Геометрическая симметрия вокруг нас


ШКОЛЬНАЯ НАУЧНО-ПРАКТИЧЕСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ
«Первые шаги в науку – 2014»
Секция МАТЕМАТИКА
Геометрическая симметрия вокруг нас
(исследовательcкая работа)
Выполнила: Логинова Ксения
ученица 6а класса
МБОУ «Гимназия»
Руководитель работы:
Егармина Л.В.
учитель математики
МБОУ «Гимназия»
Лесосибирск, 2014
Оглавление
TOC \h \z \t "Иой заголовок 1;1;Мой заголовок 2;2"
Введение PAGEREF _Toc378659524 \h 3Основная часть PAGEREF _Toc378659525 \h 4§1. Симметрия в геометрии и ее свойства PAGEREF _Toc378659526 \h 4§2. Виды геометрических симметрий PAGEREF _Toc378659527 \h 4§3. Асимметрия и диссимметрия PAGEREF _Toc378659528 \h 7§4. Геометрическая симметрия в живой природе PAGEREF _Toc378659529 \h 8§5. Геометрическая симметрия в архитектуре г. Лесосибирска PAGEREF _Toc378659530 \h 10§6. Геометрическая симметрия в национальной культуре нашего города PAGEREF _Toc378659531 \h 12§7. Привлекательность симметричных, асимметричных, диссиметричных стрижек для учащихся 6 класса МБОУ «Гимназия» PAGEREF _Toc378659532 \h 12Заключение PAGEREF _Toc378659533 \h 14Литература PAGEREF _Toc378659534 \h 15
ВведениеСимметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство.
Герман Вейль Клаус Хуго.
Проблеме симметрии посвящена поистине необозримая литература. От учебников и научных монографий до произведений, апеллирующих не столько к чертежу и формуле, сколько к художественному образу, и сочетающих в себе научную достоверность с литературной отточенностью. Симметрия является одной из наиболее фундаментальных и одной из наиболее общих закономерностей мироздания: неживой, живой природы и общества. С симметрией мы встречаемся всюду. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания; его широко используют все без исключения направления современной науки. Что же такое симметрия? Почему симметрия буквально пронизывает весь окружающий нас мир? Ответ на вопрос и стал целью нашей работы.
Мы выдвинули гипотезу: большинство объектов вокруг нас симметричны.
Цель исследования: установить существование симметрии вокруг нас и ее значение в природе.
Задачи:
изучить теоретический материал по данной теме;
выявить геометрическую симметрию в живой природе нашего города;
выявить геометрическую симметрию в архитектуре г.Лесосибирска;
выявить симметрию в национальной культуре нашего города;
установить эстетическую привлекательность симметричных, асимметричных и диссиметричных стрижек для учащихся 6 класса МБОУ «Гимназия»
Методы исследования: изучение литературы, сопоставление существенных признаков, наблюдение, сравнение, анкетирование.

Основная часть§1. Симметрия в геометрии и ее свойстваГеометрическая симметрия — это наиболее известный тип симметрии для многих людей. Геометрический объект называется симметричным, если после того как он был преобразован геометрически, он сохраняет некоторые исходные свойства. Например, круг повёрнутый вокруг своего центра будет иметь ту же форму и размер, что и исходный круг. Виды симметрий возможных для геометрического объекта, зависят от множества доступных геометрических преобразований и того, какие свойства объекта должны оставаться неизменными после преобразования.
Так как любая симметрия есть движение, то для нее справедливы все свойства движения:
При симметрии прямая переходит в прямую, луч переходит в луч, отрезок переходит в отрезок, плоскость переходит в плоскость, полуплоскость – в полуплоскость.
При симметрии сохраняется величина углов между простейшими фигурами: прямыми, плоскостями.
Симметрия сохраняет параллельность прямых, прямой и плоскости, плоскостей.
§2. Виды геометрических симметрийСуществуют следующие виды геометрических симметрий:
зеркальная симметрия;
осевая симметрия;
вращательная симметрия;
центральная симметрия;
скользящая симметрия;
винтовая симметрия.
Рассмотрим подробно каждый вид геометрической симметрии.
Центральная симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно точки О, если О — середина отрезка АА1 (рис.1). Точка О считается симметричной самой себе и называется центром симметрии.
129540-933452935605-422275
рис. 2
рис. 1

На рисунке 2 показана центральная симметрия треугольника АВС в треугольник А̕В̕С̕ с центром симметрии О.
Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Примерами фигур, обладающих центральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис.3).
4724403810
рис. 3

Осевая симметрия
Две точки А и А1 называются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА1 и перпендикулярна к нему (рис.4). Каждая точка прямой а считается симметричной самой себе. Прямая а называется при этом осью симметрии.
253365144145322516548895
рис. 4
рис. 5

Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а называется осью симметрии фигуры. Примеры таких фигур и их оси симметрии изображены на рисунке 5. Заметим, что у окружности любая прямая, проходящая через ее центр, является осью симметрии.
Зеркальная симметрия
Зеркальная симметрия хорошо знакома каждому человеку из повседневного наблюдения. Как показывает само название, зеркальная симметрия связывает любой предмет и его отражение в плоском зеркале. Это симметрия относительно плоскости. Все точки фигуры расположены на одинаковом расстоянии от плоскости симметрии и при наложении друг на друга их фигуры совпадают по всем точкам (рисунок 6).
-3810998220рис. 6
рис. 7
3529965941070Говорят, что одна фигура (или тело) зеркально симметрично другой, если вместе они образуют зеркально симметричную фигуру. На рисунке 7 представлены зеркальносимметричные фигуры.
Вращательная симметрия
31870651128395Вращательная симметрия — термин, означающий симметрию объекта относительно всех или некоторых собственных вращений. Ее называют еще симметрией поворота. Задается центром вращательной симметрии (центром поворота), углом вращательной симметрии (рис. 8). На рисунке 9 показана вращательная симметрия некоторого объекта с центром P
25336576835
рис. 8

рис. 9


Скользящая симметрия
Скользящей симметрией называют композицию симметрии относительно некоторой прямой l и переноса на вектор, параллельный l (рис. 10).
l
рис. 10
152403810
Винтовая симметрия
3539490852805Винтовая симметрия - это симметрия объекта относительно группы преобразований, являющихся композицией преобразования поворота объекта вокруг оси и переноса его вдоль этой оси (рис. 11, 12).
1524032385
рис. 11
рис. 12

§3. Асимметрия и диссимметрияПонятия симметрии и асимметрии альтернативны.
Асимметрия — отсутствие какого-либо вида симметрии. Пример рисунок 13.
15240154305
рис. 13

Диссимметрия – частичная утрата симметрии или отдельных её элементов.
Диссимметрия — явление, широко распространенное в живой природе. Она характерна и для человека. Человек диссимметричен, несмотря на то, что очертания его тела имеют плоскость симметрии. Диссимметрия сказывается в лучшем владении одной из рук, в несимметричном расположении сердца и многих других органов, в строении этих органов. Примеры дисиметрий приведены на рисунках 14, 15.
373951522860243840232410
рис. 15

рис. 14

§4. Геометрическая симметрия в живой природеСимметрией обладают объекты и явления живой природы. Она не только радует глаз и вдохновляет поэтов всех времен и народов, а позволяет живым организмам лучше приспособиться к среде обитания и просто выжить.
В живой природе огромное большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий (формы, подобия, относительного расположения). Причем организмы разного анатомического строения могут иметь один и тот же тип внешней симметрии.
19583403390903939540348615Рассмотрим несколько деревьев, произрастающих в нашем городе: сосна, береза, рябина.
-32385-3175
рис. 16

У любого дерева есть основание и вершина, "верх" и "низ", выполняющие разные функции. Значимость различия верхней и нижней частей, а также направление силы тяжести определяют вертикальную ориентацию поворотной оси "древесного конуса" и плоскостей симметрии. В целом для любого ствола этих деревьев характерна винтовая симметрия, причем углы поворота могут быть разные. Именно поэтому с одной стороны дерева 21920201619250зрительно больше веток, а с другой меньше.
рис. 17
404254388368-575310118745
Для листьев этих растений характерна зеркальная и осевая симметрии, а для расположения листьев на стебле характерна винтовая симметрия. Листья располагаются на стволе по винтовой линии, чтобы заслонять друг друга от ветра и не закрывать друг от друга лучи солнечного света.
Рассмотрим несколько цветов, растущих в г. Лесосибирске: Анютины глазки, ромашка, тюльпаны (рис.18).
19011901257301295401257304358640182880
рис. 18

Для ромашки характерны осевая и вращательная симметрии. Анютины глазки характеризуются частично зеркальной и винтовой симметрией. Для цветка тюльпана характерны вращательная и зеркальная симметрии.
рис. 19
Рассмотрим мир насекомых. Возьмем пчелиные соты - настоящий конструкторский шедевр. Они состоят из ряда шестигранных ячеек. Это самая плотная упаковка, 4225290-148590позволяющая наивыгоднейшим образом разместить в ячейке личинку и при максимально возможном объеме наиболее экономно использовать строительный материал-воск (рис. 19).
-127635577215В этой конструкции можно наблюдать и центральную, и осевую, и зеркальную, и скользящую симметрии.
Рассматривая внешний вид насекомых, можно увидеть, что для большинства из них характерна зеркальная симметрия. Например, насекомое, которое обитает на территории г. Лесосибирска: бабочка капустница (рис. 20). Обладает зеркальной симметрией
рис. 20

рис. 21

42227501905Отражение в воде - единственный пример горизонтальной симметрии в природе. Быть может, в этом и состоит тайна его очарования? Поверхность реки играет роль зеркала и воспроизводит отражение с геометрической точностью. Поверхность воды есть плоскость симметрии. На рисунке 21 представлено зеркальное отображение на реке Енисей.
Таким образом, в живой природе нашего города большинство живых организмов обнаруживает различные виды симметрий. Симметрия нужна живой природе не только ради красоты окружающего мира, но и является лучшим приспособлением живых организмов к среде обитания.
-127635334010§5. Геометрическая симметрия в архитектуре г. ЛесосибирскаРассмотрим некоторые архитектурные сооружения нашего города.
рис. 22
На рисунке 22 представлена бетонная стела, символизирующая сибирскую ель. В этом сооружении явно просматривается зеркальная симметрия.
368046035560На рисунке 23 представлена стела на въезде в город. На первый взгляд это асимметричное сооружение. Но каждая его деталь в отдельности характеризуется какой-либо геометрической симметрией. Например круглая пила обладает центральной, осевой, вращательной симметриями.
рис. 23

3619555245
Рассмотрим наш Крестовоздвиженский собор (рис. 24). Каждый строительный элемент обладает здесь каким-либо видом геометрической симметрии: центральной (купола), зеркальной (каждый строительная башня с куполами), вращательной (расположение башен по кругу), осевой (кресты на куполах).
рис. 24

371284536830
Типовые пятиэтажки нашего города явно обладают зеркальной и скользящей симметрией (рис. 25)
рис. 25

-232410147320
Рассмотрим здание нашей гимназии (рис. 26)
рис. 26
На первый взгляд здание асимметрично. Оно состоит из двух частей. Каждая часть школы сама по себе обладает зеркальной и скользящей симметрией.
Можно рассматривать множество других объектов строений в нашем городе и мы увидит характерную для них геометрическую симметрию или симметрию их частей. Это обеспечивает не только красоту и гармонию нашего восприятия, но и устойчивость и равновесие тяжелых конструкций, их простоту исполнения. Для строения асимметричных объектов нужны более сложные конструкции, затраты и расчеты для их устойчивости и безопасности.
§6. Геометрическая симметрия в национальной культуре нашего городаГород Лесосибирск населяет множество людей разных национальностей (русские, украинцы, белорусы, татары, чуваши, азербайджанцы, таджики, немцы и многие другие). Каждая национальность имеет свой национальный костюм, в каждом из которых наблюдается симметричные узоры или орнаменты.

рис.27 рис.28 рис.29
На рисунке 27 представлен женский русский стилизованный костюм с характерными признаками осевой, скользящей, вращательной симметрий.
На рисунке 28 представлен мужской белорусский национальный костюм с вышивкой на рубашке. Сам орнамент на вышивке обладает осевой, скользящей, центрально симметрией.
На рисунке 29 представлен женский татарский национальный костюм, в котором явно наблюдается зеркальная и вращательная симметрия узора.

§7. Привлекательность симметричных, асимметричных, диссиметричных стрижек для учащихся 6 класса МБОУ «Гимназия»Мы провели опрос среди учащихся 6-х классов нашей школы. Предложили ребятам выбрать наиболее привлекательную для них женскую стрижку (рис. 30). В опросе участвовало 50 человек.
Симметричная стрижка Асимметричная стрижка Диссимметричная стрижка


рис. 30
Получили следующие результаты опроса:
Понравилась симметричная стрижка - 39 чел (78 %)
Понравилась асимметричная стрижка - 3 чел. (6 %).
Понравилась диссиметричная стрижка - 8 чел (16%).
Распределение эстетической привлекательности стрижек можно наглядно представить на следующей диаграмме:

ЗаключениеС симметрией мы встречаемся везде – в природе, технике, искусстве, науке. Понятие симметрии проходит через всю многовековую историю человеческого творчества. Принципы симметрии играют важную роль в физике и математике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, поэзии и музыке. Законы природы, управляющие неисчерпаемой в своём многообразии картиной явлений, в свою очередь, подчиняются принципам симметрии.
Существует множество видов симметрии как в растительном, так и в животном мире, но при всем многообразии живых организмов, принцип симметрии действует всегда, и этот факт еще раз подчеркивает гармоничность нашего мира.
В своей работе мы подробно рассмотрели геометрическую симметрию, окружающую нас города Лесосибирска в живой природе, архитектуре и национальной культуре.
Действительно, симметричные объекты окружают нас буквально со всех сторон, мы имеем дело с симметрией везде, где наблюдается какая-либо упорядоченность. Симметрия противостоит хаосу, беспорядку. Получается, что симметрия –
гармония и красота,
равновесие,
устойчивость,
лучшее приспособление к среде обитания
Таким образом, мы подтвердили нашу гипотезу и вокруг нас действительно есть симметрия.

ЛитератураВигнер Е.А. Этюды о симметрии / Е.А Вигнер. – М.: Мысль, 1991.- 150 с.
Гильде В.П. Зеркальный мир / В.П. Гильде. – М.: Мир, 1982. – 250 с.
Сонин А.С. Постижение совершенства / А.С. Сонин. – М.: Здание, 1997. – 150 с.
Смирнова Е.С. Курс наглядной геометрии / Е.С. Смирнова. – М.: Просвещение, 2002. – 260 с.
Тарасов Л.В. Этот удивительный симметричный мир / Л.В. Тарасов. – М.: Просвещение, 1992 . – 162 с.
Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии / Ю.А. Урманцев. – М.: Мысль, 1994. – 180 с.
Шарыгин И.Ф. Наглядная геометрия / И.Ф. Шарыгин, Л.Н. Ерганжиева. – М.: Мирос, 1996. – 305 с.
Википедия. Свободная энциклопедия [электронный ресурс] / Режим доступа: http://ru.wikipedia.org/wiki/%D1%E8%EC%EC%E5%F2%F0%E8%FF

Приложенные файлы

  • docx file2
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 0

Добавить комментарий