Методика организатсии уроков решения задач по теме прогрессии













Методика организации уроков решения задач
по математике на примере темы «Прогрессии»

































Содержание

13 TOC \o "1-3" \h \z \u 1413 LINK \l "_Toc296028048" 14Введение 13 PAGEREF _Toc296028048 \h 1431515
13 LINK \l "_Toc296028049" 14ГЛАВА I. Психолого-педагогические основы обучения школьников решению задач 13 PAGEREF _Toc296028049 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc296028051" 141.1 Роль математических задач в развивающем обучении школьников 13 PAGEREF _Toc296028051 \h 1481515
13 LINK \l "_Toc296028053" 141.2. Обучение учащихся решению задач 13 PAGEREF _Toc296028053 \h 14161515
13 LINK \l "_Toc296028056" 141.3 Виды уроков решения задач 13 PAGEREF _Toc296028056 \h 14321515
13 LINK \l "_Toc296028057" 14ГЛАВА II. Методические рекомендации к организации и проведению уроков решения задач на примере темы «Прогрессии» 13 PAGEREF _Toc296028057 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc296028059" 142.1. Логико-дидактический анализ темы «Прогрессии» 13 PAGEREF _Toc296028059 \h 14451515
13 LINK \l "_Toc296028063" 142.2. Проектирование уроков решения задач по теме «Прогрессии» 13 PAGEREF _Toc296028063 \h 14661515
13 LINK \l "_Toc296028070" 142.3 Описание эксперимента 13 PAGEREF _Toc296028070 \h 141321515
13 LINK \l "_Toc296028071" 14Заключение 13 PAGEREF _Toc296028071 \h 141421515
13 LINK \l "_Toc296028072" 14Список литературы 13 PAGEREF _Toc296028072 \h 141451515
13 LINK \l "_Toc296028073" 14Приложение 13 PAGEREF _Toc296028073 \h 141481515
15
Введение
Актуальность. Роль задач в процессе обучения математике велика. Разрешив систему специально подобранных задач, ученик знакомится с новыми алгоритмами, овладевает новыми техническими элементами. Математические задачи также находят свое применение при решении задач практических. Поэтому учителю важно научить учащихся решать задачи. Решение задач предполагает усвоение основных элементов учебной деятельности, ее этапов и операций, а также обеспечивает овладение навыком самостоятельной работы как очень важным элементом в формировании личности. С другой стороны, решению задач присущи все основные функции: побуждающая, познавательная, воспитывающая, развивающая и контролирующая. Перечисленные особенности процесса решения задач, его функции, также отражены в Государственном стандарте общего основного образования по математике: одной из целей математического образования должно быть «овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности», а также «интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений» [26]. Без решения задач невозможно достичь этих целей.
Роль и функции задач в обучении математике исследуются в работах Ю. М. Колягина [7, 8], М. Фридмана и Е.Н. Турецкого [24], А. А. Столяра [19], Г.И. Саранцева [17], Т. А. Ивановой [5], Л. И. Кузнецовой [5] и др. Если подводить итог исследованиям данных авторов, можно сделать вывод, что задача является средством и целью обучения математике. Решение задач занимает в учебном процессе значительное место как по времени, отводимому на этот вид работы, так и по значимости. Решение задач составляет как одну из основных целей обучения, так и основное средство обучения. Поэтому от того, как организованы уроки решения задач, каково при этом содержание деятельности учащихся, каков ее смысл для них, зависит результат учебного процесса, характер и особенности формируемых у школьников в этом процессе учебно-познавательных мотивов.
В книге Ивановой Т. А. «Современный урок математики» отмечается: «Практика показывает, что значительная часть учителей формулирует» вопрос о целях уроков решения задач «как обучение решению задач». Автор также отмечает, что эта цель не является конкретной, а также « не отражает ни содержание, которое должны усваивать ученики, ни формируемые умения и навыки». В связи с этим возникает предположение, что имеющие методические разработки в области организации обучения школьников решению задач на практике не используются в работе учителя в полной мере, а также то, что данные разработки не отражают в достаточной степени этапы этого обучения [5, с. 64]..
Например, по теме «Прогрессии» (9 класс), содержащей в различных учебниках по алгебре достаточное количество задачного материала, практически не имеется методических разработок по проведению и организации уроков решения задач. Однако эта тема широко представлена не только в программе Государственной итоговой аттестации учащихся девятых классов, но и имеет свое дальнейшее рассмотрение в курсе математического анализа, начала которого рассматриваются уже в 10-11 классах. Поэтому, для последующего успешного обучения школьников алгебре и началам анализа немалую важность будет иметь степень усвоения учениками способов и методов решения задач по теме «Прогрессии», что свидетельствует о значимости грамотной организации обучения решению задач по ней.
В литературе встречаются различные подходы к организации уроков решения задач, поэтому учителя, особенно молодые, не имеющие собственных наработок, испытывают трудности при разработке и проведении уроков, в частности уроков решения задач, так как нет четко выделенной методики обучения решению задач в конкретной теме.
Описанное выше позволяет выявить существующее противоречие между запросами практики, в частности, необходимостью обучения учащихся решению задач, и недостаточной разработанностью соответствующих методических рекомендации в теории и методике обучения математике, в частности по теме «Прогрессии». Это очередной раз подчеркивает значимость разработки методических рекомендаций по организации уроков решения задач.
Сформулированное противоречие обусловило проблему исследования: выявить теоретические знания по организации уроков решения задач и разработать на их основе методические рекомендации по обучению учащихся решению задач на примере темы «Прогрессии».
В связи с этим, цель работы состоит в разработке методических рекомендаций по организации уроков обучения учащихся решению задач по теме «Прогрессии».
Объект исследования – процесс обучения алгебре в средней (основной) школе.
Предмет исследования – методическая система обучения учащихся на уроках решения задач при изучении темы «Прогрессии»
Гипотеза исследования. Если разработать методические рекомендации в соответствии с основными этапами организации обучения учащихся решению задач по теме «Прогрессии», а также постепенно, последовательно и целенаправленно их соблюдать и осуществлять, то это будет способствовать повышению качества знаний, умений школьников в решении задач по теме «Прогрессии» и в некоторой степени поможет заложению основы, на которой строится умение решать задачи творческого уровня.
Цель и гипотеза определили следующие задачи исследования:
раскрыть роль задач в обучении математике в целом;
провести теоретический анализ психолого-педагогической и научно-методической литературы, а также программных документов по проблеме исследования с целью выделения различных подходов к обучению школьников решению задач;
рассмотреть различные типы уроков решения задач и особенности их организации;
выявить теоретико-методологическую концепцию, на основе которой можно разрабатывать методические рекомендации по организации уроков решения задач по теме «Прогрессии»;
разработать методические рекомендации по организации обучения учащихся решению задач, в частности по теме «Прогрессии»;
опробовать разработанные рекомендации в опыте работы с учащимися.
Методологической базой исследования послужили концепции развивающего обучения математике (Т.А. Иванова [2; 4], Л.И. Кузнецова [2], Т.П. Григорьева [2]); исследования о роли задач в обучении математике и организации обучения решению задач (Д. Пойа, Л.М. Фридман, Т.А. Иванова, Л.И. Кузнецова); методика обучения решению задач (Т.А. Иванова [5], Кузнецова Л.И. [5], Л.М. Фридман [22], Д. Пойа [15]), справочные материалы по алгебре и начале анализа (А.В. Гусев, А.Г. Мордкович [3, c. 201-211])
Для решения поставленных задач были использованы следующие методы: изучение и анализ литературы по проблеме исследования, наблюдение, опытная работа.
Структура работы. Работа состоит из введения, двух глав, заключения, списка литературы и приложений.
Во введении обуславливается актуальность темы; выявляется противоречие с запросами практики; формулируются проблема, цель, объект, предмет, гипотеза и задачи исследования. Описывается методологическая база и структура работы.
В первой главе содержится три параграфа. В ней говорится о роли математических задач в развивающем обучении школьников; рассматриваются различные подходы к обучение школьников решению задач; рассматриваются различные виды уроков решения задач с позиций разных авторов.
Вторая глава состоит из трех параграфов. Она посвящена логико-дидактическому анализу темы; проектированию системы уроков и подробной разработке одного из блоков по теме «Прогрессии»; описанию опытной работы, проведенной в МОУ СОШ №7 города Нижнего Новгорода среди учащихся 9 «Г» класса в период прохождения педагогической практики.
Список литературы содержит 26 наименований, среди которых книги по методике преподавания математики в школе, по обучению школьников решению задач, школьные учебники, психологические и педагогические источники, Государственный стандарт образования
В приложении описано психолого-педагогическое исследование класса, в котором впоследствии велась работа.

ГЛАВА I. Психолого-педагогические основы обучения школьников решению задач

Для того чтобы реализовать поставленные задачи, необходимо для начала выявить, на чем же строятся основы обучения школьников решению задач. Для этого следует рассмотреть роль математических задач в развивающем обучении, этапы организации обучения решению задач, различные виды уроков решения задач и их особенности. Без подробного изучения каждого из обозначенных аспектов невозможно перейти к разработке методических рекомендаций по организации и проведению уроков решения задач.

1.1 Роль математических задач в развивающем обучении школьников
Говорить о том, что задачи, решаемые на уроках математики, являются важным компонентом самого предмета математики, пожалуй, излишне. С этим фактом согласятся не только преподаватели, но и большинство учащихся. Однако назвать более конкретную роль, которое играет обучение решению задач достаточно сложно. Известно, что в процессе решения задачи школьники лучше осознают пройденный теоретический материал, учатся применять его в ходе поиска и реализации решения. Но это лишь часть, наиболее часто озвучиваемые цели и результаты, которые должны достигаться в ходе обучения решению математических задач.
По Фридману, роль задач в обучении математике определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и тематических задач. Таким образом, решение задач в математике, выступает и как цель и как средство обучения. [23]
При решении математических задач школьник учится применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятельности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, повседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах приходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математических задач. Математические задачи решаются в физике, химии, биологии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особенно в их теоретических основах, и других областях.
В связи с широким практическим применением, при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и жизненным содержанием.
Так как одной из целей математического образования, отраженной в Государственном стандарте общего основного образования по математике указывается «овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности», а также «интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений» [26], то целесообразно рассмотреть значение математических задач в процессе формирования указанных особенностей личности учащихся.
Роль математических задач в развитии мышления школьников.
Решение математических задач приучает выделять посылки и заключения, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопоставлять и противопоставлять факты.
При решении математических задач, как указывал А. Я. Хинчин, воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной аргументации. А.Я Хинчин выделил четыре характерных признака математического мышления:
1) «доминирование логической схемы рассуждения». Эта черта математического мышления позволяет следить за правильность направленности мысли, а также заставляет рассматривать всю совокупность имеющихся возможностей, не позволяя упустить ни одну из них.
2) «лаконизм, сознательное стремление всегда находить кратчайший ведущий к данной цели логический путь, отбрасывая все, что не абсолютно необходимо для безупречной аргументации»
3) « четкая расчлененность хода аргументации».
4) точность символики. «Каждый математический символ имеет строго определенное значение: замена его другим символом или перестановка на другое место, как правило, влечет за собой искажение смысла данного высказывания» [25, с 141-144]
Решение задачи должно быть полностью аргументированным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмотрение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность символики. [4]
В процессе решения задач по геометрии, учащиеся активно используют свое пространственное, логическое мышление, поэтому А. В. Погорелов на первое место в процессе обучения школьников геометрии ставит развитие именно логического мышления учащихся. Он пишет: « главная задача – научить учащихся логически рассуждать, аргументировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать». [14].
Одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятельность учеников на уроке. Можно отметить компоненты, которые выделяются в структуре задачи как объекте мыслительной деятельности:
условие – предметная область задачи (объект и отношения между объектами);
обоснование (базис) – теоретическое или практическое основание перехода от условия к заключению посредством операций, которые составляют решение задачи;
решение (оператор) – совокупность действий, операций, которую надо произвести над известными компонентами, чтобы выполнить требование, выраженное в заключении;
заключение – требование отыскать неизвестные компоненты, проверить правильность, сконструировать, построить, доказать и т.п.
Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.
Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева – утверждения, выкладки, вычисления, справа – аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.
Воспитательное значение математических задач.
Прежде всего, задача воспитывает своим текстовым содержанием, своей главной идеей. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяется в различные периоды развития общества. Так, в русских дореволюционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азартной игре и т. п. Совсем иное сюжетное содержание просматривается, например, в советских учебниках: в них сюжет направлен на воспитание у учащихся высоких моральных качеств, научного мировоззрения, интернационализма, гордости за свою социалистическую Родину, на ознакомление с достижениями народного хозяйства. Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.
С введением в школу элементов математического анализа выявились более широкие возможности воспитания у учеников в процессе решения задач диалектико-материалистического мировоззрения.
Каждая конкретная учебная математическая задачи предназначается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагогических, дидактических, учебных целей. И эти цели определяются как содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее применения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль. [4;2]
Необходимость убедительной аргументации по ходу решения задачи способствует развитии таких волевых качеств, как настойчивость, самостоятельное преодоление трудностей, критическое отношение к себе и к окружающему. Поиски и нахождение самостоятельных путей решения и доказательства теорем способствуют развитию творческого полхода к выполняемой работе, духа новаторства. Учащиеся не должны выступать на уроке в качестве пассивных слушателей. На уроке должны использоваться разнообразные виды самостоятельной учебной работы, рациональные приемы учебы.
О воспитательной значимости процесса решения задач также указывается в книге К.Г. Кожабаева «О воспитательной направленности обучения математике в школе» [6]: «приучение учащихся к систематической проверке решения задачи, вычислений способствует формированию привычки контролировать результаты своей работы, воспитывает чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы, прививает сознательное отношение к труду».
Обучающая роль математических задач
Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Задачи по их обучающей роли делятся на:
а). Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при условии тщательной и кропотливой работы над понятиями, их определениями и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его определение, необходимо разобраться в смысле о каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое знание достигается, прежде всего, при решении задач и выполнении упражнений.
б). Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим языком и, следовательно, математической символикой. Простейшая символика вводится еще в начальной школе и в IV-V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назначение.
в). Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказательствам - одна из важнейших целей обучения математике.
Простейшими задачами, с решения которых практически начинается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и элементарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.
Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказательства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы представляет собой цепочку шагов-импликаций.
Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой символики и используемого языка.
Существенную роль в обучении доказательствам играют упражнения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же математики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет вовсе. Начинать надо с достаточно простых задач.
г). Задачи для формирования математических умений и навыков.
д). Обучающую роль играют и задачи, предваряющие изучение новых математических фактов, концентрирующие внимание учащихся на вновь изучаемых идеях, понятиях и методах математики, задачи, с помощью которых вводятся новые понятия и методы, задачи, создающие проблемную ситуацию с целью приобретения учащимися новых знаний. Здесь же следует рассмотреть и задачи, с помощью которых подготавливается сложное для учащихся доказательство теоремы.
Для подготовки к изучению более или менее сложных теорем, играющих серьезную роль в курсе математики, могут быть предложены задачи, приводящие к формулировке теоремы, задачи на доказательство одного из промежуточных фактов в доказательстве теоремы и т. д.
Итак, зачем же обучать школьника решению задач?
Как было отмечено ранее, математическое образование должно быть направлено на развитие личности ученика. Целостное развитие предполагает усвоение определенного гуманитарно-ориентированного содержания, в частности, познавательных средств, и формирование положительных качеств мышления.
В процессе работы над задачей постигаются приемы и методы познания, которые осваиваются в процессе изучения определений, правил, теорем. На этапах поиска решения и анализа решения, при составлении задач методы познания, приемы и способы мышления осваиваются не только под воздействием учителя, но и в процессе их самостоятельного творческого применения. Именно по тому, какие задачи и как ученик решает самостоятельно, мы судим о его умственных способностях, о направленности его мышления, об уровне усвоения знаний, о культуре мышления, как подчеркивает Л.И. Кузнецова. [21].
Таким образом, формирование умений решать и составлять задачи влечет за собой развитие мышления (и логического, и интуитивного) и целостное развитие личности, всех психических процессов (воли, эмоций, памяти, воображения, представлений и т.д.)
Рассмотренные роли процесса решения задач в формировании особенностей личности школьника, в частности развития его мышления (конкретного, пространственного, логического), воспитательная и обучающая функции этого процесса, дают представление о степени значимости грамотной организации уроков решения задач, теоретической и практической важности обучения учащихся рассуждению в процессе решения задачи.
Поэтому далее необходимо рассмотреть различные подходы к обучению школьников решению задач, выделить концепцию, согласно которой в дальнейшем будут разрабатываться конкретные методические рекомендации; рассмотреть виды уроков решения задач, обозначить их учебные задачи, а также выявить особенности организации уроков решения задач каждого вида.
1.2. Обучение учащихся решению задач
Прежде чем обратиться к процессу обучения школьников решению задач, следует уточнить психологические и педагогические особенности процесса обучения в подростковый период. Будем рассматривать именно этот возрастной этап по причине того, что девятиклассники, с которыми в последствие будет вестись работа, имеют возраст 14-15 лет, что относится именно к подростковому возрасту.
Как отмечает В.А. Крутецкий [9], успех учебно-воспитательной работы со школьниками зависит от знания и учета их возрастных психологических особенностей. Это положение в еще большей степени относится к подростковому возрасту, то есть тому возрастному периоду, к которому принадлежат учащиеся девятых классов. Подростковый возраст связан с перестройкой психических процессов, деятельности личности школьника и поэтому требует решительных, хотя и постепенных, изменений в формах взаимоотношений, организации деятельности, руководства со стороны взрослых, в частности учителей.
Трудности, встречающиеся порой в учебной и воспитательной работе со школьниками-подростками, объясняются иногда недостаточным знанием или игнорированием особенностей и закономерностей психического развития в этом возрасте.
Подростковый возраст считается достаточно трудным для обучения и воспитания, так как старые формы и методы объяснения нового материала постепенно становятся непригодными. Если школьник еще недавно охотно слушал подробные объяснения учителя, то теперь подобная форма знакомства с новым материалом часто вызывает у ученика скуку, равнодушие, явно тяготит его. Склонный ранее к дословному воспроизведению учебного материала, учащийся стремится теперь излагать материал «своими словами» и протестует, когда учитель требует от него точного воспроизведения формулы, закона, определения.
Это важно учитывать при планировании и разработке уроков учителем. Важным становится вовлечение учащихся в активную деятельность на уроке, в процесс «открытия» правил, способов решения задач, доказательства теорем.
Заметное развитие в подростковом возрасте приобретают волевые черты характера настойчивость, упорство в достижении цели, умение преодолевать препятствия и трудности на этом пути. Подросток способен не только к отдельным волевым действиям, но и к волевой деятельности. Подросток гораздо чаще сам ставит перед собой цели, требующие воли для их достижения, сам планирует деятельность по их осуществлению. Но недостаточность воли подростков сказывается, в частности, в том, что они далеко не всегда проявляют ее во всех видах деятельности: обнаруживая волю в овладении одним школьным предметом, не проявляют ее по отношению к другому и т. д. Учитель должен мотивировать учащихся на изучение математики. Для этого необходимо вносить разнообразие в уроки, привлекать ребят практической значимостью изучения математики, преобразовывая фабулы задач.
В подростковом возрасте происходит совершенствование таких познавательных процессов как память, речь и мышление.
Активно начинает развиваться логическая память и скоро достигает такого уровня, что ребенок переходит к преимущественному использованию этого вида памяти, а также произвольной и опосредствованной памяти. Как реакция на более частое практическое употребление в жизни логической памяти замедляется развитие механической памяти.
Подростки уже могут мыслить логически, заниматься теоретическими рассуждениями и самоанализом. У них наблюдается способность делать общие выводы на основе частных посылок и, напротив, переходить к частным умозаключениям на базе общих посылок, т.е. способность к индукции и дедукции. Важнейшее интеллектуальное приобретение подросткового возраста – это умение оперировать гипотезами. Учитель должен давать возможность «предполагать» возможные пути решения задач, формулировки определений, опираясь, например, на прием аналогии.
Дети данного возраста усваивают многие научные понятия, обучаются пользоваться ими в процессе решения различных задач. Это означает сформированность у них теоретического или словестно-логического мышления. Одновременно наблюдается интеллектуализация всех остальных познавательны процессов.
Как и в любом возрасте, в учебной деятельности подростка имеются свои трудности и противоречия, которые может и должен обращать внимание учитель. Одной из причин плохого усвоения знаний в подростковом возрасте является отсутствие адекватной мотивации учения, т.е. нежелание учиться. В подростковом возрасте учение в школе может стать формальной деятельностью, когда у подростка преобладают сильные внеучебные интересы, а познавательные слабые или отсутствуют, когда среди складывающихся личных ценностей приобретение знаний не занимает существенного места. Абстрактное понимание необходимости учения в школе - недостаточный для подростка стимул к работе.
В средних классах дети различаются по многим параметрам. Учитель должен понимать, что невозможно найти один универсальный подход ко всем школьникам сразу. Различия существуют в:
- отношении к учению - от очень ответственного до довольно равнодушного;
- общем развитии - от высокого уровня до весьма ограниченного кругозора и плохого развития речи;
- объеме и прочности знаний в пределах школьной программы - от отличного ее усвоения до наличия существенных пробелов в знаниях по основным предметам;
- способах усвоения учебного материала - от умения самостоятельно работать и осмысливать материал до полного отсутствия навыков самостоятельной работы в сочетании с привычкой заучивать дословно;
- умениях преодолевать трудности в учебной работе - от значительного упорства до специфического иждивенства в виде привычки сейчас же искать помощь у других в том, что делать трудно или не хочется;
- интересах - от ярко выраженных познавательных интересов и наличия содержательных занятий до почти полного отсутствия того и другого.
В подростковом возрасте изменяется само понятие «учение». Приобретение знаний уже нередко выходит за пределы учебной программы, осуществляется целенаправленно и самостоятельно, но отношение к учению и знаниям может качественно различаться у разных учащихся. У значительной части подростков появляется устойчивая склонность к умственной работе и стремление овладеть новыми знаниями и умениями, стойкий интерес к определенным учебным предметам и соответствующим областям науки, техники или искусства Задача учителя математики – вызвать интерес учащихся к своему предмету, так при его наличии процесс обучения может быть существенно облегчен.
Знание и своевременный учет возрастных психологических особенностей учащихся-подростков помогает учителю выстраивать процесс обучения. Обучение учащихся решению задач по математике должно опираться на особенности развития мышления, процессов запоминания, речи, внимания подростков.
Обучение учащихся решению задач - сложнейшая методическая проблема. Ей посвящены специальные исследования Д. Пойа, Л.М, Фридмана и Е.Н.  Турецкого, Г.И. Саранцева и других авторов [21].
Д. Пойа, Колягин Ю.М. выделяет в решении задачи четыре этапа:
1) понимание постановки задачи;
2) составление плана решения;
3) осуществление плана;
4) взгляд назад (изучение полученного решения) [15;7].
Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий разбивают процесс решения задачи на восемь этапов:
1- й этап - анализ задачи;
2- й этап схематическая запись задачи;
3- й этап поиск способа решения задачи;
4- й этап осуществление решения задачи;
5-й этап - проверка решения задачи;
6- й этап исследование задачи;
7- й этап формулирование ответа задачи;
8- й этап - анализ решения задачи [24, стр. 28-29].
Д. Пойа, Л. M. Фридман и Е.Н. Турецкий в своих работах [15;24] выделяют познавательные средства, с помощью которых реализуются этапы решения задач.
Процесс решения задачи надо начинать с анализа условий и требований задачи и построения схематической записи. Под анализом требования задачи понимается выяснение возможных путей ответа на вопрос задачи. Одним из важнейших компонентов умения анализировать требование задачи является умение преобразовывать требование задачи в ему равносильное. Под анализом условия задачи можно понимать выявление такой информации, которая непосредственно не задана условием, но присуща ему.
На основе анализа условия и требования задачи ее необходимо отнести к тому или иному виду и осознать сущность решения задач данного вида. Если оказывается, что задача решается по известному алгоритму, то план найден. Если знакомого образца нет, то поиск решения идет методом анализа или методом синтеза. При этом выполняются действия подведения под понятие, выведения следствий, переформулирование условия задачи, а, следовательно, действие моделирования. В поиске решения могут быть использованы специальные методы и приемы, знакомые по решению других задач.
Л.И. Кузнецова отмечает, что при осуществлении плана необходимо понимание решения задачи как процесса, понимание роли законов логики в решении задач, знание и умение применять эти законы, знание и умение применять специальные содержательные методы решения задач. [21].
Заключительный этап является необходимой и существенной частью решения задачи. Основное его содержание - осмысление выполненного решения, формулирование и решение (если это окажется возможным) других задач, явно связанных с решенной, и извлечение из всей проделанной работы выводов о том, как находятся и выполняются решения.
Выделение главной мысли, идеи, положенной в основу решения задачи, является важным и необходимым этапом, следующим за процессом оформления решения. Решение задачи несколькими способами является одним из путей проверки правильности полученного результата; важно сопоставление найденных решений, выделение более рациональных и поучительных. Это путь воспитания гибкости математического мышления и находчивости.
Итак, анализ процессов решения задач показывает, что при решении задействуются самые разные мыслительные операции, приемы мышления, методы рассуждений, т.е. в них участвуют и эвристические, и логические, и речевые умения субъекта, в данном случае учащегося.
Мыслительные операции, сочетаясь с методами научного познания, образуют совокупность общих приемов решения задач, которые выражаются в форме эвристик, повышающих эффективность решения нестандартных задач. Ю.М Колягин, Д. Пойа, Л.М. Фридман и Е.Н. Турецкий в своих работах [8;15;24] на каждом этапе выделяют систему эвристик.
Д. Пойа в книге «Как решать задачу» подчеркивает, что необходимо прививать учащимся навыки эвристического мышления. Эта установка получает свою конкретную реализацию в тщательно продуманной системе указаний: советов-рекомендаций, наводящих вопросов, предложенной в виде следующей таблицы:
Как решать задачу. [15]
Понимание постановки задачи

I. Нужно ясно понять задачу
Что неизвестно? Что дано? В чем состоит условие?
Возможно ли удовлетворить условию? Достаточно ли условие для определения неизвестного? Или недостаточно? Или чрезмерно? Или противоречиво?
Сделайте чертеж. Введите подходящие обозначения.
Разделите условие на части. постарайтесь записать их

Составление плана решения

II. Нужно найти связь между данными и неизвестными. Если не удается сразу обнаружить эту связь, возможно полезно будет рассмотреть вспомогательные задачи, в конечном счете необходимо прийти к плану решения.
Не встречалась ли вам раньше эта задача? Хотя бы в несколько другой форме?
Известна ли вам какая-нибудь родственная задача? НЕ знаете ли теоремы, которая могла бы оказаться полезной?
Рассмотрите известное! И постарайтесь вспомнить знакомую задачу с тем же или подобным известным.
Вот задача, родственная с данной и уже решенная. Нельзя ли воспользоваться ею? Нельзя ли применить ее результат? Нельзя ли использовать метод ее решения? Не следует ли ввести какой-нибудь вспомогательный элемент, чтобы стало возможным воспользоваться прежней задачей?
Нельзя ли иначе сформулировать задачу? Еще иначе? Вернитесь к определениям.
если не удается решить данную задачу, попытайтесь сначала решить сходную. Нельзя ли придумать более доступную сходную задачу? Более общую? Более частную? Аналогичную задачу? Нельзя ли решить часть задачи? Сохраните только часть условия, отбросив остальную часть: насколько определенным окажется тогда неизвестное; как оно сможет меняться? Нельзя ли извлечь что-либо полезное из данных? Нельзя ли придумать другие данные, из которых можно было бы определить неизвестное? Нельзя ли изменить неизвестное, или данные, или, если необходимо, и то и другое так, чтобы новое неизвестное и новые данные оказались ближе друг к другу?
Все ли данные вами использованы? Все ли условия? Приняты ли вами во внимание все существенные понятия, содержащиеся в задаче?

Осуществление плана

III. Нужно осуществить план решения
Осуществляя план решения, контролируй каждый свой шаг. Ясно ли вам, что предпринятый вами шаг правилен? Сумеете ли доказать, что он правилен?

Взгляд назад (изучение полученного решения)

IV. Нужно изучить найденное решение
Нельзя ли проверить результат? Нельзя ли проверит ход решения?
Нельзя ли получить тот же результат иначе? Нельзя ли усмотреть его с одного взгляда?
Нельзя ли в какой-нибудь другой задаче использовать результат или метод решения?


Посредством этой таблицы учитель может привести в действие и эффективным образом направить усилия ученика, затрудняющегося самостоятельно начать решать или продолжить решать задачу.
Систематическое применение данного метода должно способствовать усвоению его самим учащимся, таким образом развивая самостоятельность математических действий.
Л. М. Фридман подчеркивая тот факт, что решение задачи – сложная умственная деятельность также отмечает, что традиционное обучение не дает возможности сознательно овладеть ею, а именно: « надо, во-первых, иметь ясное представление о ее объектах и сущности, во-вторых, предварительно овладеть теми элементарными действиями и операциями, из которых состоит эта деятельность, и, наконец, в-третьих, знать основные методы ее выполнения и уметь ими пользоваться»
Обращаясь к эвристическим схемам, Л.М. Фридман говорит о необходимости формирования у учащихся навыков сознательной и разумной деятельности по решению задач. Для этого нужно заложить некоторые основы, включающиеся в себя и знания, и умения, формируемые в процессе изучения курса математики в течение всех лет обучении.
«К одному и тому же вопросу необходимо возвращаться неоднократно, с тем чтобы по мере взросления учащихся 'уточнять, углублять полученные ранее сведения и умения.
1. Учащиеся должны иметь представление о том; как возникают задачи, откуда они берутся. Первичным источником задач являются проблемные и задачные ситуации. С этой точки зрения задачи это знаковые модели таких ситуаций. Если центральным элементом проблемной или задачной ситуации является субъект, то в, задаче мы от него абстрагируемся. Поэтому задачи 'можно, переделывать, придумывать.
Чтобы учащиеся в этом убедились, полезно широко использовать различные задания на составление задач.
2. С логической точки зрения, в каждой задаче рассматривается один или несколько объектов задачи (числа, фигуры, предметы и т. д.). Относительно каждого такого объекта в задаче указываются его качественные или (и) количественные характеристики в форме высказываний, принимаемых нами за истинные, или высказывательных форм. Эти высказывания или высказывательные формы будем называть элементарными условиями (весьма часто всю формулировку задачи называют ее условием; мы предпочитаем другие термины: «формулировка» или «текст» задачи). Кроме условий в текст задачи входит еще вопрос или требование задачи.
Следует иметь в виду, что, как правило, текст задачи дается в свернутом, сокращенном виде. И очень важно, чтобы учащиеся научились развертывать его в систему взаимосвязанных высказываний и требований высказывательную модель задачи. В большинстве случаев для этого удобно вводить какие-то обозначения, чертежи в геометрических задачах и т. д.
В ряде случаев при развертывании текста задачи в высказывательную модель приходится вводить неявно заданные, но предполагаемые условия. При этом возможно много различных и весьма интересных случаев, и их рассмотрение с учащимися очень полезно.
3. Каждое элементарное условие имеет определенную структуру. Если в условии имеется один объект, то указывается его качественная или количественная характеристика.
В зависимости от этого объекты условий могут быть известными (данными), неизвестными, в том числе неопределенными, промежуточными или вспомогательными неизвестными и искомыми.
Если же в условии заданы два или больше объектов, то обычно указывается отношение между ними.
4. В зависимости от характера объектов задачи делятся на чисто математические, в которых все объекты математические (числа, фигуры, функции, уравнения и т. д.) и на прикладные, или практические, в которых некоторые объекты не математические (предметы, машины и т. д.).

На начальном этапе процесса решения задачи полезно обучение школьников следующей системе эвристик:
1. Выполните наглядные рисунки, чертежи, таблицы, помогающие осмыслить задачу.
2. Представьте элементы задачной ситуации; выясните какие из них заданы; какие являются искомыми.
3. Попытайтесь отметить особенности задачи, попытайтесь вспомнить не встречались ли ранее с аналогичной задачей.
4. Подумайте, однозначно ли сформулирована задача; не содержит ли условие избыточных, недостающих, противоречащих друг другу данных.
5. Выявите, какой теоретический базис связан с данной задачей в целом или некоторыми ее элементами.
На этапе составления плана решения задачи полезно обучение школьников следующей системе эвристик:
1. Соотнесите задачу с каким-либо видом задач, способ решения которого известен.
2. Если задача стандартного вида, то применяйте способ решения задач.
3. Если задача не является стандартной, то
- Попробуйте разбить данную задачу на подзадачи стандартного вида (метод разбиения)
- Введите вспомогательные элементы: вспомогательные параметры, вспомогательные построения (способ вспомогательных построений)
- Переформулируйте, замените ее другой равносильной задачей (метод моделирования)
При реализации плана ученику, решающему задачу полезно следовать некоторым советам. На мой взгляд, один из таких советов может звучать в форме: «При решении задачи внимательно проверяйте каждый его этап, убеждайтесь, что он выполнен правильно». Иными словами, нужно доказывать правильность каждого шага ссылками на соответствующие, известные ранее математические факты, предложения.
На заключительном этапе решения задачи полезно обучать учащихся следующей системе эвристик:
1). Изучите найденное решение. Подумайте, нельзя ли решить задачу другим способом;
2) Попытайтесь отыскать более экономичный способ решения;
3) Исследуйте особые способы решения данной задачи. Попытайтесь обобщить результаты данной задачи;
4) Соотнесите новые знания и новый опыт, полученные при решении задачи с имеющимися знаниями и опытом.
Знание общих эвристических схем, по мнению Т. А. Ивановой, не всегда является гарантом успеха решающего. Необходимо предварительно формировать у школьников умения, адекватные каждому эвристическому предписанию. Опираясь на работы Д.Пойа, Ю.М Колягина, Л.М. Фридмана, Т. А. Иванова пишет: «Обучать решению математических задач - значит формировать у учащихся последовательно и целенаправленно следующие умения:
1. Анализировать условие задачи: выделять данные, требования, соотносить данные с требованием.
2. Устанавливать круг теоретических положений, которые ассоциируются у школьников с каждым элементом условия и требования.
3. Выводить следствия и подводить под понятие, преобразовывать теоретические положения (аксиомы, определения понятий, формулировки теорем) в способы деятельности, в эвристические приемы, создавать и пользоваться эвристиками.
4. Владеть способами решения исходных стандартных, опорных, обучающих и т.д. задач, к которым сводится решение неалгоритмических задач.
5. Составлять новые задачи, осуществлять варьирование задачи на основе: и изменения условия задачи
- изменения требования задачи;
- замены данной задачи ей эквивалентной;
- формулировки обратной (противоположной) задачи;
- обобщения и конкретизации;
- использования результата решения известных задач.
6. Владеть методами математической деятельности: общими эвристическими и дедуктивными; специфическими, характерными для конкретной учебной темы. Особое внимание следует уделять анализу и синтезу, т. к. аналитико-синтетическая деятельность пронизывает все этапы решения задачи (в том числе и стандартной, если ученик в начале знакомства с ними осознанно опирается на теорию, а не только на память действовать по образу).
7. Решать задачи разными методами
8. Анализировать процесс поиска и решения
Все выделенные умения следует формировать в комплексе, последовательно, систематически и целенаправленно, начиная с уроков изучения нового, на которых решаются дидактические задачи» [5].
Формирование понятий, умений и навыков продолжается в течение продолжительного периода времени. Этот процесс возможен только при последовательной и целенаправленной работе учителя. Поэтому он не должен ограничиваться несколькими уроками или системой уроков в течение одной темы. Т.А. Иванова в книге [5] выделяет основные этапы такой работы при изучении отдельных блоков учебного материала каждой темы.
Первый, начальный этап начинается на уроках изучения нового материала, и в частности, на этапах открытия новых знаний, осознания и осмысления результата. Выполнение упражнений и заданий на данном этапе является необходимым условием подготовки школьников к решению задач более высокого уровня сложности.
Основная цель первого этапа – учить учеников преобразовывать теоретические знания в способы деятельности, аргументировать, решать дидактические, стандартные задачи, самостоятельно их составлять, обучать первым шагам в аналитико-синтетической деятельности посредствам составлении эвристик.
Второй этап в обучении решению задач состоит в обучении решению ключевых задач. Л.И. Кузнецова определяет ключевую задачу следующим образом: «Ключевая задача это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую идею, новый метод, прием решения или содержит новый факт, или и то и другое вместе»
Основная цель второго этапа – выделить последовательность действий в решении обязательных задач, выделить приемы, способы, идеи и факты, характерные для темы.
Третий этап формирования умения в решении задач заключается в отработке способов и приемов решения задач, полученных на основе решения ключевых задач.
Постепенное, последовательное, целенаправленное соблюдение и осуществление трех этапов, по мнению Т.А. Ивановой, является необходимым условием обучения школьников решению задач, поскольку они закладывают ту основу, на которой строится умение решать задачи творческого уровня. Недооценивание каждого из выделенных этапов, пропуск какого-либо из них, ведет к тому, что ученик не сможет осознанно воспринимать готовое решение, а тем более не сможет находить его самостоятельного для нового класса задач.
Четвертый этап заключается в решении проблемно-развиващих, творческих, исследовательских задач. Он доступен уже более узкому кругу учащихся, индивидуален. На таких уроках появляется возможность осуществлять уровневую дифференциацию.
Реализация последовательных этапов обучения решению задач в каждом конкретном блоке учебного материала по мере изучения тем школьного курса постепенно формирует все отдельные умения, необходимые для решения задач, и общее умение решать задачи.
В соответствии с рассмотренными этапами обучения школьников решению задач, можно обозначить следующую методику этого обучения.
1. Сначала необходимо выделить ключевые задачи по теме.
В большинстве случаев ключевые задачи предстоит выделять самому учителю. Ключевые задачи по теме выявляются на основе анализа всех задач, предлагающихся в учебнике, а также максимально возможного числа задач из других источников.
В процессе анализа задачи разбиваются на группы по определённым признакам (по типу, по методу решения, по используемым в решении приёмам и так далее). В каждой группе выделяются наиболее яркий представитель - задача, на которой и будет иллюстрироваться особенность задач данной группы. Эта задача и относится к ключевым.
Ключевыми являются также все задачи-факты, содержание которых учитель считает нужным довести до сведения учащихся.
2. Разработать и реализовать технологию работы с каждой ключевой задачей на уроке.
Ключевая задача - это самостоятельная дидактическая единица, единица усвоения. Поэтому а технология работы с ключевой задачей схожа с технологией организации усвоения дидактических единиц. Но предметом усвоения здесь является не сама задача, а либо ее результат, либо общий метод рассуждений, способ решения, либо отдельный прием, использованный в решении, либо приём составления, основанный на этой задаче, и так далее. Фактически предметом усвоения являются умения, познавательные средства, связанные с составлением и решением задач. Следовательно, и содержательная (поиск и осуществление решения) и рефлексивно-оценочная (анализ результата или решения) части в деятельности по решению задачи должны быть организованы так, чтобы учащиеся с большей долей самостоятельности смогли выделить те элементы, из-за которых задача выбрана в качестве ключевой.
Поиск решения либо показывает сам учитель, либо он осуществляется в диалоге учитель-ученик, либо в условиях фронтальной работы под руководством учителя, либо в процессе работы в группах, в парах, индивидуально.
После завершения этапа решения, то есть в рефлексивно-оценочной части, в порядке осознания ценностей полученных результатов делаются выводы по задаче.
Если решалась задача-факт, то этот факт каким-то образом фиксируется (в сводке формул, в таблице, в тетради по теории или другим способом), учитель может пояснить учащимся, что в дальнейшем этот факт можно считать установленным и использовать его как известный. Таковы, например, формула площади ромба, выраженная через диагонали, свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника, соотношение между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел, формула корней квадратного уравнения с четным вторым коэффициентом и другие.
Если ключевая задача – задача алгоритмического типа, то работа над ней аналогична технологии работы с правилом. По окончании ее решения необходимо проанализировать основную идею решения, сделать выводы и зафиксировать их.
Если при решении задачи применялся какой-то новый приём поиска решения или составления задачи, то этот прием выделяется и выясняются возможности его применения в ситуациях, в которых можно пытаться его применить. Например, это схемы поиска решения методом синтеза, анализа (восходящего и нисходящего), варианты переформулирования задачи, специфические приёмы, вытекающие из конкретных тем и т.д.
Если рассматривались различные способы решения одной задачи, то выясняется, откуда появились эти различные способы, что наводит на мысль о возможности других способов решения.
Если на основе одной задачи составляются новые задачи, цепочки взаимосвязанных задач, то опять-таки нужно сделать выводы о том, как, на каком основании, из каких соображений возникла мысль о получении новых задач и как новые задачи появились (процесс их составления).
3. Предлагать учащимся для решения задачи в определенной последовательности, сформированной в результате анализа задачного материала. [21]

Итак, обучение решению задач состоит в формировании у учащихся умений выполнять отдельные действия, входящие в аналитико-синтетическую деятельность по решению задач, составлять цепочки действий, приводящие к решению, в выделении, накоплении и систематизации эвристик по мере изучения материала, в приобщении учащихся к решению и составлению задач.
В дальнейшем при разработке рекомендаций по организации обучения школьников решению задач, будем опираться на методическую систему обучения математике, методологическую основу которой составляют концепция гуманитаризации образования, личностно-ориентированного, деятельностного и технологического подхода к обучению. В основу разработок будут положены идеи таких авторов как Д. Пойа и его подход к разработке и реализации решения задач, Т.А. Иванова и изложенные в ее работах этапы организации и проведения уроков решения задач, структура современного урока.
Процесс обучения учащихся решению задач получает свое практическое выражение на школьных уроках. Поэтому в следующем параграфе обратимся к рассмотрению видов уроков решения задач и их особенностям.
1.3 Виды уроков решения задач
Виды уроков решения задач разнообразны, многие из них описаны в пособии [20]. Они отличают по своей структуре, содержанию и целям, решаемым в процессе деятельности на уроке. Различны и их формы проведения.
Например, в работе С.Г.Манвелова [10, с. 13-31] выделяется перечь основных типов уроков и их конструктивные особенности, позволяющие ориентироваться в многообразии разрабатываемых уроков, творчески подходить к самой организации уроков, подбирать учебный материал к ним и прочее. В его классификации, в качестве базовых, выделено девятнадцать типов уроков. Остановимся на тех уроках, которые стоит рассматривать как виды уроков решения задач и потому, имеющие непосредственное отношение к теме данной работы.
Уже на уроке изучения нового материала предполагается «первичное осмысление и закрепление связей и отношений в объектах изучения», что происходит посредством решения простейших задач на применение изучаемых теоретических положений. Конечно, такой урок нельзя обозначать как урок решения задач, однако именно на нем происходит заложение понимания учащимися того, как можно связать изучаемые единицы темы, поэтому их значимость также велика. С.Г. Манвелов выделяет «Урок закрепления изученного». Его реализация предполагает применение изученного материала в стандартных ситуациях, а также в измененных ситуациях, перенос приобретенных знаний и их первичное употребление в процессе решения задач способствует формированию базовых умений. «Урок применения знаний и умений» включает воспроизведение и коррекцию необходимых знаний и умений, анализ заданий и способов из выполнения, самостоятельное выполнение заданий, рационализацию способов выполнения заданий, внешний контроль и самоконтроль в процессе выполнения заданий. Исходя из предполагаемого содержания данного урока, он имеет непосредственное отношение к урокам решения задач. «Урок-семинар» по организации, предлагаемой С.Г. Манвеловым, позволяет отнести его к урокам решения задач. Например, учащимся могут быть даны задания (с указанием источников) на решение типов задач, выделенных на предшествующем уроке. Этот урок может применяться учителем в качестве закрепляющего по отработке учащимися навыков решения задач, а также он направлен на самостоятельный поиск и решение задач, относящихся к заданной группе (самостоятельная поисковая деятельность учащихся). Урок, организованный в виде семинара, позволяет охватить большее количество материала, что немаловажно в условиях ограниченности времени, отводимого на изучение темы программой по математике. «Урок-практикум» помимо решения задачи усиления практической направленности обучения, по мнению С.Г. Манвелова, должны быть прочно связаны с учебным материалом, а также способствовать прочному, неформальному его усвоению. В качестве форм их проведения рассматриваются практические и лабораторные работы, на которых учащиеся самостоятельно упражняются в практическом применении усвоенных теоретических знаний и умений. Лабораторные работы имеют доминирующей направленностью процесс формирования экспериментальных умений, а практические работы – конструктивных умений. Форма деятельности учащихся на таких уроках – групповая работа. Средством управления учебной деятельностью учащихся при проведении практикума служит инструкция, которая по определенным правилам последовательно определяет деятельность ученика. «Урок-консультация», позволяющий ликвидировать имеющиеся у учеников пробелы в знаниях может также рассматриваться как урок решения задач, потому что на уроках данного типа могут рассматриваться задачи, вызывающие у учеников наибольшую трудность. Учащиеся получают необходимые разъяснения, касающиеся идеи решения, пробуют в совместной деятельности с учителем открыть это решение, оформить в тетрадях. К такому уроку ребята самостоятельно, проанализировав весь задачный материал по пройденной теме, который разбирался на уроках, выбирают наиболее трудные на их взгляд задачи. Такие уроки особенно эффективны перед и после проведения контрольной работы, позволяют скорректировать пробелы знаний учащихся. На уроках данного типа выявляются наиболее активные и любознательные учащиеся.
Вообще говоря, непосредственно в практике преподавания урок можно рассматривать как элемент базовой системы уроков или ее производный элемент, так как урок может быть построен с использованием структурных компонентов не одного, а нескольких уроков базовой системы. Например, обращаясь к уроку решения ключевых задач, С.Г. Манвелов отмечает, что его можно считать производным уроком базовой системы: « его построение возможно с использованием элементов урока-лекции (изложение и конспектирование содержания ключевых задач по изучаемой теме, критериев их отбора и обзор подходов к их решению), урока обобщения и систематизации знаний (усвоение учебного материала путем систематизации знаний и умений), урока-практикума (использование инструкций по выполнению заданий с применением ключевых задач)»
Достаточно подробно в книге Т.А. Ивановой [5] представлена характеристика каждого из видов уроков решения задач:
1. Урок решения ключевых задач. Ключевая задача - это задача, которая наиболее ярко иллюстрирует новую идею, новый метод, прием решения, или содержит новый факт, или и то и другое вместе.
Цели уроков решения ключевых задач могут быть следующими:
Установление нового для учащихся факта (признака, свойства, правила), который в дальнейшем будет использоваться как известный;
Ознакомление с новым типом задач и методом их решения;
Ознакомление с новым общелогическим методом рассуждений;
Выявление возможностей использования изученного теоретического материала в решении задач;
Обнаружение нового частного приема, способа, метода решения или составления задач.
Уроки решения ключевых задач могут проводиться в разных формах. Это может быть и урок-лекция, и обычный традиционный урок с фронтальной формой работы, и урок-семинар.
2. Среди уроков решения задач можно выделить уроки одной задачи.
Они позволяют реализовать самые разные цели, касающиеся формирования умений решать и составлять задачи. В исследованиях методистов и в практике работы учителей встречаются следующие виды уроков одной задачи:
Урок, на котором осуществляется поиск различных методов и способов решения одной задачи. Урок такого типа завершает изучение какой-либо темы или какой-либо этап обучения решению задач. Цель урока обучение приемам поиска решения задач, анализ приемов решения;
Решается задача с одним и тем же условием и несколькими требованиями, выполнение которых осуществляется с использованием знаний из различных тем и разделов курса математики. Уроки такого типа завершают изучение какого-либо раздела или всего курса математики IX или XI классов. Цель урока систематизация знаний и умений по разделу или курсу;
Урок, на котором решается совокупность взаимосвязанных или разрозненных задач, обеспечивающая решение одной сложной задачи, которая предлагается в совокупности последней. Такие уроки могут проводиться на различных этапах обучения, когда встречаются достаточно сложные задачи. Цель урока формирование умений устанавливать взаимосвязи между задачами, осуществлять аналитико-синтетическую деятельность.
Урок, на котором порядок решения задач обратен порядку решения задач на уроке предыдущего типа: формулируется сложная задача, учащиеся при поиске ее решения выделяют систему подзадач, которые следует решить предварительно. Здесь от учащихся требуется большая самостоятельность, умение осуществлять поиск решения, составлять задачи по имеющимся данным. Формирование этих умений и является целью данного урока.
3. Урок решения задач одним методом. На данном уроке учитель подбирает ряд задач, решаемых одним методом. Целью таких уроков является ознакомление или отработка какого-либо конкретного метода.
4. Урок-практикум.
После изучения правил и алгоритмов и решения ключевых задач проводятся уроки-практикумы, т.е. уроки, на которых учащиеся практикуются в решении задач. Цель таких уроков – формирование умений и навыков в решении задач того или иного типа, в применении тех фактов, приемов, способов решения и составления задач, которые были установлены на уроках решения ключевых задач, формирование общего умения решать задачи. Уроки-практикумы дают большую возможность ученикам проявить самостоятельность и творчество. При этом учитель может учитывать индивидуальные особенности каждого ученика.
5. Урок решения динамических задач.
Решается задача, затем на ее основе составляются новые задачи с использованием различных приемов составления задач. В результате образуется целая система задач. Исходную задачу и полученную систему задач называют динамической задачей. Уроки такого типа могут проводиться при изучении любой темы школьного курса на уровне, который допускает тема и возраст учащихся. Цель урока – ознакомление с приемами составления задач, формирование различных эвристических, логических, речевых умений.
Самостоятельная увлеченность процессом решения задачи у учеников – явление редкое. Поэтому учитель математики, носящий роль помощника, должен мотивировать школьников к увеличению опыта решения задач, так как для того, чтобы уметь решать задачи нужно, в первую очередь. Их решать. При этом необходимо помнить, что помощь должна быть ограниченной с целью сохранения и поддержания самостоятельности мышления и деятельности учащихся.
Помощь может заключаться в задавании вопросов учащимся при решении задач, советах им при самостоятельном решении. Эти вопросы и советы должны развивать мыслительную деятельность школьников, а также творческий подход к решению задачи.
Вопросы и советы учителя должны обладать свойством общности, чтобы ученики могли пользоваться ими при решении многих типов задач.
На каждом из видов уроков, отраженных в данном параграфе, используются определенные типы задач, выделяемые при логико-дидактическом анализе темы. Учитель должен стараться распределять задачный материал таким образом, чтобы на каждом уроке по представляемой теме, учащие смогли выявить общий ход, схему решения задач и в дальнейшем ее использовать (ключевые задачи используются при решении задач на уроках-практикумах и т.д.). Усложнение схем решения задач также должно происходить постепенно и с объяснением учителя (логичность перехода от решения более простой задачи к более сложной, изменение схемы).
Благодаря работе Серовой Н. А. [18] уроки решения задач представляются в систематизированной таблице, содержащей как названия видов уроков решения задач так и их учебные задачи:
Вид урока решения задач
Учебная задача урока

Урок решения ключевых задач
- выявление основных типов задач темы, способов их решения;
- выявление неизвестного ранее метода решения задач;
- выявление задачи неизвестного ранее типа и поиск способа ее решения;
- «открытие» нового для учащихся теоретического факта;
- прогнозирование ситуаций при решении задач, применения нового теоретического материала;
- формирование конкретных приемов работы над математической задачей;

Урок-практикум
- применение новых теоретических фактов, приемов, способов, методов решения задач,
- применение новых положений в совокупности с ранее известными способами и методами решения задач;
- формирование общего умения решать задачи;

Урок решения одной задачи
- поиск различных способов (методов) решения задачи;
- поиск задач-спутников для решения сложной задачи, установление их взаимосвязи;
- выделение теоретического базиса решения задачи;
- исследование результата решение задачи;
- обоснование приемов поиска решения задачи;
- сопоставление способов решения по разным основаниям; выявление эстетической привлекательности заданной ситуации;

Урок решения задач одним методом
- выявить класс задач, решаемых данным способом;
- подобрать или составить систему задач, решаемых указанным методом;
- определить возможность применения указанной метода при решении конкретной задачи;
- выявить «достоинства» и «недостатки» применения данного метода при решении задач;

Урок решения динамических задач

- обучение учащихся составлению задач методом аналогии;
- обучение учащихся составлению обратных и равносильных задач; формирование умения выводить следствия из рассматриваемой заданной ситуации;
- установление взаимосвязи задач по содержанию, методу решения, связанной с конкретизацией и обобщением.

Различные подходы к классификации уроков решения задач объединены общей идеей о том, что каждый вид таких уроков преследует строго определенные цели и задачи, реализация которых является непосредственной обязанностью учителя. В дальнейшей работе при составлении конспектов уроков и планировании темы необходимо учитывать эти цели и задачи. Для конкретности будем опираться на систематизацию, представленную Н.А. Серовой.

Выводы к главе I.
Подводя итог изучению и анализу литературы, указанной в главе можно сделать ряд выводов:
Решение задач в математике, выступает и как цель и как средство обучения. Обучение учащихся решению задач – это одна из целей обучения математике.
Задачи играют несколько значимых ролей в процессе обучения и развития школьников. Задач и упражнения активизируют мыслительную деятельность учеников на уроке: школьники обучаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения. Задачи играют воспитательную роль, так как, по словам К.Г. Кожабаева, решение задач «способствует формированию привычки контролировать результаты своей работы, воспитывает чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы, прививает сознательное отношение к труду». Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся системы знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам.
Обучение учащихся решению задач - сложнейшая методическая проблема, которой занимались такие авторы как Д. Пойа, Л.М. Фридман и Е.Л. Турецкий, Г.И. Саранцев и другие. Будем ориентироваться на мнение Т.А. Ивановой, которая считает, что обучать решению математических задач - значит формировать у учащихся последовательно и целенаправленно умения анализировать условие задачи; устанавливать круг теоретических положений, которые ассоциируются у школьников с каждым элементом условия и требования; выводить следствия и подводить под понятие, преобразовывать теоретические положения (аксиомы, определения понятий, формулировки теорем) в способы деятельности, в эвристические приемы, создавать и пользоваться эвристиками; владеть способами решения исходных стандартных, опорных, обучающих и т.д. задач, к которым сводится решение неалгоритмических задач; составлять новые задачи; владеть методами математической деятельности; решать задачи разными методами; анализировать процесс поиска и решения.
Обучение школьников решению задач – это длительный и последовательный процесс. Чтобы этот процесс осуществить, требуется предварительная его организация. Здесь важна целенаправленная работа учителя. Т.А. Иванова выделила четыре этапа работы. На первых трех этапах происходит выполнение стандартных упражнений и заданий на данную теорию, обучение решению ключевых задач, отработка идей, способов и приемов решения задач, полученных на основе решения ключевых. Четвертый этап доступен не всем учащимся, он требует проявления индивидуальности и творчества учеников. Решение большинства трудных задач сводится в конечном итоге к умелому распознаванию небольшого числа идей, отраженных в ключевых задачах. Поэтому важным этапом является организация уроков решения ключевых задач. Выделенные ключевые задачи, методы и способы их решения являются необходимой базой для организации уроков-практикумов.
В литературе приведено немало классификаций видов уроков решения задач, но в дальнейшей работе будем опираться на систематизацию, представленную Н.А. Серовой.
Таким образом, результаты проведенных исследований методической, математической и психологической литературы показал, что для повышения эффективности процесса обучения школьников решению задач необходимо разрабатывать и проводить уроки в соответствии с определенными методическими рекомендациями, которые включают в себя:
учет возрастных особенностей учащихся;
направленность содержания уроков на развитие познавательного интереса учащихся;
разработка уроков в соответствии со всеми требованиями современного подхода (в том числе выделение триединой цели урока, отбор содержания в соответствии с целями, определение структуры, форм, методов, средств обучение, соблюдение этапов урока, обеспечение целостности урока);
распределение задачного материала темы по урокам в соответствии с поставленными задачами и планируемыми результатами;
разбиение задачного материала по определенным признакам (по типу, методу решения, используемым при решении приемам);
предъявление учащимся задач в определенной последовательности, которая формируется в процессе анализа задачного материала;
выделение ключевых задач темы;
в соответствии с выделенными ключевыми задачами строятся уроки решения ключевых задач темы: начинать с самых простых ключевых задач, а те задачи, которые наиболее удалены от планируемых обязательных результатов обучения разбирать в конце; расположение задач на уроке должно быть по возрастанию сложности (если при решении более сложной задачи используется другая ключевая задача или метод ее решения, то учащиеся тренируются в распознавании и применении ключевых задач);
осуществление поиска решения задач в диалоге учитель-ученик, либо в условиях фронтальной работы, либо в процессе работы в парах, в группах;
на уроке следует рассматривать задачи практического содержания, имеющие красивое решение, чтобы подавлять усталость учащихся и концентрировать их внимание на ходе решения;
направленность организации хода решения задачи на развитие мыслительных операций и осознание, тщательную проработку учащимися всех этапов решения задачи в процессе анализа решения.
Представленные методические рекомендации, выделяемые в разных источниках, все-таки носят общий характер. Для использования их при разработке конкретной темы, в нашем случае «Прогрессии», их необходимо адаптировать под нее, а для этого в дальнейшей работе необходимо:
провести логико-дидактический анализ темы «Прогрессии» как теоретического так и задачного материала, выделить ключевые задачи темы;
выявить особенности организации темы в соответствии с планированием: разбить учебный материал на уроки;
выделить уроки решения задач, определить их виды;
разбить задачный материал по группам по определенным признакам (методам решения, привязанности к дидактической единице темы), распределить какие задачи на каком из уроков будут рассмотрены;
в соответствии с проведенным разбиением задачного материала и тематическим планированием разработать уроки решения задач, для каждого из которых определить триединую цель, структуру, форму проведения, методы, отобрать содержание.
разработанную систему уроков опробовать в практической деятельности.
В следующей главе подробнее остановимся на рассмотрении каждого из вышеописанных пунктов.
ГЛАВА II. Методические рекомендации к организации и проведению уроков решения задач на примере темы «Прогрессии»

Как указывалось в первой главе, реализация последовательных этапов обучения решению задач в каждом конкретном блоке учебного материала по мере изучения тем школьного курса постепенно формирует все отдельные умения, необходимые для решения задач, и общее умение решать задачи. Рассмотрим данный тезис в аспекте темы «Прогрессии», изучаемой в 9-ом классе. Для этого постараемся реализовать поставленные в конце первой главы задачи.












13PAGE 15


13PAGE 142115




Заголовок 1 Заголовок 2 Заголовок 315

Приложенные файлы


Добавить комментарий