УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «МАТЕМАТИКА»

Государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Красноярский государственный медицинский университет имени профессора В.Ф. Войно-Ясенецкого» Министерства здравоохранения
Российской Федерации

Фармацевтический колледж







Математика


УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

для студентов 1 курса, обучающихся
по специальностям 31.02.03 – Лабораторная диагностика,
33.02.01– Фармация, 34.02.01 – Сестринское дело

(очная форма обучения)



















Красноярск
2015
УДК 51(075.8)
ББК 22.1
М 34

Математика: учеб.пособие для студентов 1 курса, обучающихся по специальностям 31.02.03 – Лабораторная диагностика, 33.02.01 – Фармация, 34.02.01 – Сестринское дело (очная форма обучения) / сост. Е.П. Клобертанц, Л.Ю. Позднякова ; Фармацевтический колледж. – Красноярск : тип. КрасГМУ, 2015. –79 с.


Составители: Клобертанц Е.П.,
Позднякова Л.Ю.


Учебное пособие предназначено для студентов 1 курса, обучающихся по специальностям31.02.03 – Лабораторная диагностика, 33.02.01 – Фармация,34.02.01 – Сестринское дело, соответствует требованиям ФГОС СПО, рабочей программе дисциплины (2013 г.) и СТО СМК 4.2.01-11. Выпуск 3.



Рецензенты: к.п.н, преподаватель математики высшей категории ГБОУ СОШ № 495 Московского района Санкт-Петербурга Солдаева М.В.
Методист фармацевтического колледжа ГБОУ ВПО КрасГМУ им. проф. В.Ф. Войно-Ясенецкого Казакова Е.Н.








Рекомендован к изданию по решению методического совета (Протокол № 8 от «20» апреля 2015).




КрасГМУ
2015
ОГЛАВЛЕНИЕ
HYPER13 TOC \o "1-3" \h \z \u HYPER14HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990240"HYPER14ВВЕДЕНИЕ HYPER13 PAGEREF _Toc414990240 \h HYPER144HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990241"HYPER14ЗАЧЕМ ТЕБЕ ИЗУЧАТЬ МАТЕМАТИКУ? HYPER13 PAGEREF _Toc414990241 \h HYPER145HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990242"HYPER14Пределы, их свойства HYPER13 PAGEREF _Toc414990242 \h HYPER146HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990243"HYPER14Производная функции. Дифференциал и его приложение к приближенным вычислениям HYPER13 PAGEREF _Toc414990243 \h HYPER1414HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990244"HYPER14Неопределенный и определенный интегралы и их свойства HYPER13 PAGEREF _Toc414990244 \h HYPER1420HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990245"HYPER14Решение прикладных задач по разделу «Основы дифференциального и интегрального исчисления» HYPER13 PAGEREF _Toc414990245 \h HYPER1434HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990246"HYPER14Основные понятия дискретной математики. Теории вероятности. HYPER13 PAGEREF _Toc414990246 \h HYPER1441HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990247"HYPER14Математическая статистика и ее роль в медицине и здравоохранении. Медико-демографические показатели HYPER13 PAGEREF _Toc414990247 \h HYPER1452HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990248"HYPER14Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала HYPER13 PAGEREF _Toc414990248 \h HYPER1459HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990249"HYPER14Задания для самоподготовки к итоговым занятиям по дисциплине «Математика» HYPER13 PAGEREF _Toc414990249 \h HYPER1470HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990250"HYPER14ПРИЛОЖЕНИЕ 1HYPER15HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990251"HYPER14Примерные темы индивидуальных сообщений на теоретических занятиях HYPER13 PAGEREF _Toc414990251 \h HYPER1473HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990252"HYPER14ПРИЛОЖЕНИЕ 2Образец оформления титульного листа самостоятельной работы HYPER13 PAGEREF _Toc414990252 \h HYPER1474HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990253"HYPER14Глоссарий HYPER13 PAGEREF _Toc414990253 \h HYPER1475HYPER15HYPER15
HYPER13HYPERLINK \l "_Toc414990254"HYPER14РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА HYPER13 PAGEREF _Toc414990254 \h HYPER1479HYPER15HYPER15
HYPER15


ВВЕДЕНИЕ

Учебное пособие для обучающихся по дисциплине «Математика» предназначено для самоподготовки студентов к практическим занятиям.
Для подготовки к практическому занятию необходимо изучить основной теоретический материал. Краткое содержание теоретического материала представлено по каждой теме. Для более глубокого изучения темы воспользуйтесь рекомендуемым списком литературы. После изучения темы проверьте себя, ответив на вопросы для самоподготовки. С целью самоконтроля ответьте на предложенные тестовые задания в конце каждой темы.
Для углубленного изучения темы, формирования умений, в пособии предлагается выполнение обязательной внеаудиторной самостоятельной работы. Самостоятельная работа состоит из индивидуальных заданий, которые необходимо выполнить по завершению изученной темы в соответствии со своим вариантом. Задания предоставляются преподавателю не позднее, чем за неделю до зачетного занятия в письменном виде с оформленным титульным листом (Приложение 2).Задание засчитывается, как выполненное при верном решении и правильном ходе рассуждений, но допущенной одной вычислительной ошибки.
По дисциплине «Математика» предусмотренаподготовка сообщений. С тематикой сообщений можно знакомиться в приложении данного пособия (Приложение 1).
Для подготовки к контрольной работе, итоговому занятию необходимо воспользоваться разделом пособия «Задания для самоподготовки к итоговым занятиям по дисциплине «Математика»». В разделе приведены примерные варианты контрольных работ.


ЗАЧЕМ ТЕБЕ ИЗУЧАТЬ МАТЕМАТИКУ?







Математика - это фундаментальная наука, методы которой, активно применяются во многих естественных дисциплинах, таких как физика, химия биология.
Медицина и здравоохранение - тоже существует благодаря математике, которая используется, во-первых при проектировании медицинских приборов, а во-вторых, при анализе данных об эффективности того или иного лечения.
Математическое образование является средством активного интеллектуального развития человека, его мыслительных способностей (умение обобщать, анализировать, логически мыслить и рассуждать, находить закономерности).
Человек, знающий математику, и в своей профессиональной деятельности стремится строго следовать тому предписанию и набору правил, которые приводят к получению правильного результата. Поэтому одной из задач математики является высокоинтеллектуальное развитие человека, способного творчески решать поставленные задачи и адаптироваться к динамически развивающемуся обществу.

Кто с детских лет занимается математикой, тот развивает внимание, тренирует свой мозг, свою волю, воспитывает настойчивость и упорство в достижении цели.
А. Маркушевич
Пределы, их свойства

Значение темы:
Умение исследовать функции, строить графики, находить предел очень важно для дальнейшего изучения математики, а также имеет место и в медицине (построении картограмм, исследовании графиков температуры тела, базальной температуры и т.д.)
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
определение функции;
определение чётности, нечётности;
определение периодической функции;
определение возрастающей, убывающей функции;
определение предела функции;
свойства пределов функций.
уметь:
производить элементарные операции с функциями;
находить область значений, область определений функций;
строить графики функций;
находить пределы функций.
Что является графиком функции.
Определение предела функции.
Объясните нахождение предела функции на примере.

Краткое содержание темы
HYPER13 EMBED PowerPoint.Slide.12 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED PowerPoint.Slide.12 HYPER14HYPER15
1 замечательный предел



2замечательный предел



Понятие непрерывной функции
Функция y =f(x) называется непрерывной в точки, если:
1) она определена в этой точке;
2) существует предел limf(х);
3) этот предел равен значению функции в точке х0 т. е.



Пример:

Найдите предел функции в точке:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Найдите предел функции на бесконечности:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Вопросы для самоподготовки:
Дайте определение математическому понятию «функция».
Способы задания функции
Классификация функций, их графики и свойства.
Приведите примеры четных и нечетных функций, периодических, ограниченных и неограниченных, непрерывных и имеющих точки разрыва.
Дайте определение математическому понятию «предел функции».
Дайте определение непрерывной функции.
Свойства непрерывной функции.
Дайте понятие точки разрыва.

Тест для самоконтроля:
1. Нули функции – это те точки, в которых функция пересекает:
ось абсцисс
ось ординат
начало координат
2. График функции и расположение на координатной плоскости:
четная
симметрична относительна оси Х

нечетная
симметрична относительно оси У
симметрична относительно начала координат

3. График функцииHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15





a)
b)
c)
d)

4.Подпишите название графика:


5. График периодической функции:





a)
b)
c)
d)

6. График четной функции:





a)
b)
c)
d)


7. График нечетной функции:





a)
b)
c)
d)


8. График функции, ограниченной сверху и снизу:





a)
b)
c)
d)

Все значения, которые принимает независимая переменная, образуют область:
определения функции
значений функции
возрастания функции
убывания функции

Функция называется_______, если f(x-T)=f(x)=f(x+T) (T>0 для любого х):
периодической
ограниченной
возрастающей
монотонной

11.Промежуток возрастания функцииy=x2:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


12.Если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=f(x), то функция называется_________.
13.Если для любого х из области определения функции выполняется равенство f(-x)=-f(x), то функция называется_________.

14. Укажите промежуток убывания функции y=f(x), заданной графиком:
[2;3]
[0;3]
[2;4]
(-1;2)

15.Вычислите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15________

16.Область определения функцииHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
a) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15b) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15c)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15d) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
17. Вычислите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
18. Вычислите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

19. Точки разрыва функцииHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:
нет точек разрыва
x=3
x=4
x=2

20. Промежутки непрерывности функции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

21. Свойство непрерывности функции нарушается в:
точке дифференцирования
области определения
области интегрирования
точке разрыва
22.Вычислите HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15________



Ключ для самопроверки теста:
a
1b, 2c
b
парабола, гипербола, кубическая парабола, косинусоида
c
a
b
c
a
a
c
четная
нечетная
b
6
c
a
a
b
a
d
2

Самостоятельная работа
Найдите предел функции в точке

1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)HYPER13 EMBED Equation
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Найдите предел функции на бесконечности 1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
11)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
13)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
14)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
15)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
16)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
17)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Производная функции. Дифференциал и его приложениек приближенным вычислениям

Значение темы:
Понятие производной находит многочисленные применения в геометрии, физике, механике, химии, биологии и других науках.
Так как понятие производной связано с изменением за какой-то промежуток времени, то быстрота протекания физических, химических, биологических и других процессов, например, скорость охлаждения тела, скорость химических реакций, всё это также выражается при помощи производной.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
определение непрерывности и дифференцируемости функции;
приращение функции, приращение аргумента;
определение производной ее геометрический и механический смысл;
таблицу производных;
определение дифференциала.
уметь:
находить производные элементарных и сложных функций;
вычислять дифференциалы функции;
применение дифференциала к приближённым вычислениям.

Краткое содержание темы:
Опр: Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции
·f(x0)=f(x0+
·x)-f(x0) в точке х0 к приращению аргумента
·х=х-х0, когда последнее стремится к нулю:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Опр: Операция нахождения производной называется дифференцированием.












Производные простейших элементарных функций
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

(ax)’=axlna,
в частности (ех)’= ех
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
в частности HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

(sinx)’=cosx
(cosx)’= - sinx

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Опр: Дифференциалом функции в некоторой точке x называется главная, линейная часть приращения функции.
Дифференциал функции y = f(x) равен произведению её производной на приращение независимой переменной x (аргумента).
Это записывается так:или

Пример:
Найти производную функции:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, воспользуемся правилом дифференцирования частного: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
приводим подобные HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2.Найти производную сложной функции:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, воспользуемся правилом y’=f’(g(x))g’(x)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




Вопросы для самоподготовки:
Дайте определение производной.
Назовите производные элементарных и сложных функций.
Сформулируйте правила вычисления производных суммы, произведения, частного.
Дайте определение дифференциала функции.
Дифференциал функции в некоторой точке х0 равен нулю при любом приращении аргумента. Что означает это геометрически?
Для какой функции её дифференциал совпадает с ее приращением?

Тест для самоконтроля:
Функция и её производная:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Производная функции у=(x-3)·cos x равна...
y'=cosx+(x-3)sinx
y'=(x-3)sinx-cosx
y'=cosx-(x-3)sinx
y'=-sinx

Дифференцирование –это:
процесс вычисления производной
свойство производной
условие вычисления предела
процесс вычисления определенного интеграла
процесс вычисления неопределенного интеграла
свойство тригонометрической функции

Соответствие производных:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Найдите значение y’(2), если y=2x3:
24
16
12
10
18
20

Соответствие производных:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Соответствие производных:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 равно:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15равно:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15равно:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Ключ для самопроверки теста:
1b, 2f, 3c, 4a
c
a
1b, 2a, 3c, 4e, 5d
a
1b, 2a, 3d, 4f, 5e, 6c
1b, 2a, 3d, 4c, 5f, 6e
a
c
b

Самостоятельная работа:
Найдите производную функции 1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
2.Найдите производную сложной функции 1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
11)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
13)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
14)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
16)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
17)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Неопределенный и определенный интегралы и их свойства
Значение темы:
В дифференциальном исчислении мы решали задачу нахождения производной или дифференциала заданной функции. В математике и её приложениях часто приходится решать обратную задачу: по заданной производной находить новую функцию, производная которой равна заданной функции.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
определение первообразной функции;
определение неопределенного интеграла;
свойства неопределенного интеграла;
таблицу неопределенных интегралов;
методы интегрирования;
формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенных интегралов;
методы вычисления определенных интегралов.
уметь:
находить неопределенный интеграл различными методами;
применять формулу Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла.
Краткое содержание темы:
Опр: Процесс обратный процессу дифференцирования называется интегрированием.
Опр: Функция y=F(x) называют первообразной функции y=f(x) , если для всех х из области определения функции F’(x)=f(x).
Опр: Совокупность первообразных F(x)+C для данной функции f(x) называют неопределенным интегралом от функции f(x):HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Свойства интегралов
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15






Интегралы некоторых элементарных функций.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (
·
·-1)

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Опр: Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x) равен приращению первообразной y=F(x) для этой функции на указанном промежутке:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (Формула Ньютона – Лейбница)
Свойства определенного интеграла:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15























Методы решения определенного интеграла
1.Замена переменных интегрирования в определенных интегралах
Определенный интеграл HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 может быть вычислен с помощью введения новой переменной, если выполнены следующие условия:
Функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b]
Отрезок [a,b] является множеством значений функции x=
· (t), определенной на отрезке [a,b] и имеющей на нём непрерывную производную

·(
·)=a,
·(
·)=b Тогда справедлива формула:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2.Интегрирование по частям
Если функция u и v имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то для определенного интеграла справедлива формула интегрирования по частям
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Вопросы для самоподготовки:
Дайте понятие первообразной.
Формула вычисления неопределённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Что она позволяет вычислять?
В чем состоит геометрический смысл определенного интеграла.
Чему равны интегралы элементарных функций?

Тест для самоконтроля:
1. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x-x2, y=0
5/3
4/3
20/3
1

2.Процесс, обратный дифференцированию, называется ...

3.Соответствие первообразных:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



4. Соответствие первообразных:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ смысл определенного интеграла состоит в нахождении__________
скорости протекания химической реакции
площади криволинейной трапеции
экстремумов функции
приближенного вычисления
Ключ для самопроверки теста:
b
интегрирование
1b, 2a, 3f, 4e, 5d, 6c
1c, 2a, 3e, 4b, 5d
a
e
a
b
Самостоятельная работа:
Вычислить интеграл способом непосредственного интегрирования

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Вычислить интеграл подстановкой HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Вычислить определенный интеграл
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
Значение темы:
Дифференциальные уравнения используются при изучении явлений и процессов в физике, химии, биологии, фармации, астрофизике, кибернетике, социологии и других областях знаний. Сформулировав задачу на языке дифференциальных уравнений, специалист в любой области знаний получает в руки готовый аппарат для численного решения задачи, изучение качественных особенностей этого решения.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
таблицу неопределённых интегралов;
методы интегрирования;
определение дифференциального уравнения.
уметь:
находить неопределённые интегралы
составлять и решать дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными, линейные дифференциальные уравнения первого порядка.

Краткое содержание темы:
Опр.: Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями. Опр.: Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением I-го порядка. Опр.: Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной неизвестной функции, входящей в это уравнение. Опр.: Решением дифференциального уравнения называют любую функцию при подстановке, которой в это уравнение получается тождество. Простейшим уравнением первого порядка является уравнение: У’=f (x)
Решением этого уравнения будет: У=
·f(х)dx=F(x)+C – это общее решение.
Геометрически общее решение представляет собой семейство интегральных кривых, т.е. совокупность линий, соответствующих различным значениям постоянной С.
Опр.: График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой этого уравнения.


















Пример:
Найти общее решение дифференциального уравненияHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решение: Уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Решением данного уравнения является функция:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Поэтому, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Найти частное решение дифференциального уравненияHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,при y(1)=2:
Решение: Уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Решается данное уравнение по шагам:
разделяем переменные HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
интегрируем обе части равенства HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
находим первообразныеHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
выражаем функцию у через хHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15- общее решение дифференциального уравнения.
Найдем частное решение при y(1)=2: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Решая полученное уравнение, получаем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тогда частным решением дифференциального уравнения является функцияHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Составление и применение дифференциальных уравнений
Закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15где k-постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает.
Закон размножения бактерий с течением времени: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где k – коэффициент пропорциональности.
Закон роста клеток с течением времени: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,где
·,
· – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада.
Закон разрушения клеток в звуковом поле:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где N – концентрация клеток; t –время; R– постоянная.

Пример:
Задача: Определить во сколько раз увеличится количество бактерий за 9 часов, если в течение 3 часов их количество изменилось от 100 до 200.
Решение: Как уже было сказано выше, скорость размножения бактерий, если для них имеется достаточный запас пищи и созданы другие необходимые внешние условия (например, отсутствие подавления бактерий другими видами), пропорциональна их количеству.
Пусть х – количество бактерий в данный момент, тогда скорость изменения их количества равна производнойdx/dt. Так как скорость размножения бактерий пропорциональна их количеству, то существует k, что dx/dt=kx. Разделяем в дифференциальном уравнении переменные:dx/x=kdt. Интегрируя, получаем:(dx/x=(kdt.Решаем: lnx=kt+lnC,
что после потенцирования дает: x=Cekt
Для нахождения С используем начальное условие: при t=0, х=100. Имеем: Се=100, С=100, и, значит, х=100ekt . Коэффициент находим из условия: приt=3, х=200: 200=100ek3, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Искомая функция: x=100*2t/3. При t=9, х=800.
Ответ: количество бактерий за 9 часов увеличится в 8 раз.
Решите задачу:
Скорость растворения таблеток пропорциональна количеству лекарственного вещества в таблетке. За 30 минут растворилось 60% таблетки дигитоксина. Сколько растворится за 1 час?

Ответ:84% таблетки дигитоксина.

Вопросы для самоподготовки:
Дайте определение дифференциального уравнения, дифференциального уравнения первого порядка.
Что называется порядком дифференциального уравнения?
Что называется решением дифференциального уравнения?
Что называется графиком решения дифференциального уравнения?
Какой вид имеют простейшие дифференциальные уравнения? Способ их решения.
Какой вид имеют дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными? Способ их решения.
Какой вид имеют линейные дифференциальные уравнения? Способ их решения.
Может ли дифференциальное уравнение y’=f(x) иметь конечное число решений?
Могут ли интегральные кривые дифференциального уравнения y’=f(x) пересекаться?

Тест для самоконтроля:
1.Дифференциальное уравнениеHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в результате разделения переменных сводится к уравнению:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
2.Общее решение дифференциального уравнения y''-5y'+6y=0 имеет вид
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
3.Дифференциальным уравнением в частных производных является:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
4.Уравнения первого порядка:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5.Вид уравнения y’
·lnx=y:
обыкновенное;
с разделяющимися переменными;
линейное однородное;
линейное неоднородное.



6.Скорость роста бактерий пропорциональна размеру популяции. Уравнение, описывающее данный процесс:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
7.Скорость распада радиоактивного вещества прямо пропорциональна числу нераспавшихся ядер. Уравнение, описывающее процесс:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
8.Вид уравнения
y’-5=x2-4x
с разделяющими переменными

y’=x2
·y
обыкновенное

y’+x2lny=2x+1
линейное однородное

y’+x2lny=0
линейное неоднородное

9.Решение уравнения y’=5x:
y=5;
y=5x2+C;
y=5+C;
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
10.Количество решений дифференциального уравнения:
одно;
не более двух;
бесконечно много;
ни одного.

Ключ для самопроверки теста:
1
1
1
1, 4
2
1
2
1b, 2a, 3d, 4c
4
3


Самостоятельная работа:

Найти общее решение дифференциального уравнения
HYPER13
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Найти частное решение дифференциального уравнения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,y(2)=0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,y(1)=2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,y(0)=2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,y(e)=1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,y(2)=3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,y(2)=1
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Решение прикладных задач по разделу «Основы дифференциального и интегрального исчисления»
Значение темы:
Дифференциальное и интегральное исчисления широко используются в медицине для описания различных процессов протекающих, как в отдельно взятом организме, так и в целой системе.
Производная может описывать скорость какого-либо стационарного процесса. С помощью интеграла можно вычислить площадь или объем той или иной области, а так же длину кривой. Дифференциальные уравнения помогают описать различные процессы в динамике.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
геометрический и физический смысл производных;
приближенное вычисление функций с помощью дифференциала;
вычисление площадей плоских фигур и длины дуги с помощью определенного интеграла;
вычисление объемов тел;
уметь:
решать прикладные задачи на применение производных и интегралов.

Краткое содержание темы:
Геометрический смысл производной

Значение производной функции y=f(x) в точке х=x0 равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y=f(x) в точке х= x0.

Уравнение касательной:



Физический смысл производной
Понятие производной возникло как математическое описание скорости движения, поэтому важнейшим приложением производной является вычисление скорости.
Если s=s(t) -закон прямолинейного движения,
то s’(t)=v скорость движения в момент времени t
s’’(t) =v'(t)=а – ускорение.
- Физический смысл производной состоит в нахождении скорости протекания процесса, описываемого зависимостью y=f(x).



Геометрический смысл дифференциала

Дифференциал функции y=f(x) равен приращению ординаты касательной S, проведённой к графику этой функции в точке M(x; y), при изменении x (аргумента) на величину .



Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Приближенное равенствоHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 илиHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, позволяет использовать дифференциал для приближенных вычислений значений функции.
Запишем приближенное равенство более подробно. Так какHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, а HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, то HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15или




Исследование функции на монотонность
Т1:Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(х) ( 0, то функция y=f(x) возрастает на промежутке X.
Т2: Если во всех точках открытого промежутка Х выполняется неравенство f’(х) ( 0, то функция y=f(x) убывает на промежутке X.
Если функция f непрерывна в точке х0, и производная меняет свой знак с f’(x)>0 на f’ (x)<0, то точка х0 является точкой максимума.
Если функция f непрерывна в точке х0, и производная меняет свой знак с f’(x)<0 на f’ (x)>0, то точка х0 является точкой минимума.



Применение определенного интеграла

1.Вычисление площадей плоских фигур
Определённый интеграл от неотрицательной непрерывной функции y=f(x) есть площадь соответствующей криволинейной трапеции. В этом заключается геометрический смысл определённого интеграла, на этом основано его применение к вычислению площадей плоских фигур.
Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции y=f(x)(f(x)
·0), двумя прямыми x=a и x=b и осью Ox, или площадь криволинейной трапеции, ограниченной дугой графика функции y=f(x),a
·x
·b вычисляется по формуле:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y=f1(x) и y=f2(x),f1(x)
·f2(x) и двумя прямыми x=a, x=b , определяется по формуле:

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2.Вычисление длины дуги кривой:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3.Вычисление объёма тела вращения:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Пример:
1.Составьте уравнение касательной к графику функции HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке с абсциссой х0=1.
Решение:
y=f(x0)+f’(x0)(x-x0) – уравнение касательной.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15. Подставляем в уравнение полученные числовые значения: y=-2+4(x-1).
Ответ: y=4x-6


2.Пусть численность популяции бактерий описывается функцией Р(t)=3000+100t2, где t -время, измеряемое в часах. Определить скорость роста популяции и ее значение через 5 часов.
Решение:
Исходя из того s’(t)=v. Находим скорость Р’(t)=200t. Далее находим скорость в момент времени t=5 ч. Р’(5)=1000.
Ответ: 1000 бактерий.

3.Вычислите приближенно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение:
Введем функциюHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, х=8,12, возьмем  числоx0, наиболее близкое к 8,12, но такое, чтобы HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 легко вычислялся: х0=8.
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.

4.Найдите интервалы монотонности и точки экстремумы функции f(х) =x3
· 6x2 + 9x + 2 = 0.
Решение:
Кубическая функция определена и дифференцируема на всей числовой прямой. Ее производная выражается формулой f’(х)=3x2
· 12x+ 9. Приравнивая производную нулю, определим промежутки монотонности функции: f’(х)=0,  3x2
· 12x+ 9=0  , x2
· 4x+ 3=0, x1=1, x2=3.
Изобразим на числовой прямой найденные точки и определим знак производной:



Ответ: Функция f(x)возрастает на промежутке (-
·;1)
·(3;
·), убывает на (1;3). Точки экстремумы: xmax=1, xmin=3.

Вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: у=-х2+х+12, х=-2, х=3, у=0.
Решение:
у=-х2+х+12 – парабола, «ветви» направлены вниз, пересекает ось Х в точках
х= -3 и х=4.
Данная плоская фигура представляет собой криволинейную трапецию, поэтому её площадь вычисляется по формуле:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Ответ:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Вопросы для самоподготовки:
Дать понятие производной, первообразной.
Раскройте геометрический и физический смысл производной.
Раскройте геометрический смысл определенного интеграла.
Геометрический смысл дифференциала и его применение к приближенным вычислениям.
Приложение производной к исследованию функций.
Что следует понимать: 1) под средней скоростью повышения уровня воды за данный промежуток времени; 2) под скоростью повышения уровня воды в некоторый момент времени; 3) под средней скоростью охлаждения тела за данный промежуток времени; 4) под скоростью охлаждения тела в некоторый момент времени?
Функция возрастает на некотором интервале. Следует ли отсюда, что её производная положительна на этом интервале?
Производная функции в точке х0 равна нулю. Следует ли отсюда, что х0 – точка экстремума этой функции?
Пусть х0-точка экстремума функции. Следует ли отсюда, что производная функции в этой точке равна нулю?
Может ли возрастающая функция иметь: 1) точки экстремума; 2) точки перегиба?
Сколько экстремумов может иметь периодическая функция?
Какое наибольшее число точек экстремума и точек перегиба может иметь многочлен 10-й степени?

Самостоятельная работа:
1.Решите задачу
Четные варианты
Нечетные варианты

Концентрация раствора изменяется с течением времени по законуHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 Найти скорость растворения в момент времени 10 мин.
Зависимость между количеством вещества Q, полученной в некоторой химической реакции, и временем tвыражается уравнением Q=100t+10e-2t.
Определите первоначальное количество вещества.


2.Составьте уравнение касательной к графику функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке с абсциссой х0=2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке с абсциссой х0=-3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке с абсциссой х0=0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке пересечения ее с осью y.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке пересечения ее с осью х.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке пересечения ее с осью y.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=5.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=1.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=0.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=3.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=2.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке х0=3.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в точке пересечения ее с осью y.

3.Вычислите приближенно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

4.Найдите интервалы монотонности и точки экстремумы функции

HYPER13 EMBED
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
5.Найдите площадь фигуры, ограниченной следующими линиями
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , y=9, осью ординат.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , осью абсцисс.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, прямыми х= - 1, х=3 и осью абсцисс.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, прямыми х= - 2, х=-1 и осью абсцисс.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, прямой х=2 и осью абсцисс.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в пределах от 0 до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15и осью ОХ.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, y=0, x=e
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в пределах от 0 до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15и осью ОХ.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,прямой х=2 и осями координат.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15,прямой х= -2 и осями координат.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, прямой х= 2 и осями координат.
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, прямыми y=0, х= -1, х= -2
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, y=0
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, y=0, x=0, x= -3
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, y=0, x=e
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 в пределах от 0 до HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15и осью ОХ
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, y=0


Основные понятия дискретной математики. Теории вероятности.
Значение темы:
Теория вероятностей, начав свой путь с анализа ситуаций, возникающих в азартных играх, превратилась в науку, без помощи которой сейчас не обходится ни физика, ни астрономия, ни экономика, ни лингвистика, ни медицина.
Более того, в последнее время теория вероятностей стала основой развития многих новых научных направлений, таких как математическая статистика, медицинская статистика, теория информации, теория массового обслуживания.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
основные понятия комбинаторики: размещения, перестановки, сочетания и их формулы;
понятие случайного события, частоты случайного события, достоверности, равносильности, противоположности события;
закон больших чисел;
определение вероятности события;
основные теоремы и формулы теории вероятности;
определение математического ожидания и дисперсии случайной величины.
уметь:
находить число размещений, перестановки, сочетания.
находить сумму (объединение), произведение (пересечение) событий, вероятность событий;
применять основные теоремы и формулы при нахождении вероятности события, математического ожидания и дисперсии случайной величины.

Краткое содержание темы
Комбинаторикой называется область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.
Определение 1. Отличающиеся друг от друга порядком наборы, составленные из всех элементов данного конечного множества, называются перестановками этого множества.
Пример 1. Множество, состоящее из трех элементов {1,2,3}, имеет следующие перестановки: (1,2,3), (1,3,2), (2,3,1), (2,1,3), (3,2,1), (3,1,2). Число всех перестановок множества из n элементов обозначается Рn.
Теорема 1. (о числе перестановок). Число перестановок Рn определяется по формуле:
Рn = n!, где n! = 1 2 3 ... n.
Задача 1.Сколькими различными маршрутами можно навестить больного по 5 адресам?
Решение: Занумеруем адреса цифрами от 1 до 5. Каждому маршруту можно сопоставить один из наборов, состоящих из этих пяти цифр, например, (2,5,3,4,1). Такой набор означает, что сначала выбирается второй адрес, затем пятый, третий, четвертый и первый. Всего различных маршрутов, т. е. отличающихся порядком наборов пяти цифр будет 5! = 120.

Определение 2.Упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранных из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k.
Размещения могут отличаться друг от друга как элементами, так и порядком.
Пример 2. Различными размещениями множества из трех элементов {1,2,3} по два будут наборы (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3), (3,2).
Число всех размещений из n элементов по k обозначается HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
При k = п число размещений совпадает с числом перестановок.
Теорема 2 (о числе размещений). Число размещений из n элементов по k определяется по формуле
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Задача 2.Студентам надо сдать 4 экзамена за 8 дней. Сколькими способами можно составить расписание сдачи экзаменов
Решение: Занумеруем дни сдачи экзаменов цифрами 1,2,.. .,8. Составлять различные расписания можно следующим образом. Сначала выберем дни для сдачи экзаменов, например, (2,4,5,7), а затем порядок сдачи экзаменов. Таким образом, нужно составить различные наборы четырех чисел из восьми, которые отличаются друг от друга не только элементами, но и порядком. Таких наборов 4: 8*7*6*5 = 1680.

Определение 3. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из данных п элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Сочетания отличаются друг от друга только элементами.
Пример 3.Для множества {1,2,3} сочетаниями по 2 элемента являются {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.Число всех сочетаний из п элементов по k обозначается HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Теорема 3 (о числе сочетаний). Число сочетаний из nэлементов по k определяется по формуле
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Задача 3. В хоккейном турнире участвуют 6 команд. Каждая команда должна сыграть с каждой одну игру. Сколько игр сыграно в турнире?
Решение:Различные пары команд образуют сочетания из 6 по 2, поскольку порядок среди двух команд, играющих в одной игре, нам безразличен. Следовательно, число игр будет равно HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вероятность события А: Р (А)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где m – число благоприятных исходов, n – число всех исходов.

Законом распределения дискретной случайной величины, называюттаблицу:

Х
X1
X2

Xn

P
P1
P2

Pn


где X – величина распределения, Р – вероятность.

Числовые характеристики случайной величины

1.Математическое ожидание
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Физический смысл математического ожидания можно продемонстрировать рядом примеров. Так, при многократных измерениях некоторой величины в одних и тех же условиях (при отсутствии математических погрешностей) математическое ожидание можно рассматривать как «истинное» значение этой величины. При наблюдении колебаний массы отдельных таблеток, изготовленных на фармацевтическом заводе, математическое ожидание имеет смысл массы, на которую настроена таблеточная машина.

2.Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) дискретной величины называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3.Среднее квадратическое отклонение
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Большое значение среднеквадратического отклонения показывает большой разброс значений в представленном множестве со средней величиной множества; маленькое значение, соответственно, показывает, что значения в множестве сгруппированы вокруг среднего значения.

Вопросы для самоподготовки:
Дайте определение комбинаторным задачам.
Формулы размещения, перестановки, сочетания. Объяснить на примерах.
Какое событие называется случайным.
Назовите виды событий.
Чему равна частота (вероятность) случайного события. Свойства вероятности.
Какие числовые характеристики случайной величины вы знаете? В чем состоит их смысл?
Запишите формулы нахождения числовых характеристик случайной величины.
Что понимается под законом больших чисел. Приведите пример использования закона больших чисел.

Тест для самоконтроля:
1.Множества, из n элементов по m элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом, называются:
перестановки
размещения
сочетания
соединения

2.Множества, состоящие из одних и тех же n различных элементов, которые отличаются только порядком расположения, называются:
перестановки
размещения
сочетания
соединения

3.Множества, из n различных элементов по m, которые отличаются составом или порядком элементов, называются:
перестановки
размещения
сочетания
соединения


4. 4! равен:
4
10
24
1

5.События "герб на одной монете" и "решка на второй" при подбрасывании двух монет являются:
независимые
зависимые
совместными
несовместными

6.Событие, которое может либо произойти, либо не произойти называется:
достоверное
случайное
невозможное
невероятное

7.События, при которых появление одного из исходов не исключает появление другого в одном и том же испытании, называются _________.

8.События, исход одного из которых равносилен не появлению другого, называются _______.

9.Подбрасываются две монеты.вероятность того, что на обеих выпадет "орел", равна:
0,5
0,25
0,75
1

10.Классическое определение вероятности доказывает:
вероятность невозможного события
0
вероятность достоверного события
P>1

вероятность случайного события
Р=0


Р=1

11.Могут ли два, какие либо события быть независимыми и несовместными одновременно:
не могут ни при каких условиях
могут, если у них нет общих элементов
могут, таковыми являются достоверное и невозможное событие


12.На прямоугольнике задана геометрическая вероятность. Весь прямоугольник – достоверное событие U. Круги – другие события. Наибольшую вероятность имеет событие:
В+С
D
А
U

13. События:
случайное
извлечение из урны белого шара, если в ней находится 2 синих и 4 красных шара

достоверное
выигрыш по одному лотерейному билету

невозможное
выпадение не более шести очков на верхней грани игрального кубика


14.Несовместные события:
наудачу выбранное натуральное число от 1 до 100 включительно: делится на 10, делится на 11
нарушение в работе: первого, второго мотора летящего самолета
выигрыш, проигрыш в шахматной партии
наудачу выбранное натуральное число от 1 до 25 включительно является: четным, кратным трем

15.Раздел науки, изучающей закономерности случайных событий, называется:
теория вероятности
теория пределов
алгебра и начала анализа
аналитическая геометрия

16. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины Х имеет вид:
Тогда вероятность p2равна:
0,3
0,7
0
0,5

17. Математическое ожидание дискретной случайной величины, заданной законом распределения, равно:
15
5
1
5,9

18. По цели произведено 10 выстрелов, зарегистрировано 7 попаданий, тогда относительная частота попадания в цель равна:
0,7
0,5
0,35
0,3

19. Математическое ожидание квадрата случайной величины, заданной законом распределения,
равно М(Х2)=2,3, тогда дисперсия равна:
0,7
2
1,81
1,7

20.События А и В независимы, если выполняется равенство:
Р(АВ) = 0
Р(А/В) = Р(А)
Р(АВ) = Р(А) * Р(В)
Р(А+В) = Р(А) + Р(В)

Ключ для самопроверки теста:

с
a
b
c
c
b
совместимые
противоположные
b
1c, 2d, 3a
a
d
1b, 2c, 3a
a, c
a
a
d
a
c
c


Самостоятельная работа:
Вычислите 1)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
2)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
3)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
4)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
5)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
6)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
7)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
8)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
9)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
10)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
11)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
12)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
13)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
14) HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
15)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
16)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
17)HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Имеются n пробирок с различными штаммами бактерий. Для эксперимента необходимо отобрать m пробирки. Сколькими способами это можно сделать?

№ варианта
n
m
№ варианта
n
m

1
5
3
10
11
5

2
10
4
11
16
8

3
12
5
12
8
3

4
6
4
13
5
2

5
8
3
14
9
5

6
14
8
15
7
4

7
9
3
16
10
6

8
7
5
17
6
3

9
4
2





Вероятность хотя бы одного вызова врача в течении часа р. Найти вероятность того, что в течении часа не последует вызова.

№ варианта
p
№ варианта
p

1
0,5
10
0,65

2
0,1
11
0,6

3
0,25
12
0,48

4
0,6
13
0,35

5
0,8
14
0,29

6
0,45
15
0,57

7
0,9
16
0,76

8
0,7
17
0,55

9
0,4





Решите задачи

Четный вариант
Нечетный вариант

Больной принимает k лекарств. Последовательность приема лекарств существенно влияет на результат лечения. Сколько имеется способов приема лекарств.
Главный врач больницы ежедневно просматривает отчеты о выписке и поступлении из m отделений. Сколько существует способов их просмотра, если порядок просмотра случаен.


k

k

m

m

2
6
10
5
1
5
9
10

4
2
12
7
3
7
11
3

6
4
14
8
5
6
13
8

8
3
16
9
7
4
15
2







17
9



Найдите:
вероятности pi;
математическое ожидание;
дисперсию;
среднее квадратическое отклонение;
постройте полигон распределения.

Случайная величина Х задана законом распределения:

1)
хi
1
2
3


mi
7
1
2


pi





2)
хi
-1
0
1


mi
3
4
3


pi





3)
хi
10
11
12


mi
2
4
6


pi





4)
хi
2
3
5


mi
1
6
3


pi






5)
хi
1,5
3
4,5


mi
3
4
3


pi





6)
хi
20
21
22


mi
10
15
25


pi





7)
хi
-1
0
1


mi
3
5
2


pi





8)
хi
2
4
6


mi
10
15
20


pi





9)
хi
-2
0
2


mi
5
7
9


pi





10)
хi
1
2
3


mi
25
40
35


pi





11)
хi
1
2
3


mi
5
3,5
1,5


pi





12)
хi
2
4
6


mi
1
2
3


pi





13)
хi
15
16
17


mi
3
3
4


pi





14)
хi
10
15
20


mi
12
10
8


pi







15)
хi
2
3
4


mi
7
1
2


pi





16)
хi
10
15
20


mi
12
10
8


pi





17)
хi
-3
0
3


mi
4
2
4


pi








Математическая статистика и ее роль в медицине и здравоохранении. Медико-демографические показатели
Значение темы:
В медицинской практике, и особенно в медицинских исследованиях часто применяются различные методы анализа и обработки данных.
Математика, в частности статистика, широко используется в медицине. Математические методы позволяют объективно оценивать количественные результаты исследований.
Первой и важной необходимостью при анализе данных является корректность и грамотность применения статистических методов, что требует основательной подготовки в данной области знаний.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
определение статистики;
задачи статистики;
понятие статистической совокупности, единицы измерения, учетные признаки;
этапы статистического исследования, их характеристику.
уметь:
различать структурные элементы статистической совокупности;
шифровать учетные признаки;
составлять различные виды таблиц и строить диаграммы.
Практическое применение статистических показателей для вычисления показателей здоровья населения и деятельности ЛПУ.

Краткое содержание темы

Вычисление среднего
- для взвешенного ряда распределения
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, где хn – случайная величина, mn – количество случайной величины хn, n – количество всех опытов, человек, участвующих в опыте.
- для простого ряда распределения HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Вычисление относительного показателя
Относительные величиныв статистике представляют частное от деления двух статистических величин, и характеризует количественное соотношение между ними, выражается либа в форме коэффициента, либо в процентах.

(признак/сравниваемый признак)*100

Проведение статистического исследования и обработка полученного результата в программе MicrosoftExcel
Этапы статистического исследования
Составление программы и плана исследования.
Цель, объект, место, способы сбора информации, время.
Сбор материала.
Статистическая обработка данных.
Анализ полученных данных.
Анализ, сравнение
Выводы.
Прогнозы.

Характеристика пакета Microsoft Excel
Пакет Excel оснащен средствами статистической обработки данных. И хотя Excel существенно уступает специализированным статистическим пакетам обработки данных, тем не менее, этот раздел математики представлен в Excel наиболее полно. В него включены основные, наиболее часто используемые статистические процедуры: средства описательной статистики, критерии различия, корреляционные и другие методы, позволяющие проводить необходимый статистический анализ экономических, психологических, педагогических и медико-биологических типов данных.
Каждая единица информации занимает свою собственную ячейку (клетку) в создаваемой рабочей таблице. В каждой рабочей таблице 256 столбцов (из которых в новой рабочей таблице на экране видны, как правило, только первые 10 или 11 (от А до J или К) и 65 536 строк (из которых обычно видны только первые 15-20). Каждая новая рабочая книга содержит три чистых листа рабочих таблиц.
Вся помещаемая в электронную таблицу информация хранится в отдельных клетках рабочей таблицы. Но ввести информацию можно только в текущую клетку. С помощью адреса в строке формул и табличного курсора Excel указывает, какая из клеток рабочей таблицы является текущей. В основе системы адресации клеток рабочей таблицы лежит комбинация буквы (или букв) столбца и номера строки, например A2, B12.
При рассмотрении применения методов обработки статистических данных в данной лабораторной работе ограничимся только простейшими и наиболее часто описательными статистиками, реализованными в мастере функций Excel.


Использование специальных функций
В мастере функций Excel имеется ряд специальных функций, предназначенных для вычисления выборочных характеристик.
Функция СРЗНАЧ вычисляет среднее арифметическое из нескольких массивов (аргументов) чисел. Аргументы число1, число2, ... это от 1 до 30 массивов для которых вычисляется среднее.
Функция ДИСП позволяет оценить дисперсию по выборочным данным.
Функция СТАНДОТКЛОН вычисляет стандартное отклонение.

Пример выполненной работы в Microsoft Excel

Алгоритм построение диаграмм в Microsoft Excel
1 Этап. Ввод данных. Прежде чем строить диаграмму, необходимо ввести данные в таблицу Excel.
2 Этап. Создание диаграммы: Вкладка Вставка – поле Диаграмма – выбрать нужный вид диаграммы.

Технология создания диаграмм
Выделите введенные данные и выберите вкладку ВСТАВКА поле Диаграммы:

На данном поле выберите нужный вид диаграммы.

Редактирование диаграммы
Для редактирования диаграммы воспользуйтесь вкладками КОНСТРУКТОР:


и МАКЕТ:


Форматирование диаграммы
Для форматирования диаграммы воспользуйтесь вкладкой ФОРМАТ



Вопросы для самоподготовки:
Приведите примеры, отвечая на вопросы:
Дайте понятие математической статистике.
Что составляет предмет математической статистики.
Дайте понятие санитарной статистики.
Что исследует санитарная статистика.
Объект исследования санитарной статистики.
Дайте определение статистической совокупности, единицы совокупности.
Дайте определение генеральной совокупности, выборке.
Дайте определение ряда распределения. Каково его графическое изображение.
Дайте определение генеральной и выборочной совокупности.
Какие величины примеряются в статистике?
Дайте характеристику интенсивного и экстенсивного показателя.
Назовите и охарактеризуйте этапы статистического исследования, выделяя специфический метод на каждом этапе.

Тестдля самопроверки:
1.Варианта, которая чаще других встречается в вариационном ряду ________
2.Статистическая работа среднего медицинского персонала проводится:
самостоятельно
как самостоятельно, так и под руководством врача
под руководством врача
не проводится
3.Признак – это:
объект статистического исследования
характеристика статистической совокупности
свойство, проявлением которого один предмет отличается от другого
оценка объекта

4.К количественным признакам относятся:
рост
пол
масса
исход заболевания
5.К качественным признакам относятся:
рост
масса
пол
исход заболевания
6.Цифровое значение отдельного признака – это:
частота
единица наблюдения
варианта
гистограмма
7.Основной вид статистической совокупности:
общая
генеральная
репрезентативна
частная
8.Выборочная совокупность – это:
группа, состоящая из относительно однородных элементов, взятых в единых границах времени и пространства
часть генеральной совокупности, отобранная специальными методами и предназначенная для ее характеристики
совокупность, состоящая из всех единиц наблюдения
9.Величина, занимающая серединное положение в вариационном ряду называется_________.
10. Абсолютные статистические показатели выражаются в:
процентах
коэффициентах
именованных числах
промилле


Ключ для самопроверки теста:

мода
b
b
a, c
c, d
c
b
b
медиана
с
Самостоятельная работа:
1.Ответьте письменно на вопросы.
Каким способом проводят перепись населения в России. (ответ пометьте знаком ()
Анкетный
Метод саморегистрации
Экспедиционный (анкеты заполняют специально подготовленные экспедиторы)
Каким способом регистрируются статистические сведения и как организован сбор данных при учете естественного движения населения (рождаемость, смертность)

2. Проведите исследование согласно этапам статистического исследования(работа выполняется в паре).
Работу оформите в письменном виде.
Обработайте полученные результаты в программе Microsoft Excel с помощью статистических функций, постройте графики.Работу предоставьте в электронном виде.
Сравните полученные результаты в первом и втором случае.

Задания по вариантам:
Вариант1, 9
Соберите данные о росте вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: юноши и девушки. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант 2, 10
Соберите данные о частоте пульса вашей подгруппы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: систематически курящие и не курящие. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант 3, 11
Соберите данные о весе вашей подгруппы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: проживающие в общежитии и не проживающие в общежитии. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант 4, 12, 17
Соберите данные о росте вашей подгруппы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: проживающие в общежитии и не проживающие в общежитии. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант 5, 13
Соберите данные о курящих студентах вашей подгруппы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: юноши и девушки. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант6, 14
Соберите данные о пропущенных занятиях по математике студентов вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: сдавшие контрольную работу и не сдавшие контрольную работу. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант 7, 15
Соберите данные о весе студентов вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: каждый день питающиеся в столовой и редко питающиеся в столовой. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.

Вариант 8, 16
Соберите данные о росте студентов вашей группы. Занесите данные в таблицу, разбив их на две группы: каждый день питающиеся в столовой и редко питающиеся в столовой. Для каждой группы найдите выборочную среднюю, среднее квадратическое отклонение и ошибку выборочной средней. Сравните результаты, сделайте выводы, постройте столбиковую диаграмму.
Применение математических методов в профессиональной деятельности среднего медицинского персонала

Значение темы:
Темой занятия являются проценты и пропорции. Применение процентов многообразно. Во многих областях науки части величин принято выражать в процентах, в том числе и в медицине.
На основе теоретических знаний и практических умений обучающийся должен:
знать:
определение процента;
меры объёма;
концентрацию растворов;
понятие пропорций.
уметь:
составлять и решать пропорции;
рассчитывать концентрацию раствора;
получать нужную концентрацию раствора.

Краткое содержание темы
Концентрация - это величина, показывающая содержание данного вещества в определенном количестве растворителя.
Меры объёма:m=V*p, где m - масса, V- объём, p - плотность
Капли дистиллированной воды: 20 капель – 1мл. вес капли – 5 сантиграмм.
Объём:столовая ложка – 15 мл., десертная ложка – 10 мл., чайная ложка – 5 мл.
Жизненная ёмкость лёгких: ЖЁЛ=Vдых.+Рез.Vвдоха+Рез.Vвыдоха
(В среднем 3500=500+1500+1500)
ЖЁЛ –максимальный объём воздуха, который можно выдохнуть после самого глубокого вдоха, составляет у женщин = 2700 ml, у мужчин=3500 ml
У спортсменов при физической тренировке увеличивается до 7500 ml
Измерительный прибор – спирометр.Сейчас в современной медицине применяется прибор – пикфлоуметр (пикфлоу – с англ. максимальный поток воздуха.)


Метрическая система единиц
В медицине используются три основные метрические единицы:

Метр – мера длины
Производная единица
Значение

Дециметр (дм)
0,1 м

Сантиметр (см)
0,01 м

Миллиметр (мм)
0,001 м

Микрометр (мкм)
0,00001 м

Грамм – основная единица массы
Производная единица
Значение

Микрограмм (мкг)
0,000001 г

Миллиграмм (мг)
0,001 г

Сантиграмм (сг)
0,01 г

Дециграмм (дг)
0,1 г

Декаграмм (даг)
10 г

Гектограмм (гг)
100 г

Килограмм (кг)
1000 г

Литр – мера объёма
Производная единица
Значение

Децилитр (дл)
0,1 л

Сантилитр (сл)
0,01 л

Миллилитр (мл)
0,001 л

Микролитр (мкл)
0,000001 л

Декалитр (дал)
10 л

Гектолитр (гл)
100 л

Килолитр (кл)
1000 л



Расчет суточного количества пищи ребёнка

Объёмный метод
10 дней – 2 мес.
1/5 массы тела

2-3 мес.
1/6 массы тела

3-6 мес.
1/7 массы тела

6-12 мес.
1 литр


Калорийный метод
1-3 мес.
120 ккал/кг массы тела

4-6 мес.
115 ккал/кг массы тела

7-9 мес.
110 ккал/кг массы тела

10-12 мес.
100 ккал/кг массы тела

1г. – 3 лет
100 ккал/кг массы тела

4-6 лет
90 ккал/кг массы тела

7-9 лет
80 ккал/кг массы тела

10 – 12 лет
70 ккал/кг массы тела


Примечание: Молоко женское 1л = 700 ккал.


Антропометрические показатели
n - возраст
Масса
(кг)
Длина тела
(см)
Окружность головы
(см)
Окружность груди
(см)

1,, 6 месяц
mд=mp+800n
lд=lp+
·l1
Огд=Огр+
·Ог1
Огрд=Огрр+
·О1

7,..,12 месяц
mд=mp+(800*6)+400(n-6)




1-5 лет
mд=10+2n
lд=75+5n
Огд=Огр+
·Ог2
Огрд=Огрр+
·О2

5 – 10 лет
mд=20+3(n-5)
lд=100+6(n-5)
Огд=Огр+
·Ог3


12 –15 лет
mд=n*5-20кг
lд=130+
·l2

Огрд=Огрр+
·О3










·l1=
Iкв. -3 см в мес.
IIкв.-2,5 см в мес.
IIIкв.-1,5 см в мес
IV кв. -1 см в мес.


·l2=на каждый последующий год по 5 см.

·Ог1=на 1 см в мес.
Ог2=по 1 см в год

·Ог3=по 0,5 см в год

·О1=на 1 см в мес.

·О2=на 1,5 см в год


·О3=на 3 см в год



n - возраст
Артериальное давление(мм.рт.ст.)
АДmax – систолическое, АДmin – диастолическое (АДmin=2/3-1/2АДmax)

1,, 6 мес.
АДmax=76+2n

7,..,12 мес.


1-5 лет
АДmax=80+2n

5 – 10 лет
АДmax=100+n

12 –15 лет
АДmax=120 мм.рт.ст


Пример:
№ 1. К 20% раствору, масса которого 60г., добавили 30г. воды. Какой стала концентрация раствора?
Решение: 20% раствор – 20 г вещества в 100 г. раствора.
Составим пропорцию и найдем количество вещества, содержащее в 60 г. раствора: 20 г. вещества – 100 г. раствора,
Х г. вещества - 60 г. раствора.
Решая пропорцию, получаем: Х=(20*60)/100=12 г. вещества
Добавив воды 30 г., имеем: 12 г. вещества содержится в 90 г. раствора.
Чтобы узнать какой стала концентрация раствора, необходимо узнать, какое теперь количество вещества содержится в 100 г. раствора.
Составим пропорцию: 12 г. вещества – 90 г. раствора,
Х г. вещества - 100 г. раствора.
Решая пропорцию, получаем: Х=(12*100)/90=13,3 г. вещества
Таким образом, имеем в 100 г. раствора содержится 13,3 г. вещества, следовательно, концентрация раствора равна 13,3%.
Ответ: 13,3%

№ 2.Ребёнку 3 месяца. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 5400 г. (калорийный метод)
Решение: Суточное количество калорий для ребенка в возрасте трех месяцев составляет 120 ккал на килограмм массы тела. Ребенок весит 5,4 кг. Значит, ему необходимо получать 648 ккал энергии в сутки. Литр женского молока содержит в себе 700ккал. Для определения количества молока необходимого ребенку, составим пропорцию: 700ккал – 1000мл
648 ккал – х мл.
Из этой пропорции находим х = 648*1000/700
· 925, 7 мл
Ответ: Таким образом, трехмесячному ребенку весом 5,4 кг требуется 925,7 мл.женского молока в день.



№ 3. Девочке 6лет. Масса 20 кг, рост 110 см, о.гол 50,5 см,о.гр 56 см.
Дайте заключение о физическом развитии ребёнка, если при рождении о.гол. 34 см, о.гр. 34 см.

Решение: Рассчитаем долженствующие антропометрические показатели.
mд= 20+3(n-5) = 20+3*1 = 23
lд= 100+6(n-5) = 100+6*1 = 106
Огд= Огр+
·Ог3 = 34+12+4+0,5*2 = 51
Огрд=Огрр+
·О2= 34+12+6*1,5 = 55
Девочка должна иметь следующие антропометрические показатели: масса тела 23 кг, рост 106 см, о.гол51 см, о.гр 55 см.
Ответ:Девочка незначительно выше нормы, а ее масса меньше нормы, остальные показатели в норме.

Вопросы для самоподготовки:
Правила нахождения пропорции.
Что означает в вашем понимании отношение 1: 25
Чему должен быть равен х, если 1: 25, а 4 : х
Что называется концентрацией раствора.
Как найти концентрацию раствора.
Какие математические методы, применяемые в медицине, вы знаете. Приведите примеры.
Как найти 23% ,10% , 50%, 25% от 60.
5 % раствор, значит в 100 мл.такого раствора содержится 5 граммов вещества.Сколько граммов вещества содержится в 200 мл, 250 мл, 50 мл.
В медицине используются три основные метрические единицы. Назовите их.
Что называется плотностью.
Какие методы расчета количества молока вы знаете. В чём их различие.
Какие антропометрические индексы вы знаете.
Назовите формулы вычисления антропометрических индексов в зависимости от возраста.
Сколько сухого лекарственного вещества содержится в одной десертной ложке 30% раствора
Разовая доза сухого лекарственного вещества 0,2 г. вещество находится в 2% растворе. Больной должен принимать это лекарство десертной ложкой.
Как вычислить жизненную ёмкость лёгких?
Как вычислить минутный объём кровотока?
Как вычислить длину тела?
Как вычислить массу тела ребёнка старше 10 лет?
Как вычислить количество молока, которое должен получать ребёнок в сутки?

Тест для самопроверки:
1.10% от числа 200 составляет:
20
5
2
10

2. Метод исследования окружности головы ребенка в педиатрии:
статистический
антропометрический
объемный
метрический

3.Количество килокалорий в 1 литре женского молока равно_________ .
4.Сотая часть величины – это________ .
5.ФормулаHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 - форму расчета_______ .
6.Методы расчета для количественной оценки достаточности объема пищи:
объемный
калорийный
антропометрический
регрессионного анализа

7.Метод расчета питания грудных детей в зависимости от массы тела ребенка называется________ .

8.50 г. вещества растворены в 200 г. воды. Концентрация раствора равна
20%
40%
50%
4%

9.Метод, заключающийся в вычислении зависимостей, где в качестве переменных используются антропометрические данные, называется
регрессионного анализа
объемный
статистический

10.Систолическое давление здорового человека в норме равно (мм.рт.ст.):
100
120
90
110

Ключ для самопроверки теста:
a
b
700
процент
концентрация раствора
a, b
объемный
a
a
b


Самостоятельная работа:
Решите задачи

№ 1
Больному назначено 200 мл 5% раствора. Определить количество лекарственного препарата содержащегося в растворе.
Имеется 60% раствор, найти, то количество раствора, в котором вещество составляет 9,6 %.
Найти массу вещества, необходимого для приготовления 100 гр. раствора, если известно, что 500 гр. раствора содержат 50 гр. вещества.
Имеется 40% раствора, найти, то количество, в котором вещество составляет 20%.
Имеется 50% раствора, найти, то количество, в котором вещество составляет 7%.
В каком – то количестве раствора содержится 0,7 гр. вещества, найти это количество раствора, если известно, что раствор 4%.
Сколько вещества необходимо взять для получения раствора 1:3000 – 200 мл.
Какова концентрация раствора, если для получения 300 мл потребовалось 1,5 вещества
Сколько потребовалось вещества для получения 200 мл раствора 1:250.
В 300 гр. раствора содержится 25 гр. лекарственного вещества. Рассчитать концентрацию раствора.
Сколько содержится вещества в 200 мл 0,25% раствора.
Сколько вещества необходимо взять для получения раствора 1:3000 – 100 мл.
Сколько получится 8% раствора из 40 гр. вещества.
Рассчитать массу вещества, необходимого для приготовления 20 гр. 3% раствора.
Больному назначено 400 мл 6% раствора. Определить количество лекарственного препарата, содержащегося в растворе.
Рассчитать массу вещества, необходимого для приготовления 20 гр. 3% раствора.
В каком – то количестве раствора содержится 0,5 гр. вещества, найти это количество раствора, если известно, что раствор 8%.

№ 2
Ребёнку 5 месяца. Определить какое количества молока он должен получить, если масса тела 6 кг.

Ребёнку 6 месяцев. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 7200 г.

Ребёнку 10 лет. Определить сколько калорий он должен получить в сутки, если масса тела 34 кг.

Ребёнку 4 месяца. Определить какое количества молока он должен получить, если масса тела 7,5 кг.

Ребёнку 5 месяца. Определить какое количества молока он должен получить, если масса тела 7 кг.

Ребёнку 7лет. Определить сколько калорий он должен получить в сутки, если масса тела 22 кг.

Ребёнку 2 месяца. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 4,8 кг.

Ребёнку 1 месяца. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 4 кг.

Ребёнку 5 месяцев. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 7100 г.

Ребёнку 1,1 год. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 10 кг.

Ребёнку 9 лет. Определить сколько калорий он должен получить в сутки, если масса тела 32 кг.

Ребёнку 3 года. Определить сколько калорий он должен получить в сутки, если масса тела 15 кг.

Ребёнку 1,2 год. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 11 кг.
Ребёнку 4 месяца. Определить какое количества молока он должен получить, если масса тела 5,6 кг.

Ребёнку 1,2 год. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 11 кг.

Ребёнку 5 месяца. Определить какое количества молока он должен получить, если масса тела 7 кг.

Ребёнку 1,3 год. Определить какое количество молока он должен получить, если масса тела 11200 г.

№ 3
Выписка из истории развития ребёнка Коли С. 9 мес.Мальчик родился с массой 3300, длиной 52 см., о.гол. 34 см., о.гр. 35 см.Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития Оли В.4 мес.Девочка родилась в срок с массой 2700 г, 48 см. длиной, о.гол 34 см., о.гр. 32 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития ребенка Кати К. 6 мес. Девочка родилась с массой 3100, длиной 52 см, о.гол.34 см,о.гр.32 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития Максима П.12 мес. Родился с массой 4 кг, длиной 56 см, о.гол.36 см,о.гр.36 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития Лины Ш.11 мес. Девочка родилась с массой 3.700 г., длиной 54 см.Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Мальчику 6 лет. Масса 25 кг о.гол 53 см, рост 115 см о.гр 59 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Галя П. 1 год 9 мес. Масса 10.800, рост 81 см, о.гол 47 см, о.гр 48 см.Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Маша К. 2 года 9 мес. Масса 16.300, рост 98 см, о.гол 49 см, о.гр 55 см.Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Настя А. 1 год 6 мес. Масса 11.700, рост 84 см, о.гол 47,5 см, о.гр 49 см.Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.
Даше В. 2 года. Масса 12.100 лет, рост 85 см, о.гол 49 см, о.гр 50 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Девочке 3 года. Масса 12,5 кг, о.гол 48 см, рост 91 см, о.гр 49 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Андрей Р. 1 год 6 мес. Масса 11,7 кг, рост 84 см, о.гол 47,5 см, о.гр 49см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Мальчику 4,5 года. Масса 16 кг, о.гол 51 см, рост 102 см, о.гр 56 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития ребенка Саши М.8 мес. Родился с массой 3500 г., длиной 49 см, о. гол.35 см, о.гр.35 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития ребёнка Коли С. 9 мес.Мальчик родился с массой 3300 г., длиной 52 см., о.гол. 34 см., о.гр. 35 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Выписка из истории развития ребенка Саши М.8 мес. Родился с массой 3500 г., длиной 49 см, о.гол. 35 см, о.гр. 35 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Мальчику 6 лет. Масса 25 кг., о.гол. 53 см, рост 115 см., о.гр. 59 см. Рассчитайте долженствующие антропометрические показатели.

Задания для самоподготовки к итоговым занятиям по дисциплине «Математика»

Контрольная работа по разделу «Основы дифференциального и интегрального исчисления»

Для подготовки к контрольной работе выполните примерный вариант:

Примерный вариант контрольной работы

1. Найдите область определения
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

2. Найдите четность функции
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

3. Построить график функции

4. Вычислить предел
а)
б)
5. Вычислить производную

6. Вычислить определенный интеграл

7. Решите дифференциальное уравнение. Найдите интегральную кривую, проходящую через точку М(-1;2)

8. Решите дифференциальное уравнение




Итоговое занятие за курс дисциплины

Вопросы для подготовки к итоговому занятию:
Определение области определения функции, свойства функции
Определение предела функции.
Объясните нахождение предела функции
Какая функция называется непрерывной в точке, на промежутке?
Определение непрерывности функции
Дать понятие точки разрыва?
Дать понятие предела функции на бесконечности?
Дайте определение производной.
В чём заключается геометрический смысл производной.
В чём заключается физический смысл производной.
Назовите производные элементарных и сложных функций.
Правила вычисления производных суммы, произведения, частного
Дать понятие первообразной.
Формула вычисления неопределённого интеграла.
Формула Ньютона-Лейбница. Что она позволяет вычислять.
Геометрический смысл интеграла.
Интегралы элементарных функций
Множество. Операции над множествами.
Что называется высказыванием. Привести примеры.
Что называется отрицанием данного высказывания (примеры)
Что называется конъюнкцией, дизъюнкцией (примеры)
Дайте определение комбинаторным задачам.
Формулы размещения, перестановки, сочетания. Объяснить на примерах.
Какое событие называется случайным.
Чему равна частота (вероятность) случайного события. Свойства вероятности.
Математическое ожидание, дисперсия.
Что понимается под законом больших чисел. Приведите пример использования закона больших чисел.
Дайте понятие математической статистике.
Что составляет предмет математической статистики.
Дайте понятие санитарной статистики.
Что исследует санитарная статистика.
Объект исследования санитарной статистики.
Дайте определение статистической совокупности, единицы совокупности.
Дайте определение генеральной совокупности, выборке.
Ряд распределения.Графическое изображение
Назовите этапы статистического исследования.
Определение медианы, моды, варианты.
Нахождение пропорции.
Определение процента
Формула нахождения концентрации раствора.
Что называется плотностью.
Какие математические методы, применяемые в медицине вы знаете. Приведите примеры
Какие методы расчета количества молока вы знаете. В чём их различие.
Какие антропометрические индексы вы знаете.
Формулы вычисления антропометрических индексов в зависимости от возраста.

Для подготовки к итоговому занятию выполните примерный вариант зачетной работы:

Примерный вариант зачетной работы

1.Решить задачу:
Случайная величина Х имеет закон распределения:

хi
0
1
2

mi
10
15
5

pi





Найдите:
вероятности pi;
математическое ожидание;
дисперсию;
среднее квадратическое отклонение;
постройте гистограмму и полигон

2. Смешаны 200г. 40% раствора и 30г 15% раствора. Какова концентрация полученного раствора?

3. Ребенку 2 месяц. Определить какое количества молока он должен получить, если масса тела 6 кг. (калорийный метод)
4.Маша С. 2 года 5 мес. Масса 14 кг, 93 см, о.гол 45 см, о.гр 50 см. Оценить физическое развитие ребёнка.





ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Примерные темы индивидуальных сообщений на теоретических занятиях
«Применение математических методов в профессиональной деятельности: дифференциальное исчисление»

«Применение математических методов в профессиональной деятельности: интегральное исчисление»

«Применение математических методов в профессиональной деятельности: статистические методы»

«Применение математических методов в профессиональной деятельности»



Требования к подготовке сообщений

Сообщение подготавливается по нескольким источникам и сопровождается наглядной презентацией, которая должна содержать:
теоретический материал;
формулы;
практические примеры и практическое применение в профессиональной деятельности.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2






































Образец оформления титульного листа самостоятельной работы



Глоссарий

Вероятность события – это число, характеризующее степень возможности появления событий при многократном повторении события.

Возрастающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции.

Выборочная совокупность (выборка) - множество объектов, случайно отобранных из генеральной совокупности.

Генеральная совокупность - совокупность, состоящая из всех объектов, которые могут быть к ней отнесены.

Графикфункции- множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты - соответствующим значениям функции, то есть по оси абсцисс откладываются значения переменной x, а по оси ординат откладываются значения переменной y.

Демографическая статистика - раздел статистики, изучающий численность, состав (по возрасту, полу и т.д.), механическое (миграции) и естественное движение (рождаемости, смертности и др. процессов определяющих воспроизводство населения) и другими факторами условий и образа жизни людей.

Дисперсия дискретной случайной величины – мера рассеяния (отклонения) дискретной случайной величины Х относительно математического ожидания: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Дифференцированиефункции - операция нахождения производной функции.

Дифференциальные уравнения - уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные.

Дифференциал функции – линейная часть приращения функции, равная произведению производной этой функции на дифференциал аргумента: dy=df=f ’(x)dx

Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины Х – функция f(x), являющейся первой производной от интегральной функции F(x).

Достоверное событие - событие, всегда осуществляющееся при проведении испытания.

Закон распределения случайной величины - соотношение между значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Интегрирование функции – это процесс нахождения первообразной функции.

Концентрация - это величина, показывающая содержание данного вещества в определенном количестве растворителя.

Комбинаторика - область математики, в которой изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Невозможное событие – событие, которое не может произойти в результате испытания.

Неопределенный интеграл – это совокупность первообразныхF(x)+C для данной функции f(x): HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Математическое ожидание дискретной случайной величины - среднее значение дискретной случайной величины Х, рассчитывающееся по формуле HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Математическая статистика – раздел математики, изучающий методы сбора, систематизации и обработки результатов наблюдений массовых случайных явлений с целью выявления существующих закономерностей.

Нечетная функция- функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения справедливо равенство f(-x) = - f(x).

Область определения функции – все значения, которые принимает независимая переменная. Обозначается : D (f).

Область (множество) значений функции – все значения, которые принимает зависимая переменная. Обозначается: E (f).

Ограниченная функция – это функция,для которой выполняется условие, если существует такое положительное число M, что |f(x)|
· M для всех значений x .

Определенный интеграл от непрерывной на отрезке [a; b] функции y=f(x) – число, равное приращению первообразной y=F(x) для этой функции на указанном промежутке:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Несовместные события - это события,одновременное появление которых в результате некоторого опыта невозможно.

Первообразная функция y=F(x) – это функция, для которой выполняется равенство F’(x)=f(x), для всех х из области определения функции.

Перестановки множества – это наборы отличающиеся друг от друга порядком, составленные из всех элементов данного конечного множества.

Периодическая функция – это функция f(x), для которой выполняется следующее условие, если существует такое отличное от нуля число T, что для любого x из области определения функции имеет место: f(x+T) = f(x)= f(x-T)

Производной функции y=f(x) в точке х0 называется предел отношения приращения функции
·f(x0)=f(x0+
·x)-f(x0) в точке х0 к приращению аргумента
·х=х-х0, когда последнее стремится к нулю:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Размещения из n элементов по k - упорядоченные наборы, состоящие из k различных элементов, выбранных из данных n элементов.

Случайное событие – это событие, которое при осуществлении некоторого опыта либо происходит, либо не происходит.

Событие – это факт, который при осуществлении определенных условий может произойти или нет.

Совместные события - события, одновременное появление которых в результате некоторого опыта возможно.

Сочетания из n элементов по k - неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов, взятых из данных п элементов.

Среднее квадратическое отклонение - величина, дающая представление о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Статистическая совокупность – множество объектов, однородных относительно некоторого качественного и количественного признака, характеризующего эти объекты.

Точка разрыва функции – это точка, в которой нарушаются условия непрерывности функции.

Убывающая функция (в некотором промежутке) - функция, у которой большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Функция – зависимость переменной y от переменной x, при которой каждому значению x соответствует единственное значение y.

Функция распределения - функция, определяющая вероятность того, что случайная величина Х принимает значение, меньшее фиксированного действительного числа х, т.е.F(x)=P(X
Четная функция - функция, у которой область определения симметрична относительно начала координат и для любого х из области определения выполняется равенство f(-x) = f(x).



РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА


Основная литература

1. Омельченко, В. П. Математика : учеб.пособие / В. П. Омельченко,
Э. В. Курбатова. - 7-е изд. - Ростов н/Д : Феникс, 2013. - 380 с.

Дополнительная литература

2. Петри, А. Наглядная медицинская статистика : учеб. пособие для вузов: пер.санг. / А. Петри, К. Сэбин ; ред. – пер. В. П. Леонов. – 2-е изд., перераб. и доп. – М. : ГЭОТАР – Медиа, 2010. – 168 с.

Электронные ресурсы

1.ЭБС КрасГМУ Colibris;
2.ЭБС Консультант студента;
3.ЭБС ibooks.









HYPER13 PAGE \* MERGEFORMAT HYPER1480HYPER15




Математику уже затем учить следует, что она ум в порядок приводит.
М. Ломоносов


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Правила дифференцирования

с постоянным множителем

произведение

частное

Сложная функция

[ku(x)]’= ku(x)

сумма

(u+v)’=u’+v’

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

(uv)’=u’v+uv’

y=f(g(x))
y’=f’(g(x))g’(x)

Методы интегрирования

Непосредственное интегрирование
- основан на использовании свойств неопределенного интеграла

Метод заменыпеременной
- этот способ заключается в переходе от данной переменной интегрирования к другой переменной для упрощения подынтегрального выражения и приведения его к одному изтабличных

Интегрирование по частям


·udv = uv -
·vdu

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


·xlnxdx
обозначим lnx=u,
тогда xdx=dv
Находим du=d(lnx)’=(lnx)’dx=
=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
v=
·xdx=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Используя формулу интегрирования по частям:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями.
y’+y+3x=0

Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется
дифференциальным уравнением I порядка

Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция, производные и производная n-го, то это уравнение называется
дифференциальным уравнением
n- порядка.

Обыкновенные диф.уравнения
y’=f(x)

диф.уравнения с разделяющимися переменными
y’=f(x)g(y)

Линейные диф.уравнения
I порядка
y’+p(x)y=f(x)

Однородные
Если f(x)=0
У’+p(x)y=0
-это уравнение с разделяющимися переменными.

Неоднородные
Если f(x) не равно 0.


Решением диф.уравнения называют любую функцию при подстановке которой в это уравнение получается тождество.
График решения диф.уравнения называют интегральной кривой этого уравнения.

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Решается это уравнение по шагам:
Dy/dx=f(x)g(y)
Dy/g(y)=f(x)dx
Интегрируем обе части.
Находим первообразные.
Выражаем функцию у через х.


Решается с помощью подстановки
у=uv (u и v –функции от х).
Тогда у’=u’v+uv’
Подставляем у и у’ в уравнение и получаем:
u’v+uv’+ p(x) uv= f(x)
uv’+v(u’+p(x)u)=f(x)
выбираем такую u, чтобы u’+p(x)u=0
Тогда v находим из уравнения uv’= f(x).
Затем находим функцию у.


y=f(x0)+f ’(x0)(x- x0)

f(x0+
·)
· f(x0)+f ’(x0)(x- x0)

HYPER13 EMBED PBrush HYPER14HYPER15

Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Красноярский государственный медицинский университет
имени профессора В.Ф. Войно-Ясенецкого
Министерства здравоохранения
Российской Федерации»

Фармацевтический колледж


ВНЕАУДИТОРНАЯ САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Вариант _____
Фамилия_______________________________________________
Имя___________________________________________________
Отчество_______________________________________________
Специальность __________________________________________
Группа _________ Курс_______

Личная подпись обучающегося ____________________

Красноярск
201__


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15




Приложенные файлы

  • doc file6
    Учебное пособие по дисциплине "Математика"
    Размер файла: 4 MB Загрузок: 0