Методичка линейная и векторная алгебра

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Филиал федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Майкопский государственный технологический университет» в поселке Яблоновском

Политехнический колледж









А.А. Схаплок


ЛИНЕЙНАЯ И ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА

Методическое пособие для преподавателя























п. Яблоновский – 2014

Рассмотрено и одобрено цикловой комиссией
информационных и математических дисциплин
Протокол № ______от «_____» ___________20___г.
Председатель комиссии ________________ А.А. Схаплок


Автор: А.А. Схаплок – преподаватель



















Настоящее методическое пособие подготовлено по разделу «Линейная и векторная алгебра» дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики. Методическое пособие полностью соответствует требованиям государственного образовательного стандарта по дисциплине. Методическое пособие предназначено для специальностей среднего профессионального образования
Содержание

Пояснительная записка...
4

Тема 1.
Матрицы. Операции над матрицами..
5

1.1
Матрицы
5

1.2
Линейные операции над матрицами..
6

1.3
Умножение матриц..
7

1.4
Обратная матрица
8


Практические задания по теме...
9

Тема 2.
Определители квадратных матриц.
10

2.1
Определители второго порядка..
10

2.2
Определители третьего порядка.
11

2.3
Определители n-го порядка
12

2.4
Свойства определителей
12


Практические задания по теме...
13

Тема 3.
Системы линейных уравнений..
14

3.1
Системы линейных уравнений..
14

3.2
Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера
15

3.3
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
16

3.4
Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы.
17


Практические задания по теме...
18

Тема 4.
Векторы
19

4.1
Векторы и операции над векторами..
19

4.2
Скалярное произведение векторов.
21

4.3
Угол между векторами
22

4.4
Векторное произведение двух векторов
23


Практические задания по теме...
24

Рекомендуемая литература.
26

Пояснительная записка

Методическое пособие составлено в помощь преподавателя по разделу «Линейная и векторная алгебра» дисциплины ЕН.01 Элементы высшей математики. Пособие предназначено для организации аудиторной и внеаудиторной работы студентов. Данное методическое пособие может быть использовано для специальностей 230115 Программирование в компьютерных системах, 080110 Банковское дело, 080118 Страховое дело, 030912 Право и организация социального обеспечения.
Материал пособия имеет определенную структуру: по каждой рассматриваемой теме дается теоретический материал с практическими примерами, после которого указан перечень практических заданий по теме

Тема 1: Матрицы. Операции над матрицами

Вопрос 1.1 Матрицы
Матрица
· математический объект, записываемый в виде прямоугольной таблицы элементов. Матрицы широко применяются в математике для компактной записи систем линейных алгебраических или дифференциальных уравнений. В этом случае количество строк матрицы соответствует количеству уравнений в системе, а количество столбцов
· количеству неизвестных. В результате решение систем линейных уравнений сводится к операции над матрицами.
Матрицей размером m(n называется совокупность чисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов:
13 EMBED Equation.3 1415
Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы: 13 EMBED Equation.3 1415
· элемент матрицы, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца.
Две матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 считаются равными (А=В) тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые размеры и равны их соответствующие элементы, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Если матрица состоит из одного столбца или одной строки, то она называется матрицей-столбцом 13 EMBED Equation.3 1415 или матрицей-строкой 13 EMBED Equation.3 1415.
Если у матрицы количество строк (m) равно количеству столбцов (n), то матрицу называют квадратной (n-го порядка).
Например, 13 EMBED Equation.3 1415
· квадратная матрица второго порядка
Элементы 13 EMBED Equation.3 1415 образуют главную диагональ квадратной матрицы, т.е. главная диагональ – диагональ, соединяющая левый верхний угол (элемент 13 EMBED Equation.3 1415) с нижним правым углом (элемент 13 EMBED Equation.3 1415).
Диагональ, соединяющая левый нижний угол (элемент 13 EMBED Equation.3 1415) с верхним правым углом (элемент 13 EMBED Equation.3 1415), называется побочной диагональю.
Квадратная матрица вида 13 EMBED Equation.3 1415, у которой все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю, называется диагональной и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
Частным случаем диагональной матрицы служит квадратная матрица 13 EMBED Equation.3 1415, которая называется единичной и обозначается Е.
Если все элементы квадратной матрицы, расположенные ниже главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют верхней треугольной (ступенчатой). Если все элементы квадратной матрицы, расположенные выше главной диагонали, равны нулю, то матрицу называют нижней треугольной.
Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой.
Квадратная матрица называется симметрической, если ее элементы удовлетворяют условию 13 EMBED Equation.3 1415.
Если в матрице А поменять местами строки и столбцы, то полученная матрица называется транспонированной (обозн. 13 EMBED Equation.3 1415). Если матрица А имеет размерность m(n, то транспонированная матрица 13 EMBED Equation.3 1415 имеет размерность n(m: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопрос 1.2 Линейные операции над матрицами
Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример. Даны матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Найти их сумму.
Решение. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Сумма нулевой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведением числа k на матрицу А называется матрица, определяемого равенством
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пример. Умножить матрицу 13 EMBED Equation.3 1415 на число k=3.
Решение. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Свойства линейных операций над матрицами. Операции сложения матриц и умножения матрицы на число называется линейными операциями над матрицами. Для любых матриц А, В, С одинаковых размеров и любых чисел p и q справедливы равенства:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
· коммутативность сложения
2. 13 EMBED Equation.3 1415
· ассоциативность сложения
3. существует нулевая матрица О ( тех же размеров, что и А) 13 EMBED Equation.3 1415
4. существует матрица 13 EMBED Equation.3 1415, противоположная матрице13 EMBED Equation.3 1415
5. 13 EMBED Equation.3 1415 умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению матриц
6. 13 EMBED Equation.3 1415 умножение матрицы на число дистрибутивно по отношению к сложению чисел
7. 13 EMBED Equation.3 1415
8. 13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 1.3 Умножение матриц
Произведением двух матриц 13 EMBED Equation.3 1415 и
13 EMBED Equation.3 1415 называется матрица 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. элемент матрицы-произведения, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В. Если матрица А имеет размерность m(n, а матрица В
· n(l, то размерность их произведения
· m(l.
Операция умножения двух матриц выполнима только в том случае, если число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором; в этом случае говорят, что форма матриц согласована. Умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя – квадратные матрицы одного и того же порядка.
Например, произведение двух квадратных матриц А и В 3-го порядка:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415,
Пример. Найти произведение матриц 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется: 13 EMBED Equation.3 1415. Более того, из существования произведения АВ вовсе не следует существование произведения ВА.
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то матрицы А и В называются перестановочными или коммутирующими между собой.
Свойства умножения матриц
1. Ассоциативность умножения:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
2. Дистрибутивность умножения относительно сложения
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
3. Произведение матрицы на единичную матрицу подходящего порядка равно самой матрице 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Произведение матрицы на нулевую матрицу подходящего порядка равно нулевой матрице 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопрос 1.4 Обратная матрица
Матрица называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю: 13 EMBED Equation.3 1415 (13 EMBED Equation.3 1415). Если же определитель равен нулю, то матрица называется вырожденной.
Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведения АВ и ВА равны единичной матрице: 13 EMBED Equation.3 1415.
Для матрицы, обратной по отношению к матрице А, принято обозначение 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Всякая невырожденная квадратная матрица А имеет обратную матрицу. Обратная матрица находится по формуле
13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А, 13 EMBED Equation.3 1415 определитель матрицы А; или (иначе) 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – алгебраическое дополнение элемента 13 EMBED Equation.3 1415 матрицы А, 13 EMBED Equation.3 1415 определитель матрицы А.

Практические задания по теме:
Задание1.1 Даны матрицы А и В. Найти:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equati
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Тема 2: Определители квадратных матриц
Квадратной матрице 13 EMBED Equation.3 1415 n-го порядка ставится в соответствие число 13 EMBED Equation.3 1415, называемое определителем матрицы или детерминантом.
Минором 13 EMBED Equation.3 1415 к элементу 13 EMBED Equation.3 1415 определителя n-го порядка называется определитель (n - 1)-го порядка, полученный из исходного вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.
Алгебраическим дополнением 13 EMBED Equation.3 1415 к элементу 13 EMBED Equation.3 1415 определителя n-го порядка называется минор этого элемента, умноженный на 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. число 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопрос 2.1 Определители второго порядка
Определителем второго порядка называется число, обозначаемое символом 13 EMBED Equation.3 1415 и определяемое равенством
13 EMBED Equation.3 1415 (2.1)
Числа 13 EMBED Equation.3 1415 называются элементами определителя.
Пример. Вычислить определитель 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415.

Вопрос 2.2 Определители третьего порядка
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом 13 EMBED Equation.3 1415 и определяемое равенством
13 EMBED Equation.3 1415 (2.2)
Чтобы запомнить, произведения каких элементов берутся в правой части равенства (2) и с каким знаком, полезно использовать следующее правило треугольников:






Пример. Вычислить определитель 13 EMBED Equation.3 1415
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 2.3 Определители n-го порядка
Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов некоторой стоки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. определитель можно разложить по элементам некоторой строки или столбца.
Пример. Вычислить определитель 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Разложим определитель по элементам первой строки:
13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 2.4 Свойства определителей
1. Если строки и столбцы определителя поменять местами, то величина определителя не изменится, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
2. Если два столбца или две строки определителя поменять местами, то определитель поменяет знак.
3. Умножение всех элементов одного столбца или одной строки определителя на любое число k равносильно умножению определителя на это число k. Иначе, общий множитель в столбце или в строке можно выносить за знак определителя.
4. Если квадратная матрица А n-го порядка умножается на некоторое ненулевое число k, то определитель полученной матрицы равен произведению определителя исходной матрицы А на число 13 EMBED Equation.3 1415.
5. Если определитель имеет два одинаковых столбца или две одинаковые строки, то он равен нулю.
6. Если элементы двух столбцов или двух строк определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
7. Определитель содержащий нулевой столбец или нулевую строку равен нулю.
8. Если каждый элемент в каком-то столбце или какой-то строке определителя равен сумме двух слагаемых, то исходный определитель равен сумме двух определителей, в которых вместо этого столбца или этой строки стоят первые и вторые слагаемые соответственно, а остальные столбцы или строки совпадают с исходным определителем.
9. Если к элементам некоторого столбца или строки определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца или строки, умноженные на любой общий множитель k, то величина определителя не изменится.
10. Определитель верхней (нижней) треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали матрицы.
11. Определитель произведения матриц равен произведению определителей матриц, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
12. Определитель равен сумме произведений элементов какого-нибудь столбца или строки на их алгебраические дополнения.

Практические задания по теме:
Задание 2.1 Вычислить определитель четвертого порядка
1
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
1
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Тема 3: Системы линейных уравнений

Вопрос 3.1 Системы линейных уравнений
Дана система m линейных уравнений с n неизвестными
13 EMBED Equation.3 1415 (3.1)
Решением этой системы называется совокупность n чисел 13 EMBED Equation.3 1415, которые, будучи подставлены вместо неизвестных в уравнения, обращают эти уравнения в тождества.
Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение 13 EMBED Equation.3 1415. Если же система не имеет ни одного решения, то она называется несовместной.
Совместная система называется определенной, если она имеет только одно решение. Совместная система называется неопределенной, если она имеет более одного решения.
Матрицы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются соответственно матрицей и расширенной матрицей системы (3.1).
Решить систему уравнений можно различными способами. Если в системе уравнений первой степени количество уравнений совпадает с количеством неизвестных можно решить одним из способов:
1) по формулам Крамера
2) методом Гаусса
3) методом обратной матрицы
Рассмотрим на примере системы трех уравнений с тремя неизвестными x, y, z:
13 EMBED Equation.3 1415 (3.2)
Вопрос 3.2 Решение системы линейных уравнений по формулам Крамера
Формулы Крамера: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то существует, и при том единственное решение системы (3.2).
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и хотя бы один из определителей 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 отличен от нуля, то система (3.2) решений не имеет (несовместна).
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=0, то система (3.2) либо совсем не имеет решений, либо если система имеет хотя бы одно решение, то она имеет бесконечное множество решений.
Замечание. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то по формулам Крамера систему решить невозможно, нужно использовать метод Гаусса.
Пример. Решить систему 13 EMBED Equation.3 1415 по формулам Крамера.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 3.3 Решение системы линейных уравнений методом Гаусса
Метод Гаусса заключается в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме: выписывают расширенную матрицу системы
13 EMBED Equat
·ion.3 1415 и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к ступенчатому (верхнему треугольному) виду: 13 EMBED Equation.3 1415.
Разрешаются следующие элементарные преобразования: 1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений; 2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа; 3) прибавлять (вычитать) к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.
По полученной ступенчатой матрице записывают систему линейных уравнений 13 EMBED Equation.3 1415 из которой последовательно находятся значения переменных z, y, x.
Пример. Решить систему 13 EMBED Equation.3 1415 методом Гаусса.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 3.4 Решение системы линейных уравнений методом обратной матрицы
Система линейных уравнений (3.2) может быть записана в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда решение системы (3.2) имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Замечание. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то обратной матрицы не существует, и решить систему методом обратной матрицы невозможно. В этом случае система решается методом Гаусса.
Пример. Решить систему 13 EMBED Equation.3 1415 методом обратной матрицы.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Практические задания по теме:
Задание 3.1 Решить систему линейных уравнений:
а) по формулам Крамера;
б) методом Гаусса;
в) методом обратной матрицы.
1
13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415


Тема 4: Векторы

Вопрос 4.1 Векторы и операции над векторами
Многие геометрические и физические величины характеризуются полностью, если известна их числовая характеристика. Например, масса тела, длина, температура и т.д. Такие величины в математике называют скалярными величинами или скалярами.
Однако, часто встречаются величины, которые не в полной мере характеризуются знанием их числовой характеристики. Например, сила, скорость, ускорение и т.д. Для полной характеристики подобных величин кроме числовых значений надо знать и направление. Такие величины называют векторными величинами или векторами.
Вектором называется направленный отрезок, т.е. отрезок, для которого указано, какая из ограничивающих его точек считается первой, а какая – второй.



Длиной или модулем вектора 13 EMBED Equation.3 1415 называется длина отрезка АВ, изображающего данный вектор. Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415
Вектор называется единичным, если длина его равна единице. Вектор называется нулевым, если длина его равна нулю.
Нуль-вектор задается парой совпадающих точек. Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415.
Два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются эквивалентными, если они имеют равные длины и одно и тоже направление не зависимо от положения их начала.




Два вектора имеющие равные длины и противоположные направления называются взаимно противоположными.
Два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415.





Замечание. Нуль вектор считается коллинеарным любому вектору. Если ненулевые векторы коллинеарны, то они имеют либо одно и тоже направление, либо противоположное направление. В первом случае они называются сонаправленными, во втором – противонаправленными. Обозначение: сонаправленность – 13 EMBED Equation.3 1415, противонаправленность – 13 EMBED Equation.3 1415.
Суммой двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется третий вектор, который получается следующим образом: от точки А откладывается вектор 13 EMBED Equation.3 1415; от его конца В откладывается вектор 13 EMBED Equation.3 1415; точка А соединяется с концом вектора 13 EMBED Equation.3 1415 (точкой С) и полученный вектор 13 EMBED Equation.3 1415 является суммой векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

Если слагаемые векторы неколлинеарны, то при сложении векторов можно воспользоваться и правилом параллелограмма.
Правило параллелограмма: сумма двух неколлинеарных векторов равна диагонали параллелограмма, построенного на этих векторах.



Свойства сложения векторов:
1. Сложение векторов ассоциативно, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Сложение векторов коммутативно, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415.
3. 13 EMBED Equation.3 1415вектора 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415.
4. 13 EMBED Equation.3 1415вектора 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415вектор 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415.
Разностью двух векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяющий условию 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

Теорема: Для любых векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 всегда существует и единственным образом определенная разность векторов 13 EMBED Equation.3 1415.
Произведением ненулевого вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на действительное число 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415 удовлетворяющий следующим условиям:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415
Произведение нуль-вектора на любое число или числа ноль на любой вектор есть нуль-вектор.
Свойства произведения вектора на число:
1. 13 EMBED Equation.3 1415вектора 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место 13 EMBED Equation.3 1415
2. Для произвольных чисел
· и
· и произвольного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
3. Для произвольных чисел
· и
· и произвольного вектора 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 4.2 Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется произведение их модулей на косинус угла между ними 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема: 1. Скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 положительно тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415
2. Скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 отрицательно тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415
3. Скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равно нулю тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий: 13 EMBED Equation.3 1415.
Теорема: Если два вектора 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заданы своими координатами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 равно сумме парных произведений одноименных координат, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример: Найти скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства скалярного произведения:
1. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и числа
· имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
4. 13 EMBED Equation.3 1415вектора 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 4.3 Угол между векторами
Угол
· между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 можно найти по формуле 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения этих векторов к произведению модулей этих векторов.
Пример: Найти угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

Вопрос 4.4 Векторное произведение двух векторов
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 три ненулевые вектора, не параллельные одной плоскости. Приводя их к общему началу получим систему трех векторов.
Система трех векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 называется правой, если поворот вектора
13 EMBED Equation.3 1415, совмещающий его по кратчайшему пути с вектором 13 EMBED Equation.3 1415 совершается против часовой стрелки для наблюдателя, глаз которого помещается в конце вектора 13 EMBED Equation.3 1415.
Если же упомянутый поворот совершается по часовой стрелке, то система векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 называется левой.
Имеет значение в каком порядке взяты векторы.

Векторным произведением вектора 13 EMBED Equation.3 1415 на не коллинеарный с ним вектор 13 EMBED Equation.3 1415 называется вектор 13 EMBED Equation.3 1415, который строится следующим образом:
1) его модуль численно равен площади параллелограмма (13 EMBED Equation.3 1415), построенного на векторах 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, т.е. он равен 13 EMBED Equation.3 1415
2) его направление перпендикулярно к плоскости указанного параллелограмма
3) при этом направление вектора 13 EMBED Equation.3 1415 выбирается так (из двух возможных), чтобы векторы 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 составляли правую систему.
Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415
Свойства векторного произведения:
1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак на обратный, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
2. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
3. 13 EMBED Equation.3 1415векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и числа
· имеет место следующее соотношение 13 EMBED Equation.3 1415
Если векторы 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 заданы своими координатами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415, то векторное произведение находится по формуле 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Найти векторное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример: Даны точки 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415.
Найти: а) скалярное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
б) угол между векторами 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
в) векторное произведение векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Решение. Найдем координаты векторов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415

Практические задания по теме:
Задание 4.1 Даны координаты точек А, В, С и D. Найти:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
1
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
11
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

2
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
12
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

3
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
13
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

4
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
14
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

5
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
15
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

6
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
16
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

7
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
17
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

8
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
18
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

9
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
19
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415

10
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
20
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415



Рекомендуемая литература:
Богомолов Н.В. Дидактический материал по математике
Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: учеб. пособие для ссузов. – М., 2003.
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике: учеб. пособие для ссузов. – М., 2003.
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. -М.: Наука, 1987.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2-х ч. Ч.1: Учебное пособие для втузов. – 5-е изд., испр. – М.: Высш.шк., 1999. – 304 с.: ил.
Шипачев В.С. Основы высшей математики: Учеб. пособие для вузов / Под ред. акад. А.Н. Тихонова. – 3-е изд., стер. – М.: Высш. шк., 1998. – 479 с.: ил.
Шипачев В.С. Задачник по высшей математике: Учеб. пособие для вузов. – 2-е изд., испр. – М.: Высш. шк., 1998. – 304с.: ил.









13PAGE 15


13PAGE 14315



В

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

В

А

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

C

D

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415



Root Entry"Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native.Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий