Математическая основа лабиринта


Красноярская региональная детско-молодежная
общественная организация «Научное общество учащихся»
МБОУ «Гимназия» г. Лесосибирска
Математическая основа лабиринта
Выполнила: уч-ся 5 «А» класса МБОУ «Гимназия»
Г. Лесосибирска
Васильева Екатерина
Научный руководитель: учитель математики
МБОУ «Гимназия»
Егармина Людмила Валерьевна
Лесосибирск 2013
Содержание TOC \h \z \t "Мой заголовок1;1;Мой заголовок2;2"
Введение PAGEREF _Toc347336083 \h 31 Лабиринты древности PAGEREF _Toc347336084 \h 42 Виды лабиринтов PAGEREF _Toc347336085 \h 73 Способы выхода из лабиринта PAGEREF _Toc347336086 \h 103.1. Теорема Тремо PAGEREF _Toc347336087 \h 103.2. Правила правой и левой руки PAGEREF _Toc347336088 \h 124 Математические лабиринты PAGEREF _Toc347336089 \h 145 Лабиринты города Лесосибирска PAGEREF _Toc347336090 \h 16Заключение PAGEREF _Toc347336091 \h 19Список литературы и интернет-ресурсов PAGEREF _Toc347336092 \h 20
ВведениеУвлекаясь решением математических задач, часто сталкиваемся с интересными, на первый взгляд, трудными задачами. В решении их помогает сообразительность, смекалка. Встречаются такие задачи, которые называются математическими играми и развлечениями. Особый интерес привлекают лабиринты. Задачи с использованием лабиринтов хорошо развивают логическое мышление человека, которое необходимо не только для решения математических, но и жизненных задач. Поэтому, мы решили узнать о лабиринтах больше и посвятили этому данное исследование.
Исходя из этого, была поставлена цель исследования – на основе изученных методов выхода из лабиринтов научиться находить выход из математических лабиринтов.
Задачи:
рассмотреть историю возникновения лабиринтов;
выявить виды лабиринтов;
изучить способы хода из лабиринтов;
применить изученные способы на практике: найти выход из математических лабиринтов;
рассмотреть простейшие лабиринты г. Лесосибирска и построить пути их прохождения.
В процессе исследовательской деятельности были использованы такие методы, как анализ базовых понятий, анализ продуктов деятельности, моделирование, сравнение и сопоставление.
Объект исследования: математический лабиринт; предмет исследования: лабиринты города Лесосибирска: городская лыжная трасса и тропинки лесного массива.
1 Лабиринты древностиЛабири́нт — какая-либо структура (обычно в двухмерном или трёхмерном пространстве), состоящая из запутанных путей к выходу. Под лабиринтом у древних греков и римлян подразумевалось более или менее обширное пространство, состоящее из многочисленных залов, камер, дворов и переходов, расположенных по сложному и запутанному плану, с целью запутать и не дать выхода несведущему в плане лабиринта человеку.
914401339850В Древнем Египте существовал Фаюмский лабиринт - колоссальное гранитное четырёхугольное здание, состоявшее из трёх массивных корпусов, четвёртая сторона которого примыкала к пирамиде. Во внутреннем пространстве находилось несколько дворов, обставленных колоннами, и крытых гипостильных зал. Само же здание включало в себя множество комнат и коридоров, расположенных частично выше поверхности почвы, частью под землёй. Лабиринт занимал пространство общей площадью 70 000 квадратных метров. По мнению историков, лабиринт был центром, из которого фараоны управляли страной, главным образом он служил религиозным целям. Это был храмовый комплекс, в котором приносились жертвы всем богам Египта. Посетителям не разрешалось осматривать подземные помещения лабиринта, в которых находились гробницы царей, а также гробницы священных крокодилов.
Второй лабиринт, знаменитый в античном мире, находился в Древней Греции на северном берегу острова Крит – Кносский лабиринт. Постройка его приписывалась легендарному ваятелю и зодчему Дедалу по приказанию царя Миноса для того, чтобы содержать в нём чудовище Минотавра, рождённое царицей Пасифаей. Там же, согласно мифу, совершил один из своих подвигов Тесей, убив это чудовище и освободив, таким образом, афинян от позорной и тяжкой дани. Он выбрался из лабиринта благодаря золотой нити, которую юноша тянул за собой от самого входа. Эту нить ему дала Ариадна, дочь царя Миноса.
3101340104775Хотя местонахождение лабиринта в Кносе до сих пор не определено, согласно сообщениям, он был похож на египетский образец, только его размеры были намного меньше. Плиний отмечал, что жители Крита построили свой лабиринт в одну сотую величины египетского лабиринта.
-228603810Третий лабиринт, известный в древности, находился на острове Самосе (Древняя Греция).
370141554610Четвёртый лабиринт — так называемый надгробный памятник царя Порсенны находился в Древнем Риме — огромный курган 250 м в окружности, включающий в себя целую сеть погребальных склепов и переходов из одного в другой. В городе Помпеи находилось по крайней мере два декоративных лабиринта.
Один из них, Дом с лабиринтом, известен удивительным мозаичным полом, на котором изображена борьба Тесея с Минотавром. Это «аллегорическое изображение жизни человека и трудностей, которые должна преодолеть душа в этом мире и в мире ином перед тем, как достичь благословенного состояния бессмертия». Также известно, что дети в Римской империи играли в лабиринтах, выложенных на полях или на мостовых.
В других странах тоже были лабиринты. В храме Халебид в Майсуре (Индия) на части фриза можно увидеть изображение лабиринта. Эта постройка XIII века н. э. отображает эпизод из эпоса Махабхарата. Китайцы верили, что злые духи могут летать только по прямой, поэтому они строили входы в виде лабиринтов, чтобы уберечь свои дома и города от злых духов. В Скандинавии на побережье Балтийского моря находится более 600 каменных лабиринтов. Есть мнение, что многие из них построены местными рыбаками, которые верили, что, проходя через них, обеспечивают себе хороший улов и счастливое возвращение. На маленьком острове Сент-Агнес у юго-западного побережья Корнуолла есть лабиринт, который в 1726 году был восстановлен смотрителем маяка на основании оставшихся планов.
450151581915Сегодня крупнейший в мире лабиринт, впервые открытый в 1978 году, находится в Лонглит-Хаусе, графство Уилтшир.


316801560960В России тоже есть свои лабиринты. Так, на Соловецких островах насчитывается около 30 лабиринтов и более 1000 насыпей-курганов и разнообразных символических узоров из камня. До сих пор эти сооружения остаются одними из самых загадочных мест на Земле. На них нет никакой растительности, кроме мхов и ягодников. Высаженные растения и деревья погибают, а животные избегают этих мест.
2 Виды лабиринтовСуществует несколько видов лабиринтов, вот самые популярные из них.
Церковные лабиринты Европы.
254889050165Ранние христианские церкви с энтузиазмом переняли традицию лабиринта. В первую очередь это был символ самой церкви, например выбитый на каменных стенах собора в Лукке (Италия) или вышитый на облачении усопших епископов, которые были изображены лежащими в лоне церкви.
Головоломный лабиринт
-156210192405
Головоломные лабиринты используются для развития логического мышления.
34918650Языковой лабиринт
Заметим, что далеко не все лабиринтные структуры поддаются непосредственному наблюдению. Есть любопытная теория, что структурой именно такого рода является, например, модель развития индоевропейских языков, а также любой языковый (лингвистический) лабиринт.
Дерновые лабиринты
В XIII-XIX веках лабиринтами называли особого рода садовые украшения, состоящие из более или менее высоких живых изгородей или из трельяжей, обсаженные растениями. Они были расположены так, что между ними образуются дорожки, ведущие к одному центру, но изгибающиеся в разные стороны и сообщающиеся между собой столь замысловато, что гуляющему не легко добраться до этого центра, также как и найти обратный путь.
298704010731535814097790
Лабиринт как геометрическая сеть
Аллеи, дорожки, коридоры, галереи, шахты и т. п.. Лабиринты тянутся, изгибаясь во все стороны, перекрещиваются, расходятся по всевозможным направлениям, ответвляются, образуют тупики и т. п.. Но мы для большей ясности рассмотрения вопроса, все перекрестки обозначим просто точками, а все эти аллеи, коридоры и т. д. будем принимать просто за линии, прямые или кривые, плоские или нет – все равно, но эти линии соединяют наши точки.

Схема московского метрополитена


Схема движения городского транспорта

3 Способы выхода из лабиринтаСамый элементарный способ выхода из лабиринта – метод проб и ошибок. Выбирайте любой путь, а если он заведет вас в тупик, то возвращайтесь назад и начинайте все сначала.
3.1. Теорема ТремоУниверсальный алгоритм прохождения любых лабиринтов был описан только через столетие в книге французского математика Э. Люка "Recreations matematiques", изданной в 1882 году. Интересно, что Люка при описании алгоритма указал на первенство другого французского математика М. Тремо. Таким образом, алгоритм стал известен как алгоритм Люка-Тремо.
Тремо предлагает следующие правила: выйдя из любой точки лабиринта, надо сделать отметку на его стене (крест) и двигаться в произвольном направлении до тупика или перекрестка; в первом случае вернуться назад, поставить второй крест, свидетельствующий, что путь пройден дважды - туда и назад, и идти в направлении, не пройденном ни разу, или пройденном один раз; во втором - идти по произвольному направлению, отмечая каждый перекресток на входе и на выходе одним крестом; если на перекресте один крест уже имеется, то следует идти новым путем, если нет - то пройденным путем, отметив его вторым крестом.
Зная алгоритм Тремо, можно скорректировать поведение легендарного Тесея. Вдохновленный подарком любимой Ариадны, он уверенно идет по лабиринту. Вдруг перед ним возникает ход, по которому уже протянута нить... Что делать? Ни в коем случае не пересекать ее, а вернуться по уже известному пути, сдваивая нить, пока не найдется еще один непройденный ход.
Применив вариант алгоритма Тремо, отец теории информации Клод Шеннон (Claude Elwood Shannon) построил одного из первых самообучающихся роботов. Шеннон дал ему звучное имя "Тесей", но в истории "Тесей" стал больше известен как "мышь" Шеннона. "Мышь" сначала обследовала весь лабиринт, а затем (во второй раз) проходила весь путь значительно быстрее, избегая участков, пройденных дважды.
Тремо предлагает примерно такой вариант решения задач о лабиринтах. Всякий раз, идя по любому коридору в первый раз, ставим при входе в коридор и при выходе из коридора на стене по черточке, если идем по коридору вторично, то перечеркиваем черточки. Если мы имеем дело с действительным лабиринтом, или галереями подземных шахт, с разветвлениями пещер и т. д., то блуждающему в этих шахтах вместо черточек на бумаге придется делать уже иной знак, чтобы ориентироваться, и класть, например, камень при входе и выходе из каждого перекрестка – в галерее, которую он покидает, и в той, в которую он входит.
Если подошли к перекрестку, на котором ни разу небыли, то дальше идем по любому коридору (рис. 1), если же попали в тупик – идем обратно (рис. 2).
тупик
Рис. 2
Рис. 1
перекресток


2. Если подошли к перекрестку, где уже побывали, и подошли к нему по такой дороге, по которой мы идем в первый раз, то немедленно отправляемся обратно (рис. 3).
перекресток
Рис. 3

3. Если подошли к перекрестку таким путем, по которому уже дважды шли, то далее, если есть коридоры, по которым ещё ни разу не ходили, идем по любому из них (рис. 4).
Рис. 5
Если же таких коридоров нет, то идем по любому пройденному один раз (рис. 5).
перекресток
Рис. 4
перекресток

3.2. Правила правой и левой рукиОдним из самых простых правил для прохождения лабиринта является правило "одной руки": двигаясь по лабиринту, надо все время касаться правой или левой рукой его стены. Этот алгоритм, вероятно, был известен еще древним грекам. Придется пройти долгий путь, заходя во все тупики, но в итоге цель будет достигнута. Хотя у этого правила и есть один недостаток, но о нем мы поговорим позже.
Попробуем описать робота, действующего в соответствии с правилом "правой руки".
В начале своей работы робот должен найти стену, по которой он будет следовать. Для этого он может просто двигаться вперед, пока не упрется в преграду.
После того как робот наткнулся на препятствие, он начинает передвигаться в соответствии с правилом "правой руки".
Двигаясь вдоль стены, робот следит, есть ли проход справа. Если проход есть, робот должен идти по нему, чтобы не оторваться от стены справа.
Если прохода нет - впереди стена - робот поворачивает налево. Если прохода снова нет, он еще раз поворачивает налево, таким образом разворачиваясь на 180 градусов, и идет в обратном направлении.
Блок-схема алгоритма для робота, работающего по правилу "правой руки", представлена на рисунке.


501015-405765
рис. 6

Если известно, что у лабиринта нет отдельно стоящих стенок, то нет замкнутых маршрутов, по которым можно возвращаться в исходную точку, то такой лабиринт называют односвязным и его всегда можно обойти полностью, применив правило "одной руки".
Если же лабиринт содержит отдельно стоящие стенки, то, применяя правило "одной руки", не всегда можно пройти все коридоры и тупики. Лабиринты с отдельно стоящими стенками и с замкнутыми маршрутами называются многосвязными. При этом многосвязные лабиринты можно разделить на две группы: без "петли" вокруг цели (замкнутый маршрут не проходит вокруг цели) и с замкнутой "петлей" вокруг цели (цель можно обойти по замкнутому маршруту).
В многосвязных лабиринтах второй группы правило "одной руки" не работает и, применяя его, достичь цели невозможно. Но и эти лабиринты можно пройти, полагаясь на точный алгоритм.
Решение задачи о таких лабиринтах принадлежит сравнительно позднему времени, и начало ему положено Леонардом Эйлером. Эйлер не без оснований полагал, что выход из любого лабиринта может быть найден, и притом сравнительно простым пуРис. 3
перекресток
Рис. 1
тём.


4 Математические лабиринтыПриведем примеры математических лабиринтов и найдем выход из них, применяя изученные алгоритмы.
Лабиринт «Лягушка»

Лабиринт «Мороженое»
-232410275590
9144003810

Лабиринт «Квадрат»



5 Лабиринты города ЛесосибирскаРассмотрим лыжную трассу города Лесосибирска как математический лабиринт и найдем пути выхода из него с помощью изученных способов (алгоритмов).

Поскольку на лыжной трассе нет замкнутых маршрутов по ходу лыжни, то к такому лабиринту удобно применить правило правой руки. В итоге получаем следующие маршруты: на 2 км, 3 км, 5 км.

По-другому обстоит дело, если рассматривать как лабиринт все тропы в этом лесу. Здесь огромное количество замкнутых маршрутов. Поэтому, человеку, который заблудился в лесу (или наоборот, чтобы не заблудится в лесу) необходимо применить теорему Тремо. Представим два произвольных маршрута выхода из лабиринта заплутавшего в лесу человека. Цель человека: выйти к автодороге.


ЗаключениеЛабиринты – это странные явления природы или затейливые постройки человека, заставляют задумываться над поиском выхода из них. Многие считают решение занимательных задач, таких, как лабиринты, средством для приятного времяпрепровождения, отдыха, но если вдуматься, то становится ясной их гораздо более важная роль. Несомненно, что именно решение занимательных задач является одним из самых мощных инструментов развития человеческого интеллекта. Не зря люди передавали эти задачи устно и письменно из поколения в поколение.
Первый метод – МЕТОД ПРОБ И ОШИБОК. Выбирайте любой путь, а если он заведет вас в тупик, то возвращайтесь назад и начинайте все сначала.
Второй метод – МЕТОД ЗАЧЕРКИВАНИЯ ТУПИКОВ. Начнем последовательно зачеркивать тупики, т.е. маршруты, не имеющие ответвлений и заканчивающиеся перегородкой. Незачеркнутая часть коридора будет выходом или маршрутом от входа к выходу или к центру.
Третий метод – ПРАВИЛО ОДНОЙ РУКИ. Оно состоит в том, что по лабиринту надо двигаться не отрывая одной руки (правой или левой) от стены. Это правило не универсальное, но часто полезное. Им пользуются тогда, когда все стены хотя и имеют сложные повороты и изгибы, но составляют непрерывное продолжение наружной стены. Лабиринты не должны содержать замкнутых маршрутов.
В результате проведенной исследовательской работы выяснились универсальные способы прохождения любого лабиринта, и теперь я точно знаю, что найду выход из любой пещеры, из любого дернового или ледового лабиринта, которые часто строят для забавы. На практике нами были рассмотрены лабиринты города Лесосибирска: городская лыжная трасса и множество тропинок леса. Выходы найдены из всех лабиринтов.
В заключении хотелось бы сказать, что лабиринты являются одной из интересных форм и методов развития логического мышления, а также способствуют развитию смекалки, аналитического склада ума.

Список литературы и интернет-ресурсов
Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. – М: Наука, 1999. – 258 с.
Леман И.К. Увлекательная математика. – М: Знание, 1995. – 320 с.
Шарыгин И.Ф, Ерганжиева Л.Н. Наглядная геометрия. – М: Культурно-производительный центр «Марта», 2002. – 250 с.
Шейнина О.М. Математика, занятия школьного кружка. – М: НЦ ЭНАС, 2003. – 280 с.
http://ru.wikipedia.org

Приложенные файлы

  • docx file13
    Размер файла: 5 MB Загрузок: 1

Добавить комментарий