Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ В МЕДИЦИНСКОЙ ПРАКТИКЕ Клобертанц Е.П.Красноярск, 2016 ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ«КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МЕДИЦИНСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ПРОФЕССОРА В.Ф. ВОЙНО-ЯСЕНЕЦКОГО» МИНИСТЕРСТВА ЗДРАВООХРАНЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФАРМАЦЕВТИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ План:Основные понятия и определения дифференциального уравненияМетоды решения дифференциальных уравнений. Применение дифференциальных уравнений для решения задач. Основные понятия и определения дифференциального уравнения Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями. y’+y+3x=0 Уравнения, в которых неизвестными являются не только сами функции, но и их производные называются дифференциальными уравнениями.y’+y+3x=0 Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция и её первая производная, то это уравнение называется дифференциальным уравнением I порядка Если в уравнение входит независимая переменная, неизвестная функция, производные и производная n-го, то это уравнение называется дифференциальным уравнением n- порядка. Пример: Решить уравнение у’=5Решение: y=5x+C – общее решение дифференциального уравненияЗададим начальные условия : х0=0, у0=1 и подставим в общее решение соответственно вместо х и у. Получаем у=5х+1-это частное решение дифференциального уравнения. Геометрически общее решение y=5x+C представляет собой семейство прямых Дифференциальное уравнение I порядка Обыкновенные диф.уравненияy’=f(x) диф.уравнения с разделяющимися переменнымиy’=f(x)g(y) Линейные диф.уравнения I порядкаy’+p(x)y=f(x) ОднородныеЕсли f(x)=0У’+p(x)y=0-это уравнение с разделяющимися переменными. НеоднородныеЕсли f(x) не равно 0. 2.Метоы решения дифференциального уравнения Обыкновенное дифференциальное уравнениеy’=f(x) Пример: Решить дифференциальное уравнение y’=5х+2 Решение: Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменнымиy’=f(x)g(y) Решается это уравнение по шагам:dy/dx=f(x)g(y)dy/g(y)=f(x)dxИнтегрируем обе части выражения.Находим первообразные.Выражаем функцию у через х. Пример: Решить дифференциальное уравнение: Решение: Выражаем функцию у через х: Линейное дифференциальное уравнение I порядкаy’+p(x)y=f(x)Если f(x)=0, то уравнение называется линейным однородным уравнением:y’+p(x)y=0 Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения: y’+y2cosx=0 Решение: - формула общего решение уравнения Подставляем в формулу общего решения и получаем: - общее решение уравнения Линейное дифференциальное уравнение I порядкаy’+p(x)y=f(x)Если f(x)≠0, то уравнение называется линейным неоднородным уравнением.Общее решение неоднородного уравнения имеет вид: Пример: Найти общее решение дифференциального уравнения: y’+yx=3х Решение: Формула общего решение уравнения: Обозначим: p(x)=x, f(x)=3x 3. Применение дифференциальных уравнений для решения задач. Составление и применение дифференциальных уравненийРешение любой задачи с помощью математического анализа можно разбить на три этапа:перевод условий задачи на язык математики;решение задачи;оценка результатов. Закон растворения лекарственных форм вещества из таблетокСкорость растворения лекарственных форм вещества из таблеток пропорциональна количеству лекарственных форм вещества в таблетке. Установить зависимость изменения количества лекарственных форм вещества в таблетке с течением времени.Обозначим через m количество вещества в таблетке, оставшееся ко времени растворения t. Тогда dm/dt= -κm,где k-постоянная скорости растворения. Минус в уравнении означает, что количество лекарственных форм вещества с течением времени убывает. Закон размножения бактерий с течением времениСкорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Установить зависимость изменения количества бактерий от времени.Обозначим количество бактерий, имеющихся в данный момент, через х. Тогда dx/dt=kx, где k – коэффициент пропорциональности. Закон роста клеток с течением времениДля палочковидных клеток, у которых отношение поверхности клетки к её объёму сохраняется постоянным, скорость роста клетки dl/dt пропорциональна длине клетки l в данный момент:dl/dt = (α - β) lгде α, β – постоянные, характеризующие процессы синтеза и распада. Закон разрушения клеток в звуковом полеКавитация ультразвуковых волн проявляется в виде разрывов суспензионной среды и образования мельчайших пузырьков и пустот, плотность которых незначительна по сравнению с плотностью воды. Простейшие (бактерии, водоросли, дрожжи, лейкоциты, эритроциты) могут быть разрушены при кавитации, возникающей в интенсивном звуковом поле. Относительные скорости разрушения биологических клеток различных видов остаются постоянными в очень широком диапазоне частот. Эти скорости могут характеризовать относительную хрупкость клеток различных видов. Чтобы выразить это количественно, нужно определить скорость разрушения клетки в постоянном звуковом поле. Изучение этого вопроса показывает, что, пока по крайней мере 1% популяции остаётся неразрушенным, можно записать:dN/dt = - RNгде N – концентрация клеток; t –время; R - постоянная Внутривенное введение глюкозыПри внутривенном введении глюкозы с помощью капельницы скорость поступления глюкозы в кровь постоянна и равна С. В крови глюкоза разлагается и удаляется из кровеносной системы со скоростью, пропорциональной имеющемуся количеству глюкозы.Дифференциальное уравнение, описывающее данный процесс:dx/dt=c-αx, гдех-количество глюкозы в крови в текущий момент времени; с-скорость поступления глюкозы в кровь; α-положительная постоянная Теория эпидемийВ теории эпидемий при условии, что изучаемое заболевание носит длительный характер, процесс передачи инфекции значительно более быстрый, чем течение самой болезни, и зараженные особи не удаляются из колонии и передают при встречах инфекцию незараженным особям.Пусть в начальный момент t=0, а – число зараженных, b – число незараженных особей, x(t), y(t) – соответственно число зараженных и незараженных особей к моменту времени t. В любой момент времени t для промежутка, меньшего времени жизни одного поколения, имеет место равенство х+у=а+b (1) Теория эпидемийПри этих условиях нужно установить закон изменения числа незаражённых особей с течением времени, т.е. найти y=f(x).Так как инфекция передаётся при встречах зараженных особей с незараженными, то число незараженных особей будет убывать с течением времени пропорционально количеству встреч между зараженными и незараженными особями. Для промежутка времени dt dy=-βxy, откуда dy/dt= - βxy, где β – коэффициент пропорциональности. Подставив в это уравнение значение х из равенства (1), получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:dy/dt= - βy (a+b-y) Пример: Составьте дифференциальное уравнение и найдите частные решения: Концентрация лекарственного препарата в крови уменьшается вследствие выведения вещества из организма. Скорость уменьшения концентрации пропорциональна концентрации вещества в данный момент. Определить зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, если в начальный момент времени она была равна 0,2 мг/л, а через 23 часа уменьшилась вдвое Решение:Уравнение описывающее этот процесс: m - концентрация лекарственного препарата в крови в данный момент времени; k - коэффициент пропорциональности , где - скорость выведения вещества из организма, Решение: Решая полученное уравнение, получаем: где m0-концентрация вещества в крови в начальный момент времени t=0, m – текущая концентрация вещества в крови в момент времени t. Решение: Потенцируя, получим: По условию задачи m0=0,2 мг/л, m=m0/2 мг/л, t=23 ч.Подставляем и находим: Зависимость концентрации данного вещества в крови от времени, описывается следующим законом: Контрольные вопросы для закрепления:Дайте понятие дифференциальному уравнению, его решению.Назовите методы решения дифференциальных уравнений, охарактеризуйте каждый.Приведете примеры обыкновенного дифференциального уравнения, уравнения с разделяющими переменными, линейного.Приведите примеры дифференциального уравнения первого, второго, третьего порядка.Каково практическое применение дифференциальных уравнений.

Приложенные файлы

  • ppt file7
    Дифференциальные уравнения и их применение в медицинской практике
    Размер файла: 2 MB Загрузок: 63