и смекалка. Некоторые софизмы приходилось разбирать по нескольку раз, чтобы действительно в них разобраться, некоторые же наоборот, казались очень простыми. Развитая логика мышления поможет не только в решении каких-нибудь математических задач, но еще может пригодиться в жизни. Исторические сведения о софистике и софистах помогли мне разобраться, откуда же всё-таки началась история софизмов.
По началу, я думал, что софизмы бывают исключительно математические, причём в виде конкретных задач. Но начав исследование в этой области, я понял, что софистика-это целая наука, а именно математические софизмы-это лишь часть одного большого течения. Исследовать софизмы действительно очень интересно. Порой сам попадаешь на уловки софиста.
( Щёлкнуть по слайду) Благодаря софизмам можно научиться искать ошибки в рассуждениях других людей. Грамотно строить свои рассуждения и логические объяснения.
И в конце хотелось бы сказать, что все мои цели, поставленные мной в начале работы, были мной достигнуты.
HYPER15Основной шрифт абзаца

Приложенные файлы

  • pptx fail1
    Размер файла: 698 kB Загрузок: 2
  • doc tezis2
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 8

Добавить комментарий