Гушчина в.а


76200102870 Министерство образования и науки Самарской области
Государственное бюджетное образовательное учреждение
среднего профессионального образования
«Чапаевский химико-технологический техникум»
Методические указания по выполнению практических работ по учебной дисциплине «Элементы высшей математики»
Разработал: Гущина В.А.
Автор: Гущина Виолетта Александровна, преподаватель математики ГБОУ СПО «ЧХТТ»
Аннотация:
Методические указания представляют собой разработку практических занятий по учебной дисциплине «Элементы высшей математики» Практические занятия представляют собой, занятия по выполнению различных заданий, образцы которых были даны на теории. В итоге у каждого студента должен быть выработан определенный профессиональный подход к решению каждой задачи.
Методические указания предназначены для студентов и содействуют выработке умений и навыков применения знаний, полученных на теории и в ходе самостоятельной работы.
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1
Тема: Операции над матрицами, вычисление определителей
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут выполнить операции над матрицами, вычислить определитель
2. Пояснения к работе
Определение: матрицей размера m×nназываетсяпрямоугольная таблица чисел
A=a11a12…a1na21a22….a2nam1am2….amn, состоящая из m– строк и n-столбцов.
Определение: если m=n, то матрица называется квадратной матрицей n-го порядка.
Обозначение:кратко матрицы обозначают A=aik, i=1,m, k=1,n.
Определение: матрица A’ называется транспонированной кA, если она получена из A заменой строк столбцами.
Обозначим через M- множество матриц размера m×n.
Определение: две матрицы A, BϵMназываются равными, если равны их элементы, стоящие на одинаковых местах, т.е. aik=bikдля i=1,m, k=1,n.
Определение: суммой матриц A+Bназывается матрица Cтакая, что любой элемент cikэтой матрицы равен сумме соответствующих элементов матриц A и B. Т.е. A+B=C,
cik=aik+bik, i=1,m, k=1,n.Замечание: сложение матриц коммутативно и ассоциативно.
Определение: произведением матрицы A на число λ называется матрица Dтакая, что любой ее элемент равен произведению числа λ на соответствующий элемент матрицы A.
D=λ∙A, dik=λ∙aik, i=1,m, k=1,n.Определение: матрица О называется нулевой, если все ее элементы равны 0.
Замечание: A+О=О+A=A.
Рассмотрим матрицы: A размера m×n и B размера n×p.
Определение: произведением матриц A∙B назовем матрицу C размера m×p,элементы которой определяются по правилу: cik=ai1∙b1k+ai2∙b2k+…+ain∙bnk, i=1,m, k=1,p. Т.е. элемент cik равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы A на соответствующие элементы k-го столбца матрицы B.
Замечание: умножение матриц некоммутативно, даже если определены оба произведения
A∙Bи B∙A. Умножение матриц ассоциативно.
Пример: вычислить A∙B-B∙A, где A=210112-121, B=1-1121-1010.
A∙B=2∙1+1∙2+0∙02∙-1+1∙1+0∙12∙1+1∙-1+0∙01∙1+1∙2+2∙01∙-1+1∙1+2∙11∙1+1∙-1+2∙0-1∙1+2∙2+1∙0-1∙-1+2∙1+1∙1-1∙1+2∙-1+1∙0=4-1132034-3B∙A=1∙2+(-1)∙1+1∙(-1)1∙1+(-1)∙1+1∙21∙0+(-1)∙2+1∙12∙2+1∙1+(-1)∙(-1)2∙1+1∙1+(-1)∙22∙0+1∙2+(-1)∙10∙2+1∙1+0∙(-1)0∙1+1∙1+0∙20∙0+1∙2+0∙1=02-1611112A∙B-B∙A=4-1132034-3-02-1611112=4-0-1-21--13-62-10-13-14-1-3-2=4-32-31-123-5Определение:определителем квадратной матрицы порядка nназывается алгебраическая сумма n!членов, каждый из которых равен произведению элементов, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы A. Знак члена определителя определяется -1s, где s- число инверсий в перестановке вторых индексов элементов, если первые индексы элементов идут в естественном порядке.
Обозначение:D, λD=a11a12…a1na21a22….a2nan1an2….ann, D=α1,α2,…αn-1s∙a1α1∙a2α2∙….∙anαn, где суммирование ведется по всем перестановкам α1,α2,…αn из чисел 1,2,…,n; s- число инверсий в перестановке α1,α2,…αn.
Определение: инверсией в перестановке называется такое взаимное расположение двух чисел, когда большее число стоит впереди меньшего.
Замечание: для определителей 2-го и 3-го порядков есть более простые определения.
D=a11a12a21a22=a11∙a22-a12∙a21.
D=a11a12a13a21a22a23a31a32a33==a11∙a22∙a33+a12∙a23∙a31+a13∙a21∙a32-a13∙a22∙a31-a12∙a21∙a33-a11∙a23∙a32Пример 1: 2-34-1=2∙-1-4∙-3=-2+12=10.
Пример 2: -123-2145-32=-1∙1∙2+2∙4∙5+-2∙-3∙3-5∙1∙3--2∙2∙2--3∙4∙-1=-2+40+18-15+8-12=37Свойства определителей:
1. значение определителя не изменится, если его матрицу транспонировать (равноправие строк и столбцов определителя);
Дальнейшие свойства сформулированы для строк определителя, но они будут верны и для его столбцов.
2. если в строке определителя есть общий множитель, то его можно вынести за знак определителя;
3. если поменять местами две строки определителя, то он изменит только знак;
4. определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на любое число, отличное от нуля;
5. Если все элементы какой-либо строки определителя равны сумме двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей. У одного из них элементами этой строки являются первые слагаемые, а у другого – вторые, все остальные элементы – без изменения;
6.определитель равен нулю, если имеет нулевую строку; две равные строки; какая-либо строка является линейной комбинацией других строк;
7. определитель, у которого все элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны 0, равен произведению диагональных элементов;
Определение: минором элемента aik назовем определитель n-1-го порядка, который получается из данного определителя вычеркиванием i-ой строки и k-го столбца.
Обозначение:MikОпределение: алгебраическим дополнением элемента aik назовем его минор со знаком -1i+k. Обозначение: Aik. Aik=-1i+k∙Mik8. если все элементы i- ой строки, кроме aik, равны 0, то определитель равен произведению этого элемента на его алгебраическое дополнение D=aik∙Aik.9. определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения D=ai1∙Ai1+ai2∙Ai2+…+ain∙Ain. Эта операция называется разложением определителя по строке.
10. сумма произведений элементов какой-либо строки определителя на алгебраические дополнения элементов другой строки равна 0. ai1∙Aj1+ai2∙Aj2+…+ain∙Ajn=03. Содержание работы
Вариант 1.
Задача 1. Выполните действия с матрицами:
341215641∙153 42-1 0 120 1 3+13501-4∙1 2 4 1013 1Задача 2. Вычислить определитель
251367249Задача 3. Вычислить определитель и, используя формулы тригонометрии упростить его
sinαcosα1sinβcosβ1sinγcosγ1Задача 4. В результате применения каких из свойств определителей 3-го порядка были получены следующие равенства:
3421-40213=3124-41203Вариант 2.
Задача 1. Выполните действия с матрицами:
134514314∙1-34 1210 2315 7+521-620∙271 3012 11Задача 2. Вычислить определитель
32125-3012Задача 3. Вычислить определитель и, используя формулы тригонометрии упростить его
2sinαcosα2sin2α-12cos2α-12sinαcosαЗадача 4. В результате применения каких из свойств определителей 3-го порядка были получены следующие равенства:
5728364-1-2=-4-1-2836572Вариант 3.
Задача 1. Выполните действия с матрицами:
321416642∙254 32-10 2304 1-316-2-11∙103 121-6 2Задача 2. Вычислить определитель
-412507624Задача 3. Вычислить определитель
a0b0c0abca2b2c2Задача 4. В результате применения каких из свойств определителей 3-го порядка были получены следующие равенства:
7-61145-27-611=0Вариант 4.
Задача 1. Выполните действия с матрицами:
314521612∙2-3442-1104+-23167-2∙8-1416-7Задача 2. Вычислить определитель
-1-122103-13Задача 3. Не вычисляя, показать, что определитель равен 0

Задача 4. В результате применения каких из свойств определителей 3-го порядка были получены следующие равенства:
361243485=0Вариант 5.
Задача 1. Выполните действия с матрицами:
1-1122-2014∙21-1 2314 0-124 -3+1-123-34∙1-12 -1301 -3Задача 2. Вычислить определитель
-3-51432143Задача 3. Вычислить определитель и, используя формулы тригонометрии упростить его
sin2αasinαcosαsin2βbsinβcosβsin2γcsinγcosγ=0Задача 4. В результате применения каких из свойств определителей 3-го порядка были получены следующие равенства:
253174362+2-331-44322=223134382Вариант 6.
Задача 1. Выполните действия с матрицами:
12-1103∙-140 131-3 0-110213-303∙21-1 -2303 -1-2-12 -2Задача 2. Вычислить определитель
-51310-1314Задача 3. Вычислить определитель и упростить его
2a+sinαasinα2b+sinβbsinβ2c+sinγcsinγ=0Задача 4. В результате применения каких из свойств определителей 3-го порядка были получены следующие равенства:
111015435-210=-110435-2104. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2
Тема: Нахождение обратной матрицы. Вычисление ранга матрицы
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут найти обратную матрицу, вычислить ранг матрицы
2. Пояснения к работе
Определение квадратная матрица порядка nназывается обратимой или невырожденной, если для нее существует квадратная матрица порядка n такая, что их произведение равно единичной матрице A∙B=B∙A=E.
Определение: матрица B называется обратной к матрице A. Обозначение: A-1.
Определение: матрица A обратима тогда и только тогда, когда ее определитель ≠0.
Обратную матрицу можно найти:
а) по формуле
A-1=1D∙A*, где A*- матрица присоединенная к матрице A.
A*=A11A21….An1A12A22….An2A1nA2n….Ann, Aik-алгебраические дополнения элементов aikматрицы А.
Пример: Найти матрицу обратную к матрице A=273394153Решение:D=-3≠0, т.е. A-1 существует
A11=-11+1∙9453=7A21=-12+1∙7353=-6A31=-13+1∙7394=1A12=-11+2∙3413=-5A22=-12+2∙2313=3A32=-13+2∙2334=1A13=-11+3∙3915=6A23=-12+3∙2715=-3A33=-13+3∙2739=-3A-1=1-3∙7-61-5316-3-3=-732-1353-1-13-211б) с помощью элементарных преобразований
Замечание: элементарными преобразованиями матрицы называются:
1) перестановка строк (столбцов) матрицы;
2) умножение элементов строки (столбца) на число 0;
3) прибавление элементов одной строки (столбца) к соответствующим элементам другой строки (столбца);
4) вычеркивание нулевой строки (столбца) матрицы.
Замечание: суть метода элементарных преобразований над строками матрицы. К исходной квадратной матрице An справа через разделительную вертикальную черту приписывают единичную матрицу Е того же порядка, что и А, и таким образом получают расширенную матрицу (A|E). Далее, с помощью элементарных преобразований над строками приводят матрицу (A|E сначала к ступенчатому виду (А1|B), где А1 – верхняя треугольная матрица, а затем к виду (Е|А1). Таким образом, имеет место преобразование: (АЕ)(ЕА1).
Пример. Дано: А=. Методом элементарных преобразований над строками найти обратную матрицу А1.
Решение. (A|E) =1 ~ ~ ~ ~ ~ 1 ~
~ ~ ~ А1=
Проверка: А1А = = = Е
Рассмотрим матрицу A=a11a12…a1na21a22….a2nam1am2….amn размера m×nс действительными элементами. Столбцы матрицы можно рассматривать как -мерные векторы, а строки – как n-мерные векторы.
Определение: строчечным рангом матрицы называется ранг ее векторов-строк
Определение: столбцовым рангом матрицы называется ранг векторов-столбцов.
Замечание: эти ранги совпадают, поэтому можно говорить просто о ранге матрицы.
Определение: ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Замечание: С помощью элементарных преобразований матрицу всегда можно привести к ступенчатому виду.
Пример. Найти ранг матрицы А=
Решение. Элементарными преобразованиями приведем матрицу А к ступенчатому виду.
А= ~ ~ ~
~ = В r(B) = 3. Так как А~Вr(А) = r(B) = 3.
Ответ: r(A) = 3
3. Содержание работы
Вариант 1:
Задача 1. Докажите, что данная матрица имеет обратную и найдите её. Выполните проверку.
а) 7-85-3 б) -9602Задача 2. Найти ранг матрицы
А= ; r(A)=?
Вариант 2:
Задача 1. Дана матрица A=αβγδ, причем αβγδ≠0. Докажите, что
A-1=1αδ-βγδ-β-γαЗадача 2. Найти ранг матрицы
А= ; r(A)=?
Вариант 3:
Задача 1. Докажите, что матрица A=7-8431-26-51имеет обратную. Найдите элементы обратной матрицы. Выполните проверку
Задача 2. Найти ранг матрицы
А=; r(A)=?
Вариант 4:
Задача 1. Докажите, что матрица A=3-12-2111-2-3имеет обратную. Найдите элементы обратной матрицы. Выполните проверку.
Задача 2. Найти ранг матрицы
А= ; r(A)=?
Вариант 5:
Задача 1. Докажите, что матрица A=-1843-120-5-7имеет обратную. Найдите элементы обратной матрицы. Выполните проверку.
Задача 2. Найти ранг матрицы
А=; r(A)=?
Вариант 6:
Задача 1. Дана матрица A=121010022,найти обратнуюи выполните проверку.
Задача 2. Найти ранг матрицы
А= ; r(A)=?
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
Основная:
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3
Тема: Решение систем линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут найти решение линейных уравнений по правилу Крамера и методом Гаусса
2. Пояснения к работе
Определение: системой mлинейных уравнений с nнеизвестными x1, x2, …xnнад полем Pназывается система вида
a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,где aik, biϵPОпределение: решением системы линейных уравнений называется упорядоченная совокупность nчисел поля P (α1,α2,…,αn), которая является решением каждого уравнения системы.
Определение: система линейных уравнений с n неизвестными называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение и несовместной, если решений нет.
Определение: две системы линейных уравнений с n неизвестными называется равносильными, если множества их решений совпадают.
Определение: элементарными преобразованиями системы уравнений называются такие преобразования, которые приводят ее к равносильной системе.
Теорема: элементарными преобразованиями системы уравнений являются:
1) перемена местами уравнений системы;
2) умножение какого-либо уравнения на число, отличное от нуля;
3) прибавление к одному уравнению системы другого уравнения, умноженного на число, отличное от нуля;
4) исключение из системы уравнения с нулевыми коэффициентами и нулевым свободным членом.
Замечание: решение систем линейных уравнений методом Гаусса заключается в приведении ее с помощью элементарных преобразований к ступенчатому виду.
Определение: ведущим коэффициентом уравнения называется первый отличный от нуля коэффициент.
Замечание: система линейных уравнений называется ступенчатой, если
1) уравнения с нулевыми коэффициентами расположены ниже всех уравнений, имеющих ненулевые коэффициенты;
2) если a1k1, a2k2,…, arkr- ведущие коэффициенты уравнений, то k1<k2<…<kr.
Пример: решить систему уравнений методом Гаусса (1) x1+2x2+3x3=72x1+3x2+4x3=83x1+4x2+x3=9Решение: с помощью элементарных преобразований приведем систему уравнений к ступенчатому виду. Первое уравнение умножим на (-2) и прибавим ко второму, затем умножим его на (-3) и прибавим к третьему. Получим систему уравнений
(2) x1+2x2+3x3=7-x2-2x3=-6-2x2-8x3=-12 , которая равносильна системе уравнений (1).
Умножим второе уравнение системы (2) на (-2) и прибавим к третьему уравнению. Получим систему уравнений
(3) x1+2x2+3x3=7-x2-2x3=-6-4x3=0, которая равносильна системе (2), а значит и системе (1).
Система уравнений (3) имеет ступенчатый вид. Причем число ее уравнений равно числу неизвестных. Говорят, что система уравнений (3) имеет вид «треугольника». Из третьего уравнения находим, что x3=0, из второго уравнения, что x2=6, из первого, что x1=-5Ответ: система уравнений имеет единственное решение (-5,6,0).
Замечание: вместо преобразования системы уравнений можно преобразовывать строки ее расширенной матрицы, т.е. матрицы элементами которой являются коэффициенты и свободные члены системы уравнений.
б) Формулы КрамераДана система уравнений a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2an1x1+an2x2+…+annxn=bnA=aik, ik=1,n – матрица системы уравнений.D=A- определитель матрицы A.
Замечание: если D≠0, то система уравнений имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: x1=D1D, x2=D2D,…, xn=DnD, где Di- определитель, который получается из определителя D заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Пример: решить систему уравнений методом Крамера2x1+x2+3x3=15x1-3x2-2x3=-2x1+4x2+3x3=3Решение:
D=2135-3-2143=-18-2+60+9+16-15=50≠0D1=113-2-3-2343=-9-24-6+27+6+8=2 D2=2135-2-2133=-12-2+45+6+12-15=34D3=2115-3-2143=-18-2+20+3+16-15=4x1=D1D=250=125;x2=D2D=3450=1725;x3=D3D=450=225Ответ: (125; 1725; 225).
Замечание: если D=0, а из определителей D1, D2,…,Dnхотя бы один не равен нулю, то система уравнений несовместна.
3. Содержание работы
Вариант 1:
Задача 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и выполнить проверку.
2x1+x2+3x3+x4=11x1-x2+x4=73x1+7x3+3x4=29x1+x4=5Задача 2.Решите систему уравнений методом Гаусса
x-2y+3z=62x+3y-4z=203x-2y-5z=6Вариант 2:
Задача 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и выполнить проверку.
2x1+x2-x3+3x4=-8x1-x2+4x3-3x4=-43x1+2x2+x4=-14-x1+3x2+x3-x4=5Задача 2.Решите систему уравнений методом Гаусса
5x+y-3z=-24x+3y+2z=162x-3y+z=17Вариант 3:
Задача 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и выполнить проверку.
5x1-3x2+2x3+x4=9x1-x2+4x3-3x4=-12x1+x2-3x3+x4=23x1+2x3+4x4=7Задача 2.Решите систему уравнений методом Гаусса
x+2y+3z=-72x+y+2z=-23x+2y+z=3Вариант 4:
Задача 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и выполнить проверку.
-3x1+x3+2x4=-5x1-x2-2x3+x4=-44x1-3x2+2x3+x4=3x2+2x3-x4=7Задача 2.Решите систему уравнений методом Гаусса
x+3y-6z=123x+2y+5z=-102x+5y-3z=6Вариант 5:
Задача 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и выполнить проверку.
2x1-x2+3x3+x4=8x1+2x2-2x4=5-x1+x2+2x3-3x4=22x1-x2+x3+3x4=4Задача 3.Решите систему уравнений методом Гаусса
2x-3y+5z=11x+2y-3z=-43-y-2z=-5Вариант 6:
Задача 1. Решить систему уравнений по формулам Крамера и выполнить проверку.
2x1+x2+3x3+3x4=7x1-x2+4x4=-13x1+x3+9x4=10x1+3x4=1Задача 2.Решите систему уравнений методом Гаусса
-2x+y+z=13x-6y+3z=-2x+y-2z=44. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
Основная:
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4
Тема: Операции над векторами. Вычисление модуля и скалярного произведения.
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут выполнить операции над векторами, вычислить модуль, скалярное произведение
2. Пояснения к работе
Замечание:Физические величины, имеющие не только абсолютное значение, но и направление, называются векторными.
Пример: Скорость, сила, ускорение — векторы.
Обозначение: ν, F , a.
Пример: Автомобиль движется из A в B. Конечный результат — его перемещение из точки A в точку B, то есть перемещение на вектор AB.
Замечание: A- начало, B- конец.

Определение: длиной вектора называется длина этого отрезка. Обозначение: a или AB.
Замечание: сравнивать можно только длины векторов.
Определение: равными называются векторы, имеющие одинаковые длины и одинаковое направление.
Замечание: это значит, что вектор можно перенести параллельно себе в любую точку плоскости.Определение: единичным называется вектор, длина которого равна 1.
Определение: нулевым — вектор, длина которого равна нулю, то есть его начало совпадает с концом.
Пример: точка
Определение:разложение вектораaв базисе i,jимеет вид a=xi+yj, где i-единичный вектор на оси Ox, а j-единичный вектор на оси Oy. Числа x, y называются координатами вектора a в базисе i,j.
Определение: если начало вектора a находится в точкеA(xA;yA), а конец – в точке B(xB;yB), то разложение вектора a записывается в виде a=AB=xB-xAi+yB-yAj
Определение: если координаты вектора заданы, его длина находится по формуле

Определение: a=AB=xB-xA;yB-yAнаходится по формуле
AB=xB-xA2+yB-yA2Операции над векторами:
1. Сложение векторов.
1). Правило параллелограмма. Чтобы сложить векторы  и , помещаем начала обоих в одну точку. Достраиваем до параллелограмма и из той же точки проводим диагональ параллелограмма. Это и будет сумма векторов  и .

2). Второй способ сложения векторов — правило треугольника. Возьмем те же векторы  и . К концу первого вектора пристроим начало второго. Теперь соединим начало первого и конец второго. Это и есть сумма векторов  и .

3). Правило многоугольника.По тому же правилу можно сложить и несколько векторов. Пристраиваем их один за другим, а затем соединяем начало первого с концом последнего.

Представьте, что вы идете из пункта А в пункт В, из В в С, из С в D, затем в Е и в F. Конечный результат этих действий — перемещение из А в F.
2.Вычитание векторов
Вектор -c направлен противоположно вектору c. Длины векторов c и -c равны.

Разность векторов a и c — это сумма вектора a и вектора -c.

3. Умножение вектора на число
При умножении вектора a  на число k получается вектор, длина которого в k раз отличается от длины a.
Замечание: он сонаправлен с вектором a, если k больше нуля, и направлен противоположно a, если k меньше нуля.

Правила действий над векторами, заданными своим координатами.
1) координаты суммы двух (или более) векторов равны суммам соответствующих координат слагаемых , т.е. a+b=x1+x2; y1+y2;
2) координаты разности двух (или более) векторов равны разностям соответствующих координат этих векторов , т.е. a-b=x1-x2; y1-y2;
3) координаты произведения вектора на число равны произведениям соответствующих координат данного вектора на это число, т.е. ma=mx1; my14. Скалярное произведение векторов
Определение: Скалярным произведением векторов называется произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Замечание:в результате скалярного произведения получается скалярто есть число.
Замечание: если векторы перпендикулярны, их скалярное произведение равно нулю. Определение: выражение скалярного произведения через координаты векторов a и b:
a ∙ b=xa∙xb+ya∙ybЗамечание: Из формулы для скалярного произведения можно найти угол между векторами:
cosφ=a ∙ ba ∙ b=xa∙xb+ya∙ybxa2+ya2∙xb2+yb2Формулы аналогичны и для векторов в пространстве.
разложение вектора a записывается в виде a=AB=xB-xAi+yB-yAj+zB-zAka=x2+y2+z2; A1A2=x2-x12+y2-y12+z2-z12a ∙ b=xa∙xb+ya∙yb+za∙zb3. Содержание работы
Задача 1. В правильном тетраэдре ABCDс ребром, равным 1, найти скалярное произведение: а) DB∙DA; б) MN∙MD, где M, N –середины соответственно ребер CD и AB.
Задача 2. Доказать, что если длины ненулевых векторов aи bравны, то векторы a+b и a-b перпендикулярны.
Задача 3. Найдите периметр треугольника , образованного векторами AB, BC, CA , если A8;0;6, B8;-4;6, C6;-2;5.Задача 4. Найдите точку пересечения медиан треугольника, если его вершинами служат точки A7;-4;5, B-1;8;-2, C-12;-1;6.Задача 5. Даны векторы a=i+3j-k, b=-2i-4j+3k, с=i+3j-k. Найдите скалярное произведение суммы двух первых векторов на третий.
Задача 6. Найдите угол между векторами: 1) a=3i-4k и b=5i-12k;
2) a=(-2;2;-1) и b=(-6;3;6); 3) a+b и a-b, если a=(1;-1;2) и b=(0;2;1)4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
Основная:
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5
Тема: Составление уравнений прямых и кривых второго порядка, их построение
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут составлять уравнения прямых и кривых второго порядка, а также их построить
2. Пояснения к работе
Определение: уравнение прямой, проходящей через данную точку M0(x0;y0;z0)параллельно векторуq=m;n;p, имеет вид r=r0+tqи называется векторно-параметрическим уравнением прямой.
Замечание: r- радиус вектор любой точкиM(x;y;z)прямой; r0- радиус вектор точки M0(x0;y0;z0); t-параметр, принимающий всевозможные действительные значения. Вектор q называется направляющим вектором прямой, а его координаты – направляющими коэффициентами прямой.
Определение: параметрическое уравнение прямой имеет вид
x=x0+tm, y=y0+nt, z=z0+ptОпределение: канонические уравнения прямой имеет вид
x-x0m=y-y0n=z-z0pОпределение: уравнения прямой, проходящей через две точки M1(x1;y1;z1)и M2(x2;y2;z2) имеют вид
x-x1x2-x1=y-y1y2-y1=z-z1z2-z1Определение:общие уравнения прямойимеют вид: A1x+B1y+C1z+D1=0,A2x+B2y+C2z+D2=0Задача:Составить уравнения прямой, проходящей через точку M0(2;1;3) и параллельной вектору q=(4;-5;-6).
Решение: найдем канонические уравнения прямой: x-24=y-1-5=z-3-6Если эти уравнения записать в виде системы, то получим общие уравнения прямой:
x-24=y-1-5y-1-5=z-3-6 или 5x+4y-14=06y-5z+9=0.
Задача: Составить уравнения прямой, параллельной оси Ох и проходящей через точку M(1;1;1).
Решение:направляющий вектор q прямой коллинеарен оси Ox; следовательно, его проекции на оси Oy, Ozравны нулю. Вектор q может иметь любое из двух возможных направлений и любую длину. Примем q=1 и выберем направление, совпадающее с положительным направлением оси Ox; тогда q=(1;0;0). Составим канонические уравнения прямой: x-11=y-10=z-10.
Общие уравнения прямой имеют вид y-1=0z-1=0Определение: окружностью называется множество всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки этой плоскости, называемой центром.
Определение: уравнение окружности с центром в начале координат и радиусом rимеет вид x2+y2=r2.
Определение: уравнение окружности с центром в точке O1(a;b) и радиусом rимеет вид (x-a)2+(y-b)2=r2.
Определение: уравнение окружности в общем виде Ax2+Ay2+Bx+Cy+D=0, A,B,C,D-постоянные коэффициенты.
Задача: составить уравнение окружности с центром в точке (5;-7) и проходящей через точку (2;-3).
Решение: найдем радиус окружности как расстояние от центра до данной ее точки: r=2-52+-3-(-7)2=5. Теперь в уравнение подставим координаты центра и найденную величину радиуса: (x-5)2+(y+7)2=25.
Определение: эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, большая расстояния между фокусами 2c.
Определение: уравнение эллипса, фокусы которого лежат на оси Ox, имеет вид
x2a2+y2b2=1 a>b, a-длина большой полуоси; b-длина малой полуоси.
Зависимость между параметрами a, b,cвыражается соотношением a2-b2=c2.
Определение: эксцентриситетом эллипса называется отношение фокусного расстояния 2c к большой оси 2a:e=ca=a2-b2a<1.
Замечание:если фокусы эллипса лежат на оси Oy, то его уравнение имеет вид
x2b2+y2a2=1 a>b
Задача: составить уравнение эллипса, если две его вершины находятся в точках A1(-6;0), A2(6;0), а фокусы – в точках F1(-4;0),F2(4;0).
Решение: из условия следует, что a=6 и c=4. По формуле находим b2=62-42=20. Подставив значения a2 и b2 в уравнения, получим x236+y220=1 Определение: гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний которых до двух данных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная 2a, меньшая расстояния между фокусами 2c.
Определение: уравнение гиперболы, фокусы которого лежат на оси Ox, имеет вид
x2a2-y2b2=1 , a-длина действительной полуоси; b-длина мнимой полуоси.
Зависимость между параметрами a, b,cвыражается соотношением b2=c2-a2.
Определение: эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к ее действительной оси:e=ca=a2+b2a>1.
Замечание: гипербола имеет две асимптоты, уравнения которых y=±baxЗамечание: если действительная и мнимая оси гиперболы равны (a=b), то гипербола называется равносторонней. Уравнение равносторонней гиперболы записывается в виде x2-y2=a2. Уравнения асимптот y=±xЗамечание:если фокусы гиперболы лежат на оси Oy, то его уравнение имеет вид
y2a2-x2b2=1 или x2b2-y2a2=-1 . Уравнения асимптот y=±abx.
Замечание: уравнение равносторонней гиперболы с фокусами на оси Oy имеет вид
y2-x2=a2.
Задача:составить уравнение гиперболы, если его вершины находятся в точках A1(-3;0), A2(3;0), а фокусы – в точках F1(-5;0),F2(5;0).
Решение: из условия следует, что a=3 и c=5. По формуле находим b2=52-32=16. Подставив значения a2 и b2 в уравнения, получим x29-y216=1
Определение: параболой называется множество точек на плоскости, равноудаленных от данной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой директрисой.
Определение: уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Oxи ветви направлены вправо, имеет вид y2=2px, где p>0(параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы x=-p2.
Определение: уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Oxи ветви направлены влево, имеет вид y2=-2px, где p>0 (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы x=p2.
Определение: уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Oyи ветви направлены вверх, имеет вид x2=2py, где p>0 (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы x=-p2.
Определение:уравнение параболы с вершиной в начале координат, осью симметрии которой служит ось Oyи ветви направлены вниз, имеет вид x2=-2py, где p>0 (параметр параболы) – расстояние от фокуса до директрисы. Уравнение ее директрисы x=p2.

Задача: составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее фокус находится в точке F(3;0).
Решение: фокус параболы лежит на положительной полуоси Ox, следовательно, уравнение параболы имеет вид y2=2px. Так как координаты фокуса p2;0, то p2=3, откуда p=6. Подставив значение p в уравнение получим y2=12x.
Задача: составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, если ее директрисой служит прямая x=-4.
Решение: Расстояние директрисы от начала координат равноp2следовательно, p2=4 , т.е. p=8. Уравнение параболы имеет вид y2=2px, так как абсцисса директрисы отрицательна. Подставив значение p в уравнение получим y2=16x.
Парабола со смещенной вершиной
Определение: уравнение параболы с вершиной в точке a;b, с осью симметрии, параллельной оси Ox, и ветвями, направленными вправо, имеет вид y-b2=2p(x-a)Определение: уравнение параболы с вершиной в точке a;b, с осью симметрии, параллельной оси Ox, и ветвями, направленными влево, имеет вид y-b2=-2p(x-a)Определение: уравнение параболы с вершиной в точке a;b, с осью симметрии, параллельной оси Oy, и ветвями, направленными вверх, имеет вид x-a2=2p(y-b).
Определение: уравнение параболы с вершиной в точке a;b, с осью симметрии, параллельной оси Oy, и ветвями, направленными вниз, имеет вид x-a2=-2p(y-b).
3. Содержание работы
Вариант 1.
Задача 1. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку A(2;-3;4) параллельно вектору q=-1;4;-2.
Задача 2. Составьте уравнение эллипса с фокусами на оси Ox, если расстояние между фокусами равно 20,а эксцентриситет равен 56.
Задача 3. Дана гипербола x281-y263=1. Найдите его эксцентриситет.
Задача 4. Дана парабола y2-2y+16x+65=0. Составьте уравнение ее оси.
Задача 5. Дана парабола x2+6x-12y-3=0. Составьте уравнение ее директрисы.
Вариант 2.
Задача 1. Составьте канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точки A1;3;-5;B4;-1;2.Задача 2. Дан эллипс x2625+y2400=1. Найдите его эксцентриситет.
Задача 3. Составьте уравнение гиперболы с фокусами на оси Ox, зная расстояние между фокусами 2c=90и уравнения ее асимптот y=±43x.
Задача 4. Дана парабола x2+6x+20y-51=0. Составьте уравнение ее оси.
Задача 5. Дана парабола y2+8y+28x+72=0. Составьте уравнение ее директрисы.
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6
Тема: Вычисление пределов с помощью замечательных пределов, раскрытие неопределенности
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять пределы, с помощью замечательных пределов
2. Пояснения к работе
Предел рациональной функции
Определение: Целой рациональной функциейPn(x)называется функция вида
Pnx=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an, aϵRТеорема 1.Предел целой рациональной функции при x→a, равен значению этой функции в точке a, т.е.limx→aPnx=Pna.Задача.Вычислитьlimx→1x3-2x2+5x+3Решение.функция x3-2x2+5x+3 целая рациональная, значит по теореме 1 предел функции равен значению функции в точке x=1. Имеем
limx→1x3-2x2+5x+3=13-2∙12+5∙1+3=7Предел дробно-рациональной функции
Определение: дробно-рациональной функциейR(x)называется функция вида
Rx=Pn(x)Qm(x), где Pnx,Qm(x) –целые рациональные функции.
Теорема 2: предел дробно-рациональной функции приx→a, если при этом знаменатель не обращается в нуль, равен значению функции в точке a, т.е. limx→aPn(x)Qm(x)=Pn(a)Qm(a), Qm(a)≠0Задача. Вычислить limx→12x2+3x-4x2-2.
Решение. Так как в точке x=12знаменатель x2-2≠0,то по теореме 2 предел равен значению функции в точке x=12. limx→12x2+3x-4x2-2=122+3∙12-4122-2=97.
Определение: функция f(x)называется бесконечно малой приx→a, если
limx→afx=0.
Определение:функция f(x)называется бесконечно большой приx→a, если
limx→afx=∞.
Теорема 3: отношение функции, имеющий конечный предел при x→a, не равный нулю, к функции бесконечно малой приx→a есть величина бесконечно большая.
Задача. Вычислить limx→1x3+2x-6x-1Решение.предел знаменателя в точке x=1 равен нулю, поэтому теорема 2 не применима. Найдем отдельно предел числителя и предел знаменателя при x→1.
limx→1x3+2x-6=-3, limx→1x-1=0.
Предел числителя конечен, предел знаменателя равен нулю, используя теорему 3, получим limx→1x3+2x-6x-1=∞.
Раскрытие неопределенности вида 00Замечание:этим термином обозначается предел отношения двух бесконечно малых функций. Процесс вычисления предела называется раскрытием неопределенности. Для этого удобно числитель и знаменатель разложить на множители.
Задача. Вычислить limx→3x-3x2-9=limx→3x-3x-3x+3=lim⁡ x→31x+3=16.
Пределы на бесконечность
Определение: предел целой рациональной функции приx→∞равен limx→∞Pnx=∞.
Теорема 4: отношение функции, имеющий конечный предел приx→∞ к функции бесконечно большой, есть величина бесконечно малая.
Задача. Вычислить limx→∞54x+1Решение. Предел числителя равен 5, предел знаменателя равен∞,т.е. имеем отношение конечного предела к функции бесконечно большой, поэтому, применив теорему 4 получим limx→∞54x+1=0.
Замечание: неопределенность вида ∞∞ означает отношение двух бесконечно больших функций. Для ее раскрытия делят на старшую степень.
Задача. Вычислить limx→∞x2-2x+3x4+2x3-7=limx→∞1-2\x +3\x2x2+2x-7\x2=limx→∞1∞=0Предел дробно-рациональной функции приx→∞ равен
1) 0, если степень числителя ниже степени знаменателя;
2) отношению коэффициентов при старших степенях x, если степени числителя и знаменателя равны;
3)∞, если степень числителя выше степени знаменателя.
3. Содержание работы
Вариант 1.
Задача 1. limx→26x3+2x2-3x+7Задача 2. limx→3x2-9x-3Задача 3. limx→∞2x+534x-22Задача 4.limx→π4cos3xЗадача 5.limx→0sin3x4xВариант 2.
Задача 1. limx→23x-2Задача 2. limx→33x-x2x-3Задача 3. limx→∞2x-522x+13Задача 4.limx→π3tg2xЗадача 5.limx→0tg2x4xВариант 3.
Задача 1. limx→32x2+4x-8Задача 2. limx→32x(x+3)x2-9Задача 3. limx→∞4x-222-3x2Задача 4.limx→π2cosx2Задача 5.limx→03xsin5xВариант 4.
Задача 1. limx→22x2-3x+5Задача 2. limx→1x2-1x2-5x+4Задача 3. limx→∞5-2x33x+13Задача 4.limx→π4ctg2xЗадача 5.limx→0sinx2xВариант 5.
Задача 1. Limx→22x2-3x+4Задача 2. limx→03x3+xxЗадача 3. limx→∞x+523x+12Задача 4.limx→π4sin2xЗадача 5.limx→0sin3x7x4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7
Тема: Вычисление односторонних пределов, классификация точек разрыва
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять односторонние пределы, а также классифицировать точки разрыва.
2. Пояснения к работе
Определение: если функция y=f(x)при x=aимеет разрыв, то для выяснения характера разрыва следует найти предел функции f(x)приx→aслева и справа.
В зависимости от характера поведения функции в окрестности точки разрыва различают два основных вида разрывов:
1) разрыв Iрода – в этом случае существуют конечные пределы limx→a-0f(x)и limx→a+0f(x);
2) разрыв IIрода – в этом случаехотя бы один из пределов limx→a-0f(x)и limx→a+0f(x) не существует или бесконечен.
Задача. Для заданных функций найти точки разрыва и исследовать их характер:
1) y=xx-3; 2) y=31x.
Решение. 1) Данная функция определена при всех значениях x, кроме x=3. Так как эта функция является элементарной, то она непрерывна в каждой точке своей области определения. Таким образом, единственной точкой разрыва служит точка x=3. Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при x→3:
limx→3-0xx-3=-∞, limx→3+0xx-3=+∞Следовательно, функция xx-3 в точке x=3 имеет бесконечный разрыв, т.е. x=3 – точка разрыва IIрода.
2) Здесь функция определена при всех значениях x, кроме x=0. Найдем левый и правый пределы функции при x→0:
limx→-031x=0, limx→+031x=+∞.Так как при x, стремящемся к нулю справа, функция имеет бесконечный предел, то x=0точка разрыва IIрода.
3. Содержание работы
Задача. Найти точки разрыва и исследуйте их характер для следующих функций:
1)y=52x-1; 2) y=1x2; 3) y=11-x2;4) y=3x2-2x+1; 5) y=x-1x2-3x-10; 6) y=1+21(x-2)4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 8
Тема: Вычисление производных сложных функций
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять производные сложных функций
2. Пояснения к работе
Определение:Производная функции в точке - это предел отношения приращения функции в этой точке к соответствующему приращению аргумента при:
1524070485

Обозначения:, или .
Правила дифференцирования:



4.
Формулы дифференцирования:

















18.
Сложная функция – это функция от функции .
Производная сложной функции:

Пример 1: Найти производную сложной функции:
,
,
,
Пример 2: Найти производную функции , если:,

3. Содержание работы
Вариант №1 Вариант №2
Найдите производные функций:
а) а)
б) б)
в) в)
Найдите , если:
а) а)
б) б)
в) в)
г) г)
д) д)
Решите уравнение , если:
а) а)
б) б)
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №9
Тема: Производные и дифференциалы высших порядков. Правило Лопиталя1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять производные и дифференциалы высших порядков
2. Пояснения к работе
Определение 1:Производная второго порядка – это производная от производной первого порядка: .
Определение 2:Производная п-го порядка – это производная от производной порядка: .
Задача:Найти производную четвертого порядка от функции :
Решение:




Определение:дифференциалом функцииy=f(x)(или дифференциалом первого порядка) называется произведение производной этой функции f'(x)на произвольное приращение аргумента ∆x: dy=f'(x)∆xЗамечание: дифференциал аргумента равен приращению аргумента: dx=∆x. Поэтому дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:
dy=f'(x)dxОпределение: дифференциалом второго порядка называется дифференциал от дифференциала первого порядка: d2y=f''(x)dx2, т.е. дифференциал второго порядка функцииy=f(x)равен произведению второй производной этой функции на квадрат дифференциала аргумента.
Задача. Найти дифференциалы второго порядка следующих функций
1) y=lnsin22x, 2) y=e-x.
Решение. 1) y'=1sin22x∙2sin2xcos2x∙2=4ctg2x;y''=-4∙1sin22x∙2=-8sin22x ; d2y=y''xdx2=-8dx2sin22x2) y'=-e-x; y''=e-x; d2y=y''xdx2=e-xdx23. Содержание работы
Вариант 1.
1. найти производные второго порядка
y=x3-4x2+5x-1y=x21-x2y=xln(x+1)2. найти производную -го порядка
y=xexy=5xy=13x+53. В момент времени t=1найдите скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону: s=sinπt4.
4. найдите дифференциалы первого порядка следующих функций
y=lncos2xy=arccosx25. найдите дифференциалы второго порядка следующих функций
y=lntg2xy=arccosx6. вычислите дифференциал функции y=lncos2x при x=π4и dx=0,01Вариант 2.
1. найти производные второго порядка
y=sin23xy=x+12x+3y=lntgx2. найти производную -го порядка
y=lnxy=sinxy=3x3. В момент времени t=1найдите скорость и ускорение точки, движущейся прямолинейно по закону: s=-cosπt3.
4. найдите дифференциалы первого порядка следующих функций
y=ln1xy=arcctg1x5. найдите дифференциалы второго порядка следующих функций
y=a3xy=arctgx26. вычислите дифференциал функции y=lntg2x при x=π8и dx=0,034. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №10
Тема: Полное исследование функции. Построение графиков
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут провести полное исследование функции
2. Пояснения к работе
Схема исследования функции и построения графика:
Найти область определения функции .
Исследовать функцию на непрерывность. Сделать вывод о существовании асимптот.
Выявить особые свойства функции: четность (нечетность), периодичность.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат.
Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
Исследовать функцию на вогнутость, выпуклость и точки перегиба.
Построить график функции.
Задача.Исследовать функцию и построить ее график:
Решение:
.
Функция непрерывна, вертикальных асимптот нет.
Наклонных асимптот так же нет, так как .
Функция нечетная, т.к. . Следовательно, она симметрична относительно начала координат.
Точки пересечения графика с осью ОХ:;Точки пересечения графика с осью ОY:.
Исследуем функцию на монотонность и точки экстремума:
,
Функция возрастает на; функция убывает на .
- точка максимума, - точка минимума.
Составим таблицу:
x -1 1
+ 0 - 0 +
возраст. 2 убывает -2 возраст.
макс. мин. Исследуем функцию на вогнутость, выпуклость и точки перегиба:

Функция вогнута на, выпукла на .
- точка перегиба.
Составим таблицу:
x 0
- 0 +
вогнута 0 выпукла
перегиб Построим график функции:
.
3. Содержание работы
Вариант №1 Вариант №2
1.Найдите критические точки функции:
а)а)
б) б)
2.Исследуйте функцию на выпуклость:

3.Исследуйте функцию и постройте ее график:

4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование ).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №11
Тема: Интегрирование заменой переменной и по частям в неопределенном интеграле
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять неопределенный интеграл методом замены, по частям
2. Пояснения к работе
Формулы интегрирования:

















Задача:Найти неопределенные интегралы:
а).
Метод подстановки или метод замены переменной.
Этот метод является одним из наиболее эффективных и распространенных приемов интегрирования, позволяющих во многих случаях упростить вычисление интеграла.
Пусть функция непрерывна на отрезке . Положим , где функция дифференцируемая на отрезке и , . Тогда имеет место следующая формула: .
Задача.Найти неопределенные интегралы методом подстановки:
а)
б)
в)
Замечание: Этот пример допускает следующий общий вывод:
или
Метод интегрирования по частям.
Пусть функции и определены и непрерывно дифференцируемые функции, то справедлива формула интегрирования по частям:

Чаще всего формула применяется к интегралам вида:
, , , где - многочлен, .
В этих интегралах , , , .
, , , где - рациональная функция,. В этих интегралах , , , .
Задача.Найти неопределенные интегралы методом интегрирования по частям:
а)
б)
3. Содержание работы
Вариант 1.
1. вычислите интегралы методом замены
1)exdxex+132)z2dz1+z33)e1xdxx24)xcosx2+1dx5)eφdφ1-e2φ6)exdx1+e2x2. вычислите интегралы методом интегрирования по частям1)arcsinxdx2)excosxdx3.найдите интеграл
x2+x3x+xxxdxВариант 2.
1. вычислите интегралы
1)e3xdxe3x+12)xe-x2dx3)cosx dxx4)dzz1-ln2z5)x2dx1+x66)x2dxcos2x32. вычислите интегралы методом интегрирования по частям
1)arctgxdx2)exsinxdx3. найдите интеграл
x-3x2-x-12xxdx4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование ).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №12
Тема: Вычисление определенных интегралов
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять определенный интеграл
2. Пояснения к работе
Определение:Определенный интеграл – это общий предел всех интегральных сумм функции на отрезке .
Интегральная сумма , где - произвольная точка существующего отрезка.
Обозначение: , где - подынтегральная функция,
- переменная интегрирования.
Теорема:Если - первообразная функция для непрерывной функции , т.е. . То имеет место формула:
Определение:Определенный интеграл – это разность значений любой первообразной функции для при верхнем и нижнем пределах интегрирования.
Задача: Вычислить:
а)
б)
Основные свойства определенного интеграла:
1. При перестановке пределов изменяется знак интеграла:
.
2. Интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:
.
3.Отрезок интегрирования можно разбить на части:
(свойство аддитивности).
4. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов:
.
5. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
.
6. Если функция всегда на отрезке , то
.
7. Если всюду на отрезке , то
.
Задача: Вычислить:
а).
Основные способы вычисления определенного интеграла:
1. Формула Ньютона-Лейбница.
2. Метод подстановки или замена переменной.
3. Интегрирование по частям.
Задача. Вычислить:
а) . На отрезке подынтегральная функция непрерывна, следовательно, интегрируема.
.
б) . Вводим новую переменную интегрирования, полагая . Отсюда находим новые пределы интегрирования: при и при . Подставляя, получим:
.
в) Интегрируем по частям.

3. Содержание работы
Вариант №1 Вариант №2
Вычислите:Вычислите:
1. 2. 1. 2.
3. 4. 3. 4.
5. 6. 5. 6.
7. 8. 7. 8.
9. 10. 9. 10.
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование ).
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №13
Тема: Дифференциальные уравнения. Общие и частные решения. Уравнения с разделяющимися переменными
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут решать дифференциальные уравнения и находить общие и частные решения
2. Пояснения к работе
Определение: дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию yи ее производные или дифференциалы.
Обозначение:Fx,y,y'=0, Fx,y,y''=0, Fx,y,y', y'',..,yn=0.
Определение: дифференциальным уравнением называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.
Определение: порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.
Определение: решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.
Определение: общим решением (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения.
Замечание: общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.
Определение: частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Замечание: значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.Определение: дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.
Определение:дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида
dydx=f(x)φ(y)Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные: dyφ(y)=f(x)dxДалее проинтегрировать обе части полученного равенства:
dyφ(y)=f(x)dxЗадача. Найти общее решение уравнения x1+y2dx=ydy.
Решение. Разделив переменные, имеем
xdx=ydy1+y2Интегрируем обе части полученного уравнения:
xdx=ydy1+y2; x22=12ln1+y2+12lnCТак как произвольная постоянная C может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо C мы написали 12lnC. Потенцируя последнее равенство, получим x2=lnC(1+y2). Это и есть общее решение данного уравнения.Задача. Найти частное решение уравнения s tgt dt+ds=0, удовлетворяющее начальным условиям s=4при t=π3.
Решение. Разделив переменные, имеем tgt dt+dss=0.
Проинтегрируем обе части полученного уравнения:
tgtdt+dss=lnC; -lncost+lns=lnCили lns=lnC+lncost, s=CcostЭто общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной C подставим значения t=π3и s=4в выражение для общего решения:
4=Ccosπ3, или 4=C2, откуда C=8Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеем вид s=8cost.
3. Содержание работы
Вариант 1.
1. Найти общие решения уравнений
1)xydx=1+x2dy2) x2-yx2dy+y2+xy2dx=03) 1+y2dx-xdy=02. найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям
1) dyx2=dxy2;y=2 при x=02) 1+ydx=1-xdy; y=3 при x=-23. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(2;-1) и имеющей касательную с угловым коэффициентом k=12y.
Вариант 2.
1. Найти общие решения уравнений
1)y2dx+x-2dy=02) x2dy-2xy+3ydx=03) 1-x2dy-x1-y2dx=02. найдите частные решения уравнений, удовлетворяющие указанным начальным условиям
1) dyx-1=dxy-2;y=4 при x=02) 1+xydx+1-yxdy=0; y=1 при x=13. Составить уравнение кривой, проходящей через точку M(1;4) для которой отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью Oy.
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №14
Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов функций нескольких переменных
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять частные производные и дифференциалы функций нескольких переменных
2. Пояснения к работе
Определение:переменная величина zназывается функцией двух переменных величин xи y, если каждой паре допустимых значений xи y соответствует единственное значение z.
Обозначение: z=f(x,y).Определение: частной производной функцииz=f(x,y)по переменной xназывается производная этой функции при постоянном значении переменной y.
Обозначение:∂zdx или z'xОпределение: частной производной функцииz=f(x,y)по переменной yназывается производная этой функции при постоянном значении переменной x.
Обозначение:∂zdy или z'y.
Замечание: частная производная функции нескольких переменных по одной переменной определяется как производная этой функции по соответствующей переменной при условии, что остальные переменные считаются постоянными.
Определение: полным дифференциалом функцииz=f(x,y)в некоторой точке M(x;y)называется выражение
∂z=∂z∂xdx+∂z∂ydyгде ∂z∂x и ∂z∂y вычисляются в точкеM(x;y), а dx=∆x, dy=∆y.
Задача.Вычислить значение частной производной функции z=x-yx+yв точке M(-2;3).
Решение. Находим
∂z∂x=x+y-x-yx+y2=2yx+y2∂z∂y=-x+y-x-yx+y2=-2xx+y2В полученные выражения подставим значения x=-2 и y=3.
∂z∂xM=z'x-2;3=2∙3-2+32=6∂z∂yM=z'y-2;3=-2∙(-2)-2+32=4Задача. Вычислить полный дифференциал функции z=x3-2x2y2+y3в точке M(1;2).
Решение. Находим частные производные
∂z∂x=3x2-4xy2∂z∂y=-4x2y+3y2Вычислим значения частных производных в точке M(1;2):
∂z∂xM=z'x1;2=3∙12-4∙1∙22=-13∂z∂yM=z'y1;2=-4∙12∙2+3∙22=4Согласно формуле, получим dz=-13dx+4dy.
3. Содержание работы
Вариант1.
1. найдите частные производные следующих функций
1) z=x3-3x2y+4x3y2-y32) z=3xy2. вычислите значения частных производных функций в заданных точках:
1) z=x-2yx+yв точке M(2;-1)2) z=e3xyв точке M(1;1)3. вычислите полные дифференциалы функций в заданных точках:
1) z=yx+yв точке M(2;-1)2) z=sin⁡(x2+2y)при x=1, y=2, dx=0,1 и dy=0,2Вариант2.
1. найдите частные производные следующих функций
1) z=y-3xx+4y2) z=e-xy2. вычислите значения частных производных функций в заданных точках:
1) z=lnx2+y2в точке M(2;-2)2) z=yx+xв точке M(1;-2)3. вычислите полные дифференциалы функций в заданных точках:
1) z=ex2yпри x=2, y=1, dx=0,2 и dy=0,12) z=ln2x+yв точке M(1;0)4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №15
Тема: Вычисление частных производных и дифференциалов высших порядков
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять частные производные и дифференциалы высших порядков
2. Пояснения к работе
Замечание: частные производные являются функциями 2х переменных и могут в свою очередь иметь частные производные, которые называются частными производными 2го порядка от функцииz=f(x;y).Обозначение:∂2z∂x2, ∂2z∂y2.
Определение:Частные производные z''xy и,z''xy отличающиеся порядком дифференцирования, называются смешанными частными производными второго порядка.
Обозначение:∂2z∂x∂y, ∂2z∂y∂x.
Задача. Найти частные производныевторого порядка функции z=sinx2+4y-y2∂z∂x=2x∙cosx2+4y∂z∂y=4∙cosx2+4y-2y∂2z∂x2=∂∂x2x∙cosx2+4y=2cosx2+4y+2x∙-sinx2+4y∙2x=2cosx2+4y-4x2sinx2+4y∂2z∂y2=∂∂y4∙cosx2+4y-2y=-16sinx2+4y-2∂2z∂x∂y=∂∂y∂z∂x=∂∂y2x∙cosx2+4y=-2x∙sinx2+4y∙4=-8x∙sinx2+4y∂2z∂y∂x=∂∂x∂z∂y=4∙cosx2+4y-2y=-4∙sinx2+4y∙2x=-8x∙sinx2+4yЗамечание:можно определить производные еще более высоких порядков. Так, для функцииz=f(x;y)  можно написать восемь частных производных третьего порядка: z'''xxx;z'''xxy; z'''xyx; z'''xyy; z'''yxx; z'''yxy; z'''yyx; z'''yyy. .
Замечание:аналогично определяются частные производные высших порядков для функции с любым числом независимых переменных.
Определение: дифференциалом 2го порядка функцииz=f(x;y) называется дифференциал от дифференциала 1го порядка.
Обозначение:d2z=ddzЗамечание:d3z=dd2z,…., dnz=d(dn-1z).
d2z=∂∂x∙dx+∂∂y∙dy2z, где квадрат понимается как повторное дифференцирование;
d3z=∂∂x∙dx+∂∂y∙dy3z; dnz=∂∂x∙dx+∂∂y∙dynz3. Содержание работы
Задача 1. Найти частные производные третьего порядка z=x3+x2y+y3.
Задача2. Найти частные производные второго порядка z=arctgyx.
Задача3. Найтиd2z, d3zфункции z=ylnx.
Задача 4. Найти производные ∂z∂u, ∂z∂vот функции z=xcosy, если x=uv, y=3u-vЗадача5.Найти производную dudtот функции u=z2+y2+zy, y=ex, z=sint.
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №16
Тема: Вычисление двойных интегралов в случае области 1 и 2 типа
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут вычислять двойные интегралы в случае области 1 и 2 типа
2. Пояснения к работе
Определение: двойным интегралом функцииf(x, y)по области Dназывается предел этой суммы:
limλ→0i=1nfxi,yi∆Si=fx,ydSгде λ- наибольший из диаметров элементарных областей ∆Si.
Замечание: функцияz=f(x,y)для которой предел существует и конечен, называется интегрируемой в этой области.
Определение: в прямоугольных координатах двойной интеграл имеет вид
fx,ydxdyЗамечание: если f(x,y)>0, то двойной интеграл функцииz=f(x,y)по области D равен объему тела, ограниченному сверху поверхностью z=f(x,y), сбоку цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны оси Oz,а направляющей служит контур фигуры D и снизу плоскостью z=0.
Свойства двойного интеграла:
1. f1x,y±f2x,ydxdy=f1x,ydxdy+f2x,ydxdy;
2. kfx,ydxdy=kfx,ydxdy;
3. Область интегрирования двойного интеграла можно разбить на части, т.е. если область состоит из двух областей D1и D2, то
fx,ydxdy=fx,ydxdy+fx,ydxdyгде D1 – соответствует первому интегралу, D2-соответствует второму интегралу
Основные случаи вычисления двойного интеграла в прямоугольных координатах.
1.Если область -прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям и заданными уравнениями x=a, x=ba≤x≤b, y=c, y=d (c≤y≤d), то двойной интеграл вычисляется по одной из формул
fx,ydxdy=abdxcdfx,ydyили
fx,ydxdy=cddyabfx,ydxЗамечание: интегралы в правых частях формул называется повторными, а интегралы cdfx,ydy и abfx,ydx – внутренние интегралы.
Замечание: первое интегрирование (внутреннее) по переменной y совершается в пределах отc до d в предположении, что x остается постоянным; результат интегрируется по переменной x в пределах от aдо b.
Если вычисление двойного интеграла выполняется по формуле (2), то порядок интегрирования меняется.
2. Если область D- простая относительно оси Ox (любая прямая, проходящая внутри области и параллельная оси Oy) определяется системой неравенств вида
a≤x≤b, φ1(x)≤y≤φ2(x)В этом случае двойной интеграл выражается через повторный интеграл по формуле
fx,ydxdy=abdxφ1(x)φ2(x)fx,ydy3. Если область D- простая относительно оси Oy (если граница области пересекается в двух точках всякой прямой, проходящая внутри области и параллельная оси Ox) определяется системой неравенств вида
c≤x≤d, φ1(y)≤x≤φ2(y)В этом случае двойной интеграл выражается формулой
fx,ydxdy=cddyφ1(y)φ2(y)fx,ydxгде интегрирование сначала выполняется по переменной x, а затем по переменной y.
4. если нижняя или верхняя линии границы состоят из нескольких участков, имеющих различные уравнения, то область D необходимо разбить прямыми, параллельными оси Oy, на такие части, чтобы каждый из участков выражался одним уравнением.
В этом случае вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух (и более) повторных интегралов.
fdxdy=fdxdy+fdxdy=acdxφ1(x)φ2(x)fdy+cbdxφ1(x)φ3(x)fdyЗадача. Вычислить повторный интеграл
13dx2x2+41x2dyРешение. Вычислим сначала внутренний интеграл по переменной y, считая x постоянным
2x2+41x2dy=1x22x2+4dy=1x2y2x2+4=1x2x2+4-2=1+2x-2Теперь вычислим внешний интеграл по переменной x, подставив в него полученное выражение:
131+2x-2dx=x-2x13=3-23-1-2=313Задача.Вычислить двойной интеграл x+ydxdyпо области D, ограниченной прямымиx=2, x=6, y=1, y=4.
Решение. Область D является простой относительно осей Ox и Oy, поэтому для вычисления интеграла можно использовать формулы из пункта 1.
x+ydxdy=26dx14x+ydyВычислим внутренний интеграл по переменной yпри постоянномx, находим
14x+ydy=xy+y2214=4x+8-x+12=3x+152Подставив это выражение во внешний интеграл, получим
263x+152dx=3x22+152x26=78Задача.Вычислить двойной интеграл yxdxdyпо области D, заданной линиями
x=1, x=4, y=x, y=2x.
Решение. Находим точки пересечения этих линий:
x=1y=2x, M1;2;x=4y=2x, N(4;4)Область D определяется системой неравенств 1≤x≤4, x≤y≤2x. Вычислим двойной интеграл по области D:
yxdxdy=14dxx2xyxdy=14y22xx2xdx=142-12xdx=2x-14x214=214Задача.Вычислим двойной интеграл x+2ydxdy по области D, ограниченной линиями y=x, y=4x, y=4x.
Решение. Находим точки пересечения этих линий:
y=xy=4x, M2;2;y=4xy=4x, N(1;4)Область D разобьем на две области D1 и D2, которые соответственно определяются системами неравенств 0≤x≤1, x≤y≤4x, 1≤x≤2, x≤y≤4xI1=x+2ydxdy=01dxx4xx+2ydy=01xy+y2x4xdx=014x2+16x2-x2-x2dx=1801x2dx=18∙x3301=6I2=x+2ydxdy=12dxx4xx+2ydy=12xy+y2x4xdx=124+16x2-x2-x2dx=124+16x-2-2x2dx=4x-16x-23x312=713Значит I=I1+I2=13133. Содержание работы
Вариант1.
Задача 1. Вычислите повторный интеграл
03dx02x2+2xydyЗадача 2. Вычислите двойной интеграл xydxdy, где D – область, ограниченная параболами y=x2 и x=y2.
Задача 3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле
04dxx2xf(x,y)dyВариант2.
Задача 1. Вычислите повторный интеграл
-22dy0y22x+ydxЗадача 2. Вычислите двойной интеграл x2y2dxdy, где D – область, ограниченная линиями y=1x и y=x, x=4Задача 3. Измените порядок интегрирования в двойном интеграле
14dy1y23y+13f(x,y)dx4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №17
Тема: Решение задач на приложении двойных интегралов
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут решать задачи на приложение двойных интегралов
2. Пояснения к работе
1. Вычисление объема тела
Определение: объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью
z=f(x,y), снизу плоскостью z=0и сбоку прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy (z=0)область D вычисляется по формуле V=zdxdyЗадача. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями z=2x+1, x=0,y=4, y=x2.
Решение.Тело, ограниченное заданными поверхностями, представляет собой вертикальный параболический цилиндр, расположенный в первом октанте. Сверху тело ограничено плоскостью z=2x+1, сбоку параболическим цилиндром y=x2и плоскостями x=0, y=4, снизу параболой y=x2и прямыми x=0 и y=4. Найдем точки пересечения параболы y=x2 и прямой y=4:
y=x2y=4, M(2;4). Значение x=-2не рассматриваем, так как цилиндр расположен в 1 октанте. Область D запишем в виде системы неравенств 0≤x≤2, x2≤y≤4.
Согласно формуле, получим
V=zdxdy=02dxx242x+1dy=022xy+yx24dx=028x+4-2x3-x2dx=1313(куб.ед).
2. Вычисление площади поверхности
Определение: если поверхность задана уравнениемz=f(x,y)и проектируется в область D плоскости xOy (z=0), то площадь Sповерхности вычисляется по формуле
S=1+∂z∂x2+∂z∂y2dxdyОпределение: если поверхность проектируетсяна плоскость yOz (x=0) , то уравнение поверхности следует решить относительно переменной x и формула примет вид
S=1+∂x∂y2+∂x∂z2dydzОпределение: если поверхность проектируетсяна плоскость xOy (y=0) , то уравнение поверхности следует решить относительно переменной y и формула примет вид
S=1+∂y∂x2+∂y∂z2dxdzЗадача. Вычислить площадь треугольника, образованного при пересечении плоскости x+3y+2z=6с координатными плоскостями.
Решение. Найдем отрезки, отсекаемые на координатных осях данной плоскостью:
x6+y2+z3=1, x=6, y=2, z=3Чтобы воспользоваться формулой 1, решим уравнение данной плоскости относительно переменной zи найдем частные производные: z=3-12x-32y, ∂z∂x=-12, ∂z∂y=-32При z=0 имеем x+3y=6, откуда y=2-13x;
Следовательно, в плоскости z=0 область D запишется в виде системы неравенств 0≤x≤6, 0≤y≤2-13x. Тогда
S=1+-122+-322dxdy=06dx02-13x142dy=14206y02-13xdx=142062-13xdx=3143. Содержание работы
Вариант 1.
Задача 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=cosx, x=0, y=12Задача 2.Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями z=2x+2, y=x2,x=0, y=9, z=0.
Задача 3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра y=x2, ограниченного плоскостями z=0, z=6-x-y,x=0, y=4.
Вариант 2.
Задача 1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой y=6xи прямой
x+y-7=0Задача 2.Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями z=8-x-y, y=x2,x=0, y=4, z=0.
Задача 3. Вычислите площадь части поверхности цилиндра y=x2+2, ограниченного плоскостями z=0, z=8-x-y,x=0, y=6.
4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №18
Тема: Исследование сходимости знакочередующихся рядов. Исследование рядов на абсолютную и условную сходимость
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут исследовать ряды на сходимость
2. Пояснения к работе
Определение: если an:a1, a2,…,an,…-бесконечная числовая последовательность, то выражение n=1∞an=a1+a2+…+an+.. называется числовым рядом.
Определение: числовой ряд n=1∞an называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм S=limn→∞Sn. Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд n=1∞an называется расходящимся.
Необходимый признак сходимости: если n=1∞an сходится, то limn→∞an=0.
Если limn→∞an=0 не существует или не равно нулю, то ряд расходится.
Достаточный признак сходимости (Признак Даламбера): Пусть n=1∞an – положительный ряд и существует конечный или бесконечный предел limn→∞an+1an=q1) если q<1 – ряд сходится
2) если q>1 – ряд расходится
3) если q=1 – вопрос о сходимости или расходимости не решается.
Задача. Исследовать числовой ряд n=1∞2n+12nна сходимость по признаку Даламбера.
Решение. Воспользуемся признаком Даламбера:
n=1∞an+1an=limn→∞2n+1+12n+12n+12n=12limn→∞2n+32n+1=12<1Таким образом, ряд сходится.
Определение: числовой ряд u1+u2+…+un+..называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа.
Определение: числовой ряд u1+u2+…+un+.. называется знакочередующимся, если любые два стоящие рядом члена имеют противоположные знаки.
Замечание: Этот ряд является частным случаем знакопеременного ряда.
Признак сходимости Лейбница для знакочередующихся рядов.
Если члены знакочередующегося ряда монотонно убывают по абсолютной величине и общий член un стремится к нулю приn→∞, то ряд сходится.
Определение: знакопеременный ряд называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд
u1+u2+u3+…+un+…, составленный из абсолютных величин его членов, т.е. всякий абсолютно сходящийся ряд является сходящимся.
Замечание: если знакопеременный ряд сходится, а составленный из абсолютных величин его членов ряд расходится, то данный ряд называется условно (неабсолютно) сходящимся. Из расходимости ряда в общем случае не следует расходимость ряда.
Замечание: для установления абсолютной сходимости знакопеременного (и знакочередующегося) ряда используются те же признаки, что и для сходимости ряда с положительными членами.
Замечание: Для решения вопроса об абсолютной или условной сходимости знакочередующегося ряда необходимо рассмотреть ряд, составленный из абсолютных величин членов знакочередующегося ряда.
Замечание: если при исследовании этого ряда с помощью одного из признаков сходимости (признака Даламбера, признака сравнения рядов) ряд окажется сходящимся, то данный знакочередующийся ряд сходится абсолютно; если же ряд окажется расходящимся, то знакочередующийся ряд сходится условно.
Задача. Исследовать на сходимость (абсолютную или условную) знакочередующийся ряд:
1) n=1∞-1n-11n=1-12+13-14+…+-1n-11n+…2) n=1∞-1n-112n-1=1-12+122-123+…+-1n-112n-1+…Решение. 1) члены данного ряда по абсолютной величине монотонно убывают: 1>12>13>14>… и limn→∞un=limn→∞1n=0. Следовательно, согласно признаку Лейбница, ряд сходится. Выясним, сходится ли этот ряд абсолютно или условно.
Ряд 1+12+13+14+…+1n+…, составленный из абсолютных величин членов данного ряда, является гармоническим рядом, который, как известно, расходится. Поэтому данный ряд сходится условно.
2) Используя признак Лейбница, получим 1>12>122>123>… и limn→∞un=limn→∞12n-1=0, т.е. ряд сходится.
Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда:
1+12+122+123+…+12n-1+…Это геометрический ряд вида n=0∞aqn(q=12), который сходится. Поэтому данный ряд сходится абсолютно.
3. Содержание работы
Вариант 1.
Задача 1. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
1) n=1∞-1n-1∙12n; 2) n=1∞-1n+1∙n4n-1Задача 2.Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд:
1) n=1∞-1n+1∙1n1/4; 2) n=1∞-1n-1∙1n∙3nЗадача 3. Исследовать на сходимость числовые ряды по признаку Даламбера
1) n=1∞3n+1n; 2) n=1∞n3nВариант 2.
Задача 1. Используя признак Лейбница, исследуйте сходимость знакочередующегося ряда:
1) n=1∞-1n+1∙n6n-1; 2) n=1∞-1n-1∙1n+1!Задача 2.Исследуйте на абсолютную и условную сходимость ряд:
1) n=1∞-1n+1∙1n+1∙2n; 2) n=1∞-1n+1∙14n-12Задача 3. Исследовать на сходимость числовые ряды по признаку Даламбера
1) n=1∞2n-12n; 2) n=1∞2n∙n2n+14. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №19
Тема: Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение элементарных функций в ряд. Ряды Фурье
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут разложить элементарные функции в рядыТейлора,Маклорена, Фурье.
2. Пояснения к работе
Определение: рядом Тейлора для функцииf(x)называется степенной ряд вида
fx=fa+f'ax-a+f''(a)2!x-a2+…+fnan!x-an+….Определение:Если a=0, то получим частный случай ряда Тейлора, называемый рядом Маклорена
fx=f0+f'(0)1!x+f''(0)2!x2+…+fn0n!xn+…Для разложения функцииf(x)в ряд Маклорена необходимо:
1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точке x=0,т.е. f0, f'0, f''0, …fn0;
2) составить ряд Маклорена, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу;
3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле R=limn→∞anan+1an≠0, n=1,2,3,…Для разложения функцииf(x)в ряд Тейлора необходимо:
1) вычислить значения функции и ее последовательных производных в точкеx=a,т.е. fa, f'a, f''a, …fna;
2) составить ряд Тейлора, подставив значения функции и ее последовательных производных в формулу;
3) найти промежуток сходимости полученного ряда по формуле R=limn→∞anan+1an≠0, n=1,2,3,…Задача. Разложить в ряд Маклорена функциюfx=ex.
Решение. Вычислим значения функции и ее производных при x=0; имеем fx=ex, f'x=f''x=…=fnx=ex;f0=f'0=…=fn0=1Подставив эти значения в формулу, получим разложение функции fx=ex в ряд Маклорена:
ex=1+x1!+x22!+…+xnn!+…Промежуток сходимости найдем по формуле:
an=1n!, an+1=1n+1!=1n+1n!; anan+1=n+1n!n!=n+1R=limn→∞anan+1=limn→∞n+1=∞Полученный ряд сходится к функции fx=ex при любых значениях x, так как в любом промежутке функция fx=ex и ее производные по абсолютной величине ограничены одним и тем же числом.
Определение: Ряд a02+n=1∞ancosnx+bnsinnx, где
a0=1π-ππfxdx,an=1π-ππfxcosnxdx,bn=1π-ππfxsinnxdx,называется рядом Фурье функцииf(x).Замечание: функцияf(x)с областью определения -π≤x≤πможет быть разложена в ряд Фурье, сходящихся к данной функции f(x) при определенных условиях, называемых условиями Дирихле:
1) функция должна быть непрерывной в промежутке -π≤x≤π или может иметь в указанном промежутке конечное число разрывов Iрода.
2)функция должна иметь конечное число экстремумов или не иметь их совсем.
Задача. Разложить в ряд Фурье функцию fx=-1,при -π<x<0 1, при 0≤x≤πРешение. Эта функция кусочно монотонна и ограничена на отрезке -π,π. Вычислим ее коэффициенты Фурье:
a0=1π-ππfxdx=1π-π0-1dx+0πdx=0an=1π-π0-1cosnxdx+0πcosnxdx=-1∙sinnxnπ-π0+sinnxnπ0π=0bn=1π-π0-1sinnxdx+0πsinnxdx=1π∙cosnxn-π0-cosnxn0π=2πn1-cosπn=0, k-четное4πn, k-нечетноеСледовательно, для рассматриваемой функции ряд Фурье имеет вид:
fx=4πsinx1+sin3x3+sin5x5+…+sin2p+1x2p+1+…Это равенство справедливо во всех точках, кроме точек разрыва.
3. Содержание работы
Вариант 1.
Задача 1. Найдите промежуток сходимости степенного рядаn=1∞3nxnn!.
Задача 2. Разложите в ряд Маклорена функцию fx=cosx3.
Задача 3. Разложите в ряд Тейлора по степеням x+3функцию fx=e-2xЗадача 4. Разложить в ряд Фурье функцию fx=x при-π≤x≤πВариант 2.
Задача 1. Найдите промежуток сходимости степенного ряда n=1∞xnn∙2n.
Задача 2. Разложите в ряд Маклорена функцию fx=ln⁡(1+5x).
Задача 3. Разложите в ряд Тейлора по степеням x-π3функцию fx=cosxЗадача 4. Разложить в ряд Фурье функцию fx=x2при-π≤x≤π4. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №20
Тема: Решение линейных уравнений 2-го порядка с постоянными коэффициентами
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут решать линейные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
2. Пояснения к работе
Определение: линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами называется уравнение вида
d2ydx2+pdydx+qy=0, p, q-постоянные величиныЗамечание:для отыскания общего решения уравнения составляется характеристическое уравнение r2+pr+q=0, которое получается из уравнения заменой d2ydx2, dydx и yна соответствующие степени r, причем сама функция y заменяется единицей.
Тогда общее решение дифференциального уравнения строится в зависимости от корней r1и r2характеристического уравнения. Здесь возможны три случая.
I случай. Корни r1и r2- действительные и различные. В этом случае общее решение уравнения имеет вид
y=C1er1x+C2er2xII случай. Корни r1и r2- действительные и равные r1=r2=r В этом случае общее решение уравнения имеет вид
y=C1+C2xerxЗадача. Решить уравнение d2ydx2-7dydx+10y=0Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
r2-7r+10=0; r1=2, r2=5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения согласно формуле запишется так: y=C1e2x+C2e5x.
Задача. Найти частное решение уравнения d2ydx2-5dydx=0, если y=1, dydx=-1, x=0.
Решение. Составим характеристическое уравнение и найдем его корни:
r2-5r=0; r1=0, r2=5. Так как корни характеристического уравнения действительные и различные, то общее решение данного дифференциального уравнения, согласно формуле, запишется так: y=C1+C2e5x.
Для нахождения искомого частного решения нужно определить значения постоянныхC1 и C2. Подставив в общее решение значения x=0, y=1, получим 1=C1+C2.
Продифференцировав общее решение и подставив в полученное выражение значения x=0,dydx=-1, имеем dydx=5C2e5x; -1=5C2. Отсюда находим: C2=-15, C1=1-C2=6/5.
Таким образом, искомое частное решение имеет вид y=65-15e5x3. Содержание работы
Задача 1. Найти частное решение уравнения
1)y''+8y'+16y=0, если y=1, y'=1при x=0.
2)y''-10y'+25y=0, y=2, y'=8 при x=0Задача 2. Решите уравнения
1) d2ydx2+dydx-6y=0; 2) y''-8y'+15y=0; 3) y''+5y'+6=0Задача 3. Решите уравнения
1) d2ydx2-dydx=0; 2) d2ydx2-9y=0; 3) d2ydx2-y=04. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №21
Тема: Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут выполнять действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической форме
2. Пояснения к работе
1. Алгебраическая форма комплексного числа
Определение: комплексным числом называется число видаz=a+bi, a,bдействительные числа, i – мнимая единица i2=-1.
Определение: Число a называется действительной частью комплексного числа.
Обозначение:a=Re z.
Определение: Число bi называется мнимой частью комплексного числа, b- коэффициент мнимой части.
Обозначение:b=Im z.
Определение:z=a-biназывается сопряженным сz=a+bi.
Действия над комплексными числами в алгебраической форме z1=a+biи
z2=c+di.
1. Сложение z1+z2=a+bi+c+di=a+c+b+di2. Вычитание z1-z2=a+bi-c+di=a-c+b-di3. Умножение z1∙z2=a+bi∙c+di=ac+dci+adi+bdi2=ac-bd+bc+adi4. Деление (при делении комплексных чисел, числитель и знаменатель умножают на число, сопряженное знаменателю)
z1z2=a+bic+di∙c-dic-di=ac-bd+bc-adic2+d2=ac-bdc2+d2+bc-adc2+d25. Возведение в степень z12=a+bi2=по формулеa+b2=a2+2ab+b2=a2+2abi+(bi)2=a2-b2+2abi2. Геометрическая форма комплексного числа
Определение:геометрическая интерпретация комплексного числа состоит в том, что комплексному числу z=x+yiставится в соответствие точка с координатами x,yна координатной плоскости таким образом, что действительная часть представляет собой абсциссу, а коэффициент при мнимой части – ординату точки.

Определение: модулем комплексного числа называется абсолютная величина вектора соответствующего этому числу.
Обозначение:z=r=x2+y2.
Определение: аргументом комплексного числа z≠0называется величина угла φ между положительным направлением действительной оси и вектором, соответствующим данному числу.
Обозначение:φ=argz,argx+yi.
Алгоритм нахождения аргумента комплексного числа z=x+yi:
1. Найти острый угол α=arctgyx.
2. Найти аргумент комплексного числа в зависимости от того, в какой координатной четверти лежит вектор, соответствующий этому числу:
I четверть φ=αII четверть φ=π-αIII четверть φ=π+αIV четверть φ=2π-α3. Тригонометрическая форма комплексного числа
Если обозначить через rрасстояние точки x,yот начала координат, через φ угол наклона к положительной оси Oxвектора, идущего из начала координат в точку x,y, то
x=rcos φy=rsinφx+yi=rcos φ+isinφ – тригонометрическая запись комплексного числа
z=z∙cosargz+isinarg (z)Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
z1=r1(cosφ1+isinφ1) и z2=r2(cosφ2+isinφ2) 1. Умножение z1∙z2=r1∙r2cosφ1+φ2+isinφ1+φ22. Деление z1z2=r1r2cosφ1-φ2+isinφ1-φ23. Возведение в степень zn=rcosφ+isin φn=rncosnφ+isin nφ4. Извлечение из под корня
nz=nrcosφ+isinφ=nrcosφ+2πkn+isinφ+2πkn, nr-арифметический корень, k=0,1,….n-14. Решение квадратных уравнений с комплексными числами
Замечание: одно из причин введения комплексного числа состоит в том, чтобы добиться разрешимости любого квадратного уравнения:
Значение D=b2-4acКорни уравнения
D>0Уравнение имеет два различных действительных корня
x1,2=-b±D2aD=0Уравнение имеет один действительный корень
x=-b2aD<0Уравнение имеет два различных (сопряженных) мнимых корня
x1,2=-b±Di2aЗадача. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2,z1z2 , z12, если z1=10+5iи z2=3-4i.
Решение.
z1+z2=10+5i+3-4i=13-iz1-z2=10+5i-3-4i=7+9iz1∙z2=10+5i∙3-4i=30-40i+15i+20=50-25iz1z2=10+5i∙3+4i3-4i∙3+4i=30-15i+40i+20i232-4i2=10+55i25=0,4+2,2iz12=10+5i2=100+100i-25=75+100iЗадача. Записать число z=-3-iв тригонометрической форме
Решение.
1. Находим r=-32+-12=3+1=22. Находим α, α=arctg-1-3=arctg13=π63. IIIчетверть φ=π+π6=7π64. z=-3-i=2cos7π6+isin 7π6Задача. Найти z1∙z2,z1z2 , если z1=12(cos225°+isin225°) и z2=32(cos75°+isin75°) Решение.
z1∙z2=12∙32cos225°+75°+isin225°+75°=18cos300°+isin300°=1812-i32=9-93iz1z2=12∙23cos225°-75°+isin225°-75°=8cos150°+isin150°=8-32+i12=-43+4iЗадача.Вычислить 4-81, если -81=81(cosπ+isinπ) Решение.4-81=481(cosπ+isinπ) =4-81cosπ+2πk4+isin π+2πk4, k=0,1,2,3z0=322+32i2, z1=-322+32i2, z2=-322-32i2, z3=322-32i2Задача.Решить уравнения x2-4x+5=0и z2-3iz+4=0во множестве комплексных чисел
Решение.
x2-4x+5=0z2-3iz+4=0D=b2-4ac=-4<0D=9i2-16=-25x1,2=-b±Di2a=4±2i2=2±ix1,2=-3i±5i2=iили-4i3. Содержание работы
Вариант1.
Задача 1. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2,z2z1 , z12, если z1=1-iи z2=4i-2.
Задача 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z=4+4iЗадача 3.Представьте данное комплексное число z (см. задачу №2) в тригонометрической форме и вычислите z9.
Задача 4. Выполните действия 32cosπ2+isin π2×2cosπ6+isin π6Задача 5. Решите уравнение x2-4x+13=0Вариант 2.
Задача 1. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2,z2z1 , z12, если z1=1+iи z2=-6+4i.
Задача 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z=-32-12iЗадача 3.Представьте данное комплексное число z (см. задачу №2) в тригонометрической форме и вычислите z10.
Задача 4. Выполните действия 18cos47°+isin 47°9cos17°+isin 17°Задача 5. Решите уравнение x2-2x+2=0Вариант3.
Задача 1. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2,z2z1 , z12, если z1=15-5iи z2=1+2i.
Задача 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z=3-3iЗадача 3.Представьте данное комплексное число z (см. задачу №2) в тригонометрической форме и вычислите z7.
Задача 4. Выполните действия 3cosπ3+isin π3×12cosπ6+isin π6Задача 5. Решите уравнение x2+3x+3=0Вариант4.
Задача 1. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2,z2z1 , z12, если z1=5+10iи z2=2-i.
Задача 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z=12+32iЗадача 3.Представьте данное комплексное число z (см. задачу №2) в тригонометрической форме и вычислите z5.
Задача 4. Выполните действия 20cos72°+isin 72°5cos12°+isin 12°Задача 5. Решите уравнение 4x2+4x+5=0Вариант5.
Задача 1. Найти z1+z2, z1-z2, z1∙z2,z2z1 , z12, если z1=7-3iи z2=9+i.
Задача 2. Найдите модуль и аргумент комплексного числа z=1+3iЗадача 3.Представьте данное комплексное число z (см. задачу №2) в тригонометрической форме и вычислите z8.
Задача 4. Выполните действия 3cos20°+isin 20°×2cos35°+isin 35°Задача 5. Решите уравнение x2-14x+74=04. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №22
Тема: Переход от алгебраической формы к тригонометрической и показательной
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут осуществить переход от алгебраической к тригонометрической и показательной.
2. Пояснения к работе
Определение: степень ezс комплексным показателем z=x+iyопределяется равенством
ez=limn→∞1+znnЗамечание: можно доказать, что ez=excosy+isin y, т.е. ex+iy=excosy+isin y.
В частности, при x=0получается соотношение eiy=cosy+isiny, называемой формулой Эйлера.
Замечание: для комплексных показателей остаются в силе основные правила действий с показателями; например, при умножении чисел показатели складываются, при делении – вычитаются, при возведении в степень – перемножаются.
Замечание:показательная функция имеет период, равный 2πi, т.е. ez+2πi=ez. При z=0, получим e2πi=1.
Определение: тригонометрическую форму комплексного числа z=rcosφ+isin φможно заменить показательной формой: z=reφi.
Действия над комплексными числами в показательной форме
1. r1eiφ1∙r2eiφ2=r1∙r1ei(φ1+φ2)2. r1eiφ1r2eiφ2=r1r2ei(φ1-φ2)3. reiφn=rneinφ4. nreiφ=nr∙eφ+2πkni (k=0,1,2,…n-1)Замечание: формула Эйлера устанавливает связь между тригонометрическими функциями и показательной функцией.
eφi=cosφ+isinφ, e-φi=cosφ-isinφ.Складывая и вычитая эти равенства, получим
cosφ=eφi+e-φi2cosφ=eφi-e-φi2iЗадача. Найти eiπ4Решение. По формуле, найдемeiπ4=cosπ4+isinπ4=22+i22Задача. Представить в показательной форме числа: 1) z=2i; 2) z=-1+iРешение. 1) Здесь a=0, b=2,r=2,φ=π2. По формуле, получим z=2eiπ22) Здесь a=-1, b=1,r=2, tgφ=-1, φ=3π4 По формуле, получим z=2e3iπ4Задача. Представив числа z1=1+i, z2=1-i3в показательной форме, вычислить:
1)z1∙z2; 2)z1/z2; 3) z16; 4) 4z1Решение. Для числа z1=1+i имеем: a=1, b=1,r=2, φ=π4.По формуле, получим z=2eiπ4. Для числа z2=1-i3 имеем: a=1, b=-3,r=2, φ=-π3.По формуле, получим z2=2e-iπ3.
1) z1∙z2=2eiπ4∙2e-iπ3=22eiπ122) z1z2=2eiπ42e-iπ3=22eiπ4-(-iπ3)=22e7πi123) z16=2eiπ46=8ei3π/24) zk=4z1=42eiπ4=82eπ4+2πki4 , k=0,1,2,3Если k=0, то z0=82eiπ16Если k=1, то z1=82eπ4+2πi4=82e9πi16Если k=2, то z2=82eπ4+4πi4=82e17πi16=82e-15πi16Если k=3, то z3=82eπ4+6πi4=82e25πi16=82e-7πi163. Содержание работы
Вариант1.
Задача 1. Найдите eiπ2Задача 2. Представьте в показательной форме числа 1) 3+i3Задача 3. Представив числа z1=3+iи z2=2+i2в показательной форме, вычислите: 1)z1∙z2; 2)z2/z1; 3) z24; 4) 3z1; 4z2Задача 4. Вычислите 4iЗадача 5. Решите уравнение x3-8=0Вариант2.
Задача 1. Найдите e4+3iЗадача 2. Представьте в показательной форме числа 1) -2+i6Задача 3. Представив числа z1=3+iи z2=2+i2в показательной форме, вычислите: 1)z1∙z2; 2)z2/z1; 3) z24; 4) 3z1; 4z2Задача 4. Вычислите 1+iЗадача 5. Решите уравнение 8x3-27=04. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )
ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ №23
Тема: Вычисление погрешностей результатов арифметических действий. Решение алгебраических, трансцендентных уравнений приближенными методами
1. Цель работы
1.1 Обучающиеся смогут решать алгебраические, трансцендентные уравнения приближенными методами, а также вычислять погрешности результатов арифметических действий
2. Пояснения к работе
Определение: абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между истинным значением величины и её приближённым значением. x-xn, где x — истинное значение, xn — приближённое.
Определение: Относительной погрешностью приближения называется отношение абсолютной погрешности к модулю приближённого значения величины., где x — истинное значение, xn — приближённое.
Замечание:Относительную погрешность обычно вызывают в процентах.
Пример. При округлении числа 24,3 до единиц получается число 24.
Относительная погрешность равна .
Говорят, что относительнаяпогрешность в этом случае равна 12,5%.
Определение: Значащими цифрами приближенного числа называются все цифры его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример. У числа 5142,39 все цифры значащие.
Пример. У числа 0,0046 только две значащих цифры: 4 и 6.
Пример. У числа 0,004600 четыре значащих цифры: 4, 6 и два последних нуля.
Определение. Цифра приближенного числа называется верной в широком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в широком смысле.
Пример. Пусть A=7,158±0,009. Определим верные и сомнительные в широком смысле цифры приближенного числа 7,158. Заметим, что a=7,158, ∆a*=0,009. Т.к. 0,009≤1 , то цифра 7верная в широком смысле. Т.к. 0,009≤0,1, то цифра 1 верная в широком смысле. Т.к. 0,009≤0,01, то цифра 5 верная в широком смысле. Т.к. 0,009>0,001, то цифра 8 сомнительная в широком смысле.
Определение. Цифра приближенного числа называется верной в узком смысле, если абсолютная (предельная абсолютная) погрешность этого числа не превосходит половины единицы десятичного разряда, соответствующего этой цифре, в противном случае сомнительной в узком смысле.
Пример. Определим верные и сомнительные в узком смысле цифры приближенного числа 7,158 из предыдущего примера. Т.к. 0,009≤1/2, то цифра 7верная в узком смысле. Т.к. 0,009≤0,12=0,05, то цифра 1 верная в узком смысле. Т.к. 0,009>0,012=0,005, то цифра 5 сомнительная в узком смысле. Очевидно, что цифра 8 также сомнительная в узком смысле.
Замечание. Если приближенное число записывается без указания его абсолютной (предельной абсолютной) погрешности, то выписываются только верные его цифры (в узком или широком смысле). При этом верные нули в конце числа не отбрасываются. Поэтому числа 0,0344  и 0,03440 как приближенные различны: у первого ∆a*=0,0001, у второго ∆a*=0,000001.
Замечание. При записи целых приближенных чисел сомнительные цифры принято заменять нулями.
Приближенные методы решения уравнений
1. Общая постановка задачи. Найти действительные корни уравнения fx=0, где fx - алгебраическая или трансцендентная функция.
В общем случае решение данного уравнения находится приближённо в следующей последовательности:
1) отделение (локализация) корня;
2) приближённое вычисление корня до заданной точности.
2. Отделение корня. Отделение действительного корня уравнения fx=0 - это нахождение отрезкаa;b, в котором лежит только один корень данного уравнения. Такой отрезок называется отрезком изоляции (локализации) корня.
Графический метод отделения корней:
1) строится график функции y=f(x), и определяются абсциссы точек пересечения этого графика с осью Ox, которые и являются корнями уравнения fx=0:
2) если f(x)- сложная функция, то её надо представить в виде fx=φ1-φ2 так, чтобы легко строились графики функций y=φ1 и y=φ2. Так как , fx=0 тоφ1=φ2 . Тогда абсциссы точек пересечения этих графиков и будут корнями уравнения fx=0.
left0Задача.Графически отделить корень уравнения x3+8x+10=0.
Решение. Представим левую часть уравнения в виде fx=φ1-φ2. Получим: Построим графики функций y=x3 и 
y=-8x-10.
Абсцисса точки пересечения графиков находится на отрезке -2;-1, значит корень уравненияx ϵ-2;-1.
3.  Уточнение корня.
 Если искомый корень уравнения fx=0 отделён, т.е. определён отрезок a;b, на котором существует только один действительный корень уравнения, то далее необходимо найти приближённое значение корня с заданной точностью.
Такая задача называется задачей уточнения корня.
Уточнение корня можно производить различными методами:
1) метод половинного деления (бисекции);
2) метод итераций;
3) метод хорд (секущих);
4) метод касательных (Ньютона);
5) комбинированные методы.
4. Метод половинного деления (бисекции).
Отрезок изоляции корня можно уменьшить путём деления его пополам.
Такой метод можно применять, если функция f(x) непрерывна на отрезке a;b и на его концах принимает значения разных знаков, т.е. выполняется условие f(a)∙f(b)<0 (1).
Разделим отрезок a;b пополам точкой c1=a+b2, которая будет приближённым значением корня x.
Для уменьшения погрешности приближения корня уточняют отрезок изоляции корня. В этом случае продолжают делить отрезки, содержащие корень, пополам.
Из отрезков a;с1 и c1;b выбирают тот, для которого выполняется неравенство (1).
Далее повторяем операцию деления отрезка пополам, т.е. находим c2=c1+b2 и так далее до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность ε. Т.е. до тех пор, пока не перестанут изменяться сохраняемые в ответе десятичные знаки или до выполнения неравенства ci+1-ci<2ε.
Замечание: Достоинство метода: простота (достаточно выполнения неравенства (1)).
Недостаток метода: медленная сходимость результата к заданной точности.
Задача. Решить уравнение x3+8x+10=0  методом половинного деления с точностью до 0,001.
Решение.Известен отрезок изоляции корня -2;-1 и заданная точность ε=0,001. По уравнению составим функцию fx= x3+8x+10.
Найдём значения функции на концах отрезка: 
fa=f-2=-23+8-2+10=-14<0, .
fb=f-1=-13+8-1+10=1>0Проверим выполнение неравенства (1): fa∙fb=f-2∙f-1=14∙1<0 - условие выполняется, значит можно применить метод половинного деления.
Найдём середину отрезка -2;-1 и вычислим значение функции в полученной точке:
c1=-2+(-1)2=-1,5, f-1,5=-5,375<0.
Среди значений f-2, f-1  и f-1,5 выберем два значения разных знаков, но близких друг к другу. Это f-1>0 и f-1,5<0. Следовательно, из отрезков -2;-1,5 и -1,5;-1 выбираем тот, на концах которого значения функции разных знаков. В нашем случае это отрезок-1,5;-1  и опять находим середину отрезка и вычисляем значение функции в этой точке:
c2=-1,5-12=-1,25, f-1,25=-1,953125<0, -1,25;-1, 
-1,25-(-1,5)=0,25>0,001- заданная точность результата не достигнута, продолжим вычисления.
c3=-1,25-12=-1,125, f-1,125=-0,4238<0,  -1,125;-1, 
-11,25+1,25=0,125>0,001c4=-1,125-12=-1,0625, f-1,0625=0,30005>0,  -1,125;-1,0625, 
-1,0625+1,125)=0,0625>0,001c5=-112,5-1,06252=-1,09375, f-1,09375≅-0,0584<0,  -1,09375;-1,0625, 
-1,09375+1,0625=0,03125>0,001c6=-1,09375-1,06252=-1,0781, f-1,0781~0,1218>0,  -1,09375;-1,0781, 
-1,0781+1,09375)~0,0156>0,001c7=-1,0781-1,093752=-1,0859, f-1,0859=0,0318>0, -1,09375;-1,0859, 
-1,0859+1,09375~0,0078>0,001c8=-1,09375-1,08592=-1,0898, f-1,0898~-0,0132<0, -1,0898;-1,0859, 
-1,0898+1,0859=0,0043>0,001c9=-1,0859-1,08982=-1,0879, f-1,0879~0,0093>0, -1,0898;-1,0879, 
-1,0879+1,0898=0,0019>0,001c10=-1,0898-1,08792=-1,0889, f-1,0889~-0,0019<0, -1,0889;-1,0879, 
-1,0879+1,0889=0,001c11=-1,0879-1,08892=-1,0884,  
-1,0884+1,0889=0,0005,  - заданная точность результата достигнута, значит, нашли приближённое значение корня x~-1,0884~-1,088.
Ответ: корень уравнения x~-1,088 с точностью до 0,001.
5. Метод хорд (секущих).
Этот метод применяется при решении уравнений вида fx=0, если корень уравнения отделён, т.е.x ϵ a;b и выполняются условия:
1) fa∙fb<0 функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка a;b;
2) производная f'(x) сохраняет знак на отрезкеa;b  (функция f(x)  либо возрастает, либо убывает на отрезкеa;b ).
Первое приближение корня находится по формуле: x1=a-b-a∙f(a)fb-f(a).
Для следующего приближения из отрезков a;x1 и x1;b выбирается тот, на концах которого функцияf(x) имеет значения разных знаков.
Тогда второе приближение вычисляется по формуле:
x2=a-x1-a∙fafx1-fa, если xϵa;x1 или x2=x1-b-x1∙fx1fb-fx1, если x1;b.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не перестанут изменяться те десятичные знаки, которые нужно оставить в ответе.
6. Метод касательных (Ньютона).
Этот метод применяется, если уравнение fx=0 имеет корень x ϵ a;b, и выполняются условия:
1) f(a)∙f(b)<0 (функция принимает значения разных знаков на концах отрезка a;b);2) производные f'(x) и f''(x) сохраняют знак на отрезке a;b (т.е. функция f(x) либо возрастает, либо убывает на отрезкеa;b , сохраняя при этом направление выпуклости).
На отрезке a;b выбирается такое число x0, при котором f(x0) имеет тот же знак, что и f''(x0), т. е. выполняется условие f(x0)∙f''(x0)>0. Таким образом, выбирается точка с абсциссой x0, в которой касательная к кривой y=f(x) на отрезкеa;b  пересекает ось Ox. За точкуx0  сначала удобно выбирать один из концов отрезка.
Первое приближение корня определяется по формуле: x1=x0-f(x0)f'(x0).
Второе приближение корня определяется по формуле: x2=x1-f(x1)f'(x1).
Вычисления ведутся до совпадения десятичных знаков, которые необходимы в ответе, или при заданной точности ε- до выполнения неравенства xn-xn-1<ε.
Замечание: Достоинства метода: простота, быстрота сходимости. Недостатки метода: вычисление производной и трудность выбора начального положения.
7. Комбинированный метод хорд и касательных.
Если выполняются условия:
1) f(a)∙f(b)<0,
2) f'(x) и f''(x) сохраняют знак на отрезке a;b,
то приближения корня x ϵ a;b уравнения fx=0 по методу хорд и по методу касательных подходят к значению этого корня с противоположных сторон. Поэтому для быстроты нахождения корня удобно применять оба метода одновременно. Т.к. один метод даёт значение корня с недостатком, а другой – с избытком, то достаточно легко получить заданную степень точности корня.
Схема решения уравнения методом хорд и касательных
Вычислить значения функции f(a) и f(b).
Проверить выполнение условия f(a)∙f(b)<0. Если условие не выполняется, то неправильно выбран отрезок a;b.
Найти производныеf'(x) и f''(x) 
Проверить постоянство знака производных на отрезкеa;b . Если нет постоянства знака, то неверно выбран отрезокa;b .
Для метода касательных выбирается за x0 тот из концов отрезка a;b, в котором выполняется условиеf(x0)∙f''(x0)>0, т.е. f(x0)  и f''(x0) одного знака.
Приближения корней находятся:
а) по методу касательных: x11=x0-f(x0)f'(x0),
б) по методу хорд:x12=a-b-a∙fafb-fa .
Вычисляется первое приближение корня: ξ1=x11+x122.
Проверяется выполнение условия: ξ1-x11<ε, где ε- заданная точность.
Если условие не выполняется, то нужно продолжить применение метода по схеме 1-8.
В этом случае отрезок изоляции корня сужается и имеет вид x11;x12. Приближённые значения корня находятся по формулам:
x21=x11-f(x11)f'(x11) и x22=x11-x12-x11∙fx11fx12-fx11.
Вычисления продолжаются до тех пор, пока не будет найдено такое значение ζ, при котором xn1 и xn2совпадут с точностью ε.
Задача. Решить уравнение  x3+8x+10=0 методом хорд и касательных с точностью 0,001, если известно, что корень уравнения xϵ -2;-1.
Решение.
Вычислим значения функции  на концах отрезка:
fa=f-2=-23+8-2+10=-14<0, .
fb=f-1=-13+8-1+10=1>0Проверим выполнение неравенства: fa∙fb=f-2∙f-1=14∙1<0 - условие выполняется
Найдём производные: f'x= x3+8x+10'=3x2+8f''x=3x2+8'=6x 
На отрезке-2;-1  производные f'x>0 иf''x<0 , т.е. сохраняют знак, следовательно, условие выполняется.
Выберем значение x0 для метода касательных. Т.к.f''x<0   и f(-2)<0, тоx0=-2 .
Найдём приближения корня:
а) по методу касательных
x11=-2-f-2f'-2=-2,0000--14,00003-2,00002+8=-1,3000б) по методу хорд
x12=-2-(-1--2)∙f(-2)f-1-f(-2)=-2,0000--1,0000∙-14,00001,0000-(-14,0000)=-1,0667Найдём первое приближение корня: 
ζ1=-1,3000+(-1,0667)2~1,1834Проверим выполнение условия: 
ζ1-xn=-1,1834-(-1,3000)=0,1166>0,001 - условие не выполняется, значит нужно продолжить вычисления.
Отрезок изоляции корня имеет вид: x ϵ -1,3000;-1,0667.
10. Продолжим уточнение корня по схеме. Для этого найдём значения функции на концах суженного отрезка:
f-1,3000=-2,1970-10,4000+10=-2,5970f-1,0667=-1,2137-8,5336+10=0,252711. Проверим условие:f-1,3000∙f-1,0667<0  - выполняется, значит можно продолжить применение метода.
12. Так как f''(x)<0 и f(-1,3000)<0 на отрезке-1,3000;-1,0667, то для метода касательных:x11=-1,3000.
13. Вычислим значение производной: f'x11=f-1,3000=13,0700.
14. Найдём новые значения концов отрезка изоляции:
x21=x11-fx11f'x11=-1,3000--2,597013,0700~-1,1013x22=x11-x12-x11fx11f(x12)-fx11=-1,3000--1,0667+1,3000∙-2,59700,2527+2,5970~-1,087415. Найдём второе приближение корня: ζ2=-1,1013-1,08742~-1,094416. Проверим выполнение условия: ζ2-x21=-1,0944+1,1013=0,0069>0,001 - неравенство неверное, значит необходимо продолжить вычисления.
17. Отрезок изоляции корня имеет вид:-1,1013;-1,0874.
18. Вычислим значения функции:
f-1,1013=-0,1461, f-1,0874=-0,015019. Условие f-1,1013∙f-1,0874<0 - выполняется.
20. Так как f''(x)<0 и f(-1,1013)<0 на -1,1013;-1,0874, то для метода касательных x21=-1,1013.
21. Вычислим производную: f'x21=f'-1,1013=11,6386.
22. Вычислимx31=x21-fx21f'x21=-1,1013--0,146111,6386~-1,0887x32=x21-x22-x21fx21f(x22)-fx21=-1,1013--1,0874+1,1013∙-0,14610,0150+0,1461~-1,088723. Найдём третье приближение корня:ζ3=-1,0887-1,08872~-1,0887 
24. Проверим выполнение неравенства: ζ3-x31=-1,0887+1,0887=0,0000<0,001 - условие выполняется, значит, цель достигнута.
25. Следовательно,x=-1,0887 или x=-1,088 - приближённое значение корня с точностью до 0,001.
Ответ:x=-1,088 .
3. Содержание работы
Решить уравнение методами:
а)метод половинного деления,
б) хорд и касательных.
Вариант 1
x-13-x-22=0Вариант 2
3x5+x3-2=0Вариант 3
1x-2-x-33=0Вариант 4
2x-x+2=04. Содержание отчета
Отчет должен содержать:
4.1 Название работы
4.2 Цель работы
4.3 Задание
4.4 Формулы расчета
4.5 Результат
5. Литература
1.Кремер Н.Ш., Путко Б.А., Тришин И.М., Фридман М.Н. Высшая математика для экономистов: Учебник для вузов 2-е изд., перераб. И доп. – М.:ЮНИТИ, 2002
2.Валуцэ И.И., Дилигул Г.Д. Математика для техникумов на базе средней школы: Учеб. Пособие.-2-е изд., перераб. И доп. – М.: Наука, 1989
3.Богомолов, Н.В Практические занятия по математике [Текст]: учеб. пособие / Н.В.Богомолов – 10-е изд. , стер.-м.: Высш. Шк., 2009 – 495с
4. Дадаян, А.А Математика [Текст]: учебник / А.А.Дадян – М.: Форум: Инфра- М, 2005 – 552 с. – (Профессиональное образование )

Приложенные файлы


Добавить комментарий