Методы интегрирования


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Методы интегрирования ФГОУ СПО «Приморский политехнический колледж» Преподаватель Панченко Любовь Александровна Непосредственное интегрирование Этот метод основан на применении свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований. Пример. Внесение под знак дифференциала. Этот метод основан на применении формулы fґ(x)dx=df(x), которая называется внесением под знак дифференциала. В частности, Замена переменной Этот метод основан на применении формул x=φ(t) или t=φ(x), где t – новая переменная. Вычислив интеграл, нужно вернуться к первоначальной переменной. Пример. Вычислить . Обозначим 3x+1=t, откуда , . Получаем Интегрирование по частям Пусть u=u(x) и v=v(x) – функции, имеющие непрерывные производные, тогда d(uv)=vdu+udv или udv=d(uv)-vdu. Проинтегрировав последнее равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получаем формулу интегрирования по частям: При необходимости эта формула может применяться последовательно несколько раз. Отметим три вида интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям. 1. , , , где Pn(x) – многочлен n – й степени от х, k – произвольное число. В этих интегралах нужно обозначить u=Pn(x). Формула интегрирование по частям применяется последовательно n раз. При этом n>0 2. , , , , , где a>0, a≠1 – число, Pn(x) – многочлен n – й степени от х, k – произвольное число. В этих интегралах за n нужно обозначать логарифм или обратную тригонометрическую функцию, при этом не исключается случай n=0. 3. , , где m, k – числа, отличные от нуля. Эти интегралы вычисляются двукратным применением формулы интегрирования по частям. Интегрирование рациональных дробей. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов , где n, m – степени многочленов. Если n1. Дроби первых двух типов интегрируются непосредственно ; Для интегрирования дроби третьего и четвертого типов нужно выделить полный квадрат в знаменателе и затем сделать замену переменной. Интегрирование тригонометрических функций. 1. Интегралы вида , , вычисляются с помощью формулы: , , 2. Интегралы вида , где хотя бы одно из чиселm и n – нечетное положительное, k и второе число – любое,вычисляются подведением под знак дифференциала. 3. Интегралы вида , где m и n – четные положительные числа (одно из них может равняться нулю) k – любое число, вычисляются с помощью формул понижения степени: , , 4. Интегралы вида и , где m – натуральное, k – любое число, вычисляются заменой переменной: tgkx=z или ctgkx=z. 5. Интегралы вида сводятся к интегралам от рациональных дробей с помощью универсальной тригонометрической подстановки , откуда x=2arctgz; ; ; ; ; Интегрирование простейших иррациональных функций 1. Интегралы вида интегрируются так же, как простейшие рациональные дроби 3 – го вида: в знаменателе выделяются полный квадрат и вводится новая переменная.2. Интегралы вида вычисляются с помощью замены переменной , где s – наименьшее общее кратное чисел n1, n2, …, nk; a, b, c, d – числа (c и d не равны нулю одновременно). В частности, корень под знаком интеграла может быть один. 3. Интегралы вида , , вычисляются с помощью тригонометрических подстановок соответственно:1. x=asinz; dx=acoszdz.2. x=atgz; . 3. . Пример(вычисление с помощью тригонометрическихподстановок).

Приложенные файлы


Добавить комментарий