Методика изучения темы уравнения с одной переменной


Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной»
1. Анализ содержания программы по математике
Изучение темы «Уравнения с одной переменной» курса алгебры 7 класса входит в программу экзамена. Поэтому контроль знаний, умений и навыков учащихся очень важен при изучении данного раздела алгебры, от этого зависит успешность сдачи экзамена. Для того чтобы определиться с выбором форм проверки, необходимо выделить содержание контроля. Для начала необходимо сделать анализ программы, затем анализ содержания темы учебника, а затем, в соответствии с ним, выбрать формы и методы контроля.
В курсе алгебры в 7 классе содержатся задания теоретического и прикладного характера. Прикладная направленность курса обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению практических задач.
Целью изучения этого курса является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и другие), усвоение аппарата функций как основного средства математического моделирования, решение прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.
В связи с этим программа курса математики предполагает следующее содержание по изучению линейных уравнений с одной переменной в 7 классе основной школы:
– Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.
– Решение текстовых задач методом составления уравнений.
В соответствии с программой требования к математической подготовке учащихся:
– понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;
– правильно употреблять термины «уравнение», «корень уравнения», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение»;
– решать линейные уравнения;
– решать текстовые задачи с использованием уравнений.
При организации учебного процесса следует опираться на тематическое планирование учебного материала, в котором разработано поурочное планирование, ориентированное на учебник алгебры 7 класса.
Анализ содержания тем, связанных с изучением уравнений позволяет продумать эффективный систематический контроль.
2. Уравнения с одной переменной
1). Уравнение и его корни
 Уравнением с одной переменной, называется равенство, содержащее только одну переменную.
 Корнем  уравнения называется значение переменной, при котором уравнение превращается в верное числовое равенство. 
Решить уравнение – это значит  найти все его корни  или доказать, что их нет. 
2). Линейное уравнение с одной переменной
Уравнение вида ax = b  , где х – переменная, а и b – некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной.
Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными уравнениями.
Уравнения, не имеющие корней, также считают равносильными.
Свойство 1. При переносе слагаемого из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, получается уравнение,  равносильное данному.                         Свойство 2. При умножении или делении обеих частей уравнения на одно и то же число, отличное от нуля, мы получим уравнение, равносильное данному.   
Принято:  цифры в алгебраических выражениях заменять первыми буквами латинского алфавита   – a, b, c, …, а переменные обозначать последними   – x, y, z. 
Сколько корней может иметь уравнение ?
Если a ≠ 0,     b – любое значение, уравнение  ax = b имеет один корень x = b : a;
 a = 0,     b ≠ 0  –  ax = b не имеет корней;
 a = 0,     b = 0 –   ax = b имеет бесконечно много корней.
Например:
3x = 3,     один корень       x = 3 : 3       x =  1;
0 · x = 5   корней нет;
0 · x = 0 бесконечно много корней:     x – любое число. 
3. Примеры уранений и алгоритмы решения уравнений.
Пример 1. Решите уравнение: 4х = 32.
Решение.
Корнем уравнения является х = 8, так как 4·8 = 32 верное равенство.
Ответ: х = 8.
Пример 2. Решите уравнение х+5=2.
Решение.
Уравнение имеет два корня:
х + 5 = 2 или 2) х + 5 = – 2
х = – 3 х = 3
Ответ: – 3; 3.
Пример 3. Решите уравнение – 2(х + 6) = x + 6 .
Решение.
Шаг 1. Раскроем скобки: – 2х – 12 = х + 6.
Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую. При переносе через знак равенства, знак, стоящий перед соответствующим членом уравнения, меняется на противоположный:
– 2х – х = 6 + 12.
Шаг 3. Приведем подобные члены: – 3х = 18.
Шаг 4. Находим х: х = – 6.
Ответ: – 6.
Пример 4. Решите уравнение 2t – 3(2 – 6t) = 4(t + 6).
Решение.
Шаг 1. Раскроем скобки: 2t – 6 +18t = 4t +24.
Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую: 2t – 4t +18t = 24 + 6.
Шаг 3. Приведем подобные члены: 16t = 30.
Шаг 4. Находим неизвестное и записываем ответ:
,
.
Ответ: .
Пример 5. Решите уравнение (7х – 2)(3 – 5х) =0.
Условие равенства нулю произведения: произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из этих выражений обращается в нуль, а другое при этом не теряет смысла.
В данном примере оба сомножителя определены для любого действительного числа х, т.е. при любом значении числа х ни один из сомножителей не теряет смысла, следовательно, равенство нулю произведения равносильно совокупности условий: либо один, либо другой сомножитель равен нулю. При увеличении числа сомножителей, соответственно увеличивается количество условий.
Решение.
7х – 2 = 0 или 3 – 5х =0;
или .
Ответ: QUOTE 27 .
Пример 6. Решите уравнение 0,5 (1 – 8х) – 1,5(6х – 3) = 3х –13.
Решение.
Шаг 1. Раскроем скобки: 0,5 – 4х – 9х + 4,5 = 3х – 13.
Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую: – 8х – 9х – 3х = – 13 – 4,5 – 0,5.
Шаг 3. Приведем подобные члены: – 18х = – 18.
Шаг 4. Находим неизвестное и записываем ответ: х = 1.
Ответ: 1.
Пример 7. Решите уравнение 3х+54– – 6х –27 = 1.
Решение.
Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 28:
( 3х+54 – 6х –27 ) · 28= 1·28;
3х+54· 28 – 6х –27 · 28 = 28;
7(3х + 5) – 4(6х –2) = 28;
21х + 35 – 24х + 8 = 28;
– 3х = – 15;
х = 5.
Ответ: 5.
4. Решение задач с помощью уравнений
При решении задач с помощью уравнений необходимо следовать определенному алгоритму:
1) Обозначить некоторое неизвестное число буквой;
2) используя условие задачи, составить уравнение;
3) решить уравнение;
4) полученный результат привести в соответствие с условием задачи.
Пример 8. Периметр прямоугольника 28 см, причем одна из его сторон на 4 см больше, чем другая. Найти стороны и площадь прямоугольника.
Решение.
1) Пусть ширина прямоугольника х см, тогда его длина (х + 4) см.
2) Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен 28 см, составим уравнение: .
3) Решим уравнение: .
Значит, ширина прямоугольника равна 5 см.
4) Зная ширину прямоугольника и зависимость длины от ширины, найдем сначала его вторую сторону, а затем и площадь.
х + 4 = 5 + 4 = 9 (см), (см2).
Ответ: 9 см, 45 см2.
Пример 9. Один арбуз на 5 кг легче, чем второй и в 3 раза легче, чем третий. Первый и третий вместе в 2 раза тяжелее, чем второй. Найти массу второго арбуза.
Решение.
Пусть первый арбуз весит х кг, тогда второй – (х + 5) кг, а третий – 3х кг.
2) По условию первый и третий в 2 раза тяжелее второго, составим и решим уравнение:
х + 3х = 2(х + 5),
4х = 2х + 10,
2х = 10;
х = 5.
Значит, 5 кг весит первый арбуз, 5 + 5 = 10 (кг) – второй, а 3×5 =15(кг) – третий арбуз.
Ответ: 5кг; 10 кг; 15 кг.
Пример 10. Катер преодолевает расстояние между пунктами А и В, двигаясь по течению, за 2 часа. На обратный путь он затрачивает 3 часа, двигаясь с той же скоростью. Какое расстояние преодолевает катер на маршруте, и какова его собственная скорость, если скорость течения 5 км/ч ? 
Решение.
1) Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Тогда (х + 5) км/ч – скорость катера по течению, а (х – 5) км/ч – скорость катера против течения.
2) Учитывая время движения катера, составим уравнение: .
3) Решим уравнение:
2х + 10 = 3х – 15;
х = 25.
Значит, 25 км/ч – собственная скорость катера.
4) (25 + 5)·2 = 60 (км) – расстояние, которое преодолевает катер на маршруте.
Ответ: 60 км, 25 км/ч. 
Пример 11. 
  Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста, мужчина и женщина. Скорость мужчины была на 3 км/ч больше. Через два часа они встретились, а еще через 3 часа женщина прибыла в пункт А.  Какое расстояние (S) между этими пунктами? 
Решение.  
1) Пусть х км/ч – скорость женщины,
Тогда (х +3) км/ч – скорость мужчины.
Скорость сближения (их совместная скорость) – (2х + 3) км/ч,
2) Весь путь мужчина и женщина преодолели за 2 часа, а женщина на весь путь затратила 5 часов, учитывая это, составим уравнение:
.
3) Решим уравнение:
4х + 6 = 5х;
х = 6.
Значит, 6 км/ч – скорость женщины.
4) 6 + 3 = 9 (км/ч) – скорость мужчины.
Тогда расстояние между пунктами А и В:
6 · 5 = 30 (км).   
Ответ: 30 км.
Пример 12.  Отцу 42 года, а сыну 15 лет. Через сколько лет сын будет в два раза моложе отца? 
Решение.1)  Пусть х – количество лет, через которое сын будет в два раза моложе отца.
2) Тогда можно составить уравнение:
42 + х = 2(15 + х).
 3) Решим уравнение:
42 + х = 30 + 2х;
х =12.
Ответ: через 12 лет.
В некоторых случаях при решении задачи целесообразно составить таблицу.  
Пример 13. В корзине яблок в 4 раза меньше, чем в ящике. После того как из ящика переложили в корзину 1,5 кг яблок, в корзине стало в 3 раза меньше яблок, чем в ящике. Сколько килограммов яблок было в корзине и ящике сначала?
Решим эту задачу, следуя алгоритму.
Внесем данные в таблицу:
Было (кг) Действия с предметами (кг) Стало (кг)
Ящик 4х 4х – 1,5 4х – 1,5
Корзина хх + 1,5 3(х + 1,5)
Составим и решим уравнение:
4х – 1,5 = 3 (х + 1,5),
4х – 1,5 = 3х + 4,5,
4х – 3х = 4,5 + 1,5, х = 6. 6 × 4 = 24 (кг).Ответ: 24 кг и 6 кг.
Пример 14. С одной станции выехал поезд со скоростью 48 км/ч, а через 2 часа с другой станции навстречу ему вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Расстояние между станциями 528 км. Сколько времени в дороге был каждый поезд до встречи.
Составим к этой задаче таблицу:
Время (ч) Скорость (км/час) Путь (км)
Поезд 1 на 2 ч больше, чем поезд 2 48 528
Поезд 2 х60 528
Решение.Какое расстояние прошел первый поезд за 2 часа?
48×2 = 96 (км).Какое расстояние стало между поездами с момента выхода второго поезда?
528 – 96 = 432 (км).До встречи они были в дороге одинаковое количество временами? Обозначив это время за х, составим уравнение:48х + 60х = 432,108х = 432,х = 4.4 часа был в дороге второй поезд,
4 + 2 = 6 (ч) был в дороге первый поезд с момента своего выхода.Ответ: 4 часа и 6 часов.


Приложенные файлы


Добавить комментарий