Методы разложения многочленов на множители


Чтобы посмотреть презентацию с оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов:

Методы разложения многочленов на множители. «Мало иметь хороший ум, главное – хорошо его применять».Р.Декарт. Методы разложения многочленов на множители. Вынесение множителя за скобкуИспользование формул сокращённого умноженияСпособ группировкиМетод выделения полного квадратаСхема Горнера Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов Вынесение множителя за скобку. Из распределительного закона непосредственно следует, что ac + bc = c(a + b).Этим можно воспользоваться для вынесения множителя за скобки.  Пример: Разложить многочлен на множители 12y3 – 20y2.РешениеИмеем: 12y3 – 20y2 = 4y2 · 3y – 4y2 · 5 = 4y2(3y – 5).Ответ. 4y2(3y – 5). Использование формул сокращённого умножения. a2-b2=(a-b)(a+b);a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2);a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2);a2+2ab+b2=(a+b)2;a2-2ab+b2=(a-b)2. (а - b) 3 = а3 - За2 b+ Заb2 - b3 (а + b) 3 = а3 + За2 b+ Заb2 +b3Пример:Разложить на множители многочлен x4 – 1.РешениеИмеем: x4 – 1 = (x2)2 – 12 = (x2 – 1)(x2 + 1) = (x2 – 12)(x2 + 1) = (x + 1)(x – 1)(x2 + 1).Ответ. (x + 1)(x – 1)(x2 + 1). Вспомните эти формулы: Способ группировки. Этот способ заключается в том, что слагаемые многочлена можно сгруппировать различными способами на основе сочетательного и переместительного законов. Пример:Разложить на множители многочлен x3 – 3x2y – 4xy + 12y2.Решениеx3 – 3x2y – 4xy + 12y2= = (x3 – 3x2y) – (4xy – 12y2) = = x2(x – 3y) – 4y(x – 3y) = = (x – 3y)(x2 – 4y).Ответ. (x – 3y)(x2 – 4y). Метод разложения квадратного трехчлена на множители Пример:Разложить на множители квадратный трехчлен х2-6x+5Решениех2-6x+5=(решим уравнение: х2-6x+5=0, по т. Виета х=5, х=1)=(х-5)(х-1)Ответ. (x-5)(x-1). 16x7 – 72x6 + 108x5 – 54x4 == 2x4 (8x3 – 36x2 – 54) = = 2x4 ((2x) 3 - 3 • (2x) 2 • 3 + 3 • (2x) • З2 - З3) =2x4 (2x- З) 3 D=1-4*5*1=-19-нет корней = 1) ( ) Аналогично 2 и 3 система Метод неопределенных коэффициентов. Суть метода неопределённых коэффициентов состоит в том, что вид сомножителей, на которые разлагается данный многочлен, угадывается, а коэффициенты этих сомножителей (также многочленов) определятся путём перемножения сомножителей и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях переменной. Теоретической основой метода являются следующие утверждения. Пример. Разложить на множители многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1.Решение. Поскольку многочлен третьей степени разлагается в произведение линейного и квадратичного сомножителей, то будем искать многочлены x – p и ax 2 + bx + cтакие, что справедливо равенство 3 x3 – x2 – 3 x + 1 = (x – p)(ax2 + bx + c) = ax3 + (b – ap) x2 + (c – bp) x – pc. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях этого равенства, получаем систему четырех уравнений для определения четырех неизвестных коэффициентов: a=3b−ap=−1c−bp=−3−pc=1.Решая эту систему, получаем: a = 3, p = –1, b = 2, c = –1. Итак, многочлен 3 x3 – x2 – 3 x + 1 разлагается на множители: 3 x3 – x2 – 3 x + 1 = ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1).Ответ. ( x – 1)(3 x2 + 2 x – 1). Схема Горнера. Если f(x) = a0xn + a1xn-1 + … + an-1x + an, g(x) = x – c, то при делении f(x) на g(x) частное q(x) имеет вид:g(x) = b0xn-1 + b1xn-2 + … + bn-2x + bn-1, где b0 = a0, bk = cbk-1 + ak, k = 1,2, …, n-1 Остаток r находится по формуле r = cbn-1 + an Пример 1x4 – 3 x3 – 3x2 + 11x – 6Решение.По схеме Горнера корнями данного многочлена могут быть числа ±1, ±2, ±3,x1 = 1 x2 = 1x3 = -2x4 = 3x = 1 – корень кратности 2Таким образом, разложение данного многочлена на множители имеет видx4 – 3x3 – 3x2 + 11x – 6 = (x – 1)2 (x + 2) (x – 3 )Ответ. (x – 1)2 (x + 2) (x – 3 ) 1 -3 -3 11 -6 1 1 -2 -5 6 0 1 1 -1 6 0 -2 1 -3 0 3 1 0 Разложение многочлена на множители с помощью комбинации различных приемов В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием, чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т.д. Чтобы успешно решать такие примеры, мало знать сами приемы, надо еще уметь выработать план их последовательного применения. Иными словами, здесь нужны не только знания, но и опыт. Вот такие комбинированные примеры мы и рассмотрим.Пример:8x4 + x3 + 64x +8Решение.Применим методы группировки, вынесения общего множителя за скобки и формулы сокращенного умножения:8x4 + x3 + 64x +8 = x3 (8x) + 8 (8x + 1) = (8x + 1) (x3 + 8) = (8x + 1) ( x + 2) ( x2 – 2x +4)Ответ. 8x + 1) ( x + 2) ( x2 – 2x + 4)

Приложенные файлы


Добавить комментарий