Методика изучения задач с параметрами


Методика изучения задач с параметрами, содержащих модули. Графическое решение задач с параметрами
Задачи с параметрами, содержащие модули, вполне регулярно встречаются в вариантах Единого государственного экзамена, проводящегося для выпускников полной средней школы, т.е. 11-го класса [Шахмейстер А.Х., Задачи с параметрами в ЕГЭ, 2-е изд., исправленное и дополненное. СПб, Петроглиф, 2004]. Тем не менее, теоретический материал, необходимый для решения большинства таких задач, излагается в курсе основной средней школы. Активное использование и осмысление такого материала при решении задач с параметрами, может способствовать лучшему его пониманию и более глубокому усвоению. Привлечение графических методов для решения таких задач, кроме того, будет способствовать активизации внутрипредметных связей и общему повышению математической культуры.
Понятие модуля вводится в 5-ом или в 6-ом классе, но чтобы не нарушать принцип посильности, рекомендуется вводить решение таких задач в 8-9 классах и, во-вторых, использовать несколько упрощенные, по сравнению с реальными вариантами ЕГЭ и вступительных экзаменов, версии заданий.
Задача 1 (Пробный ЕГЭ). При каких значениях параметра a уравнение ||x-4|-a|=3 имеет ровно три корня?
Решение: Рассмотрим график функции y=||x-4|-a|. Его построение проведем последовательно.
Шаг 1. Стоим прямую y=x-4 (рисунок 1)

Рис. 1
Шаг 2. Строим график функции y=|x-4| путем отражения отрицательной части прямой y=x-4 симметрично относительно горизонтальной оси (рисунок 2).

Рис. 2
Шаг 3. Строим график функции y=|x-4|-a переносом предыдущего графика на -a единиц (или, что удобнее практически, переносом горизонтальной оси на +a единиц).

Рис. 3
Шаг 4. Строим график функции y=||x-4|-a| путем отражения отрицательной части предыдущего графика симметрично относительно горизонтальной оси.
Здесь нужно отметить, что при положительных значениях a график изменит свою форму по сравнению с предыдущим (рисунок 5), при неположительных – останется тем же (рисунок 4).
Отметим на итоговом рисунке при a положительных характерную точку: при x=4 y=a.

Рис. 4 Рис. 5
Мы видим, что в случае отрицательных a (рис. 4) пересечение ни с какой горизонтальной прямой, в частности, с графиком функции y=3, не может иметь трех точек. При положительных a (рисунок 6) ровно 3 точки пересечения получаются при a=3.

Рис. 6
При 0<a<3 будут две точки пересечения (прямая y=3 пройдет выше точки (4,a)), а при a>3 – четыре (прямая y=3 пересечет все звенья ломаной).
Для решения в 8 или 9-м классе можно рекомендовать следующую модификацию этой задачи:
Задача 1а. При каких значениях параметра a уравнение ||x-4|-3|=a имеет ровно три корня?
В этом случае решение задачи технически упрощается за счет исключения двух ветвей решения (существенно различная форма графиков при a положительном и неположительном в задаче 1), и анализ различных вариантов концентрируется на последнем шаге.
Перед началом решения задач с применением графических методов необходимо напомнить ученикам основные качественные приемы построения графиков:
График функции y=f(x-a) получается сдвигом графика функции y=f(x) на a единиц в горизонтальном направлении (рис. 7,8).

Рис. 7

Рис. 8
График функции y=f(x)+a получается сдвигом графика функции y=f(x) на a единиц по вертикали (рис. 9).
График функции y=|f(x)| получается из графика функции y=f(x) отражением отрицательной части относительно прямой y=0 (рис. 10)
В ходе вводных уроков имеет смысл прорешать по одной - две задачи на закрепление каждого из приемов, а также несколько задач, в которых используется комбинация преобразований. К началу решения задач с параметрами все ученики должны свободно владеть этими методами.

Рис. 9

Рис. 10
Задача 2. Определите, при каких значениях параметра a уравнение
|x^2-6x+8|+2=a
имеет ровно два решения.
Решение. Используя изложенные выше методы, построим график функции y=|x^2-6x+8|+2.

Рис. 11
Шаг 1. Стандартными методами строим параболу y=x^2-6x+8. Ее характерные точки – пересечение с осью абсцисс в точках (2,0) и (4,0), вершина параболы – точка (3, -1) (рисунок 11).
Шаг 2. Отражением отрицательной части графика относительно оси y=0 получаем график функции y=|x^2-6x+8| (рисунок 12).

Рис. 12
Шаг 3. Сдвигом графика вверх на 2 единицы получаем график функции y=|x^2-6x+8|+2 (рисунок 13).

Рис. 13
Рассмотрим возможные точки пересечения горизонтальных прямых y=a с полученным графиком. При a<2 таких точек просто нет. При a=2 мы имеем ровно две точки пересечения. При 2<a<3 имеем четыре точки, при a=3 – три точки. При a>3 (неравенство строгое!) мы возвращаемся к случаю двух точек пересечения прямой y=a с графиком. Действительно, при a>3 график нашей функции совпадает с параболой y=x^2-6x+10, и наличие двух точек пересечения следует из свойств параболы.
Ответ: при a=2 и a>3.

Приложенные файлы


Добавить комментарий