Геометрия зрения человека


XVII ГОРОДСКАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«Первые шаги в науку – 2014»
Секция МАТЕМАТИКА
Геометрия зрения человека
(исследовательcкая работа)
Выполнила: Порошина Валерия
ученица 10а класса
МБОУ «Гимназия»
Руководитель работы:
Егармина Л.В.
учитель математики
высшей категории
МБОУ «Гимназия»
Лесосибирск, 2014
Оглавление
TOC \o "1-3" \h \z \u
TOC \o "1-3" \h \z \u Введение3Основная часть52.1 Теоретический анализ проблемы…………………………………………………………5
2.2 Практическая работа по выявлению иллюзий и их доказательств..6Опыт№1 PAGEREF _Toc133209464 \h 6Опыт №27Опыт №37Опыт№48Опыт№592.3. Использование зрительных иллюзий человеком............................................................10
2.4. Использование иллюзии в повседневной жизни.............................................................12
Заключение14 Литература15Приложения16


Введение
Глядя на мир, нельзя не удивляться.К. Прутков.
В школе мы изучаем такой предмет, как геометрия. Это наука со своим специфическим методом познания мира, так как она изучает форму и взаимное расположение фигур в пространстве. Это то пространство, которое окружает нас. Посмотрим вокруг. Все предметы (тела) в окружающем нас мире имеют три измерения, хотя не у всех можно указать длину, ширину, высоту Мир, в котором мы живем, наполнен геометрией домов и улиц, гор и полей, творения природы и человека. Представители естественных наук, в частности физиков и астрономов всегда волновала надежность визуальных наблюдений.
44538901256665Мы привыкли доверять собственному зрению, однако оно нередко обманывает нас, показывая то, чего в действительности не существует. В такие моменты мы сталкиваемся со зрительными иллюзиями - ошибками зрительного восприятия. Сами ученые создали немало обманчивых картинок, наглядно демонстрирующих, сколь ограничены возможности человеческого глаза
-203835743585Рассмотрим несколько примеров зрительной иллюзии. Первая фотография отображает иллюзию объема на плоском асфальте.
На второй картинке предметы расположенные ближе к нам кажутся меньше, чем те, что дальше от нас, на самом же деле они совершенно одинаковы.

3234690658495В следующей серии картинок легко может показаться, что линии искривлены, но это опять всего лишь иллюзия – линии параллельны!
82486512065
Почему так происходит? Почему один и тот же предмет, видимый невооруженным глазом, вблизи кажется крупнее, чем когда мы смотрим на него издалека? Почему, чтобы разглядеть детали висящей на стене картины, мы подходим к ней ближе? Почему "убегающие" вдаль параллельные рельсы кажутся пересекающимися в воображаемой точке? Ответы на эти и другие "почему" мы постарались найти в нашей работе с помощью геометрии, строгие законы которой объясняют некоторые особенности зрительного восприятия.
Поэтому объектом нашего исследования являются зрительные иллюзии, а предметом исследования – причины зрительных иллюзий.
Цель исследования: объяснить возникновение зрительных иллюзий с точки зрения геометрии.
Задачи исследования:
изучить теоретический материал по данной теме;
провести опыты, связанные со зрительными иллюзиями, и доказать их с точки зрения геометрии;
найти примеры использования оптических иллюзий;
разработать рекомендации по использованию иллюзий в современной жизни.
Методы исследования: изучение литературы, сопоставление существенных признаков, доказательство, анализ, сравнение, обобщение, моделирование.
Гипотеза: зрительные иллюзии можно объяснить с помощью законов геометрии.

Основная частьТеоретический анализ проблемы.
С давних пор люди пытались объёмные тела изобразить на плоскости так, чтобы их сразу можно было отличить от плоских, чтобы чувствовалась глубина пространства. Была разработана научная теория перспективы, позволяющая «обмануть зрение». Перспектива - это очень просто. Это чистая геометрия. Так что же, овладев геометрией перспективы, каждый может стать художником? К сожалению, нет. Математически точная перспектива - это еще не живопись, а только чертеж. Перспектива - это только геометрическая основа живописи.
С точки зрения геометрии линейная перспектива - это способ изображения фигур, основанный на применении центрального проектирования. Рассмотрим задачу построения перспективного изображения фигуры, которое называется центральной проекцией.
Пусть выбрана плоскость проекций π, на которой строится изображение, и задан центр проекции - точка 0, ей не принадлежащая. Тогда произвольная точка М фигуры будет проецироваться в точку М' пересечения прямой ОМ с плоскостью π. Ясно, что при разных положениях π получатся различные изображения одной и той же фигуры.
В живописи плоскость проекций (полотно картины) обычно находится между центром проекции (глазом художника) и объектом, так что точка М' оказывается между точками 0 и М. При этом плоскость π перпендикулярна предметной плоскости α, на которой располагаются изображаемые объекты.
3434715758825Итак, каждому художнику, пишущему в реалистической манере, приходится решать геометрическую задачу на построение центральной проекции объектов на картинную плоскость. Очевидно, что точки основания картины (лежащие на линии пересечения плоскостей α и π) проецируются в себя.
На рисунке 1 показано, как получается изображение произвольной точки М плоскости α (цифры 1—4 указывают порядок проведения прямых).
рис.1
Если точка К не лежит в предметной плоскости, то сначала из нее опускают перпендикуляр на α (на рис. 1 это отрезок КМ), затем для его основания (точки М) выполняют построения 1—3. Наконец, проводят прямую КО, пересечение которой с плоскостью π и есть изображение точки К.
Вообще построение центральной проекции фигуры - задача не из простых. Она рассматривается в одном из разделов прикладной математики - начертательной геометрии изучающей пространственные фигуры при помощи построения их изображений на плоскостях проекций. Начертательная геометрия широко применяется в инженерном деле, строительной практике, в архитектуре и живописи.2.2. Практическая работа по выявлению иллюзий и их доказательствОпыт№1Возьмем монету и сравним её размеры «на глаз» сначала с расстояния 50см, а затем 1м. Видим, что монета кажется меньше во втором случае в 2 раза. Значит, при приближении монеты на 25 см-размер её должен увеличивается в 2 раза? (Приложение 1)
Доказательство
Физика объясняет это так: угол, под которым виден предмет, уменьшается по мере удаления последнего от глаза, и изображение предмета на сетчатке занимает все меньше места (рис. 2)
рис.2
15240-635Такой ответ нас не совсем устроил. Во-первых, почему, чем дальше от глаза находится предмет, тем меньше угол, под которым он виден? Во-вторых, почему при этом уменьшается размер изображения предмета на сетчатке? Ответы на эти вопросы мы нашли с помощью геометрии.
На рисунке 3 АВ и АС - изображения на сетчатке одного и того же предмета высотой h, удаленного от глаза на расстояния S и L соответственно*. Опираясь на определение тангенса острого угла, нетрудно доказать, что если S > L, то: 1) и 2)
152403175
рис.3
Неравенство следует из того, что
Известно, что при малых значениях . Поскольку углы, с которыми мы имеем дело, невелики, то можно считать, что и
Итак, откуда
Вернёмся к опыту. И опыт, и предыдущие рассуждения подсказывают, что углы, под которыми видна монета, должны отличаться, как и расстояния, на которые она удалена от глаза, в два раза.
Действительно, поскольку а по условию то
Таким образом, удаляя монету от глаза с расстояния 50 см на 1 м, мы уменьшаем угол зрения (а значит, и размер изображения на сетчатке) в два раза, поэтому она и кажется нам вдвое меньшего размера. Ответ на другой вопрос теперь очевиден: та же монета с расстояния 25 см будет казаться вдвое больше. Более того, при изменении расстояния в любое другое число раз результат будет аналогичным,
Вывод: величина угла зрения обратно пропорциональна расстоянию до предмета.
Опыт №2
Рассмотрим фрагмент висящей на стене картины. Почему, чем ближе мы подходим к ней, тем больше начинаем различать такие подробности, которые не замечали раньше. (Приложение 1)
Доказательство.
Чем большие угол зрения, тем крупнее изображение каждой детали на сетчатке глаза; оно «захватывает» все больше нервных окончаний, благодаря чему мы начинаем различать в предмете такие подробности, которые не замечали раньше.
Вывод: хотите разглядеть фрагмент висящей на стене картины или мелкий шрифт на странице книги - попробуйте увеличить угол зрения, подойдя к холсту поближе (приблизив текст к глазам). А если объект наблюдения слишком мал или его детали плохо различимы невооруженным глазом, следует воспользоваться лупой или другим оптическим прибором, который позволяет увидеть объект под большим углом.
Опыт №3
Рассмотрим две «убегающие» от нас параллельные линии (трамвайные или железнодорожные). Они кажутся сходящимися в некоторой точке горизонта. При этом сама точка представляется нам бесконечно удаленной и недосягаемой. Зрение словно пытается убедить нас в том, что вопреки законам геометрии параллельные прямые пересекаются.

300990-3867153206115-386715рис.4


Доказательство: эта иллюзия объясняется рассмотренной нами выше особенностью зрительного восприятия. Объект (шпала), находящийся на различных расстояниях от наблюдателя, виден под разными углами зрения и по мере удаления вдоль параллельных прямых (рельсов) его угловой размер уменьшается, что приводит к видимому уменьшению расстояния между линиями (в данном случае оно определяется величиной шпалы). Очевидно, когда угол зрения достигает некоторой "критической" величины, глаз перестает различать удаляющийся объект как тело, имеющее размеры, и прямые «сливаются» для него в одну точку.
Вывод: существует предельное значение угла зрения - наименьшее значение, при котором глаз способен видеть раздельно две точки.
Опыт№4 Сравним относительные размеры нескольких находящихся в поле зрения предметов.
3472815829310Если предметы удалены от глаз на одно и то же расстояние и расположены достаточно близко друг к другу, их сравнить легко. В этом случае мы редко ошибаемся в своей оценке: более высокий предмет виден под большим углом (рисунок 5), поэтому и кажется выше.
рис.5

Усложним задачу. Расположим предметы на разном расстоянии от глаза, в том числе предметы разного размера (рис. 6). Тогда их видимые размеры кажутся одинаковыми.
805815-443865
рис.6

Выстроим, друг за другом по росту несколько матрешек, и посмотрим на них со стороны самой маленькой фигурки, а затем начнём медленно отходить назад, не изменяя при этом направления взгляда, то можно наблюдать, как матрешки будут постепенно «сливаться», загораживая друг друга. Наконец, на некотором расстоянии будет видна только одна из них - та, что расположена ближе остальных. Сместим фигурки в горизонтальных плоскостях, перпендикулярных направлению взгляда, таким образом, чтобы все они были полностью видны - матрешки кажутся одного размера.
Аналогичный опыт можно провести с любыми имеющимися под рукой предметами, расположив их, на некотором расстоянии друг от друга, (причем наибольшего визуального эффекта можно достичь, если использовать предметы, схожие по форме: спичку и карандаш, орех и апельсин и т.п.). В таком случае достаточно сравнить их линейные размеры: высоты, диаметры и т.д. Результат будет таким же.
Вывод: независимо от формы предметов, наблюдаемое явление должно описываться «на языке математики» одним и тем же законом, в котором ключевую роль играют, вероятно, такие параметры, как линейный размер и расстояние до предмета.
Еще один наглядный пример, подтверждающий отмеченную закономерность, дает солнечное затмение, во время которого Луна полностью закрывает собой солнечный диск. В этот момент размеры обоих тел кажутся нам одинаковыми, поскольку Луна и Солнце видны с Земли под одним углом зрения. На основе последнего равенства можно не только сравнить расстояния, а также относительные размеры двух объектов, наблюдаемых под одним углом зрения, но и найти любую из входящих в него величин по трем остальным.
А результаты следующего опыта мы на практике можем уже использовать сейчас.
4276725164465Опыт№5Определим высоту дерева (вышки, столба и т.п,)
рис.7

Отойдем от столба на расстояние, на котором больший палец вытянутой вперед руки закроет его полностью, (то есть их видимые размеры станут одинаковыми), подсчитав при этом число сделанных шагов. Для взрослого человека среднее расстояние от глаза до большого пальца вытянутой руки составляет 60 см, длина самого пальца - 7 см, а длина шага - 65 см. По этим данным легко вычислить примерную высоту столба.
192976599060
рис.8

Вычислим эти методом высоту сосны во дворе нашей школы (Приложение1):
расстояние от пола до глаз h = 150 см;
расстояние от глаза до пальцев вытянутой руки l = 65 см;
расстояние от дерева до человека 15 шагов·55 см = 825 см;
расстояние L = 825 см + 65 см = 890 см;
Получаем: H150=89065 H = (150·890) / 65 ≈ 2053 см = 20,53 м.
Аналогично определяется расстояние до недоступного объекта по его известной высоте.
Отметим, что описанный способ надежен для оценки сравнительно близких расстояний до нескольких сотен метров; чем меньше предмет и чем дальше он находится, тем выше погрешность измерений.
Вывод: С позиции геометрии, во всех приведенных примерах мы имеем дело с подобными фигурами или соответствующими отрезками, а именно высотами, различных по форме фигур; более того, в каждом случае мы сталкиваемся с преобразованием гомотетии, центр которой совпадает с глазом наблюдателя. Поэтому можно утверждать, что если два предмета видны под одним углом зрения, то их линейные размеры отличаются во столько же раз, во сколько раз отличаются расстояния до предметов (рис. 8).

4501515990602.3. Использование зрительных иллюзий человеком.
Идея исследования причин иллюзий, её использование в практической жизни не нова. Рассмотрим примеры того, как оптические иллюзии влияют на восприятие архитектурных сооружений и как создатели последних научились «бороться» с обманами зрения.
рис.9
При взгляде снизу на высокие здания обычно создается впечатление, что в верхней части они уже, чем у основания, и немного отклонены назад. Один из приемов, позволяющих устранить возникающую иллюзию, предложил известный художник и архитектор эпохи Возрождения Джотто ди Бондоне. Когда ему было поручено строительство колокольни при соборе Санта-Мария дель Фьоре во Флоренции, он спроектировал ее так, что вверху колокольня значительно шире, чем у основания (рис. 9). Это придало сооружению внушительный и в то же время величественный вид.
41681401386840Считается, что подобными приемами пользовались еще древнегреческие зодчие. Например, они знали, что вертикальные и горизонтальные прямые при значительной длине издалека выглядят не параллельными, а слегка расходящимися и сходящимися соответственно. Чтобы колонны здания не «распадались», их слегка наклоняли к центру, а чтобы лежащая сверху и поддерживающая крышу горизонтальная балка (архитрав) не выглядела прогнувшейся книзу, ее центральную часть немного «сужали».
рис.10
Много оптических поправок было внесено при строительстве одного из шедевров древнегреческого искусства Парфенона, храма богини Афины, построенного в V веке до н. э. (рис. 10). Укажем некоторые из них.
Колонны Парфенона стоят не перпендикулярно его основанию, а немного наклонены внутрь, а их стволы утолщены в середине на 1,75 см. Благодаря этому, как отмечал известный римский архитектор и инженер Витрувий, храм производит впечатление прочного, как монолит, сооружения.
Оценить, насколько тонкими средствами был достигнут подобный эффект, можно по такому показателю: колонны отклонены от вертикали всего на 6 см, и если продлить их оси вверх, они пересекутся на высоте 2,4 км над землей!
Стволы колонн Парфенона сужаются кверху, теряя при этом в диаметре две пятых своей толщины. Тем самым создается иллюзия их большей высоты. Кроме того, угловые колонны шире остальных. Если бы они были такого же диаметра, то казались бы на фоне святилища храма тоньше. Таким образом, оказалась учтена еще одна зрительная иллюзия.
Архитрав в центре на 6 см уже, чем по краям. Стесанная по кривой линии балка издали выглядит абсолютно ровной. Парфенон стоит на слегка выпуклой каменной платформе: ее центральная точка возвышается над крайними точками на 22,8 см, (что составляет всего одну тысячную долю ее длин), ступени здания тоже слегка изогнуты. Подобные искривления помогли избежать иллюзии «провисания».
Наконец, скульптурные изображения на фронтоне храма были выполнены более рельефно, и это сглаживало визуальный эффект резкого уменьшения фигур, возникающий при взгляде снизу.
38823901013460Огромное внимание к деталям в строительстве этого выдающегося памятника архитектуры свидетельствует о высоком мастерстве его создателей, пользовавшихся при возведении храма лишь самыми простыми инструментами: отвесами, угольниками, бечевками и т. п.
А вот пример того, как зрительные иллюзии помогали во время войны.
рис.11
Боевые корабли маскировались ослепительной живописью. Прямо не верится, что военные корабли могли выглядеть так. Кажется, что их раскрасили клоуны, отставшие от бродячего цирка.
Полная асимметрия, полоски и клетки. Неожиданные диагонали и разные яркие цвета. Но оказывается, что без малого 100 лет назад суда маскировали именно таким образом.
2.4. Использование иллюзий в повседневной жизни
В своей работе мы попытались доказать существование зрительных иллюзий, рассмотрели использование её в разное время и в разных областях жизнедеятельности человека. А можно ли использовать зрительные иллюзии в современной жизни?
Совет №1.
Если вы собрались делать ремонт, то оптические иллюзии помогут вам в этом.
Под оптическими иллюзиями понимаются те изменения в зрительном восприятии размеров помещения, которые возникают под воздействием психологических явлений, контраста, зрительной памяти, т.е. помещение зрительно можно углубить, сузить, расширить, повысить или понизить. Цвет и фактура основных элементов интерьера, размещение светильников и учет направления световых потоков позволяют сохранить или откорректировать имеющиеся пространство с помощью зрительных иллюзий. Для достижения названных эффектов необходимо знать некоторые основные положения. Приведем некоторые из них. Например, при использовании оптических иллюзий для зрительной корректировки пространства значительный эффект дает направленное применение осветительной системы (изменение яркости отдельных участков ограждающих поверхностей, использование направленных световых потоков).
Зрительные иллюзии Светокомпозиционный прием
Увеличение объема помещения Очень сильное равномерное освещение ограждающих поверхностей
Уменьшение объема помещения Уменьшение яркости ограждающих поверхностей
Удлинение и сужение помещения Увеличение яркости стен, перпендикулярных к направлению «удлинения»; расположение световых полос в направлении «удлинения»
Членение помещения Резкое повышение яркости отдельных участков с использованием цветовых контрастов
Увеличение высоты помещения Равномерное повышение яркости потолка и верха стен относительно остальных поверхностей
Рельефность стен Повышение яркости отдельных участков стен для создания световых пятен, ритмичное освещение стен светом двух разноцветных источников
Табл.1

Использование вертикалей в декоре стен зрительно увеличивает высоту помещения. Белые предметы на темном фоне зрительно «раздвигают» пространство, расширяя и удлиняя его. Клетчатые, полосатые, заполненные рапортным рисунком участки кажутся больше, чем одинаковые с ними по размеру однотонные. Совет №2Формируя определенное зрительное восприятие фигуры, современный дизайнер использует различные способы и приемы. С одной стороны, он может придать фигуре определенный визуальный эффект (т.е. сделать полную фигуру стройнее, отвлечь внимание от проблемной зоны и т.д.) с помощью конструктивных и модельных линий. В этом случае широко используется свойство вертикальных линий (рельефов, декоративных швов и т.д.) и особое внимание уделяется моделированию воротников и выреза горловины, расположению мелких деталей (карманов, пат и т.д.). С другой стороны, того же эффекта можно достичь за счет использования свойств рисунка ткани (например, вертикальные полосы придают фигуре стройность, крупная клетка расширяет). В этом случае конструктивные линии уходят на второй план.
Зрительные иллюзии не только позволяют фигуре выглядеть более или менее идеально, но и обеспечивают определенное эстетическое восприятие художественного образа модели. В своей работе мы рассмотрели основные зрительные иллюзии, которые необходимо знать при моделировании одежды.
ЗаключениеТаким образом, наше исследование показало сколь широка и многогранна деятельность человека, столь и различны требования, предъявляемые к форме и содержанию изображений. Одни из них должны производить на глаз человека такое же впечатление, какое производит и сам изображаемый предмет, иначе говоря, изображение должно обладать достаточной наглядностью. В другом случае изображение должно быть, в первую очередь, геометрически равноценно оригиналу, оно должно давать полную геометрическую и размерную характеристику изображаемого предмета.
В нашем исследовании мы объяснили возникновение зрительных иллюзий с точки зрения геометрии и ее законов, тем самым подтвердили нашу гипотезу. Причиной зрительных иллюзий человека являются свойства центрального проектирования: расположение плоскости проекции, центра проекции, величина угла зрения и его предельное значение. В своей работе мы провели пять опытов по распознанию оптических иллюзий человека и создали их математическую модель и провели доказательство.
Зрительные иллюзии используются человеком в живописи, архитектуре, строительной практике, инженерном деле. В повседневной жизни с помощью зрительных иллюзий человек может моделировать или подбирать себе одежду, согласно типу своей фигуры, моделировать пространство в своей квартире.


Литература
Грегори Р.Л. Разумный глаз / Р.Л. Грегори; пер. с англ. А.И. Когана. – М.: УРСС, 2003. – 170 с.
Григорьева Н.Ю. Живая математика: учеб. пособие / Н.Ю. Григорьева. – М.: Кнорус, 2006 .- 405 с.
Демьянов В.М. Геометрия и Марсельеза / В.М. Демьянов. – М.: Наука и образование, 1986. – 224 с.
Кагиров Р.Р. Ключи к местоположению визуального познания / Р.Р. Кагиров. – Самара: Май, 2002. – 211 с.
Карпунина Н.М. Неожиданная математика / Н.М. Карпунина . – М.: УРСС, 2003. – 350 с.
О живописной перспективе / под ред. П.Франческа. – М.: Энциклопедия, 2000. – 550 с.
Передметы и изображения / под ред. Э.А. Рубина. – М.: Энциклопедия, 2000. – 700 с.
Розин В.М. Перспектива в геометрии и живописи / В.М. Розин. – М.: Просвещение, 1998. – 345 с.
Художники Возрождения / под ред. А.Д. Некипелова. – М.: Энциклопедия, 2000. – 950 с.
Четвертухин Н.Ф. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четвертухин. – М.: Просвещение, 1963. – 270 с.

Приложение 1
Опыт №5
Опыт №2
Опыт №1
285305530194253771905762625-565785301942516510104775

Приложенные файлы

  • docx file7
    Размер файла: 1 MB Загрузок: 5

Добавить комментарий