Пособие по решению тригонометрических уравнений.

ГБОУ Лицей №1568 имени Пабло Неруды
Купневская О.С.
Пособие по решению тригонометрических уравнений.






















Москва 2007



Оглавление
Введение
Список тригонометрических формул

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.
Формулы двойных и тройных аргументов.
Формулы половинного аргумента.
Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.
Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента.
Формулы приведения.

Тригонометрические уравнения

Простейшие тригонометрические уравнения.
Методы решения тригонометрических уравнений.

Алгебраический метод 
Разложение на множители
Приведение к однородному уравнению.
Метод использования тригонометрических
преобразований
Введение вспомогательного угла.
Преобразование произведения в сумму.
Универсальная подстановка.









Введение
Данное пособие содержит основные тригонометрические формулы призванные помочь учащимся успешно справляться с заданиями; приведены основные методы решения тригонометрических уравнений, разобранные и показанные на примерах, а так же имеются примеры для самостоятельного решения.



Во всех представленных примерах kHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Z, nHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15Z .



























Список тригонометрических формул

Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.

Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций.


Формулы двойных и тройных аргументов.


Формулы половинного аргумента.




Формулы преобразования суммы и разности тригонометрических функций в произведение.



Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.






Формулы, выражающие тригонометрические функции через тангенс половинного аргумента.



Формулы приведения.



















Тригонометрические уравнения.

Уравнение, содержащее неизвестное под знаком тригонометрической функции, называется тригонометрическим. 
 
Простейшие тригонометрические уравнения.

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример. Решить уравнение 8HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Решение: Преобразуем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 и уравнение принимает вид HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
раскрывая скобки и приводя подобные члены, имеем HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Тогда HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, Деля на 2 и учитывая, что HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получаем:HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Примеры для самостоятельного выполнения:
1) 6cosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x + cosx – 1 = 0 (ответ: x=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k, x=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15arccosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k)
2) tanx + cotanx – 3 =0 (ответ: x=arctan2+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n, x=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k)
2. Разложение на множители. 
 
    П р и м е р  1.  Решить уравнение:  sin x + cos x = 1 .
 
    Р е ш е н и е .   Перенесём все члены уравнения влево:
 
                                 sin x + cos x – 1 = 0
преобразуем и разложим на множители выражение в левой части уравнения:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

П р и м е р   2.   Решить уравнение:  cos 2 x + sin x · cos x = 1.
 
Р е ш е н и е :    cos 2 x + sin x · cos x – sin 2 x – cos 2 x = 0 ,
 
                                           sin x · cos x – sin 2 x = 0 ,
 
                                          sin x · ( cos x – sin x ) = 0 ,         
    П р и м е р   3.   Решить уравнение:  cos 2x – cos 8x + cos 6x = 1. 
     Р е ш е н и е .    cos 2x + cos 6x = 1 + cos 8x ,
 
       
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Примеры для самостоятельного выполнения:
sin2x - cos2x = cos(x/2) (ответ: х = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 k), x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 n) )
sinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(x + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) + sinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(x - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) = 1 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15(2k+1))
3.Приведение к однородному уравнению.
Уравнение называется однородным относительно  sin  и  cos, если все его члены одной и той же степени относительно sin  и cos  одного и того же угла. Чтобы решить однородное уравнение, надо:
   а)  перенести все его члены в левую часть;
   б)  вынести все общие множители за скобки;
   в)  приравнять все множители и скобки нулю;
   г)  скобки, приравненные нулю, дают однородное уравнение меньшей степени, которое следует разделить на   cos х ( или sin х) в старшей степени, заранее проверив, что cos x = 0 ( sin x = 0), не является решением
   д)  решить полученное алгебраическое уравнение относительно tan (или cotan). 
 
    П р и м е р 1.   Решить уравнение:  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2.
 
    Р е ш е н и е .  3sin 2 x + 4 sin x · cos x + 5 cos 2 x = 2sin 2 x + 2cos 2 x ,
 
                             sin 2 x + 4 sin x · cos x + 3 cos 2 x = 0 , ( cos x HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150)
 
                             tan 2 x + 4 tan x + 3 = 0 ,  отсюда  y 2 + 4y +3 = 0 ,
                             корни этого уравнения:  y1 =
·1,  y2 =
·3,  отсюда
                             1)   tan x = –1,                  2)   tan x = –3,
                              [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример. Решить уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15:

Решении:






Примеры для самостоятельного выполнения:
2cosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x – 3sinx
· cosx + 5sinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x = 3 (ответ: x = arctan(HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15) + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)
3sinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x – 4sinx
· cosx + cosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x = 0 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n, x = arctanHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k)

4. Метод использования тригонометрических
преобразований.

Для решения некоторых тригонометрических уравн
·ений чаще всего возникает необходимость в применении различных тригонометрических формул(формул преобразования, приведения, суммирования и т. д)

П р и м е р 1 . Решить уравнение
Р е ш е н и е :















П р и м е р 2.  Решить уравнение:  3 sin x – 5 cos x = 7. 
 Р е ш е н и е .  6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) – 5 cos І ( x / 2 ) + 5 sin І ( x / 2 ) =
                              = 7 sin І ( x / 2 ) + 7 cos І ( x / 2 ) ,
                             2 sin І ( x / 2 ) – 6 sin ( x / 2 ) · cos ( x / 2 ) + 12 cos І ( x / 2 ) = 0 ,
                             tan І ( x / 2 ) – 3 tan ( x / 2 ) + 6 = 0 ,
       .   .   .   .   .   .   .   .   .   .

Примеры для самостоятельного выполнения:
2cosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x + cos5x = 1 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k, x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)
2sinHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x – cos2x – sinx = 0 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k, x = -HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)
5. Введение вспомогательного угла.


Рассмотрим уравнение вида:
 
                                           a sin x + b cos x = c ,
 
где  a, b, c – коэффициенты;  x – неизвестное.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь коэффициенты уравнения обладают свойствами синуса и косинуса, а именно: модуль ( абсолютное значение ) каждого из них не больше 1, а сумма их квадратов равна 1. Тогда можно обозначить их соответственно как cos [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и sin [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]( здесь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- так называемый вспомогательный угол ), и наше уравнение принимает вид:
 [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Теперь рассмотрим уравнение: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15аsin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15x+ bcos x sin x+ c cosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x=0.
В случае a=0 задача сводится к решению совокупности двух уравнений:
cos x=0 и b sin x+ c cos x=0(которые рассматривались ранее);
При aHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150 уравнение не имеет решения cos x=0 и после деления на cos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER150
Сводится к квадратному уравнению относительно tan x:
a tanHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 x+ b tan x + c=0.HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример2. Решить уравнение: cos x+sin x=1.
(такое уравнение мы решали методом разложения на множители, а теперь посмотрим, как это уравнение можно решить методом введения вспомогательного угла).
Решение. Домножая на HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, получим HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15cos x+HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15sin x=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 .
Учитывая равенства: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= cosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15; HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 =sin HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 ,
имеем уравнение: cos x cos HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+sin x sin xHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 , или cos(x-HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15)=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15.
Поскольку arccosHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, находим x - HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n,
отсюда находим: x=HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2
·n, x=2
·n.
Примеры для самостоятельного выполнения:
(ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)
(ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (8n +3) , x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (8k +1))










6. Преобразование произведения в сумму.

Здесь используются соответствующие формулы.
    
П р и м е р .  Решить уравнение:  2 sin x · sin 3x = cos 4x.
 
Р е ш е н и е .  Преобразуем левую часть в сумму:
 
cos 4x – cos 8x = cos 4x ,
 
cos 8x = 0 ,
 
8x =
·
·/ 2 +
·k ,
 
x =
·
·/ 16 +
·k / 8 .



Пример2. Решить уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Решение. Воспользовавшись формулой преобразования произвндения в сумму имеем:
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Примеры для самостоятельного выполнения:
sin6x
· cos2x = sin5x
· cos3x – sin2x (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k, x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)

sinx + sin3x + cosx + cos3x = 0 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k, x = -HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)

cos4x
· cos2x = sin3x
· sin5x (ответ: HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k)



7. Универсальная подстановка.

                                                                                                                                             
      П р и м е р 1.   Решить уравнение:  5sin2x-5cos2x=tgx+5

Р е ш е н и е. Применив формулы



Представим заданное уравнение в виде



Обозначив tg x = t, запишем



После приведения к общему знаменателю и несложных преобразований придем к уравнению tHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 – 9 t + 10 = 0. Один из делителей свободного члена, а именно tHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15=2, является корнем этого уравнения. Разложив левую часть на множители, получим (t - 2) (tHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + 2t - 5) = 0. Решив квадратное уравнение tHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2t-5=0, найдем еще два значения
tHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-1, tHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15= -HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15-1
Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности трех уравнений


HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15


Пример2. Решить уравнение HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

Решение. Решим уравнение с помощью универсальной подстановки.
Выразив sinx и cosx через tanHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, и, положив u=tanHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15, приходим к рациональному уравнению
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15
Примеры для самостоятельного выполнения:
sinx + ctg(x/2) = 2 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+2HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)
3sin4x = (cos2x-1)
·tgx (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15k, x = ± arctanHYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15+ HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15m, x = ± HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 + HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15n)

sin2x+2ctgx=3 (ответ: x = HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15 (4k+1) )









HYPER13PAGE HYPER15


HYPER13PAGE HYPER1413HYPER15



HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15

HYPER13 EMBED Equation.3 HYPER14HYPER15



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativecEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc file4
    Размер файла: 375 kB Загрузок: 8

Добавить комментарий