Пособие по решению тригонометрических уравнений.

ГБОУ Лицей №1568 имени Пабло Неруды
Купневская О.С.
Пособие по решению тригонометрических уравнений.






















Москва 2007



Оглавление
Введение
Список тригонометрических формул

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.
Формулы двойных и тройных аргументов.
Формулы половинного аргумента.
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента.
Формулы приведения.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.

Алгебраический метод 
Разложение на множители
Приведение к однородному уравнению.
Метод использования тригонометрических
преобразований
Введение вспомогательного угла.
Преобразование произведения в сумму.
Универсальная подстановка.









Введение
Данное пособие содержит основные тригонометрические формулы призванные помочь учащимся успешно справляться с заданиями; приведены основные методы решения тригонометрических уравнений, разобранные и показанные на примерах, а так же имеются примеры для самостоятельного решения.



Во всех представленных примерах k13 EMBED Equation.3 1415Z, n13 EMBED Equation.3 1415Z .



























Список тригонометрических формул

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.


Формулы двойных и тройных аргументов.


Формулы половинного аргумента.




Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.



Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.






Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента.



Формулы приведения.



















Тригонометрические уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 
 
Простейшие тригонометрические уравнения.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример. Решить уравнение 813 EMBED Equation.3 1415
Решение: Преобразуем 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и уравнение принимает вид 13 EMBED Equation.3 1415.
раскрывая скобки и приводя подобные члены, имеем 13 EMBED Equation.3 1415.
Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, Деля на 2 и учитывая, что 13 EMBED Equation.3 1415, получаем:13 EMBED Equation.3 1415


Примеры для самостоятельного выполнения:
1) 6cos13 EMBED Equation.3 1415x + cosx – 1 = 0 (ответ: x=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+213 EMBED Equation.3 1415k, x=13 EMBED Equation.3 1415arccos13 EMBED Equation.3 1415+213 EMBED Equation.3 1415k)
2) tanx + cotanx – 3 =0 (ответ: x=arctan2+13 EMBED Equation.3 1415n, x=13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415k)
2. Разложение на множители. 
 
    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
 
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:
 
                                 sin x + cos x – 1 = 0
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.
 
Р е ш е н и е :    cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
 
                                           sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
 
                                          sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,         
    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 
     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
 
       
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Примеры для самостоятельного выполнения:
sin2x - cos2x = cos(x/2) (ответ: х = 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 k), x = 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415 n) )
sin13 EMBED Equation.3 1415(x + 13 EMBED Equation.3 1415) + sin13 EMBED Equation.3 1415(x - 13 EMBED Equation.3 1415) = 1 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415(2k+1))
3.Приведение к однородному уравнению.
Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
   а)  перенести все его члены в левую часть;
   б)  вынести все общие множители за скобки;
   в)  приравнять все множители и скобки нулю;
   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на   cos х ( или sin х) в старшей степени, заранее проверив, что cos x = 0 ( sin x = 0), не является решением
   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan (или cotan). 
 
    П р и м е р 1.   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , ( cos x 13 EMBED Equation.3 14150)
 
                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
                             корни этого уравнения:  y1 =
·1,  y2 =
·3,  отсюда
                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,
                              [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415:

Решении:






Примеры для самостоятельного выполнения:
2cos13 EMBED Equation.3 1415x – 3sinx
· cosx + 5sin13 EMBED Equation.3 1415x = 3 (ответ: x = arctan(13 EMBED Equation.3 1415) + 13 EMBED Equation.3 1415n)
3sin13 EMBED Equation.3 1415x – 4sinx
· cosx + cos13 EMBED Equation.3 1415x = 0 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n, x = arctan13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415k)

4. Метод использования тригонометрических
преобразований.

Для решения некоторых тригонометрических уравн
·ений чаще всего возникает необходимость в применении различных тригонометрических формул(формул преобразования, приведения, суммирования и т. д)

П р и м е р 1 . Решить уравнение
Р е ш е н и е :















П р и м е р 2.  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 
 Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos І ( x / 2 ) + 5 sin І ( x / 2 ) =
                              = 7 sin І ( x / 2 ) + 7 cos І ( x / 2 ) ,
                             2 sin І ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos І ( x / 2 ) = 0 ,
                             tan І ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

Примеры для самостоятельного выполнения:
2cos13 EMBED Equation.3 1415x + cos5x = 1 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415k, x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n)
2sin13 EMBED Equation.3 1415x – cos2x – sinx = 0 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415k, x = -13 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n)
5. Введение вспомогательного угла.


Рассмотрим уравнение вида:
 
                                           a sin x + b cos x = c ,
 
где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и sin [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]( здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь рассмотрим уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415аsin 13 EMBED Equation.3 1415x+ bcos x sin x+ c cos13 EMBED Equation.3 1415 x=0.
В случае a=0 задача сводится к решению совокупности двух уравнений:
cos x=0 и b sin x+ c cos x=0(которые рассматривались ранее);
При a13 EMBED Equation.3 14150 уравнение не имеет решения cos x=0 и после деления на cos 13 EMBED Equation.3 1415x13 EMBED Equation.3 14150
Сводится к квадратному уравнению относительно tan x:
a tan13 EMBED Equation.3 1415 x+ b tan x + c=0.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример2. Решить уравнение: cos x+sin x=1.
(такое уравнение мы решали методом разложения на множители, а теперь посмотрим, как это уравнение можно решить методом введения вспомогательного угла).
Решение. Домножая на 13 EMBED Equation.3 1415, получим 13 EMBED Equation.3 1415cos x+13 EMBED Equation.3 1415sin x=13 EMBED Equation.3 1415 .
Учитывая равенства: 13 EMBED Equation.3 1415= cos13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 =sin 13 EMBED Equation.3 1415 ,
имеем уравнение: cos x cos 13 EMBED Equation.3 1415+sin x sin x13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 , или cos(x-13 EMBED Equation.3 1415)=13 EMBED Equation.3 1415.
Поскольку arccos13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415, находим x - 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415+213 EMBED Equation.3 1415n,
отсюда находим: x=13 EMBED Equation.3 1415+2
·n, x=2
·n.
Примеры для самостоятельного выполнения:
(ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 213 EMBED Equation.3 1415n)
(ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 (8n +3) , x = 13 EMBED Equation.3 1415 (8k +1))










6. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.
    
П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.
 
Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
 
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
 
cos 8x = 0 ,
 
8x =
·
·/ 2 +
·k ,
 
x =
·
·/ 16 +
·k / 8 .



Пример2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение. Воспользовавшись формулой преобразования произвндения в сумму имеем:
13 EMBED Equation.3 1415

Примеры для самостоятельного выполнения:
sin6x
· cos2x = sin5x
· cos3x – sin2x (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415k, x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n)

sinx + sin3x + cosx + cos3x = 0 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415k, x = -13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n)

cos4x
· cos2x = sin3x
· sin5x (ответ: 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415k)



7. Универсальная подстановка.

                                                                                                                                             
      П р и м е р 1.   Решить уравнение:  5sin2x-5cos2x=tgx+5

Р е ш е н и е. Применив формулы



Представим заданное уравнение в виде



Обозначив tg x = t, запишем



После приведения к общему знаменателю и несложных преобразований придем к уравнению t13 EMBED Equation.3 1415 – 9 t + 10 = 0. Один из делителей свободного члена, а именно t13 EMBED Equation.3 1415=2, является корнем этого уравнения. Разложив левую часть на множители, получим (t - 2) (t13 EMBED Equation.3 1415 + 2t - 5) = 0. Решив квадратное уравнение t13 EMBED Equation.3 1415+2t-5=0, найдем еще два значения
t13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415-1, t13 EMBED Equation.3 1415= -13 EMBED Equation.3 1415-1
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности трех уравнений


13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415


Пример2. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415

Решение. Решим уравнение с помощью универсальной подстановки.
Выразив sinx и cosx через tan13 EMBED Equation.3 1415, и, положив u=tan13 EMBED Equation.3 1415, приходим к рациональному уравнению
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Примеры для самостоятельного выполнения:
sinx + ctg(x/2) = 2 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415+213 EMBED Equation.3 1415n)
3sin4x = (cos2x-1)
·tgx (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415k, x = ± arctan13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415m, x = ± 13 EMBED Equation.3 1415 + 13 EMBED Equation.3 1415n)

sin2x+2ctgx=3 (ответ: x = 13 EMBED Equation.3 1415 (4k+1) )









13PAGE 15


13PAGE 141315



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file4
    Размер файла: 375 kB Загрузок: 14

Добавить комментарий