Методичка по математике 2 курс

Министерство образования и науки Хабаровского края
КГБОУ СПО «Хабаровский машиностроительный техникум»

Рассмотрено и рекомендовано ПЦК
Естественно-научных и математических дисциплин
Председатель ПЦК
_______________________
«____»_________2013г.
Протокол № ___________

УТВЕРЖДАЮ
зам. директора по УВР
_________И.Н. Пухляр
«____»_________2013г.


СОГЛАСОВАНО с работадателем
Мазикин Е.С. генеральный директор
ООО «Каирос»__________
согласно перечня специальностей

Методические указания для практических занятий и самостоятельной работы студентов

по дисциплине Математика
специальности 150415 «Сварочное производство», 151901 «Технология машиностроения», 270841«Монтаж и эксплуатация оборудования и систем газоснабжения», 140448 «Техническая эксплуатация и обслуживание электрического и электромеханического оборудования», 080118 «Страховое дело».

Составитель:
Преподаватель математики Кичигина Надежда Ивановна___________

2013
Оглавление
Глава 1. Математический анализ3
1.1. Предел функции3
1.2. Производная функции..7
1.3. Производная сложной функции....10
1.4 Интегральное исчисление...16
1.5 Неопределенный 13 EMBED Equation.3 1415. Его свойства17
1.6. Определенный интеграл. Вычисление
площадей плоских фигур..21
Метод замены переменной
(метод подстановки)22
Дифференциальные уравнения..23
1.9. Однородные дифференциальные
уравнения первого порядка..25
1.10 Частные производные.27
Глава 2. Ряды28
2.1. Числовые ряды..28
2.2. Знакопеременные ряды...31
2.3. Функциональные ряды.31
3. Глава 3. Основы дискретной математики.33
3.1. Множества и отношения.33
4. Глава 4. Основы теории комплексных чисел35
4.1. Алгебраическая форма комплексного числа.35
4.2. Геометрическое представление
комплексных чисел.37
4.3. Показательная форма комплексного числа39
5. Глава 5. Основы теории вероятностей.42
5.1. Вероятность. Случайные события42
5.2. Случайная величина. Ее функция распределения..44
5.3. Математическое ожидание и дисперсия
случайной величины..45
Самостоятельные работы ..48
Контрольная работа № 1...57
Глава 1. Математический анализ.
Предел функции.
Определение. Таблица замечательных пределов.
Обозначения: 13 EMBED Equation.3 1415множество вещественных чисел.
Опр. 1.1. 13 EMBED Equation.3 1415, допустим, что каждому значению 13 EMBED Equation.3 1415 по какому – либо закону поставлено в соответствие 13 EMBED Equation.3 1415. Это сопоставление определяет однозначное отображение и называется функцией одной переменной с областью определения X и множеством значений Y.
Обозн. 13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
13 EMBED Equation.3 1415

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 определена в некоторой окрестности точки а.
Опр. 1.2. число b называется пределом функции 13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415, если для любой последовательности аргументов 13 EMBED Equation.3 1415 сходящихся к а, соответствующая последовательность значений функций 13 EMBED Equation.3 1415сходится у b.
Обозн. 13 EMBED Equation.3 1415

Таблица пределов:
13 EMBED Equation.3 1415

Свойства пределов:
1) 13 EMBED Equation.3 1415;
2) 13 EMBED Equation.3 1415;
3) 13 EMBED Equation.3 1415;
4) 13 EMBED Equation.3 1415 (при 13 EMBED Equation.3 1415).



Пример. Вычислить предел.
13 EMBED Equation.3 1415
Задача:
13 EMBED Equation.3 1415







1.2. Производная функции.
Непрерывность функции.
Опр. 2.1. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется непрерывной в точке а, если она имеет предел 13 EMBED Equation.3 1415 и этот предел равен значению функции в этой точке, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415
Пусть функция у = f(x) определена на промежутке X. Возьмем точку х13 EMBED Equation.3 1415Х. Дадим значению х приращение 13 EMBED Equation.3 1415, тогда функция получит приращение 13 EMBED Equation.3 1415.
Опр. 2.2. Производной функции у = f(x) называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):
13 EMBED Equation.3 1415.

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Таблица производных:
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. 13 EMBED Equation.3
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Свойства производных:
Если С - постоянное число, 13 EMBED Equation.3 1415 - функции, имеющие производные, тогда:
13 EMBED Equation.3 1415 (I);
13 EMBED Equation.3 1415 (II);
13 EMBED Equation.3 1415 (III);
13 EMBED Equation.3 1415 (IV);
13 EMBED Equation.3 1415 (V).
Пример. Вычислить производную функций.
13 EMBED Equation.3 1415






Задача. Найти производные функции.
13 EMBED Equation.3 1415

1.3. Производная сложной функции.
Исследование функции с помощью производной.

Пусть 13 EMBED Equation.3 1415композиция двух функций.
Т.3.1. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема по x, а функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема по y, то сложная функция 13 EMBED Equation.3 1415 дифференцируема по x, причем её производная вычисляется по формуле: 13 EMBED Equation.3 1415

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415

Задача. Найти производную сложной функции.
13 EMBED Equation.3 1415

Опр.3.1. Точки мах и min функции называются точками экстремума функции.
Пример. Y=|x|, x=0 – точка min.

Т.3.2. пусть выполняются следующие условия:
1. 13 EMBED Equation.3 1415стационарная точка дифференцируемой функции, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. При переходе аргумента x через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная меняет знак,
Тогда точка 13 EMBED Equation.3 1415 является точкой экстремума функции 13 EMBED Equation.3 1415, причем:
Если при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная меняет знак с «-» на «+», то 13 EMBED Equation.3 1415 - точка минимума.
Если при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 производная меняет знак с «+» на «-», то 13 EMBED Equation.3 1415 - точка максимума.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
Опр. 3.2. Функция 13 EMBED Equation.3 1415 называется выпуклой вниз на (a,b), если какова бы ни была точка 13 EMBED Equation.3 1415, график этой функции целиком находится над графиком касательной, проходящей через эту точку.

Аналогично выпуклая вверх с заменой слов «над» графиком на слова «под» графиком.
Опр.3.3. Точка 13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой перегиба графика функции 13 EMBED Equation.3 1415, если при переходе через эту точку, функция меняет направление выпуклости.

Т.3.3. Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 дважды дифференцируема на (a,b) и точка 13 EMBED Equation.3 1415является точкой перегиба, тогда 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
Т.3.4. пусть точка 13 EMBED Equation.3 1415 является корнем уравнения 13 EMBED Equation.3 1415, тогда если при переходе через точку 13 EMBED Equation.3 1415 вторая производная меняет знак , то точка 13 EMBED Equation.3 1415 является точкой перегиба функции 13 EMBED Equation.3 1415, причем:
1) Если при переходе через 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 меняет знак с «-» на «+» , то выпуклость вниз меняется на выпуклость вверх.
2) Если при переходе через 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 меняет знак с «+» на «-» , то выпуклость вверх меняется на выпуклость вниз.

Схема исследования функции с помощью производной:
1) найти область определения функции;
2) найти точки разрыва функции и вертикальные асимптоты (если они существуют);
3) исследовать функцию на четность (нечетность) и на периодичность (для тригонометрических функций);
4) найти экстремумы и интервалы монотонности функции;
5) определить интервалы выпуклости (вогнутости) и точки перегиба;
6) исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты;
7) найти точки пересечения с осями координат и, возможно, некоторые дополнительные точки, уточняющие график.
Исследование функции проводится одновременно с построением ее графика.
Пример. Исследовать функцию 13 EMBED Equation.3 1415и построить ее
график. Решение:
1. Область определения 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Функция непрерывна во всей ее области определения. Следовательно, нет ни точек разрыва, ни вертикальных асимптот.
3. Функция четная, так как 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
График функции симметричен относительно оси ординат.
4. Экстремумы и интервалы монотонности.
13 EMBED Equation.3 1415. Из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 получим три критические точки: 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415. Исследуем характер критических точек. Для этого методом пробных точек определяем знак производной в каждом из интервалов: (-
·; -1), (-1; 0), (0 ; 1), (1; +
·).

На интервалах (-
·; -1) и (0; 1) функция убывает, на интервалах (-1 ; 0) и (1 ; +
·) - возрастает. При переходе через критические точки x1 = -1 и х3 = 1 производная меняет знак с минуса на плюс, следовательно, в этих точках функция имеет минимум. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. При переходе через критическую точку х = 0 производная меняет знак с плюса на минус. Следовательно, в этой точке функция имеет максимум уmax=
·(0)=5.
5. Интервалы выпуклости и точки перегиба.
13 EMBED Equation.3 1415. Из уравнения 13 EMBED Equation.3 1415
получим 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415. Определяем знак второй производной в каждом из интервалов:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

Таким образом, кривая, вогнутая на интервалах 13 EMBED Equation.3 1415и 13 EMBED Equation.3 1415 и выпуклая на интервале 13 EMBED Equation.3 1415, а 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 - точки перегиба.
13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
6. Наклонная асимптота имеет вид у = kx + b, если существуют конечные пределы: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, функция не имеет наклонных асимптот.
7. Дополнительные точки, уточняющие график:
13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Построим график функции:
















Задачи.
1. Вычислить производные.
13 EMBED Equation.3 1415
Построить график функции.
13 EMBED Equation.3 1415

§1.4 Интегральное исчисление
Первообразная функции
Опр. 4.1.
Функция F(x) над первообразной функции F(x) на некотором промежутке, если для всех x из этого промежутка 13 EMBED Equation.3 1415
Пр: 1) F(x)=sin x – первообр. F(x)=cosx , т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
2)13 EMBED Equation.3 1415 - первооб.13 EMBED Equation.3 1415,т.к 13 EMBED Equation.3 1415.
Задача Док – ть, что F(x) – первооб. F(x)
1.13 EMBED Equation.3 1415 3.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415 4.13 EMBED Equation.3 1415

§1.5 Неопределенный 13 EMBED Equation.3 1415. Его свойства.
Опр. 5.1. Интегрирование – это процесс нахождения первообразованых

Опр. 5.2. Множество первообразованых для данной функции F(x) над неопределенным интегралом и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415
Пр. 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таблица неопределенных интегралов
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
12. 13 EMBED Equation.3 1415.
13.13 EMBED Equation.3 1415.
14.13 EMBED Equation.3 1415
Свойства неопределенного интеграла:
Если 13 EMBED Equation.3 1415 – постоянная величина, то 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.
Задача: Вычислить неопределенный интеграл.
13 EMBED Equation.3 1415
Задача. Вычислить неопределенный интеграл.
13 EMBED Equation.3 1415





Самостоятельная работа.

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


§1.6. Определенный интеграл. Вычисление площадей плоских фигур.
Опр.6.1. Фигура, ограниченная снизу отрезком 13 EMBED Equation.3 1415 оси ох, сверху
графиком функции 13 EMBED Equation.3 1415, с боков отрезками х=а, х=b,






называется криволинейной трапецией.
Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:
13 EMBED Equation.3 1415

Таким образом, вычисление площади криволинейной трапеции сводится к отысканию первообразной F(x) функции 13 EMBED Equation.3 1415 , т.е. к интегрированию F(x).
Опр. 6.2. Разность 13 EMBED Equation.3 1415называется интегралом от функции F(x) и обозначается 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415 - формула Ньютона – Лейбница.
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной графиком 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415




Свойства определенного интеграла аналогичны свойствам неопределенного интеграла.
13 EMBED Equation.3 1415


Задача 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 2. Вычислить определенный интеграл.
13 EMBED Equation.3 1415

§1.7. Метод замены переменной (метод подстановки).

Существует три метода вычисления интегралов: непосредственное интегрирование, метод замены переменной, метод интегрирования по частям.
Пример.
13 EMBED Equation.3 1415
Задачи.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

Самостоятельная работа №1 .


§1.8. Дифференциальные уравнения.
Опр.8.1. Диф.уравнением называется уравнение, связывающее функцию 13 EMBED Equation.3 1415, переменную x и производную f(x).
Опр. 8.2. Если функция 13 EMBED Equation.3 1415 зависит только от переменной x, то диф.урав. называется обыкновенным.
Общий вид обыкновенного диф.уравнения. 13 EMBED Equation.3 1415.
Опр. 8.3. Максимальный порядок входящих в уравнение производных называется порядком диф.уравнения.
13 EMBED Equation.3 1415-диф.уравнение первого порядка.
13 EMBED Equation.3 1415- диф. Уравнение второго порядка.
Решить диф.уравнение – значит найти первообразную функции f(x), т.е. вычислить неопределенный интеграл от F(x).

Пусть дано диф.ур. первого порядка 13 EMBED Equation.3 1415, необходимо его решить.
13 EMBED Equation.3 1415общее решение диф.уравнения.
Алгоритм решения диф.уравнений:
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. домножаем обе части уравнения на 13 EMBED Equation.3 1415 и переносим слагаемые с 13 EMBED Equation.3 1415 в другую сторону.
3. Переменные, содержащие x переносим к 13 EMBED Equation.3 1415, а переменные, содержащие y к 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Интегрируем обе части уравнения.
Пример. Решить диф.уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнению вида 13 EMBED Equation.3 1415 можно придать вид
13 EMBED Equation.3 1415

Опр.8.4. Уравнение (*) называется уравнением с разделяющимися переменными, а уравнение (**) – уравнением с разделенными переменными.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415


§1. 9. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.

Опр. 9.1. Функция 13 EMBED Equation.3 1415называется однородной, если 13 EMBED Equation.3 1415

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415

Опр. 9.2. Уравнение вида 13 EMBED Equation.3 1415 называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.
Опр. 9.3. Уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.
Такое уравнение вычисляется с помощью замены 13 EMBED Equation.3 1415 подставим в (1) =>
13 EMBED Equation.3 1415

Задача. Решить диф.уравнение.
13 EMBED Equation.3 1415

5.13 EMBED Equation.3 1415 9.13 EMBED Equation.3 1415
6.13 EMB
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
· Частные производные

Дана функция двух переменных Z=F(x,y),дадим аргументу x приращение Bx, а арг. Y менять не будем, Т.Е. перейдем от точки с координатами (x,y) к точке с координатоми (x+bx,y).
Тогда функция F(x,y) получит приращение13 EMBED Equation.3 1415,которое над частным приращ. Ф-ии. F(x,y) по переменой x.
Опр.10.1:13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Он над частной производной ф-ии
F(x,y) и обозн.13 EMBED Equation.3 1415
Аналогична опред-ся ч.пр. F(x,y) по Y
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Т.Е ч.пр.13 EMBED Equation.3 1415это обычная производная ф. F(x,y) по переменой x при фиксиров.знач. y, а ч.пр 13 EMBED Equation.3 1415это есть обыч. Пр. Ф. F(x,y) по переменой y при фиксир. Знач. X

Пр; Найти ч.пр. ф-ии 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Задачи:

1.13 EMBED Equation.3 1415 6.13 EMBED Equation.3 1415
2.13 EMBED Equation.3 1415
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
Глава 2. Ряды.
§ 2.1. Числовые ряды.
Ряды бывают: числовые, функциональные, степенные, конечные и бесконечные, знакопеременные.
Опр.1.1. Числовым рядом называется выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415числа.
Для сокращенного обозначения рядов используют знак 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
Опр. 1.2. Сумма первых n элементов ряда называется частичной суммой ряда 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415
Опр. 1.3. Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм сходится, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415, где S – сумма ряда. (если предел не существует или равен 13 EMBED Equation.3 1415, то ряд расходится).
Пример. Определить сходимость ряда 13 EMBED Equation.3 1415 - геометрическая прогрессия.
13 EMBED Equation.3 1415
Докажем сходимость каждого ряда.
13 EMBED Equation.3 1415

Эти ряды являются рядами бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем <1, тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Так как сумма ряда конечное число, то ряд сходится.
Т. 1.1. (Необходимый признак сходимости рядов).
Если ряд сходится, то его общий элемент стремится к нулю, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415ряд расходится.


Признак Даламбера сходимости рядов.
Пусть дан ряд 13 EMBED Equation.3 1415 Допустим, что 13 EMBED Equation.3 1415, тогда
Если p<1, то ряд сходится.
Если p>1, то ряд расходится.

Пример. 13 EMBED Equation.3 1415ряд сходится.
Задача. Написать первые пять элементов ряда по заданному общему элементу и проверить сходится ли ряд.
13 EMBED Equation.3 1415


§ 2.2. Знакопеременные ряды.
Опр.2.1. Рассмотрим ряд, у которого все элементы по очереди меняют знак: 13 EMBED Equation.3 1415 , где 13 EMBED Equation.3 1415. Такой ряд называется знакочередующимся.
Пример. 13 EMBED Equation.3
· 1415
Т.2.1. (Признак Лейбница).
Пусть знакочередующийся ряд удовлетворяет следующим условиям:
Все элементы ряда убывают 13 EMBED Equation.3 1415.
Общий элемент ряда стремится к 0 при 13 EMBED Equation.3 1415.

Тогда ряд сходится.

§ 2.3. Функциональные ряды.
Опр. 3.1. Пусть дана бесконечная последовательность функций 13 EMBED Equation.3 1415, где все функции определены на некотором множестве, тогда ряд 13 EMBED Equation.3 1415 называется функциональным рядом.
Если вместо аргумента x поставить конкретное число, то получим числовой ряд 13 EMBED Equation.3 1415.
Опр. 3.2. Если этот ряд сходится, то точка 13 EMBED Equation.3 1415 называется точкой сходимости ряда.
Опр. 3.3. совокупность всех точек сходимости ряда называется областью сходимости ряда.
Факториал ! n!=1*2*3*4**n
3!=1*2*3
2!=1*2
1!=1
0!=1
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
Определить сходимость данного ряда по признаку Даламбера.
13 EMBED Equation.3 1415ряд сходится.

Задача. Определить сходимость ряда.
13 EMBED Equation.3 1415

Контрольная работа по трем темам: производная, ряды, диф.уравнения.

Глава 3. Основы дискретной математики.
§3.1. Множества и отношения.

Опр. 1.1. Множество это совокупность объектов, которые объединены как-либо свойствами.

13 EMBED Equation.3 1415
1. Z - Множество целых чисел 13 EMBED Equation.3 1415
2. Q - Множество рациональных чисел 13 EMBED Equation.3 1415
3. N - Натуральные числа (1,2,3)
4. R - Действительные числа
5. C - Комплексные числа
Опр.1.2. Подмножеством В данного множества А называется множество, которое содержит некоторые элементы мн. А или множество, каждый элемент которого принадлежит мн.А.
Обозн. 13 EMBED Equation.3 1415
Пустое множество это множество, которое не содержит ни одного элемента.
Обозн. 13 EMBED Equation.3 1415Ш
Опр.1.3. пересечением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно и множеству А, и множеству В.
13 EMBED Equation.3 1415
Опр. 1.4. Объединением двух множеств А и В называется множество, каждый элемент которого принадлежит или множеству А, или множеству В, или одновременно двум множествам.
13 EMBED Equation.3 1415
Опр.1.5. Разностью множеств А и В называется множество только тех элементов множества А, которые не принадлежат В.
13 EMBED Equation.3 1415
Опр.1.6. 13 EMBED Equation.3 1415. Дополнением множества В до множества А называется множество таких элементов, которые принадлежат А, и не принадлежат В.
13 EMBED Equation.3 1415
Пример. А={0,1,2,,9}, В={5,6,7,,15}, C={0,1,2,,15}
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Операции над множествами можно проиллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера.






















Опр. 1.7. Два множества А и В называются равными, если каждый элемент множества А принадлежит В и наоборот.

Задача 1. С помощью диаграмм Эйлера найти
13 EMBED Equation.3 1415
Задача 2. А={0,1,2,3,4,5,6}, B={1,2,3,4,6,8}, C={-1,0,3,4,7,8}
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
Самостоятельно
А={0,1,2,3}, B={-1,2,3,4,5,6}
Найти 13 EMBED Equation.3 1415


Глава 4. Основы теории комплексных чисел.
§4.1. Алгебраическая форма комплексного числа.

В XVI веке итальянский математик Дж.Кордано и Р.Бомбелли, решая квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415 ввели символ 13 EMBED Equation.3 1415, который в XVIII веке петербургский ученый Л.Эйлер обозначил 13 EMBED Equation.3 1415, отсюда решение данного квадратного уравнения имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415 так появилось множество комплексных чисел.

Опр.1.1. Комплексным числом z называется выражение вида 13 EMBED Equation.3 1415, где a- действительная часть комплексного числа, b-мнимая часть, 13 EMBED Equation.3 1415- мнимая единица.

13 EMBED Equation.3 1415 - алгебраическая форма комплексного числа.
Опр.1.2. Два к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 называются равными, если их действительные и мнимые части равны, т.е. 13 EMBED Equation.3 1415.
К.ч. вида 13 EMBED Equation.3 1415 называется нулевым.
К.ч. вида 13 EMBED Equation.3 1415 называются комплексно – сопряженными.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415комплексно – сопряженные.

Опр. 1.3. Суммой двух к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 называется к.ч. вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Опр.1.4. Разностью двух к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 называется к.ч. вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415

Опр. 1.5. Произведение двух к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 называется к.ч. вида 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415

Опр. 1.6. Частным двух к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 называется к.ч. вида 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. 13 EMBED Equation.3 1415
§4.2. Геометрическое представление комплексных чисел.
Для геометрического представления к.ч. используют точки и векторы координатной плоскости. В качестве к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 используют точку с абсциссой а и ординатой b.























































Если к.ч. 13 EMBED Equation.3 1415 0, то его можно представить в виде
13 EMBED Equation.3 1415 тригонометрическая форма к.ч,
где 13 EMBED Equation.3 1415 модуль к.ч
Угол 13 EMBED Equation.3 1415 - угол, образованный 13 EMBED Equation.3 1415 с осью OX, назначенный аргументом к.ч. и обознается 13 EMBED Equation.3 1415, причем tg 13 EMBED Equation.3 1415
Чтобы перейти от алгебраической формулы к.ч к тригонометрической и обратно, необходимо сделать следующие преобразования:
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415
Пример.
13 EMBED Equation.3 1415. Составить тригонометрическую форму к.ч. и изобразить его?
13 EMBED Equation.3 1415

Действия над к.ч. в тригонометрической форме:
13 EMBED Equation.3 1415

Практическое занятие 7.
Действия над комплексными числами.

Задача 1. 13 EMBED Equation.3 1415 найти: 13 EMBED Equation.3 1415

Задача 2. Построить к.ч. A(-1), B(i), C(-2), D(-3i), E(2-3i),F(-4-2i), M(3+i),
N(-6+2i), P(2+2i), K(-2+2i), L(-2-2i).

Задача 3. Представить в тригонометрической форме к.ч.
13 EMBED Equation.3 1415

Задача 4. представить в тригонометрической форме к.ч.
13 EMBED Equation.3 1415

§4.3. Показательная форма комплексного числа.

Кроме алгебраической и тригонометрической формы к.ч. имеют также показательную форму: 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415
Если 13 EMBED Equation.3 1415, то комплексно-сопряженное имеет вид: 13 EMBED Equation.3 1415.
Сравним записи комплексных чисел 13 EMBED Equation.3 1415.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415- тождество Эйлера.
Аналогично комплексно-сопряженные: 13 EMBED Equation.3 1415
Складывая два эти равенства, получим: 13 EMBED Equation.3 1415.
Вычитая эти два равенства, получим: 13 EMBED Equation.3 1415
Пример. Найти показательную форму комплексного числа 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение. 13 EMBED Equation.3 1415

Задачи:
Найти показательную форму комплексного числа.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти тригонометрическую форму комплексного числа.
13 EMBED Equation.3 1415
Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.
Самостоятельно: Найти 13 EMBED Equation.3 1415, если 13 EMBED Equation.3 1415.

Действия над к.ч.
Дано 13 EMBED Equation.3 1415
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
2. Дано 13 EMBED Equation.3 1415 Найти тригонометрическую и показательную формы к.ч.
3. Дано 13 EMBED Equation.3 1415 Найти алгебраическую и показательную формы к.ч.
4. Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415.

Контрольная работа №2.

Глава 5. Основы теории вероятностей.
§5.1. Вероятность. Случайные события.
Т.В. изучает закономерности, имеющие место в массовых случайных явлениях.
Опр.1.1. Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого. В противном случае они называются совместными.
Пример 1. В ящике имеются стандартные и нестандартные детали. Наудачу берут одну деталь.
Событие А1 – достали стандартную деталь.
Событие А2 – достали нестандартную деталь.
События А1 и А2 несовместные
Пример 2. Брошена игральная кость.
Событие А1 – появилось два очка.
Событие А2 – появилось четное число очков.
События А1 и А2 совместные.
Опр.1.2. Пусть событие А связано с опытом. Повторим опыт n раз, при этом событие А появится m раз, тогда m/n называется частотой появления события А.
Опр.1.3. вероятностью события А называется число, равное m/n, где m – число событий, благоприятных для А, n – обще число событий, тогда вероятность события А обозначается Р(А)= m/n.
Свойства вероятности Р(А):
1. 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Р(u)=1, где u – достоверное событие.
3. Р(v)=0, где v – невозможное событие.

Теорема сложения вероятностей:
Вероятность суммы двух несовместных событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

Теорема произведения вероятностей:
Вероятность произведения двух несовместных событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.
Р(А*В)=Р(А)*Р(В/А)

Опр.1.4. Условной вероятностью события В при условии, что событие А произошло называется отношение вероятности произведения А*В к вероятности события А.
Р(В/А)=Р(А*В)/Р(А)

Задачи:
В коробке находятся 100 шаров, отмеченных номерами 1,2,3,..,100. Из коробки наугад вынимают один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара содержит цифру 5.
Из коробки, в которой находятся 7 красных, 8 желтых, 5 зеленых шаров, наудачу вынимают один шар. Найти вероятность того, что вынутый шар окажется: А) красным, Б) желтым, В) черным, Г) зеленым.
Среди 50 деталей 5 нестандартных. Найти вероятность того, что наугад взятая деталь окажется А) стандартной, Б) нестандартной.
Брошена игральная кость. Найти вероятность того, что А – выпало 3 очка, В – выпало нечетное число очков.
Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз выпадет герб.
В партии из 30 пар обуви имеется 10 пар мужской, 8 пар женской, 12 пар детской. Найти вероятность того, что наугад взятая пара окажется недетской.

§5.2. Случайная величина. Ее функция распределения.

Опр.2.1. случайная величина – действительная функция, заданная на пространстве элементарных событий данного испытания.
Почти в каждой задаче в результате эксперимента возникает некоторое число. Например, испытание – бросается игральная кость. Число Х – выпавшее число очков.
Опр.2.2. Случайная величина, принимающая различные значения, которые можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности, называется дискретной случайной величиной.
Опр.2.3. Случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого промежутка, называется непрерывной случайной величиной.
Пример. Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. Х – полное время горения.
Случайная величина обозначается X, Y, Z, а ее возможные значения х1, х2, х3
Опр.2.4. Законом распределения сл.в. называется правило, устанавливающее связь между возможными значениями сл.в. и их вероятностями.
Закон распределения дискретной сл.в. может быть задан таблицей или с помощью формулы. Если дискретная сл.в. Х принимает конкретное множество значений х1,х2,хn с вероятностями р1,р2,, рn, то закон ее распределения может быть задан формулой р1+р2+рn=1.
Этот закон можно задать таблицей и графически.

Х
х1
х2
х3

хn

Р
р1
р2
р3

рn


Пример. Дискретная сл.в. задана законом:

Х
0,2
0,4
0,6
0,8
1

Р
0,1
0,2
0,4
р4
0,1


Найти вероятность р4 = Р(Х=0,8). Построить график распределения?
Решение: р1+р2+р3+р4+р5=1 => р4=1-(р1+р2+р3+р5)=1-(0,1+0,2+0,4+0,1)=0,2









Задача. Дискретная сл.в. задана законом:
Х
3
4
5
6
7

Р
Р1
0,15
Р3
0,25
0,35




Найти р1=Р(Х=3) и р3=Р(Х=5), если р3 в 4 раза больше р1?

§5.3. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины.
Числовыми характеристиками сл.в. являются математическое ожидание M(X), дисперсия D(X), среднее квадратичное отклонение 13 EMBED Equation.3 1415.
Опр.3.1. Математическим ожиданием дискретной сл.в. Х с законом распределения называется число
Х
х1
х2
х3

хn

Р
р1
р2
р3

рn


M(X)=x1p1+x2p2++xnpn

Пример. Найти М(Х) числа очков, выпадающих при бросании игральной кости.
Решение. Закон распределения имеет вид
Х
1
2
3
4
5
6

Р
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6
1/6

Тогда М(Х)= 1*1/6+2*1/6+3*1/6+4*1/6+5*1/6+6*1/6=3,5
Свойства М(Х):
М(СХ)=С*М(Х).
М(Х+У)=М(Х)+М(У)
М(Х*У)=М(Х)*М(У)

Опр.3.2. Пусть Х – дискретная сл.в., возможные значения которой х1,х2,,хn,
М(Х) – математическое ожидание, тогда сл.в. Х-М(Х) называется отклонением величины Х от ее математического ожидания, т.е. отклонение это сл.в., которая принимает значения: х1-М(Х), х2-М(Х),, хn-М(Х).
Опр.3.3. Дисперсией сл.в. называется математическое ожидание квадрата
отклонения сл.в. от ее математического ожидания.
Дисперсия обозначается 13 EMBED Equation.3 1415
Опр.3.4. Средним квадратичным отклонением сл.в. Х называется корень
квадратный из дисперсии. 13 EMBED Equation.3 1415 .
На практике часто используют формулу 13 EMBED Equation.3 1415.
Пример. Дискретная сл.в. имеет закон распределения
Х
0
1
2

Р
0,3
0,5
0,2

Найти D(X)? 13 EMBED Equation.3 1415?
Решение: М(Х)= 0*0,3+1*0,5+2*0,2=0,9
Запишем закон распределения отклонения этой величины, т.е. величины 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
(0-0,9)13 EMBED Equation.3 1415
(1-0,9)13 EMBED Equation.3 1415
(2-0,9)13 EMBED Equation.3 1415

Р
0,3
0,5
0,2


D(X)=(0-0,9)13 EMBED Equation.3 1415*0,3+(1-0,9)13 EMBED Equation.3 1415*0,5+(2-0,9)13 EMBED Equation.3 1415*0,2=0,81*0,3+0,01*0,5+1,21*0,2=0,49.

13 EMBED Equation.3 1415

Задача. Найти М(Х)? D(X)? 13 EMBED Equation.3 1415? Сл.в., заданной по закону:
Х
1
2
3
4

Р
0,3
0,1
0,2
0,4



















Самостоятельные работы (карточки с заданиями).


Карточки по теме: «Производная функции».
Задание: Найти производную?
Вариант
Примеры

1



2



3



4



5



6



7



8



9



10



11



12



13



14



15



16



17



18



19



20



21



22



23



24



25



26



27



28



29



30





Карточки по теме: «Комплексные числа, действия над ними».
Задания:
Найти сумму, разность, произведение, частное двух комплексных чисел.
Найти тригонометрическую форму комплексного числа.
Найти показательную и алгебраическую форму комплексного числа.
Решить уравнение.
Вариант
Примеры


Z1=-1+3i, z2=3-2i,
Z=1+i
Z=4(cos90+isin90)
913 QUOTE 1415-12x+7=0


Z1=0,5+i, z2=1-1,5i,
Z=3+4i
Z=3/5(cos90+isin90)
13 QUOTE 1415-10x+50=0


Z1=-1+2i, z2=4-3i,
Z=6+6i
Z=8(cos270+isin270)
13 QUOTE 1415-10x+50=0


Z1=3+i, z2=1,5+i,
Z=1-2i
Z=0,5(cos30+isin30)
13 QUOTE 1415+25=0


Z1=10+i, z2=i,
Z=1+i
Z=4(cos45+isin45)
13 QUOTE 1415+7=0


Z1=2-2i, z2=-1+i,
Z=2+0i
Z=2(cos180+isin180)
13 QUOTE 1415+3x-4=0


Z1=-2+i, z2=3-i,
Z=2+3i
Z=9(cos270+isin270)
13 QUOTE 1415+2x+2=0


Z1=-1+7i, z2=8,
Z=7+0i
Z=-3(cos180+isin180)
13 QUOTE 1415+9=0


Z1=-i, z2=-4-5i,
Z=-4+4i
Z=0,5(cos90+isin90)
13 QUOTE 1415+16=0


Z1=0,5-i, z2=-0,5-i,
Z=-1-i
Z=7(cos60+isin60)
13 QUOTE 1415+2x-1=0


Z1=1-i, z2=1+i,
Z=2+5i
Z=4(cos120+isin120)
913 QUOTE 1415+1=0


Z1=0,5+0,5i, z2=-i,
Z=1-13 QUOTE 1415i
Z=8(cos90+isin90)
13 QUOTE 1415+9=0


Z1=-1+i, z2=3-2i,
Z=1+i
Z=3(cos45+isin45)
13 QUOTE 1415+2x+8=0


Z1=i, z2=7+3i,
Z=1+i
Z=3(cos270+isin270)
13 QUOTE 1415-2x+4=0


Z1=4,5+2i, z2=-1+i,
Z=1+i
Z=0,5(cos30+isin30)
13 QUOTE 1415+100=0


Z1=2-i, z2=1-i,
Z=-1+i
Z=25(cos90+isin90)
13 QUOTE 1415+3=0


Z1=3+7i, z2=1-2i,
Z=1+i
Z=3(cos30+isin30)
913 QUOTE 1415+12x+7=0


Z1=3+0i, z2=2-3i,
Z=-4+3i
Z=1(cos60+isin60)
13 QUOTE 1415+2=0


Z1=10-i, z2=-1+i,
Z=1+3i
Z=4(cos60+isin60)
13 QUOTE 1415+5=0


Z1=-5-i, z2=7i,
Z=1+i
Z=7,5(cos120+isin120)
13 QUOTE 1415+8=0


Z1=0,4+i, z2=0,6-2i,
Z=13 QUOTE 1415+i
Z=9(cos90+isin90)
13 QUOTE 1415+3x+7=0


Z1=2+5i, z2=4,
Z=13 QUOTE 1415+13 QUOTE 1415i
Z=2(cos360+isin360)
13 QUOTE 1415+2x+7=0


Z1=7-8i, z2=-1+5i,
Z=-1-i
Z=4(cos60+isin60)
13 QUOTE 1415+3x+4=0


Z1=3+2i, z2=-7+5i,
Z=13 QUOTE 1415+i
Z=3(cos30+isin30)
13 QUOTE 1415-2x+2=0


Z1=3+4i, z2=0,5-i,
Z=1-2i
Z=3(cos45+isin45)
13 QUOTE 1415+2=0


Z1=-3-4i, z2=0,3-1i,
Z=1+2i
Z=8(cos60+isin60)
13 QUOTE 1415+4=0


Z1=-1+3i, z2=3-2i,
Z=4+i
Z=9(cos90+isin90)
13 QUOTE 1415-12x+7=0


Z1=-1+i, z2=3-2i,
Z=1+i
Z=4(cos0+isin0)
913 QUOTE 1415-2x+7=0


Z1=-4+3i, z2=1-2i,
Z=1+i
Z=4(cos30+isin30)
913 QUOTE 1415-12x+7=0


Z1=-1+3i, z2=3-2i,
Z=1+5i
Z=2(cos90+isin90)
913 QUOTE 1415-12x+4=0




Контрольная работа №1 по теме: «Предел функции, производная, интеграл, ряд, дифференциальные уравнения»

Вычислить предел
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти производную
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Вычислить интеграл
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Найти 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Определить сходимость ряда по признаку Даламбера
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415


Расписать первые три элемента ряда
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Решить дифференциальное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольная работа №2 по теме: «Комплексные числа»

1. Выполнить действия над комплексными числами 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

2. Перевести в тригонометрическую и показательную форму, построить график
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

3. Перевести в алгебраическую форму
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

4. Решить квадратное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415






























Список литературы

Виноградов И. М.Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2007.
Григорьев В.П. Элементы высшей математики. - М: Высш. шк., 2008
Григорьев С.Г. Математика: учебник для студентов сред. проф.
учреждений / С.Г. Григорьев, С.В. Задулина; под ред. В.А. Гусева. – 2-е
изд., стер. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 384 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс,
4-е изд. М.: Айрис-пресс, 2008.
Спирина. М.С. Теория вероятностей и математическая статистика:
учебник для студ. учреждений сред. проф. образования / М.С. Спирина,
П.А. Спирин. – М.: Издательский центр «Академия», 2007. – 352 с.
Шипачев В. Основы высшей математики: учебное пособие для ВТУЗов. –
М: Высш. шк., 2007











13PAGE 15


13 PAGE \* MERGEFORMAT 14215



у


х



Действительная ось
ная ось

х

у

0

z=x+iy

(

(

у

х

Мнимая
ось

у

0

-1

(3

М((3;-1)

(

х,(



Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeCEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native=Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы


Добавить комментарий