практические работы по математике 1 курс СПО


Практическая работа №9
по дисциплине ОДП. 01 «Математика»
Тема: ПЗ 9 Решение показательных, логарифмических уравнений и неравенств
Цель работы: проверить степень усвоения материала
.
Оснащение: учебник, конспект, презентация
Основные теоретические положения:



Задания для практической работы


Контрольные вопросы:
Какие уравнения называются показательными?
Какие уравнения называются логарифмическими?
Способы решения показательных уравнений и неравенств
Способы решения логарифмических уравнений и неравенств
Практическая работа №10
по дисциплине ОДП. 01 «Математика»
Тема: ПЗ 10 Решение тригонометрических выражений
Цель работы: проработать выполнение заданий на тождественные преобразования тригонометрических выражений.
Оснащение: учебник, конспект, презентация
Основные теоретические положения:
Основные формулы тригонометрии
Перевод градусной меры угла в радианную и обратно.
Пусть α — градусная мера угла, β — радианная, тогда справедливы формулы: , .
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
.
.
.
.
.
.
Вычислить значение sin α, если cos α = 0,3, α — угол в первой четверти.
Решение
Применим основное тригонометрическое тождество, связывающее тригонометрические функции . Так как по условию задачи cosα = 0,3, то cos2α = 0,09. Значит, sin2α + 0,09 = 1, sin2α = 1 – 0,09 = 0,91. Решая уравнение sin2α = 0,91, получаем два случая (), из которых, обращая внимание на то, какой четверти принадлежит искомый угол, следует выбрать один. Вспомним, что в первой четверти все тригонометрические функции имеют знак «+». Следовательно, .Ответ: .
Задания для практической работы
Вычислите значение tg α, если ctg α = 0,2.
Вычислить cos α, если cos2α = 3/4 и 
3.  Упростить выражение:
а) 1 – sin2α; б) cos2α – 1; в) (1 – cosα)(1+cosα); г) sin2αcosα – cosα; д) sin2α+1+cos2α;
е) sin4α+2sin2αcos2α+cos4α; ж) tg2α – sin2αtg2α; з) ctg2αcos2α – ctg2α; и) cos2α+tg2αcos2α.
4. Преобразовать выражение:

Найдите 5·cos α, если

Необходимо найти косинус угла. Из формулы основного тригонометрического тождества следует, что cos2x = 1– sin2x и

Определим знак косинуса. Угол принадлежит интервалу (3Пи/2;2Пи).
Это интервал от 270 до 360 градусов  (четвёртая четверть).  Значение косинуса в этой четверти  положительное, поэтому:

Таким образом, 5·cos α = 5∙0,7 = 3,5
Ответ: 3,5
Контрольные вопросы
Основное тригонометрическое тождество
Значения синуса и косинуса острого угла
Единичная окружность
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
Практическая работа №11
по дисциплине ОДП. 01 «Математика»
Тема: ПЗ 11 Преобразования тригонометрических выражений
Цель работы: закрепить знания и умения по преобразованию тригонометрических выражений
Оснащение: учебник, конспект, презентация
Основные теоретические положения:
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
.
.
.
.
.
.
Формулы сложения.
.
.
.
Формулы двойных и половинных углов.
.
.
.
.
.
.
.
.
Формулы преобразования суммы в произведение:



 
Формулы преобразования произведения в сумму:
.
.
.
Формулы приведения:
φ α
sin φ - sin α cos α cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α
cos φ cos α sin α - sin α - cos α - cos α - sin α sin α cos α cos α
tg φ - tg α ctg α - ctg α - tg α tg α ctg α - ctg α - tg α tg α
ctg φ - ctg α tg α - tg α - ctg α ctg α tg α - tg α - ctg α ctg α
 
Упростите выражение:
1) ;
Решение
Данные задания — на применение формул сложения.
1) . Обратимся далее к таблице значений тригонометрических функций. Получаем, что .
Задания для практической работы
Упростите выражения
1) ;
2) ;
3) ;
4) ;
5) 
Вычислить:
1) cos 10π;                 2) sin 7π;                  3) sin 930°;4) cos (—480°);         5) cos 15,5π;            6) sin ( — 7 5/6 π)
Известно, что sin α – cos α = 0,3. Найти:1) sin2α;2) sin4α + cos4α;3) sin6α + cos6α.
Решение
Возведем в квадрат обе части заданного в условии примера равенства и используем формулу «квадрат разности», получаем, что:sin2α - 2sinα cosα + cos2α = 0,09.Вспомним основное тригонометрическое тождество и применим формулу синуса двойного угла:1 - sin2α = 0,09, откуда:sin2α = 1 - 0,09 = 0,91.2) Воспользуемся полученным результатом для ответа на вопрос 2.Для этого сумму sin4α + cos4α представим в специальном виде:sin4α + cos4α = (sin4α + 2sin2α  cos2α + cos4α) - 2sin2α  cos2α = (sin2α + cos2α)2  - 1/2 α sin22α = 1 - 1/2 * 0,91 = 0,545.
Комментарий. Специальный вид, использованный при решении данного примера, позволяет применить формулу «квадрат суммы» и использовать результат, полученный в пункте 1. При последующих преобразованиях использована формула синуса двойного угла.3) Обратим внимание, что для вычисления значения выражение sin6α + cos6α можно представить в виде суммы кубов.sin6α + cos6α = (sin2α)3 + (cos2α)3 = (sin2α + cos2α)(sin4α - sin2α  cos2α + cos4α) = 1 * (0,545 – 1/4 * 0,91) = 0,3175.
Ответ:
1) 0,91;2) 0,545;3) 0,3175.
Контрольные вопросы
Формулы зависимости между функциями одного и того же аргумента:
Формулы сложения
Формулы двойных и половинных аргументов
Формулы преобразования суммы в произведение и наоборот
Формулы приведения
Практическая работа №12
по дисциплине ОДП. 01 «Математика»
Тема: ПЗ 12 Преобразования графиков тригонометрических функций: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат.
Цель работы: изучить преобразования графиков тригонометрических функций
Оснащение: учебник, конспект, презентация
Основные теоретические положения:
В чистом виде основные элементарные функции встречаются, к сожалению, не так часто. Гораздо чаще приходится иметь дело с элементарными функциями, полученными из основных элементарных при помощи добавления констант и коэффициентов. Графики таких функций можно строить, применяя геометрические преобразования к графикам соответствующих основных элементарных функций (или переходить к новой системе координат). К примеру, квадратичная функция  представляет собой квадратичную параболу , сжатую втрое относительно оси ординат, симметрично отображенную относительно оси абсцисс, сдвинутую против направления этой оси на 2/3 единицы и сдвинутую по направлению оси ординат на 2 единицы.

Давайте разберемся в этих геометрических преобразованиях графика функции пошагово на конкретных примерах.
С помощью геометрических преобразований графика функции f(x) может быть построен график любой функции вида , где  - коэффициенты сжатия (при ) или растяжения (при ) вдоль осей oy и ox соответственно, знаки «минус» перед коэффициентами  и указывают на симметричное отображение графика относительно координатных осей,а и b определяют сдвиг относительно осей абсцисс и ординат соответственно.Таким образом, различают три вида геометрических преобразований графика функции:Первый вид - масштабирование (сжатие или растяжение) вдоль осей абсцисс и ординат.На необходимость масштабирования указывают коэффициенты  и отличные от единицы, если , то происходит сжатие графика относительно oy и растяжение относительно ox , если , то производим растяжение вдоль оси ординат и сжатие вдоль оси абсцисс.Второй вид - симметричное (зеркальное) отображение относительно координатных осей.На необходимость этого преобразования указывают знаки «минус» перед коэффициентами (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси ox ) и  (в этом случае симметрично отображаем график относительно оси oy ). Если знаков «минус» нет, то этот шаг пропускается.Третий вид - параллельный перенос (сдвиг) вдоль осей ox и oy.Это преобразование производится В ПОСЛЕДНЮЮ ОЧЕРЕДЬ при наличии коэффициентов a и b, отличных от нуля. При положительном а график сдвигается влево на |а| единиц, при отрицательных а – вправо на |а| единиц. При положительном b график функции параллельно переносим вверх на |b|единиц, при отрицательном b – вниз на |b| единиц.Теперь обо всем по-порядку. Начнем с геометрических преобразований графика степенной функции.Задания для практической работы
С помощью преобразования графика функции y=sinx построить 
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем , причем перед коэффициентом  стоит знак «минус», перед  минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика функции y=sinx примет вид:
Поэтапное преобразование графика синусоиды. Графическая иллюстрация.
График исходной синусоиды y=sin(x) . Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках , минимумы – в точках .
Растягиваем вдоль оси ординат втрое (амплитуда колебаний при этом возрастает в три раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Растягиваем вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое увеличивается . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Сдвигаем график вправо на 3 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Сдвигаем график вниз на 2 единицы. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функцииy=sinx завершается.
Давайте рассмотрим геометрические преобразования тригонометрической функцииy=cosx.
Пример.
Построить график функции  преобразованием косинусоидыy=cosx.
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем , причем перед коэффициентом  стоит знак «минус», перед  минуса нет.
Таким образом, цепочка преобразований графика тригонометрической функции косинус примет вид:
Поэтапное преобразование графика косинусоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=cos(x) . Наименьший положительный период равен . Максимумы находятся в точках , минимумы – в точках .
Растягиваем вдоль оси ординат в 3/2 раза (амплитуда колебаний при этом возрастает в 3/2 раза). Наименьший положительный период равен . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Сжимаем график вдоль оси абсцисс вдвое. Наименьший положительный период при этом вдвое уменьшается . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Симметрично отображаем относительно оси ординат. В силу четности функции график при этом не изменится.
Сдвигаем график вправо на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Сдвигаем график вверх на 1 единицу. Наименьший положительный период при этом не меняется . Максимумы переходят в точки , минимумы – в точки .
Этим этапом задача преобразования графика тригонометрической функцииy=cosx завершается.
Преобразование тригонометрической функции y=tgx.
Пример.
С помощью геометрических преобразований графика функции y=tgx построить
Решение.
Приводим функцию к виду шаблона :
Имеем , причем перед коэффициентами  и стоит знак «минус».
Таким образом, цепочка преобразований графика тангенсоиды примет вид:
Поэтапное преобразование графика тангенсоиды. Графическая иллюстрация.
Исходный график y=tg(x) . Наименьший положительный период равен . Область определения .
Производим сжатие вдоль оси ординат в 2 раза. Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения остается прежней .
Растягиваем график вдоль оси абсцисс в 3/2 раза. Наименьший положительный период при этом равен . Область определения изменяется на .
Симметрично отображаем относительно оси абсцисс. Период и область определения при этом не меняются.
Симметрично отображаем относительно оси ординат. Период и область определения при этом не меняются. Стоит заметить, что график в точности совпадает с графиком двумя шагами ранее. Это объясняется нечетностью функции тангенса. То есть, если к нечетной функции применить симметричное отображение относительно осей ox и oy , то получим исходную функцию.
Сдвигаем график вправо на  (примерно на полторы единицы). Наименьший положительный период при этом не меняется . Область определения изменяется на .
Сдвигаем график вверх на  (примерно на единицу). Период и область определения при этом не меняются. 
Контрольные вопросы
Преобразования графиков тригонометрических функций: параллельный перенос, симметрия относительно осей координат и симметрия относительно начала координат
Построение графиков функции

Приложенные файлы

  • docx doc 5
    Размер файла: 336 kB Загрузок: 5

Добавить комментарий