Замечательные точки треугольника


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Выполнила: Бортникова МарияРуководитель: Егармина Л.В. «Замечательные точки треугольника». В школьном курсе геометрии рассматривается четыре «замечательные точки»:Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности.Точка пересечения серединных перпендикуляров - центрописанной окружности.3. Точка пересечения высот - ортоцентр.4. Точка пересечения медиан – центроид. Точка пересечения биссектрис - центр вписанной окружности Эта точка всегда лежит внутри треугольника и является центром вписанной в треугольник окружности. Точка пересечения биссектрис равноудалена от сторон треугольника. Точка О - точка пересечения биссектрис AA1; BB1; CC1 треугольника ABC, О - центр вписанной в треугольник ABC окружности. Можно рассмотреть еще три свойства центра О вписанной окружности треугольника АВС. 1' Если продолжение биссектрисы угла С пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке М, то МА = MB = МО. <1=<2 по условию (биссектриса <4= <5+ <6, значит треугольник ОАМ равнобедренный => AM=OM. Аналогично ВМ = МО. 2' Если АВ - основание равнобедренного треугольника ABC, то окружность касающаяся сторон < АСВ в точках А и В, проходит через точку О1 (центр вписанной окружности треугольника). Пусть О - середина (меньшей) дуги АВ рассматриваемой окружности. По св-ву угла между касательной и хордой(Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащемся в этом угле дуги окружности.). <САО1 = <О1ВА = <О1АВ, т.е. точка О1 лежит на биссектрисе <А. (вписанный <О1ВА измеряется половиной дуги на которую опирается) Аналогично можно показать, что точка О1 лежит и на биссектрисе <В, т.е. О1 = О. 3' Если прямая, проходящая через точку О параллельно стороне АВ, пересекает стороны ВС и СА в точках А1 и В1, то А1В1 = A1B + АВ1. АВ1 = В1О. Аналогично А1В =А1О => А1В1 = А1О + ОВ1 = А1В +АВ1. Точка пересечения серединных перпендикуляров центр - описанной окружности Серединным перпендикуляром называется перпендикуляр, проведённый к середине стороны треугольника. Точка пересечения серединных перпендикуляров является центром описанной окружности. Эта точка может лежать как внутри треугольника, так и вне его и на его сторонах. LO, МО, КО - серединные перпендикуляры, О – точка их пересечения => точка О – центрописанной окружности. 1' Пусть А1, В1, С1, - середины сторон ВС, СА, АВ.треугольника АВС. Доказать, что окружноститреугольника АВС, описанные около треугольника АВ1С1, треугольника A1BC1, итреугольника А1В1С пересекаются в одной точке, причём эта точка – центр описанной окружности треугольника ABC. <ОВ1А и точка О - точка пересечения высот. Точка пересечения медиан – центроид Точка пересечения медиан всегда лежит внутри треугольника. Эта точка обладает замечательным свойством, она делит каждую медиану на отрезки, отношение длин которых равно 2/1, если считать отрезки от вершин треугольника. Эту точку также называют центром масс треугольника или центроидом. АК; ВN; СL - медианы треугольника ABC. ВО/ОN = СО/ОL = АО/ОK= Ѕ 1' Если точку пересечения медиан треугольника соединить с вершинами, тотреугольник разобьется на три треугольника равной площади. В самом деле, достаточно доказать, что если Р - любая точка медианы АК в треугольникеABC, то площади треугольников КВР и КСРравны (S= 1/2ah). Ведь медианы AК и РКв треугольнике ABC и треугольнике РВС разрезают их на треугольники равнойплощади.

Приложенные файлы

  • ppt file108
    Размер файла: 389 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий